高考数学题型全归纳解三角形考点归纳

【考题回放】
a
2
?b
?
b?c
?
A?2B
a,b,cA,B,C
?ABC
1．设分别是的三个内角所对的边，则是的 （ ）
（A）充分条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件
2．在
?ABC
中，已知
①
tanA?cotB?1

22
tan
A?B
?sinC
2
，给出以下四个论断：




②
0?sinA?sinB?
22

2

2
③
sinA?cosB?1
④
cosA?cosB?sinC

其中正确的是（ B ）
（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③
3．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则
__________
3
.
4．如果
A．
B．
C．
D．
tan
ACAC
?tan?3tantan
2222
的值为
?A
1
B
1
C
1
的三个内角的余弦值分别等于
?A
2
B
2
C
2
的三个内角的正弦值，则（ ）
?A
1
B
1
C
1
和
?A
2
B
2
C
2
都是锐角三角形
?A
1
B
1
C
1
和< br>?A
2
B
2
C
2
都是钝角三角形
?A1
B
1
C
1
是钝角三角形，
?A
2
B
2
C
2
是锐角三角形
?A
1
B
1
C
1
是锐角三角形，
?A
2
B
2
C
2< br>是钝角三角形
5．己知A、C是锐角△ABC的两个内角，且tanA, tanC是方程x2-
3
px+1-p＝0
(p≠0，且p∈R)，的两个实根，则 tan(A+C)=_______，tanA,tanC的取值范围分别是___ _
2
和__ ___，p的取值范围是__________
3
；(0，
3
)；(0，
3
)；［
3
，1)
AB?
6．在ΔABC中，已知
466
,cosB?
36
，AC边上的中线BD=
5
，求sinA.
DE?
126
AB?
23
， 【专家解答】 设E为BC的中点，连接DE，则DEAB，且
222
设BE=x 在ΔBDE中可得
BD?BE?ED?2BE?EDcos?BED
，
教育资源 < /p>

5?x
2
?
8266
7
?2??x
x ??
336
，解得
x?1
，
3
（舍去）
AC2
?AB
2
?BC
2
?2AB?BCcosB?
28< br>3
， 故BC=2，从而
247
2213070
?
AC?si nB?sinA?
10
，
3
又
6
，故
sinA
14
即
【考点透视】本专题主要考查正弦定理和余弦定理．
【热点透析】三角形中的三角函数关系 是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻
理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 学生需要掌握的能力：
(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；
(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；
(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余 )弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化
或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条 件的挖掘

【范例1】【文】在△ABC中，若tanA︰tanB＝
a:b< br>，试判断△ABC的形状．
22
sinAcosBsin
2
A
?
cosAsinBsin
2
B
， 解析 由同角三角函数关系及正弦定理可推得
∵A、B为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．

?
∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝
2
．
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
【点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定 三角形形状时一般要把条件转化为边之间
关系或角之间关系式，从而得到诸如a2＋b2＝c2， a2 ＋b2>c2（锐角三角形），a2＋b2＜c2
（钝角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝ sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，进而判定其形
状，但在选择转化为边或是角的关系 上，要进行探索．
4sin
2
【范例2】 【文】在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，
(1)求角A的度数；
(2)若a=
3
，b+c=3，求b和c的值.
B?C7
?cos
2
A?
22
.
(1)由4sin
2
解析
B?C7
?cos2A?及A?B?C?180?,得:
22

教育资源

7
2[1?cos(B?C)]?2cos
2A?1?,4(1?cosA)?4cos
2
A?5
2
1
即4c os
2
A?4cosA?1?0,?cosA?,
2
0??A?180?,? A?60?

b
2
?c
2
?a
2
(2)由 余弦定理得:cosA?
2bc
1b
2
?c
2
?a
2
1
cosA????(b?c)
2
?a
2
?3bc.22bc2
?
b?c?3
?
b?1
?
b?2
a ?3,b?c?3代入上式得:bc?2 由
?
得:
?
或
?
.
bc?2c?2c?1
???

【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛.
【范例3】已知△ABC的周长为6，
（1）△ABC的面积S的最大值；
（2）
BABC
的取值范围．
解析 设
BC,CA,AB
成等比数列，求
BC,CA,AB
依次为a，b，c，则a+b+c=6，b?=ac．
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?c
2
? ac2ac?ac1
cosB????
2ac2ac2ac2
, 在△ABC中得0?B?
故有
?
3
．又
b?ac?
a?c6?b
?,
22
从而
0?b?2
．
S?
（１）
111
?
acsinB?b
2
sinB??2
2
?sin?3S?3
．
2223
，即
max
a
2
?c2
?b
2
(a?c)
2
?2ac?b
2
BAB C?accosB??
22
（２）
(6?b)
2
?3b
2
???(b?3)
2
?27
2
．
0?b?2,

?2?BABC?18
．
【点睛】 三角与向 量结合是高考命题的一个亮点.问题当中的字母比较多，这就需要我们采用
消元的思想，想办法化多为少 ，消去一些中介的元素，保留适当的主变元．主变元是解答问
题的基本元素，有效的控制和利用对调整解 题思路是十分有益处的．
【变式】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, △ABC的外接圆半径R=
3
，且
教育资源

cosC2si nA?sinC
?
sinB
满足
cosB
.
求角B和边b的大小；
求△ABC的面积的最大值。
cosC2sinA?sinC
?
sinB
解析 (1) 由
cosB
整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB
1
?
∴sin(B+C)= 2sinAcosB ∴sinA=2sinAcosB ∴cosB=
2
∴B=
3

∵ b=2RsinB ∴b=3
12
?
2
acsinB?3 RsinAsinC?33sinAsin(?A)
S
3
(2)∵
?ABC< br>=
2

?
33
?
?
1
?
s in(2A?)?
2
?
62
?
??

