专题12解三角形(原卷版)

2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题12解三角形

考点命题分析

“解三角形”考点既是初中解 直角三角形内容的直接延伸，也是三角函数和平面向量知识考查的重要载体，同
时也是解决三角形中的计 算问题以及生产、生活实际问题的重要工具，具有广泛的应用价值.从考试大纲来
看，各地区的考试大纲 中对此内容都做了明确的要求，属于高考必考内容.
1基础知识
问题1这些年，我们一起学过几类三角形?各自有哪些性质?
问题2三角形面积公式知多少?
三角形作为重要的平面几何研究对象，让学生回顾三角形的研究思路，有利于培养学生的系统思维.从定 性
(相等、不等、对称性等)到定量(面积、勾股定理、相似、解三角形等)地展开研究.对于问题1， 引导学生从
边的关系(三角形三边的不等式关系)、角的定理、射影定理)三个方面认识三角形中蕴含的 基本方程或不等
式；对于问题2，中学阶段熟知的两种计算公式，一是底乘以高除以2，二是两边及其夹 角
()，可以根据学情适当补充其他的三角形面积公式.概括起来，本专题的
基础知识就是三组 公式(正弦定理、余弦定理、面积公式)，通过问题导学，激活知识，构建知识间的前后联
系.

2基本方法
高考对解三角形的考查重点是考生对基本公式的理解和应用以及运算求解能力.
题组一(边角互化)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
1－ 1已知
1－2已知
1－3已知
1－4已知a=2，且
题组二(公式的综合运用 )
，证明:
，证明:A=2B
，求角A的大小.
，求角A的大小.
.

2－1若，△ABC的面积为，△ABC的周长.
，求角A的大小. 2－2已知A=2B，若△ABC的面积
2－3已知△ABC的面积为，若，求△ABC的周长.
2－4已知
题组三(经典例题的变式教学)
问题:在△ABC中，已知
3－1求△ABC周长的取值范围.
3－2求△ABC面积的取值范围.
3－3求a
2
+c
2
的取值范围
3－4求a+2c的最大值.
3－5若改为“锐角三角形”，以上结果又如何?
3思维提升
.
，求△ABC的周长.
提高逻辑推理和演绎证明能力，关 键在于加强条件发散意识、目标导向意识和化归整合意识，即要注意根
据已知条件系统提供的有用信息和 求解目标系统所需要的信息，加强发散和联想，努力使思维意识清晰，
思维目标明确，思维程序合理，思 维依据充分.
题组四(非基本元素的考查)
4－1在△ABC中，边上的高等于BC，则cosA= .
4－2在△ABC中，已知为BC的中点，，求△ABC的面积.
4－3在△ABC中，D是 BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍.若AD=1，DC=，
求AC的 长.
题组五(复杂图形的考查)
5－1四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC =3，CD=DA=2，求四边形ABCD的面积.
5－2在△ABC中，∠C=90°，M是BC的 中点若
5－3如图，在△ABC中，
，则sin∠BAC= .
为△ABC内一点，∠BPC=90°.

(I)若，求PA；
. (Ⅱ)若∠APB=150°，求
题组六(三角形中的动态问题)
6－1在△ABD中，C在AD上，AD=3AC，且BC⊥BD，求角A的最大值.
6－2 在等边△ABC中，M是△ABC内一动点，∠BMC=120°，求
题组七(实际应用题)
7－1如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60 °，
C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC =100m，则山高MN=
m.
的最小值.

7－2在距离塔底 分别为80m，160m，240m的同一水平面上的A，B，C处，依次测得塔顶的仰角分别为
若，则 塔高为 m.
.
最新模拟题强化


1
．在VABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为< br>a
，
b
，
c
，
sin
2
B?sin A?sinC
.若对于任意实数，不等式
2
?
?
?
?
?
(x?2?sin2B)
2
?
?
2t?sin
?
B?
?
?
?1
恒成立，则实数
t
的取值范围为（ ）
4
?
?
?
?
A
．
(??,?1]U[ 1,??)

C
．
(?2,?1]?[1,2)

2
．下列结论中正确的个数是（ ）．
B
．
(??,?1)U(1,??)

D
．
[?2,?1]U[1,2]

①在
VABC
中，若
sin2A?sin2B
，则
VABC
是等 腰三角形；
②在
VABC
中，若
sinA?sinB
，则
A?B

③两个向量
a
，
b
共线的充要条件是存在实数
?
，使
b?
?
a
④等差数列的前
n
项和公式是常数项为0的二次函数．
A
．
0
B
．
1
C
．
2
D
．
3
rr
rr
3
． 在锐角
?ABC
中，角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，
?ABC
的面积为
S
，若
sin(A?C)?
2S
，则
22
b?c
tanC?
1
的最小值为（

）
2tan(B?C)
B
．
2 C
．
1 D
．
22
A
．
2

4
．在
△A BC
中，角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c
，已知
c? 25
，且
2asinCcosB?asinA?bsinB?
uuuvuuuvuuu vv
3
5
bsinC
，点
O
满足
OA?OB?OC ?0
，
cos?CAO?
，则
8
2
△ABC
的面积 为（ ）
A
．
55

