高考高中数学第66炼 直线与圆位置关系

高中数学
第66炼 直线与圆位置关系
一、基础知识：
1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
2、圆的标准方程：设圆心的坐标
C
?
a,b
?
，半径为
r
，则圆的标准方程为：
?
x?a
?
22
2
?
?
y?b
?
?r
2

2
3、圆的一般方程：圆方程为
x?y?Dx?Ey?F?0

（1）
x,y
的系数相同
（2）方程中无
xy
项
（3）对于
D,E,F
的取值要求：
D?E?4F?0

4、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：
（1）几何 性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半
径为
r
，圆心到直线的距离为
d
，则：
① 当
r?d
时，直线与圆相交
② 当
r?d
时，直线与圆相切
③ 当
r?d
时，直线与圆相离
（2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直 线与圆位置关系，即联立直线与圆
的方程，再判断解的个数。设直线：
Ax?By?C?0，圆：
x?y?Dx?Ey?F?0
，
则：
22
22
22
?
Ax?By?C?0
消去
y
可得关于
x
的一 元二次方程，考虑其判别式的符号
?
22
?
x?y?Dx?Ey?F?0
①
??0
，方程组有两组解，所以直线与圆相交
②
??0
，方程组有一组解，所以直线与圆相切
③
??0
，方程组无解，所以直线与圆相离
5、直线与圆相交：
弦长计算公式：
AB?2AM?2r?d

6、直线与圆相切：
（1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆

1
22

高中数学
心到切线的距离等于半径
例： 已知圆的方程为：
x?y?4
及圆上一点
P1,3
，求过
P
的圆的切线
22
??
方法一：利用第一条性质：
k
OP
? 3
，所以可得切线斜率
k??
3

3
?
切线方程为 ：
y?3??
3
?
x?1
?
，整理后可得：
x?3 y?4

3
方法二：利用第二条性质：设切线方程
l
为：
y ?3?k
?
x?1
?

即
kx?y?3?k

?d
O?l
?
3?k
k?1
2
?r?2

整理可得：
3k?23k?1?0?
2
?
3k?1?0
解得：
k??
?
2
3

3
?l:y?3??
3
?
x?1
?
?3x?y?4

3
（2）圆上点的切线结论：
2
222
① 圆
x?y?r
上点
P
?
x
0
,y
0
?
处的切线 方程为
x
0
x?y
0
y?r

② 圆
?< br>x?a
?
2
?
?
y?b
?
?r
2< br>上点
2
P
?
x
0
,y
0
?
处的切线方程为
?
x?a
??
x
0
?a
?
?
?
y?b
??
y
0
?b
?
?r
2

（3）过圆外一点的切线方程（两条切线）：可采取上例方法二的做法，先设出直线方程， 再
利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程。（要注意判断斜率不存在的直线是
否 为切线）
7、与圆相关的最值问题
（1）已知圆
C
及圆外一定点
P
，设圆
C
的半径为
r
则圆上点到
P
点距
离的最小值为
PM?PC?r
，最大值为
PN?PC?r
（即连结
P C
并延长，
M
为
PC
与圆的交点，
N
为
P C
延长线与圆的交点




2

N
C
M
P

高中数学
（2）已知圆
C
及圆内一定点
P
，则过
P
点的所有弦中最长的为直径，最短的为与 该直径垂
直的弦
MN

A
解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑 弦长公式为
C
P
B
AB?2r?d
，若
AB
最小， 则
d
要取最大，在圆中
CP
为定值，
在弦绕
P
旋转 的过程中，
d?CP
，所以
d?CP
时，
AB
最小 （3）已知圆
C
和圆外的一条直线
l
，则圆上点到直线距离的
最 小值为
PM?d
C?l
?r
，距离的最大值为
PN?d
C? l
?r
（过圆心
C
作
l
的垂线，垂足为
P
，
CP
与圆
C
交于
M
，其
反向延长线交圆
C
于
N

（4）已知圆
C
和圆外的一条直线
l< br>，则过直线
l
上的点作圆的
切线，切线长的最小值为
PM
< br>解：
PM?
M
C
22
N
C
l
PM
l
CP?r
2
，则若
PM
最小，则只需
CP
最小即可，
2
所以
P
点为过
C
作
l垂线的垂足时，
CP
最小
P
?
过
P
作圆的切线，则切线长
PM
最短
8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含
（1）可通过圆心距离与半径的关系 判定：设圆
O
1
,O
2
的半径为
r
1
,r
2
，
OO
12
?d

①
d?r
1
?r
2
?
②
d?r
1
?r
2
?
O
1
,O
2
外离
O
1
,O
2
外切
O
1
,O
2
相交 ③
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?
④
d?r
1
?r
2
?
⑤
d?r
1
?r
2
?
O
1
,O
2
内切
O
1
,O
2
内含
（2）可通过联立圆的方程组，从而由方 程组解的个数判定两圆位置关系。但只能判断交点
的个数。例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有 一个公共点，但是外切还是内切无法
直接判定。