93
S
∴当A=
3
时,
?ABC
的最大值是
4
．
【点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用
【范例4】某观测站C在城A的南20?西的 方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40?东，
在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正 沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D
处，此时C、D间距离为21千米，问还需走多少千米到达 A城？
解析 据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60?．
设∠ACD = α ，∠CDB = β ．在△CDB中，由余弦定理得：
?
C D
2
?BD
2
?BC
2
21
2
?202
?31
2
1
cos
?
????
2?CD?B D2?21?207
，
sin
?
?1?cos
2
?
?
43
7
．
sin
?
?sin
?
18 0???CAD??CDA
?

?sin
?
180??60??180??
?
?

?sin
?
?
?60?
?
?sin
?
cos60? ?cos
?
sin60??
4311353
????
727214< br>．
AD?
在△ACD中得
CD21532153
?sin
?
?????15
sinAsin60?1414
3
2
．
教育资源

所以还得走15千米到达A城．
【点晴】 运用解三角形 的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元
素，然后解三角形求之．
1．在直角三角形中，两锐角为A和B，则sinA·sinB( B )
11
（A）.有最大值
2
和最小值 （B）.有最大值
2
但无最小值
（C）.既无最大值也无最小值 （D）.有最大值1但无最小值
(
ABAB
AB
?
AC
满 足
AC
).BC?0
2．已知非零向量
AB
与
AC
且
AB
.
AC1
AC
?
2
.
则
? ABC
为（ D
（A）等边三角形 （B）直角三角形
（C）等腰非等边三角形 （D）三边均不相等的三角形
3．△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小是 （ A ）

?
5
?
?
5
?
?
2< br>?
（A）
6
（B）
6
（C）
6
或
6
（D）
3
或
3

4.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( A )
5?15?11?51?5
(A)arccos
2
(B)arcsin
2
(C)arccos
2
(D)arcsin
2

5. 已知a+1，a+2，a+3是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 . （0，2）
x)
f(
1
)?0,
6．已知定义在R上的偶函数
y?f(
在区间
[0,??)
上单调递增,若
2

?
?ABC(,
?
]?
(
2
?
,
?
)
的 内角A满足
f(cosA)?0,
,则A的取值范围是 ___
323
< br>【文】在
?ABC
中，..
C
的对边分别为.
b
.。
若a,b,c 成等比数列，求f(B)=sinB+
3
cosB的值域。
?
若a,b,c 成等差数列，且A-C=
3
，求cosB的值。
cosB
a
2
?c
2
?b
2
2ac?ac1
解析 (1) ∵
b
2
?ac
,
a
2
?c
2
?2ac
?

2ac
?
2ac
?
2

0?B?
?
当且仅当
a?c
时取等号,
3
2sin(B?
?
∵f(B)=sinB+
3
cosB=
3
)

?
? B?
?
2
?
∵
33
?
3
∴
f(B)
的值域为
?
3,2
?

教育资源
）

(2) ∵
a?c?2b,
∴ sinA+sinC=2sinB ∵
A?C?
?
3
,A?C?
?
?B

A?
∴
2
?
B
?
B2
?
B
?
B
????
32
C=
32
∴sin(
32
)+sin(
32
)=2sinB
3cos
展开,化简,得
B3
BBBB
sin?
?2*2 sincoscos?0
24

222
, ∵
2
, ∴
1?2sin
2
∴ cosB=
B5
?
28

4cos
2
A7
?cos2(B?C)?
22
8．【文】 在
?ABC
中，
a,b,c
分别为角
A,B,C
的对边，且 满足
（１）求角大小；
（２）若
b?c?3
，当取最小值时，判断
?ABC
的形状．
解析（１）
A?B?C?
?
，
?4cos
2
A7
?cos2(B?C)?2(1?cosA)?cos2A??2cos
2
A?2co sA?3?
22
，
11
?0?cosA?
22
， ．
?2cos
2
A?2cosA?
0?A?
?
，
?A?60
o
．

b
2
?c
2
?a
2
cosA?
222
bc?b?c?a
2bc
（２）由 余弦定理，得 ．
?a
2
?(b?c)
2
?3bc?9?3bc? 9?3(
b?c
2
93
)??a?
24
，
2
．
33
b?c?
2
时取等号．此时
?ABC
为正三角形． 所以的最小值为
2
，当且仅当


教育资源