高中数学-直线与圆、圆与圆的位置关系练习

高中数学-直线与圆、圆与圆的位置关系练习


基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题
1．直线
y< br>＝
x
＋1与圆
x
＋
y
＝1的位置关系是______ __．
?
y
＝
x
＋1，
解析 法一 由
?
22
?
x
＋
y
＝1，
22

消去
y
，整理得
x
2
＋
x
＝0，因为Δ
＝1
2
－
4×1×0＝1＞0，所以直线与圆相交．
又圆< br>x
2
＋
y
2
＝1的圆心坐标为(0,0)，且0≠0＋1，所 以直线不过圆心．
法二 圆
x
2
＋
y
2
＝1的圆 心坐标为(0,0)，半径长为1，则圆心到直线
y
＝
x
＋1
距离< br>d
＝
12
＝.
2
2
2
又0＜＜1所以直线
y
＝
x
＋1与圆
x
2
＋
y
2＝1相交但直线不过圆心．
2
答案 相交
2．圆(
x
＋2)
2
＋
y
2
＝4与圆(
x
－2)
2
＋(
y
－1)
2
＝9的位置关系为________．
解析 两圆 圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距
d
＝4
2
＋1
＝17.∵3－2<
d
<3＋2，∴两圆相交．
答案 相交
3．过点
A
(2,4)向圆
x
2
＋
y
2
＝ 4所引切线的方程为________．
解析 显然
x
＝2为所求切线之一；另设直 线方程为
y
－4＝
k
(
x
－2)，即
kx
－
y
＋4－2
k
＝0，那么
|4－2
k
|3
＝2，解得
k
＝，即3
x
－4
y
＋10＝0.
2
4
k
＋1
答案
x
＝2或3
x
－4
y
＋10＝0
4．(·安徽卷 改编)直线
x
＋2
y
－5＋5＝0被圆
x
2
＋y
2
－2
x
－4
y
＝0截得的弦长
为____ ____．

1

解析 圆的标准方程为(
x
－1 )
2
＋(
y
－2)
2
＝5，则圆心(1,2)到直线
x
＋2
y
－5
＋5＝0的距离
d
＝
|1＋4－5 ＋5|
＝1，
5
∴直线
x
＋2
y
－5＋5＝0被 圆
x
2
＋
y
2
－2
x
－4
y＝0截得的弦长为
25
2
－1
2
＝4.
答案 4 < br>5．(·威海期末考试)若直线
y
＝
kx
与圆(
x
－ 2)
2
＋
y
2
＝1的两个交点关于直线2
x
＋y
＋
b
＝0对称，则
k
，
b
的值分别为___ _____．
解析 因为直线
y
＝
kx
与圆(
x
－2)
2
＋
y
2
＝1的两个交点关于直线2
x
＋< br>y
＋
b
＝0
对称，则
y
＝
kx
与直 线2
x
＋
y
＋
b
＝0垂直，且2
x
＋y
＋
b
＝0过圆心，所以解
1
得
k
＝，
b
＝－4.
2
1
答案
k
＝，
b
＝－4
2
6．若直线
x
－y
＋1＝0与圆(
x
－
a
)
2
＋
y< br>2
＝2有公共点，则实数
a
的取值范围是
________．
解析 由题意可得，圆的圆心为(
a,
0)，半径为2，
∴
|a
－0＋1|
≤2，即|
a
＋1|≤2，解得－3≤
a
≤1.
1
2
＋－1
2
答案 [－3,1]
?
1
?
7．过点
M
?
，1
?
的直线
l
与圆
C
：(
x
－1)
2
＋
y
2
＝ 4交于
A
，
B
两点，
C
为圆心，当
?
2< br>?
∠
ACB
最小时，直线
l
的方程为________．
1
2
解析 由题意得，当
CM
⊥
AB
时，∠
ACB
最小，从而直线方程
y
－1＝－
0－1
1－
1??
?
x
－
?
，即2
x
－4
y
＋3＝0.
2
??
答案 2
x
－4
y
＋3＝0
8．(·盐城二模)两圆相交于两点(1,3)和(
m
，－1)，两圆圆心都在直线< br>x
－
y
＋
c
＝0上，且
m
、
c均为实数，则
m
＋
c
＝________.

2

?
1＋
m
?
，1
?
在解析 根据两 圆相交的性质可知，两点(1,3)和(
m
，－1)的中点
?
2
??
直线
x
－
y
＋
c
＝0上，并且过两点的直线与x
－
y
＋
c
＝0垂直，故有
1＋
m
?
?
2
－1＋
c
＝0，
?
3－－1
??
1－
m
×1＝－1，
答案 3
二、解答题
9．求 过两圆
x
2
＋
y
2
＋4
x
＋
y< br>＝－1，
x
2
＋
y
2
＋2
x
＋2< br>y
＋1＝0的交点的圆中面积最小
的圆的方程．
22
?
x< br>＋
y
＋4
x
＋
y
＝－1， ①
解 由
?
22
?
x
＋
y
＋2
x
＋2< br>y
＋1＝0， ②

∴
m
＝5，
c
＝－2，∴
m
＋
c
＝3.


1
①－②得2
x
－
y
＝0代入①得
x
＝－或－1，
5
2
??
1
－，－
?
，(－1，－2)． ∴两圆 两个交点为
?
5
??
5
2
??
1
－，－< br>?
，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面过两交点圆中，以
?
5??
5
积最小．
6
??
3
∴该圆圆心为
?< br>－，－
?
，半径为
5
??
5
?
1
?
2
?
2
?
?
－＋1
?
＋
?－＋2
?
2
?
5
??
5
?
25
＝，
25
3
?
2
?
6
?
2
4
?
圆方程为
?
x
＋
?
＋
?
y＋
?
＝.
5
??
5
?
5
?
10．已知：圆
C
：
x
2
＋
y
2
－8y
＋12＝0，直线
l
：
ax
＋
y
＋2
a
＝0.
(1)当
a
为何值时，直线
l
与圆
C
相切； (2)当直线
l
与圆
C
相交于
A
，
B
两点，且|
AB
|＝22时，求直线
l
的方程．
解 将圆
C
的方程
x
2
＋
y
2
－8
y
＋1 2＝0化成标准方程为
x
2
＋(
y
－4)
2
＝4， 则此
圆的圆心为(0,4)，半径为2.