3

高中数学
二、典型例题：
例1：已知直线
ax?y?2? 0
与圆心为
C
的圆
?
x?1
?
?
?
y?a
?
?4
相交于
A,B
两点，且
22
ABC
为等边三角形，则实数
a?
（ ）
A.
?
3
1
B.
?
C.
1
或
7
D.
4?15

3
3
思路：因为
ABC
为等边三角形且
C
为圆心， 所以该三角形的边长为
2
，由等边三角形的
性质可知高为
3
，即C
到
AB
的距离为
3
，由圆方程可得：
C
?< br>1,a
?
，所以利用点到直线
距离公式可得：
d
C?AB?
答案：D
例2：圆心在曲线
y?
（ ）
A.
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?5
B.
?
x?2
?
?
?
y?1
?
?5

C.
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?25
D.
?
x?2
?
?
?
y?1
?
?25

思路：不妨设圆心
?
a,
2222
2222
a?a?2a
2
?1
?3?
?
2a?2
?
?3
?
a
2
?1
?
，解得：
a?4?15

2< br>2
?
x?0
?
上，且与直线
2x?y?1?0
相切的 面积最小的圆的方程为
x
?
?
2
?
?
，其中
a?0
，半径为
r
，因为直线与圆相切，所以有
a
?
2a ?
d?
22
?12a??1
1
?
2
?
aa
?r
，
?2a??1
?
若圆的面积最小，则半径最小，则
r?
?
a
?
555
?
?
1
?
1< br>?2?2a??1
?
?5
，即
r
min
?5
，此时
a?1
，所以圆方程为：
?
??
a
5
??< br>?
x?1
?
2
?
?
y?2
?
?5< br>
2
答案：A
例3：设点
M
?
m,1
?< br>，若在圆
O:x?y?1
上存在点
N
，使得
?OMN?30< br>，则
m
的取
22
值范围是（ ）
,
?
A.
?
?3,3
?
B.
?
?,
?
C.
?
?2,2
?
D.
?
?
??
?
22
?
?
33
?
思路：由圆的性质可知：圆 上一点
T
，与
M,O
所组成的角
?OMT
，当
MT
与圆相切时，
4

?
11
?
?
33
?

高中数学 ?OMT
最大。所以若圆上存在点
N
，使得
?OMN?30
，则
?OMT?30
。由
M
?
m,1
?
和
x? y?1
可知过
M
且与圆相切的一条直线为
y?1
，切点
T< br>?
0,1
?
，所以在直角三角
22
形
OMT
中，
tanOMT?
答案：A
OT
TM
?
3
，从而
TM?3??3?m?3

3
例4：设
m,n?R
，若直线
?
m?1
?
x?
?
n?1
?
y?2?0
与圆
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?1
相切，则
22
m? n
的取值范围是（ ）
A.
?
1?3,1?3
?
B.
??,1?3
?
??
C.
?
2?22,2?2
?
?
?
??
1?3,??
?

??
2
?
?
D.
?
??,2?22
??
2?22,??
?

思路： 通过圆方程可知圆心
C
?
1,1
?
，半径
r?1
， 因为直线与圆相切，所以
d
C?l
?
m?n
?
m?1
?
2
?
?
n?1
?
2
?1?
?
m?n
?
?
?
m?1
?
?
?
n?1
?
，整理后可得：
222
mn?m?n?1
，即
n?
m? 1m?12
，所以
m?n?m??m?1??2
，进而由“对
m?1m?1m ?1
勾函数“性质可知
m?n???,2?22
?
?
?
?< br>2?22,??

?
?
答案：D
小炼有话说：本题由于m?R
，所以对于
m?1?
换元转换为常见函数求得值域
例5：若圆< br>x?y?4x?4y?10?0
上至少有三个不同的点到直线
l:y?kx
的距 离为
22
2
?2
不能使用均值不等式，而要通过
m?1
22
，则直线
l
斜率的取值范围是___________
思路：本题的关键在 于如何将“至少三个符合条件的不同的点”这个条件与
k
找到联系。通
过图像可知该条 件与圆心到直线的距离相关。圆方程为：
?
x?2
?
?
?
y ?2
?
?18
，即圆心
为
?
2,2
?
，半 径
r?32
，作出图像可知若至少有三个不同的点到直线
l
距离为
2 2
，则圆
心到直线的距离应小于等于
22
2
，所以
d
C?l
?
2k?2
k?1
2
?2
，即解不等式：
?
2k?2
?

2
?
?2
?
k
2
?1
?
，解得：
k?
?
?
2?3,2?3
?

5

高中数学
答案：
?
2?3,2?3
?

??
例6：直线y?x?m
与圆
x?y?16
交于不同的两点
M,N
，且
MN?
其中
O
是坐标原点，则实数
m
的取值范围是（ ）
A.
?22,?2
?
22
3OM?ON
，
?< br>?
?
2,22
B.
?42,?22
?
??
??
??
?
22,42

?
?
C.
?
?2,2
?
D.
?
?22,22
?

