高一解三角形试题与答案

解三角形测试题

一、选择题：
1、ΔABC中,a=1,b=
3
, ∠A=30°,则∠B等于
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
（ ）
B．a=1,b=
2
,∠A=30°
C．b=c=1, ∠B=45°
（ ）
B．cosA（ ）
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是
A．a=1,b=2 ,c=3
C．a=1,b=2,∠A=100°
3、在锐角三角形ABC中，有
A．cosA>sinB且cosB>sinA
C．cosA>sinB且cosBsinA
4、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是
A．直角三角形
C．等腰三角形
B．等边三角形
D．等腰直角三角形
（ ）
5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x
2
+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有
等根，那么角B
A．B>60° B．B≥60° C．B<60° D．B ≤60°
（ ）
D．不定
（ ）
6、满足A=45,c=
6
,a=2的△ABC的个数记为m,则a
m
的值为
A．4

B．2 C．1
7、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β,
α(α<β),则A点离地面的高度AB等于

（ ）
A


B
asin
?
sin
?
asin< br>?
?sin
?
A． B．
sin(
?
?< br>?
)cos(
?
?
?
)
asin
?
cos
?
acos
?
sin
?
C． D． sin(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)

?

?

D C
8、两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km), 灯塔A在C北偏东30°,B在C南

偏东60°,则A,B之间的相距
A．a (km)
二、填空题：
9、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=
B．
3
a(km) C．
2
a(km) D．2a (km)
（ ）
7
, 则ΔABC是______三角形.
12
10、在ΔABC中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.
1
222
(a+b－c),那么角∠C=______.
4
31
12、在ΔABC中，a =5,b = 4,cos(A－B)=,则cosC=_______.
32
11、在ΔABC中，若S
Δ
ABC
=
三、解答题：
13、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：
①B=60°,b
2
=ac； ②b
2
tanA=a
2
tanB；
③sinC=











14、已知ΔABC三个内角A、B、C满足A+C=2B,
sinA?sinB
④ (a
2
－b
2
)sin(A+B) =(a
2
+b
2
)sin(A－B).
cosA?cosB
2
11
+ =－ , 求
cosB
cosAcosC
cos







A?C
的值.
2
15、二次方程ax2
－
2
bx+c=0,其中a、b、c是一钝角三角形的三边,且以b为最长.
①证明方程有两个不等实根；
②证明两个实根α,β都是正数；

③若a=c,试求|α－β|的变化范围.







16、海岛O上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个观察站A,上午11时,测得一
轮船在岛北60°东C处,俯角30°,11时10分,又测得该船在岛的北60°西B处,
俯角60°.
①这船的速度每小时多少千米？
②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离岛多少千
米？

















参考答案
解三角形
一、BDBBD AAC
二、（9）钝角 （10）
141
?
3
（11） （12）
38
4< br>三、（13）分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦
定理
a
2
?c
2
?b
2
a2
?c
2
?b
2
1
cos60?????a
2
?c
2
?ac?ac

?(a?c)
2
?0
，
2ac2ac2
b
2
sinA
?a?c
. 由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形. ②由
btanA?atanB?
cosA
22

a
2
sinBsinBcosAb
2
sin
2
B
?????sinAcosA?sinBcosB,?sin2 A?sin2B,
cosBsinAcosB
a
2
sin
2
A
∴A=B或A+B=90°，∴△ABC为等腰△或Rt△. ③
?sinC?
s inA?sinB
，由正弦定理：
cosA?cosB
a
2
?b2
?c
2
a
2
?c
2
?b
2
c(cosA?cosB)?a?b,
再由余弦定理：
c??c??a?b

2bc2ac
?(a?b)(c
2
?a
2
?b
2
) ?0,?c
2
?a
2
?b
2
,??ABC为Rt?
sin(A?B)a
2
?b
2

?
sin(A?B)
a
2
?b
2
. ④由条件变 形为
sin(A?B)?sin(A?B)a
2
sinAcosBsin
2< br>A
??
2
,???sin2A?sin2B,?A?B或A?B?90?
.
2
sin(A?B)?sin(A?B)
b
cosAsinB
sinB
∴△ABC是等腰△或Rt△. 点评：这类判定三角形形状的问题的一般解法是：由正弦定 理
或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简考察边或角的
关 系，从而确定三角形的形状. 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用.
如本例的②④也可用余弦定理，请同学们试试看.
（14）分析：
?A?C?2B, ?B?60?,A?C?120?
再代入三角式解得A或C. 解：
?A?C?2B,?180??B?2B,?B?60?.A?C?120?
.
∴由已知条件化为：
11
???22.?cos(120??A)?cosA??22

cosAcos(120??A)
cosAcos(120??A),
设
A? C
?
?
,则A?60??
?
,C?60??
?
.代 入上式得：
cos(60??
?
)

2
.化简整理得
?cos(60??
?
)??22cos(60??
?
)cos(60??
?
)
42cos
2
?
?2cos
?
?32 ?0

?(2cos
?
?2)(22cos
?
?3)?0, ?cos
?
?
2A?C2
,即cos?
. 注：本题有多
222
种解法. 即可以从上式中消去B、C求出cosA，也可以象本例的解法 .还可以用和、差化积
的公式，同学们可以试一试.
（15）分析：证明方程有两个不等实 根，即只要验证△＞0即可.要证α，β为正数，只要证
明αβ＞0，α+β＞0即可. 解：①在钝角 △ABC中，b边最
22222
长.
??1?cosB?0且b?a?c?2acco sB,??(?2b)?4ac?2b?4ac

?2(a
2
?c
2
?2accosB)?4ac?2(a?c)
2
?4accosB?0.
（其 中
2(a?c)
2
?0且?4accosB?0

∴方程有两个不相等的实根. ②
?
?
?
?
2bc
?0,
??
??0,
∴两实根α、β都是正数.
aa

?
2b
?
?
?
?
?
2b
2
?
2222
a
③a=c时，
?
,?(
?
?
?
)?a?
?
?2
??
?(
?
?
?
)?4
??
?
2
?4?

a
?
??
?
c
?1
?
a
?
2(a
2
?c
2
?2accosB)?4a
2
??4cosB,??1?cosB?0,?0??4 cosB?4,因此0?|
?
?
?
|?2
.
a
2
（16）分析：这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉.
解：①如图：所示. OB=OA
tan30
?
?
3
(千米)，
OC?3
（千米）
3
则
BC?OB?OC?2OB?OCcos120??
1310
? ?239
（千米小时）
360
22
13
3
（千米）

?船速v?
OB
2
?BC
2
?OC
2< br>513
cos?OBC??,?sin?EBO?sin?OBC?
②由余弦定理得：
2OB?BC26
1?(
513
2
339513
)?,co s?EBO??,sin?OEB?sin[180??(?EBO?30?)]?

262626
13
.

13
sin(?EBO?30?)? sin?EBO?cos30??cos?EBO?sin30??
再由正弦定理，得OE=1.5（千 米），
BE?
39BE
(千米),?5
（分钟）.
6v
答 ：船的速度为
239
千米小时；如果船的航速不变，它5分钟到达岛的正西方向，此时
所在点E离岛1.5千米.