高中数学直线和圆知识点总结汇总

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直线和圆
一．直线
1．斜率与倾斜角：
k?t an
?
，
?
?[0,
?
)

（1）
?
?[0,
?
2
（2）
?
?)
时，
k? 0
；
??
?
2
时，
k
不存在；（3）
?< br>?(
?
2
,
?
)
时，
k?0
（4）当倾斜角从
0
增加到
90
时，斜率从
0
增加到< br>??
；
当倾斜角从
90
增加到
180
时，斜率从< br>??
增加到
0

2．直线方程
（1）点斜式：
y?y
0
?k(x?x
0
)

（2）斜截式：
y?kx?b

??
（3）两点式：
y?y
1
x?x
1
?

y
2
?y
1
x
2
?x
1
（4）截 距式：
xy
??1

ab
（5）一般式：
Ax?By?C?0

3．距离公式
(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
（1）点
P
1
(x
1
,y
1
)
，P
2
(x
2
,y
2
)
之间的距离：
P P
12
?
（2）点
P(x
0
,y
0
)到直线
Ax?By?C?0
的距离：
d?
22
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22

（3）平行线间的距 离：
Ax?By?C
1
?0
与
Ax?By?C
2
? 0
的距离：
d?
4．位置关系
（1）截距式：
y?kx?b
形式
重合：
k
1
?k
2
b
1
?b
2
相交：
k
1
?k
2

平行：
k
1
?k
2
b
1
?b
2
垂直：
k
1
?k
2
??1

（2）一般式：
Ax?By?C?0
形式
重合：
A
1B
2
?A
2
B
1
且
A
1
C< br>2
?A
2
C
1
且
B
1
C
2
?C
1
B
2

平行：
A
1
B2
?A
2
B
1
且
A
1
C
2< br>?A
2
C
1
且
B
1
C
2
? C
1
B
2

.
|C
1
?C
2
|
A?B
22

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垂直：
A
1
A
2
?B< br>1
B
2
?0
相交：
A
1
B
2
?A
2
B
1

5．直线系
A
1
x?B
1
y?C
1
＋（
?
A
2
x?B
2
y?C
2
）?0
表示过两直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
和
l
2
:A
2
x?B
2
y ?C
2
?0
交点的所
有直线方程（不含
l
2
）
二．
圆
1．圆的方程
（1）标准形式：
(x?a)?(y?b)?R
（
R?0
）
22
（2）一般式：
x?y?Dx?Ey?F?0
（
D?E?4F?0）
22
222
?
x?x
0
?rcos
?（3）参数方程：
?
（
?
是参数）
y?y?rsin
?
0
?
【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决 .
（4）以
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
为直径的圆的方程是：
(x?x
A)(x?x
B
)?(y?y
A
)(y?y
B
)?0
2．位置关系
（1）点
P(x
0
,y
0
)
和圆
(x?a)?(y?b)?R
的位置关系：
222
222当
(x
0
?a)?(y
0
?b)?R
时，点
P (x
0
,y
0
)
在圆
(x?a)?(y?b)?R
内部
222
222
当
(x
0
?a)?(y
0?b)?R
时，点
P(x
0
,y
0
)
在圆(x?a)?(y?b)?R
上
222
222
当
(x
0
?a)?(y
0
?b)?R
时，点
P(x
0
,y
0
)
在圆
(x?a)?(y?b)?R
外
222
（2）直线
Ax?By?C?0
和圆
(x?a)?(y?b)?R
的位置关系 ：
判断圆心
O(a,b)
到直线
Ax?By?C?0
的距离
d?
当
d?R
时，直线和圆相交（有两个交点）；
当
d?R
时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；
当
d?R
时，直线和圆相离（无交点）；
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．
(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．

.
222
|Aa?Bb?C|
A?B
22
与半径
R
的大小关系

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3．圆和圆的位置关系
判断圆心 距
d?OO
12
与两圆半径之和
R
1
?R
2
，半径之差
R
1
?R
2
（
R
1
?R2
）的大小关系
当
d?R
1
?R
2
时，两圆相离，有4条公切线；
当
d?R
1
?R
2
时，两圆外切，有3条公切线；
当
R
1
?R
2
?d?R
1
?R
2
时，两圆相交，有2条公切线；
当
d?R
1
?R
2
时，两圆内切，有1条公切线；
当
0?d?R
1
?R
2
时，两圆内含，没有公切线；
4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减
5．弦长公式：
l?2R
2
?d
2



例1若圆
x
＋
y
＝1与直线
y
＝
kx＋2没有公共点，则实数
k
的取值范围是________．
2
解析：由题意知 ＞1，解得－3＜
k
＜3.
2
1＋
k
答案：(－3， 3)


2222< br>例2已知两圆
C
1
：
x
＋
y
－2
x
＋10
y
－24＝0，
C
2
：
x
＋
y
＋2
x
＋2
y
－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是
____________．
解析：两圆相减即得
x
－2
y
＋4＝0.
答案：
x
－2
y
＋4＝0


22例3设直线
x
－
my
－1＝0与圆(
x
－1)＋(y
－2)＝4相交于
A
、
B
两点，且弦
AB
的 长为23，则实数
m
的值是
________．
|1－2
m
－1|3
解析：由题意得，圆心(1,2)到直线
x
－
my
－1＝ 0的距离
d
＝4－3＝1，即＝1，解得
m
＝±.
2
3
1＋
m
答案：±
3

3
22


22
例4若
a
，
b< br>，
c
是直角三角形
ABC
三边的长(
c
为斜边)，则 圆
C
：
x
＋
y
＝4被直线
l
：
a x
＋
by
＋
c
＝0所截得的弦
长为________． < br>解析：由题意可知圆
C
：
x
＋
y
＝4被直线
l
：
ax
＋
by
＋
c
＝0所截得的弦长为2 22
4－
?
?
c
?
222
22
?，由于
a
＋
b
＝
?
a
＋
b
?
c
2
，所以所求弦长为23.
答案：23



.