思路：不妨设
MN
的 中点为
A
，则可知
OM?ON?2OA
，从而
MN?23OA
，在圆
x
2
?y
2
?16
中，可知
OA
为圆心
O
到
MN
的距离，即弦心距。由圆中弦，半径，弦心距
2?
1
?
的关系可得：
?
MN
?
?OA?r2
?16
，代入
MN?23OA
可得：
?
2
?
2
?
3OA
?
2
?OA?16
，解得：
O A?2
，即
d
O?MN
?
2
m
?2
，所以
m?
?
?22,22
?

??
2
答案：D
例7：在平面直角坐标系
xOy
中，已知圆
C:x?
?
y? 3
?
?2
，点
A
是
x
轴上的一个动点，
2
2
AP,AQ
分别切圆
C
于
P,Q
两点，则线段< br>PQ
的取值范围是（ ）
?
214
??
214?
?
14
??
14
?
A.
?
,2
?
?
C.
?
3
,2
?
D.
?
3
,22
?

?
B.
?
3
,22
?
3
????
????
思路：如图设AC,PQ
交于
M
，则有
PQ?2PM
，只需确
认PM
的范围即可，由圆方程可得
r?
所以
PM?PCsin
?< br>?
2
，设
?PCM?
?
，
2sin
?
，在
RtPCA
中，可得：
?1?
2
AC
2
si n
?
?
AP
AC
?
AC?r
2
AC
2
AC
2
2
，所以
PM?
2?1?
，下面确定< br>AC
的范围。设
A
?
x,0
?
，因为
C?
0,3
?
，所以
2
AC?x
2
?9?
?
9,??
?
2
，从而解得
?
14
?
P M?
?
,2
?
?
?
3
?
。则
6

高中数学
?
214
?

PQ ?2PM?
?
,22
?
?
?
3
?
答案：B
例8：已知圆
M:
?
x?cos
?
?
?
?
y?sin
?
?
?1
，直线
l:y?kx
下面四个 命题：
（1）对任意实数
k
与
?
，直线
l
和圆< br>M
相切；
（2）对任意实数
k
与
?
，直线
l
和圆
M
有公共点；
（3）对任意实数
?
，必存在实数< br>k
，使得直线
l
和圆
M
相切;
（4）对任意实数< br>k
，必存在实数
?
，使得直线
l
和圆
M
相切 .
其中真命题的代号是______________
思路一（代数运算）：四个命题均和 直线与圆位置关系相关，所以考虑圆心到直线的距离和
半径的大小关系：由圆
M
方程可 知圆心
M
?
?cos
?
,sin
?
?
，半 径为1，所以
22
d
M?l
?
?kcos
?
?si n
?
k
2
?1
，为了便于计算，不妨比较
d
M?l
与1的大小关系，从而有：
2
2
d
2
M?l
?1?
?
kcos
?
?sin
?
?
k
2
?1
22
?k
2
?1
k
2
cos
2
?
?2sin
?
cos
?
?k?sin
2
??k
2
?1

?
2
k?1
??
1? cos
?
?
k
?

??
?2sin
?
cos
?
?k?
?
1?sin
2
??
k?1
2
?
sin
?
?k?cos
?
?
k?1
2
2
?0

所以对任意的实数
k,< br>?
，直线
l
和圆
M
有公共点，但不一定相切。故（1）错误（ 2）正确；
2
（3）（4）与相切有关，所以考虑
d
M?l
?1，由上式可得：
sin
?
?k?cos
?
①，从而可得，
对于任意的实数
?
，不一定会存在
k
，使得等式成立。例如
sin
?
?0
时，①不成立；但对
于任意的
k
，总有
k?
cos
?
1
，使得①成立，即直线与圆相切。所以（3）错误，（4）
?
sin
?
tan
?
正确，综上所述，正确的是（2）（4） < br>思路二（数形结合）：通过观察
M
?
?cos
?
,sin?
?
，可知
M
为单位圆上的点。则必有
又因为
M
的半径为1，所以可得
M
过原点。而直线
l:y?kx
过定点
?< br>0,0
?
，
OM?1
，
所以直线与圆必有公共点。（2）正确 。因为
?
0,0
?
在圆上，所以可知若直线与圆相切，则原
点为切点 ，故切线也只有一条。所以（1）错误。对于（3）（4），通过前面的结论可知对于
任意的一个圆M
，均可过原点作出圆的切线。另一方面通过切线也可确定圆心。所以（4）