3
B
．
35
C
．
52
D
．
55

5
．
a
2
?b
2?c
2
?2bccos
?
,
则
VABC
已知< br>VABC
的三边长分别为
a
，
b
，
c
，若存 在角
θ?
?
0,π
?
使得：
的形状为( )
A
．锐角三角形
B
．直角三角形
C
．钝角三角形
D
．以上都不对
6
．设a，b，c分别是
VABC
的内角A，B，C的对边，已知
?
b?c
?
sin
?
A?C
?
?
?
a?c
??
sinA?sinC
?
，设
uuuruuuruuur
D是BC边的中点，且
VABC< br>的面积为
3
，则
AB?DA?DB
等于
(

)

??
A
．2
B
．4
C
．
?4
D
．
?2

7
．在△
ABC
中，
AB?2,C?
A
．
27

?
6
，则
AC?3BC
的最大值为（

）
C
．
47
D
．
57
B
．
37

8
．在
?ABC
中
,
B?30
o
,
BC?3
,
AB?23
,
点
D
在边
BC
上
,
点
B,C
关于直线
AD< br>的对称点分别为
B
?
,C
?
,
则
?BB?
C
?
的面积的最大值为

A
．
9?33

2
B
．
63

7
C
．
93

7
D
．
33

2
9
．已知
?AB C
的三个内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，满足
cos
2
A?cos
2
B?cos
2
C
?1?si nAsinC
，
且
sinA?sinC?1
，则
?ABC
的 形状为（ ）
A
．等边三角形

C
．顶角为
150
o
的等腰三角形

B
．等腰直角三角形
D
．顶角为
120
o
的等腰三角形
10
．
边长为
2
的等边
?ABC
和有一内角为
30°
的直角?ABC
1
所在半平面构成
60?
的二面角，则下列不可能是
线 段
CC
1
的取值的是（

）
A
．
30

3
B
．
10
C
．
10

2
uuur
D
．
10

3
11
．已知△
ABC
的面积
3
，且
AB
＝
AC .
若
CD?2 DA
,
则
BD
的最小值为
______.
12
． 如图在平面四边形
ABCD
中，∠
A
＝∠
B
＝∠
C
＝
75°
，
BC
＝
2
，则
AB
的 取值范围是
___________
．

uuur

13< br>．在
△ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c< br>，
?ABC?120?
，
?ABC
的平分线交
AC
于 点
D
，
且
BD?1
，则
4a?c
的最小值为
________
．

14
．在
VABC
中，角
A
，
B
，
C
所对应的边分别为
a
，
b，
c
，且
2cosA?a(2?cosC)
，
c?2
，
D
为
AC
上一点，
AD:DC?1:3
，则
VAB C
面积最大时，
BD?
____________.
15
．在?ABC
中，
BC?4
，
sinC?2sinB
，则当
?ABC
的面积取得最大值时，
BC
边上的高为
______.
1 6
．如图
,
在坡度一定的山坡
A
处测得山顶上一建筑物
CD
的顶端
C
对于山坡的斜度为
15°,
向山顶前进
100,
若
CD=50
米
,
山坡对于地平面的坡角为
θ,则
cosθ=

.
米到达
B
后
,又测得
C
对于山坡的斜度为
45°

17
．已知平面向 量
a
，
b
，
c
满足：
a
，
b的夹角为
＝
3
2
，则
a
?
c
的最大值 为
_____
．
r
r
rr
r
?
3
?
rr
r
r
rr
r
r
，
|
a? b
|
＝
5
，
c?a
，
c?b
的夹角为，< br>|
c?a
|
44
rr

18
．在
△ABC
中，内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，角
B
为锐角，且
8sinAsinC?sin
2
B
，则< br>取值范围为
__________
．
a?c
的
b
1 9
．
VABC
中，
BC?23
，
AC?3
，
A?2B
，
D
是
BC
上一点且
AD?AC
，则< br>VABD
的面积为
____
__
．
20
．
?ABC
中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为a
，
b
，
c
，已知
a?bcosC?csinB
，且
b?2
，则
?ABC
面积的最大值是
__________< br>．
21
．
?ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知?
sinA?sinB
??
a?b
?
?bsinC?csinC
，
点
D
为边
BC
的中点，且
AD?
（1
）求
A
；
（
2
）若
b?2c
，求
?ABC
的面积
.
22
．在
?ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且
?A BC
的面积为
（
1
）求
a
的值；
（
2
）若
A?
7
.
2sinBsinC
.
sinA
?
3
，求
?ABC
周长的最大值
. 23
．在
VABC
中，内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，已知
（
1
）求
A
；
sinAcosB2c?b
?
.
sinBcosAb
（
2
）设
AC?2
，点
D
在
AB
上，且
AD? 3DB
，若
VBCD
的面积为
3
，求
BC
的长.
24
．在
VABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，设
?
3a?c
?
cosB?bcosC
.
（
1
）求
cosB
的值；
（
2
）若a?1
，
b?22
，求
sin
?
A?
?
?
π
?
?
的值
.
3
?
25
． 在
?ABC
中，角
A
、
B
、
C
的对边分别 为
a
、
b
、
c
，且
cosA?
（
1
）若
a?5
，
c?25
，求
b
的值；
（
2
）若
B?
5
.
5
?
4
，求
tan2C
的值
.
26．已知△
ABC
内角
A
，
B
，
C
的对 边分别为
a
，
b
，
c
，
sinA?3(1?cos A)
．