3

(1)若直 线
l
与圆
C
相切，则有
3
解得
a
＝－.
4
|4＋2
a
|
＝2，
2
a
＋1
(2)过圆心
C
作
CD
⊥
AB
，则根据题意和圆的性质，
?
?
得
?
|
CD
|＋|
DA
|＝ |
AC
|＝2，
1
?
|
DA
|＝|
AB< br>|＝2.
?
2
|
CD
|＝
2222
|4＋2
a
|
，
2
a
＋1

解得
a
＝－7或－1.
故所求直线方程为7
x
－
y
＋14＝0或
x
－
y
＋2＝0.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)

一、填空题
1．(·安徽宣城六校联考)已知 点
P
(
x
0
，
y
0
)，圆
O：
x
2
＋
y
2
＝
r
2
(r
＞0)，直线
l
：
x
0
x
＋
y0
y
＝
r
2
，有以下几个结论：①若点
P
在圆
O
上，则直线
l
与圆
O
相切；
②若点
P< br>在圆
O
外，则直线
l
与圆
O
相离；③若点
P
在圆
O
内，则直线
l
与
圆
O
相交；④无论 点
P
在何处，直线
l
与圆
O
恒相切，其中正确的结论是________．
r
2
2
解析 根据点到直线的距离公式有
d
＝
2
，若点
P
在圆
O
上，则
x
2
0
＋
y
0
＝
2
x
0
＋
y
0
22
r
2
，
d
＝
r
，相切； 若点
P
在圆
O
外，则
x
2
0
＋
y
0
＞
r
，
d
＜
r
，相交；若点
P
在圆
22
O
内，则
x
2
0
＋
y< br>0
＜
r
，
d
＞
r
，相离，故只有①正确．
答案 ①
2．(·长沙模拟)若圆
C
：
x
2
＋< br>y
2
＋2
x
－4
y
＋3＝0关于直线2
ax
＋
by
＋6＝0对称，
则由点(
a
，
b
) 向圆所作的切线长的最小值是________．
解析 圆的标准方程为(
x
＋1)
2
＋(
y
－2)
2
＝2，所以圆心为(－1,2)，半径为 2.
因为圆关于直线2
ax
＋
by
＋6＝0对称，所以圆心在直线2
ax
＋
by
＋6＝0上，
所以－2
a
＋2
b
＋6＝0，即
b
＝
a
－3，点(
a
，
b
)到圆心的距离为
d
＝

a
＋1
2
＋< br>b
－2
2
＝
a
＋1
2
＋
a
－3－2
2

4

＝2
a
2
－8< br>a
＋26＝2
a
－2
2
＋18.
18＝32，此时 切线长最小，为所以当
a
＝2时，
d
有最小值
32
答案 4
2
－2
2
＝16＝4.
3．(·湖北卷)已知圆
O
：
x
2
＋
y
2
＝5，直线
l
：
x
cos
θ
＋
y
sin
θ
＝1(0<
θ
<
圆
O
上到直线
l
的距离等于1的点的个数为
k
，则
k
＝________.
π
)．设
2
解析 圆
O
的圆心(0,0)到直线
l
：
x
cos
θ
＋
y
sin
θ
＝1的距离
d
＝1.而 圆
的半径
r
＝5，且
r
－
d
＝5－1＞1，∴圆< br>O
上在直线
l
的两侧各有两点到直
线
l
的距离等于1 .
答案 4
二、解答题
4．已知圆
M
：
x
2
＋(
y
－2)
2
＝1，
Q
是
x
轴 上的动点，
QA
，
QB
分别切圆
M
于
A
，
B
两点．
(1)若
Q
(1,0)，求切线
QA
，
QB
的方程；
(2)求四边形
QAMB
面积的最小值；
(3)若|
AB
|＝
42
，求直线
MQ
的方程．
3
解 (1)设过点
Q
的圆
M
的切线方程为
x＝
my
＋1，
则圆心
M
到切线的距离为1，
|2
m
＋1|4
∴＝1，∴
m
＝－或0，
3m
2
＋1
∴
QA
，
QB
的方程分别为3
x
＋4
y
－3＝0和
x
＝1.
(2)∵
MA< br>⊥
AQ
，∴
S
四边形
MAQB
＝|
MA|·|
QA
|＝|
QA
|＝|
MQ
|
2
－|
MA
|
2
＝|
MQ
|
2
－1
≥|
MO
|
2
－1＝3.
∴四边形
QAMB
面积的最小值为3.
(3)设
AB
与
MQ
交于
P
，
则
MP
⊥
AB
，
MB
⊥
BQ
，∴|
MP< br>|＝
?
22
?
2
1
?
＝. 1－
?
?
3
?
3

5

1
2
在Rt△
MBQ
中，|
MB
|＝|
MP
||
MQ
|，即1＝|
MQ
|，
3
∴|
MQ|＝3，∴
x
2
＋(
y
－2)
2
＝9. 设
Q
(
x,
0)，则
x
2
＋2
2＝9，
∴
x
＝±5，∴
Q
(±5，0)，
∴
MQ
的方程为2
x
＋5
y
－25＝0或2
x
－5
y
＋25＝0.


6