7

高中数学
正确。而（3）忽略了一种情况，当圆心
M< br>位于
x
轴上时，此时切线为
y
轴，虽有切线但斜
率不存在，所 以不能表示为
y?kx
的形式。所以（3）错误
答案：（2）（4）
2< br>例9：:设
A(1,0),B(0,1)
，直线
l:y?ax,
圆C:
?
x?a
?
?y?1
.若圆
C
既与线段< br>AB
又
2
与直线
l
有公共点，则实数
a
的取 值范围是 ．
思路：本题
a
的取值范围为两个条件的交集。先处理圆C
与
l
有公共点：由圆方程可知圆的
圆心为
?
a,0< br>?
，半径
r?1
，若圆与直线有公共点，则
d
C?l
?
a
2
a
2
?1
?1?a
4
?a
2
?1
，解
?
1?51?5
?
?
1?5
?
?
。另一方面，考虑圆
C
与
AB
有公得：
a??
0,
,
?
，所以
a?
?
?
2
?
22
??
?
??
2
共点，因为该圆半径不变，圆心在< br>x
轴上移动，所以可根据
a
的符号进行分类讨论：
a?0
显然 成立，当
a?0
时，由图像可知圆心的最远端为在
A
的右侧且到
A< br>的距离为1，即
当
a?0
时，可知圆最左端的位置为与线段
AB
相切的情况，
AB:x?y?1?0
，
0?a?2
，
所以
d
C?AB
?
a?1
2
?1
，解得：
a?1?2< br>。所以
1?2?a?0
，综上所述：圆与线段
AB
?
1?2? a?2
?
1?5
有公共点时，
1?2?a?2
，从而
?
?1?2?a?
1?51?5
2
?a?
?
?
22
?
?
1?5
?
?
答案：
?
1?2,
2
??
??
例10：已知
?ABC
的三个顶点
A( ?1,0)
，
B(1,0)
，
C(3,2)
，其外接圆为圆
H
．
（1）求圆
H
的方程；
（2）若直线
l
过 点
C
，且被圆
H
截得的弦长为2，求直线
l
的方程； （3）对于线段
BH
上的任意一点
P
，若在以
C
为圆心 的圆上都存在不同的两点
M,N
，使得
点
M
是线段
PN的中点，求圆
C
的半径
r
的取值范围

解：（1）思路 ：求圆的方程关键在于确定圆心坐标，条件中给了三个点，考虑两点所成线段
的垂直平分线为直径（过原 点），所以选择两组点，求出两条直径，即可解出圆心。在本题
中抓住
A
?
1 ,0
?
,B
?
?1,0
?
，关于
y
轴对称 。从而得到圆心在
y
轴上，设其坐标为
H
?
0,y
?
再
8

高中数学
根据
BH?CH
， 即可解出
y
值。从而得到圆心坐标，然后计算半径即可得到圆的方程
由
?ABC
外接圆为圆
H
可得：
H
在
AB
垂直平分线上
A
?
1,0
?
,B
?
?1,0
?

?H
在
y
轴上 设
H
?
0,y
?

BH?CH

?B H?CH?1?y
2
?3
2
?
?
y?2
?
，解得：
y?3

?H
?
0,3
?

r?BH?10

22
2
?H:x
2
?
?
y?3
?
?10

（2）思路：已知弦长和半径，可求出弦心距。直 线过
C
从而可设出直线方程，再利用弦心
距解得直线方程即可
设
l :y?2?k
?
x?3
?
?kx?y?2?3k?0

由弦 长为2和
r?10
可得：
d
H?l
?
2
r
2
?1
2
?3

4

3
d
H?l
?
?3?2?3k
k
2
?1
?3?
?
1? 3k
?
?9
?
k
2
?1
?
，解得：
k?
2
?l:y?2?
4
?
x?3
?
?4x?3 y?6?0

3
2
2
?
?
x?
?
y?3
?
?10
?
x?3
?
x?3
?
?< br>,
?
当斜率不存在时，
l:x?3
，联立方程：
?

y?4y?2
??
?
?
x?3
?
弦长为2，符合题 意
综上所述：
l
的方程为
4x?3y?6?0
和
x?3< br>
（3）思路一：（代数方法）由
B,H
坐标可求出
BH
的方 程：
3x?y?3?0
，其线段上一
点
P
?
m,n
?
，设
N
?
x,y
?
，则中点
M
?
?
m?xn?y
?
,
?
，由
M,N
在圆
C
上可得（设圆
C
的
2
??
2
?
?
x?3
?
2
?
?
y?2
?
2
?r
2
?
22
半径为
r
）：
?
m?x
，则存 在
M,N
即方程组有解。方程组中的
???
n?y
?
2?3
?
?
?
?2
?
?r
?
?
??
2
?
?
?
2
方程为两个圆
?
x?3< br>?
?
?
y?2
?
?r,
?
x?m?6
?
?
?
y?n?4
?
?4r
，只需两个圆有公
2 2
2222

9

高中数学
共点即可。所以r?
?
?
3?
?
6?m
?
?
?
?
?
?
2?
?
4?n
?
?
?
? 3r
，再由
3m?n?3?0
整理后可
22
?
2
3 2
?
r?
222
得：
r?10m?12m?10?9r
对任 意
m?
?
0,1
?
恒成立。可得：
?
再有线段BH
5
，
?
9r
2
?10
?
与圆C
无公共点，即
?
m?3
?
?
?
n?2
?
?r
2
在
m?
?
0,1
?
恒成立。解 得：
r?
2
22
32
，从而
5
1032
? r
2
?
，即可求得
r
的范围
95
解：
B
?
1,0
?
,H
?
0,3
?

?
BH
的方程为：
x?
P
在线段
BH
上
y
?1?3x?y?3?0

3
设
P
?
m,n
?

?3m?n?3?0
且
m?
?
0,1
?

?n?3?3m

设
N
?
x,y
?

2
?
m?xn?y
??
m?x3?3m?y
?
,,
M
为
PN
中点
?N
??
?
??