（1）求
A
；

（2）若
a?7
，
sinB?sinC?
133
，求△
A BC
的面积．

14
c
，
27
．已知在
? ABC
中，角
A
，若
b
是
a
与
c
的等比中项，
sinA
是
sin
?
B?A
?
C对应的边分别为
a
，
b
，
B
，
与
si nC
的等差中项．
（
1
）证明
?ABC
为直角三角形；
（
2
）求
cosB
的值．
urr
urr
28
．已知
x
∈
R
，设
m?(2cosx,sinx?co sx)
，
n?(3sinx,sinx?cosx)
，记函数
f(x)?m? n
.
（
1
）求函数
f
?
x
?
取 最小值时
x
的取值范围；
（
2
）设△
ABC
的角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，若
f
?
C
?
?2
，c?
值
.
29
．已知
?ABC
的内角
A,B ,C
的对边分别为
a,b,c
满足
（1）求
A
.
（2）若
?ABC
的面积
S
?ABC
?33,a?3
，求
?ABC
的周长.
30
．设函数
f(x)?sin(2x?< br>3
，求△
ABC
的面积
S
的最大
cosCc2b??
.
cosAaa
?
6
)?2cos
2
x
．
(Ⅰ)当
x?[0,]
时，求函数
f(x)
的值域；
(Ⅱ )
△ABC
的内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
， 且
f(A)?
?
2
3
,a?6,b?2
，求
△AB C
的面积．
2
31
．如图，某公园有三条观光大道
AB
、
BC
、
AC
围成直角三角形，其中直角边
BC?200m
， 斜边
AB?400m
，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在
AB
、
BC
、
AC
大道上嬉戏，所在位置分别记为点
D
、
E
、
F
.
（
1
）若甲乙都以每分钟
100
m
的速度从点
B
出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟
2
分钟出发，当乙出发
1
分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；
（
2
）设
?CEF?
?
，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的
2
倍，且?DEF?
示为
?
的函数，并求甲乙之间的最小距离
.
?
3
，请将甲乙之间的距离
y
表

32
．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路
a
经过三个景点
A、
B
、
C
，景区管委会又开发了风景优美的
景点
D，经测量景点
D
位于景点
A
的北偏东
30°
方向
8km
处，位于景点
B
的正北方向，还位于景点
C
的北
偏 西
75?
方向上，已知
AB?5km
.

（
1< br>）景区管委会准备由景点
D
向景点
B
修建一条笔直的公路，不考虑其他 因素，求出这条公路的长；（结
果精确到
0.1km
）
（
2
）求景点
C
与景点
D
之间的距离
.
（结果精确到
0.1km
）
33
．我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形
AB C
的空地上修建一个占地面积为
S
（平方米）的
AMPN
矩形健身场 地，如图，点
M
在
AC
上，点
N
在
AB
上 ，且
P
点在斜边
BC
上，已知
?ACB?60?
，
AC?30
米，
AM?x
米，
x?
?
10,20
?
.设矩形
AMPN
健身场地每平方米的造价为
12k
元（
k
为正常数）
S
37k
元，再把矩形
S
AMPN
以 外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为

（1）试用
x
表示
S
，并求
S
的取值范围； （2）求总造价
T
关于面积
S
的函数
T?f
?
S
?
;
（3）如何选取
AM
，使总造价
T
最低（不要求求出最低造价） < br>34
．如图为一块边长为
2km
的等边三角形地块
ABC
，为 响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从
BC
的中点
D
出发引出两条 成
60
o
角的线段
DE
和
DF
，与
AB< br>和
AC
围成四边形区域
AEDF
，在该区域
内种上草坪，其余 区域修建成停车场，设
?BDE?
?
．

（1）当
?
?60
o
时，求绿化面积；
（2）试求地块的绿化面积
S
?
?
?
的取值范围．
35
．如图，在某商业区周边有 两条公路
l
1
和
l
2
，在点
O
处交汇，该商业区为圆心角
?
，半径3
km< br>的扇形，
3
现规划在该商业区外修建一条公路
AB
，与
l1
，
l
2
分别交于
A,B
，要求
AB
与扇形弧相切，切点
T
不在
l
1
，
l
2
上 .
（1）设
OA?akm,OB?bkm
试用
a,b
表示新建公路
AB
的长度，求出
a,b
满足的关系式，并写出
a,b
的范
围；
（2）设
?AOT?
?
，试用
?
表示新建公 路
AB
的长度，并且确定
A,B
的位置，使得新建公路
AB
的长度

最短.