2
??
22
?
2
?
2
2
设圆
C:
?
x?3
?< br>?
?
y?2
?
?r
，由
M,N
在圆上可得：
?
?
x?3
?
2
?
?
y?2
?< br>2
?r
2
?
22
，整理后可得：
?
?m?x
??
3?3m?y
?
2
?3
?
?
?
?2
?
?r
?
?
22
???
?
?
22
?
x?3?y?2?r
2
????
?
，若
M,N
存在，则方程组有解
?
22
2
?
?
?
x?m?6
?
?
?
y?3m?1
?
?4r即圆心为
C
?
3,2
?
，半径为
r
的圆与圆心 为
C
?
6?m,3m?1
?
，半径为
2r
的圆有公 共点
'
根据两圆位置关系可知：
2r?r?CC
'
?2r?r，即：
r?
?
?
3?
?
6?m
?
?
?
?
?
?
2?
?
3m?1
?
?< br>?
?3r
在
m?
?
0,1
?
恒成立
22
?r
2
?
?
m?3
?
?
?
3m?1
?
?9r
2
，整理后可得：
22
22
?
r?10m?12m?10
??
?
?
?
r?10m?12m ?10
min
?
在恒成立
m?0,1
??
?
?
22
22
9r?
?
10m?12m?10
?
?
?
9r?10m?12m?10
?
max
?
22
3
?
32
?
设
f
?
m
?
?10m< br>2
?12m?10?10
?
m?
?
?

5
?
5
?
2
10

高中数学
?
32
?
?f
?
m?
?
?
,10
?

?
5
?
?
2
32
10410
1032
?
r?
?r?
，解得：
?
?
5
??r
2
?
35
95< br>?
9r
2
?10
?
若
M
为
PN中点，则
P
在圆
C
外
?
?
m?3
?
?
?
n?2
?
?r
2
即
?
m?3
?
?
?
3m?1
?
?r
2
在
m?
?
0,1
?
恒成立
?r
2
?
?
10m
2
?12m?10
?
综上所述：
r?
?
22 2
min
?
32410
?r?

55
?
10410
?

,
?
?
5
??
3
思路二（数形结合）：通过图像可观察出，若对于线段
BH
上 任意一点
P
均满足题意，则需
达到两个条件：第一，
P
在圆外，可先 利用坐标判定出
?CBH,?CHB
为锐角，从而
C
在
所以
r?d
C?BH
；第二，
P
到圆上点的最小距离（记为
d
m in
）
BH
上的投影位于线段
BH
上，
应小于或等于到圆上 点最大距离（记为
d
max
）的一半，即
d
min
?
1
d
max
，否则，若
2
1
由不等式的传递性可知：d
min
?d
max
当圆上取其他
M,N
点时，
PM?d
min
,PN?d
max
，
2
1
PM? PN
，
M
不可能为
PN
中点。因为
P
在圆外，所以 可知在圆上任意一点中，
2
d
min
?PC?r
，
d
max
出
r
的范围
?
?
r?d
C?BH
即可求
?PC?r
，代入可得
PC?3r
恒成立。综上
?
?
?
3r?PC
max
解：
B
?
1,0
?
,H
?
0,3
?
,C
?
3,2
?
，若对任意
P
点，已知条件均满足
则
P
在
C
外
BH?
?
?1,3
?
,BC?
?
2,2
?
,HB?
?
1,?3
?
,HC?
?
3,?1
?

?BH?BC?0,HB?HC?0

?
?CBH,?CHB
为锐角
?
C
在
BH
上的投影位于线段
BH
上

11

高中数学
r?d
C?BH
?
3?3 ?2?3
3
2
?1
2
?
4
10

5
1
PN

2
依题意，若对任意
P
点，均 存在
M,N
使得
PM?
设
P
到圆上点的最小距离为
d
min
，到圆上点最大距离为
d
max
，则有：
1
d
min
?d
max

2
1
否则若
d
min
?d
max

PM?d
min
,PN?d
max

2
1
?PM?PN
，导致不存在满足条件的
M,N

2
P
在圆外
?d
min
?PC?r,d
max
?PC?r
，代入可得：
PC?r?
?r?
1
PC?r
?
?PC?3r

?
2
1
PC
max
?

?
3CH?3
2
?
?
2?3
?
?10
BC?
2
由图可知：
?
3?1
?
2
?
?
2?0
?
?22

2
?CH?BC
即
PC
max
?CH?10

?r?
10

3
?
10410
?
,
综上所述：
r?
?
?
?

35
??
三、历年好题精选
1、设圆
C: x?y?3
，直线
l:x?3y?6?0
，点
P
?
x
0
,y
0
?
?l
，若存在点
Q?C
，使得
22
?OPQ?60
（
O
为坐标原点），则
x
0
的取值范围是（ ）
A.
?
?,1
?
B.
?
0,
?
C.
?
0,1
?
D.
25
2、 已知
A?
?
1
?
??
?
6
?
??
?
?
x,y
?
|x
?
x?1
?
? y
?
1?y
?
?
,B?
?
?
x,y
?
|x
?
1
?
2
?y
2
?a
?
，若
A?B
，则实数
a
的取值范围是（ ）
,??
?
A.
0,2
B.
?
,??
?
C.
?
2,??
?
D.
?

?
?
2
?
?
2
?
12

??
?
2
?

高中数学
3、（2015，广 东）平行于直线
2x?y?1?0
且与圆
x?y?5
相切的直线的方程是（ ）
A.
2x?y?5?0
或
2x?y?5?0
B.
2x?y?5?0
或
2x?y?5?0

C.
2x?y?5?0
或
2x?y?5?0
D.
2x?y?5?0
或
2x?y?5?0

4、（2015，江苏）在 平面直角坐标系
xOy
中，以点
?
1,0
?
为圆心且与直线
22
mx?y?2m?1?0
?
m?R
?
相切的所有圆中， 半径最大的圆的标准方程为
5、（2014，湖北）直线
l
1
:y?x?a
和
l
2
:y?x?b
将单位圆
C:x ?y?1
分成长度相等
的四段弧，则
a?b?
_______
6、 （2014，全国卷）直线
l
1
和
l
2
是圆
x?y ?2
的两条切线，若
l
1
与
22
22
22
l
2
的交点为
?
1,3
?
，则
l
1
与
l
2
夹角的正切值等于_______
7、(2016，吉安一中高三 期中)已知圆C：
x
2
?y
2
?(6?2m)x?4my?5m2
?6m?0
，直线
l
经过点
(1,1)
，若
对任意的实数m，直线
l
被圆C截得的弦长都是定值，则直线
l
的方程为__ ______
8、已知
M
?
a,b
??
ab?0
?
是圆
O:x?y?r
内一点，现有以
M
为中点的弦所在直线
m
和
222
直线
l:ax?by?r
，则（ ）
A.
m∥l
，且
l
与圆相交 B.
m?l
，且
l
与圆相交
C.
m∥l
，且
l
与圆相离 D.
m?l
，且
l
与圆相离
22
9、（2015，广东）已知 过原点的动直线
l
与圆
C
1
:x?y?6x?5?0
相交于 不同的两点
2
A,B

（1）求圆
C
1
的圆心坐标；
（2）求线段
AB
的中点
M
的轨迹
C
的方程； < br>（3）是否存在实数
k
，使得直线
L:y?k
?
x?4
?
与曲线
C
只有一个交点？若存在，求出
k
的取值范围；若不存在 ，说明理由.





13

高中数学
习题答案：
1、答案：B
22
解析： 依题意可知
OP?x
0
，由
P
?
x
0
,y
0
?
?l
可得：
y
0
?
?y
0< br>2
6?x
0
。
3
?OPQ
在
PQ
与圆相切时取得最大值
若
OP
变长，则
?OPQ
的最大值将变小
?
当< br>?OPQ?60
且
PQ
与圆相切时，
PO?2

若存 在点
Q?C
，使得
?OPQ?60
，则
PO?2

6?x
0
?
y?
?
0
?
6
?
?< br>?
3
，解得：
x
0
?
?
0,
?
?
5
?
?
x
2
?y
2
?4
0
?
0
2、答案：C
2
1
??
1
?
1
?
11
?
?
解析：
A:x?x?y?y?0 ?
?
x?
?
?
?
y?
?
?
即A
为以
?
,
?
为圆心，
2
2
??2
?
2
?
22
?
?
22
22
为半径的圆
A
的内部，集合
B
为圆心在原点，半径为
a
的圆
B
的内部。则
A?B
表示圆
A
在圆
B
的内 部，在坐标系中作出圆
A
，数形结合即可得到圆
B
半径的范围为
?< br>2,??
，则
?
?
a
的范围为
?
2,??< br>?

3、答案：D
解析：由平行关系可设切线方程为
2x?y?c? 0
，则
d?
以切线的方程为
2x?y?5?0
或
2x?y? 5?0

4、答案：
?
x?1
?
?y?2
2
2
c
5
?5
，解得：
c??5
，所
解析：方法一：
mx?y?2m?1?0?
?
x?2
?
m?
?
y?1
?
?0
可知动直线过定点
?
2,?1
?< br>，
所以可算出圆心与定点的距离为
2
，所以半径最大的圆即为以该定点为切点的 圆，所以
r?2
，圆方程为：
?
x?1
?
?y
2< br>?2

方法二：由相切可知
r?
2
?m?1
m
2
?1
?
?
m?1
?
2
m
2
? 1
?1?
2m
?2
，所以半径最大的圆方
m
2
?1
14

高中数学
程为
?
x?1
?
?y
2
?2

5、答案：2
解析：由直线方程可知
l
1
∥l
2
，若将单位圆分成相等的四段弧，则弦端点与圆心所成的角为
2
?
，所以
d< br>O?l
?d
O?l
2
12
?
a
2
d ??
?
O?l
1
2
2
2
?
22
?
，所以
?
解得
a?b?1
，所以
a?b?2
2
b
2
?
d??
O?l
2
?
2
2
?
6、答案：
4

3
解析：从几何性质出发，结合坐 标计算线段的长，设
P
?
1,3
?
，则
PO?10
，又因为
r?2
，所以
sin?BPO?
以可得
BO5
?< br>，所
PO5
所求
1
，则
2
2tan?BPO4

tan?BPA?tan2?BPO??
1?tan
2
?BPO3
tan?BPO?

7、答案：
2x?y?3?0

解析：圆标准 方程：
?
x?3?m
?
?
?
y?2m
?
? 9
，圆心为
C
?
3?m,2m
?
，半径为
3
，可
知
C
在直线
y??2x?6
。点
(1,1)
到直线
y??2x?6
的距离
d?
22
2?1?6
5
?
3
?3
，所
5
以过
(1,1)
且与
y ??2x?6
平行的直线与圆相交，因为圆的半径
r?3
，所以截得的弦长为
定值。所以
k??2
，即
l:y?1??2
?
x?1
??2x?y?3?0


8、答案：C
解析：由圆的性质可知可知中点 弦与
OM
垂直，所以斜率
k??
1
k
OM
b
??
，中点弦
m
方程
a
a
r
2
22为：
y?b??
?
x?a
?
?ax?by?a?b
，可 得
m∥l
，另一方面，
d
O?l
?
，
22
b
a?b
因为
M
?
a,b
?
在圆内，所以
a?b?r
，所以
d
O?l
?
22
r
2
a ?b
22
?r
，直线
l
与圆相离

15

高中数学
9、解析：（1）圆
C
1
:x
2
?y
2
?6x?5?0?
?
x?3
?
?y
2
?4

2
?
圆心坐标为
?
3,0
?

（2）设
M
?
x,y
?
，则可知
C
1
M?AB
?k
C
1
M
?k
AB
yy
3?
9
?
??1????1
，整理可得：
?
x?
?
?y
2
?

x?3x
2
?
4
?
2
当动直线与圆相切时，设直线方程：
y?kx

?
x
2
?y
2
?6x?5?0
则
?
?
?
k
2
?1
?
x
2
?6x?5?0

?
y?kx
???36?20
?
k
2
?1
?
?0?k
2
?
?
切点的横坐标为
x?
4

5
165
?
2
?

2k?13
?
5
?
?
3
?
由圆的性质可得：
M
横坐标的取值范 围为
?
,3
?

3
?
9
??
3< br>?
所以轨迹方程为
?
x?
?
?y
2
?,x?
?
,3

?
2
?
4
??
5
?
3
?
9
??
5
?
（3）由（2）可得曲线C
为圆
?
x?
?
?y
2
?,x?
?< br>,3
?
2
?
4
??
3
?
的一部分圆 弧
EF
（不包括
E,F
），其中
2
2
?
5 25
??
525
?
E
?
,
?
,F
?
,?
?

3
??
33
??
3
直线
L:y?k
?
x?4
?
过定点
?
4,0
?

① 当直线与圆相切时：
d
C?l
?
5
k
2
k
2
?1
?
33
?k??

24
② 当直线与圆不相切时，可得
k
DE
?
25
?
25
0?
?
?
?
0?
3
25
? ?
?
25

3
???
，
k
DF
?
5
5
7
7
4?
4?
3
3
数形结合 可得：当
k?
?
?
?
2525
?
,
?时，直线与圆有一个交点
7
??
7
16

高中数学
综上所述：
k?
?
?


?
2525
?
,
?
77
??
?
3 3
?
?
,?
?
时，直线
L
与曲线
C
只有一个交点
?
44
?
一、光速解题——学会9种快速解题技法

技法1 特例法
在解答填空题时,可以取一个(或一些)特殊值、特殊位置、特殊函数、 特殊点、特殊方
程、特殊图形等来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法只需对特殊数值、特殊情形 进行
检验,失去了推理论证的演算过程,提高了解题速度.特例法是解答填空题时经常用到的一种
方法.
典例1 (特殊数值)求值:cosα+cos(α+120°)+cos(α+240°)= .
222
答案
解析 题目中“求值”二字提供了这样的信息:答案为一定值,于是不 妨令α=0°,则
原式=cos0+cos120°+cos240°=1+
222
+ =.
典例2 (特殊点)点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶
点A、上 顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC、AC的平行线交AC
于点N,交B C于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S
1
,三角形PDE的面积为S2
,
则S
1
∶S
2
= .
答案 1
解析 不妨取点P,则S
1
=×(5-4)=,PD=2,PE=,所以
S< br>2
=×2×=,所以S
1
∶S
2
=1.
典例3 (特殊函数)若函数y= f(x)对定义域D中的每一个x
1
,都存在唯一的x
2< br>∈D,使
f(x
1
)·f(x
2
)=1成立,则称f(x)为 “影子函数”,有下列三个命题:
①“影子函数” f(x)的值域可以是R;

17

高中数学
②“影子函数” f(x)可以是奇函数;
③若y= f(x),y=g(x)都是“影子函数”,且定义域相同,则y= f(x)·g(x)是“影子函
数”.
上述正确命题的序号是 .
答案 ②
解析 对于①:假设“影子函数”的值域为R,则存在x
1
,使得f(x
1
)=0,此时不存在x
2
,使
得f(x
1
)·f(x2
)=1,所以①错误;
对于②:函数f(x)=x(x≠0),对任意的x
1
∈(-∞,0)∪(0,+∞),取x
2
=,则
f(x
1
) ·f(x
2
)=1,因为函数f(x)=x(x≠0)为奇函数,所以“影子函数” f(x)可以是奇函数,②
正确;
对于③:函数f(x)=x(x>0),g(x)=(x>0)都是“影子函数”,但F(x)=
f( x)·g(x)=1(x>0)不是“影子函数”(因为对任意的x
1
∈(0,+∞),存在无 数多个
x
2
∈(0,+∞),使得F(x
1
)·F(x
2< br>)=1),所以③错误.
典例4 (特殊位置)(1)已知E为△ABC的重心,AD为BC边 上的中线,令
=a,=b,过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点,且=ma,=nb,则
+= .
(2)如图,在三棱柱的侧棱A
1
A和B
1
B 上各有一动点P,Q,且A
1
P=BQ,过P,Q,C三点的截面
把棱柱分成上、下两 部分,则上、下两部分的体积之比为 .

答案 (1)3 (2)2∶1
解析 (1)由题意知结果必然是一个定值,故可利用特殊直线确定所求值.如图,令
PQ∥B C,则=,=,此时,m=n=,故+=3.
18

高中数学

(2)将P,Q置于特殊位置:P→A
1
,Q→B,此时仍满足条件A1
P=BQ(=0),则有
==.
因此过P,Q,C三点的截面把棱柱分成了体积比为2∶1的上、下两部分.
典例5 (特殊图形)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等
差数列,则= .
答案
解析 不妨令△ABC为等边三角形,则cos A=cos C=

技法2 换元法
,则=.
换元法又称变量代换法.通过引进新的变量,可以把 分散的条件联系起来,隐含的条件显
露出来,或者将题目变为熟悉的形式,简化复杂的计算和推理.换元 的实质是转化,关键是构
造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的 知识背景中再
研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值 、
复合函数解析式的求解等.
典例1 (三角换元)已知x,y∈R,满足x+2xy+4y=6,则z=x+4y的取值范围
是 .
答案 [4,12]
解析 已知x+2xy+4y=6,
即(x+y)+(
故设x+y=
即x=
2
22
2222
y)=(
cos α,
cos α-
2
),
y=
sin α,y=
sin α,
sin α.
2

19

高中数学
则z=x+4y=6-2xy=6-2(
22
cos α-sin α)·sin α
=8-4sin.
所以8-4≤z≤8+4,即z的取值范围是[4,12].
典例2 (整体代换)函数y=sin x-cos x+sin xcos x,x∈[0,π]的最小值是 .
答案 -1
解析 设t=sin x-cos x=sin,
则sin xcos x=,
因为x∈[0,π],所以x-
所以t∈[-1,],
∈,
所以y=t+
典例3
=-(t-1)+1,当t=-1时,y
min
=-1.
x,不等式
2
(局部换元)设对一切实数
xlog
2
2
+2xlog
2
+log
2
>0恒成立,求a的取值范围.
解析 设log
2< br>=t,则
log
2
=log
2
=3+log
2
=3-log
2
=3-t,log
2
=2log
2
=-2 t,则原不等式化为(3-t)x+2tx-2t>0,它对一切实数x恒成立,所以
2
解得所 以t<0,即log
2
<0,所以
0<<1,解得0技法3 数形结合法
20

高中数学
数形结合法包含“以形 助数”和“以数辅形”两个方面,其应用分为两种情形:一是代
数问题几何化,借助形的直观性来阐明数 之间的联系,即以形为手段,以数为目的,比如应用
函数的图象来直观地说明函数的性质;二是几何问题 代数化,借助数的精确性阐明形的某些
属性,即以数为手段,以形为目的,如应用曲线的方程来精确地阐 明曲线的几何性质.
典例1 (平面向量问题)设a,b,c是单位向量,且a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值
为 .
答案 1-
解析 由于(a-c)·(b-c)=-(a+b)·c+1,因此求(a -c)·(b-c)的最小值等价于求
(a+b)·c的最大值,这个最大值只有当向量a+b与向量c 同向共线时取得.由于a·b=0,故
a⊥b,如图所示,|a+b|=
小值为1-.
,|c|=1,当θ=0时,(a+b)·c取得最大值,故所求的最

典例2 (函 数问题)(1)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中最小的数,设
f(x)=min{2, x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为 .
(2)设函数g(x)=x-2(x∈R),
2
x
f(x)=则f(x)的值域是 .
答案 (1)6 (2)∪(2,+∞)
x
解析 (1)在同一平面直角坐标系中画出y=2,y=x+2,y =10-x的图象(如图),观察图象可
知f(x)=

∴f(x)的最大值在x=4时取得,为6.

21

高中数学
(2)依题意知f(x)=
即f(x)=作出图象如下(加粗部分),由图象可知f(x)
的值域是∪(2,+∞).

典例3 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若
f(x)=
为 .
答案 1-2
a
则关于x的方程f(x)+a=0(0解析 在平面直角坐 标系中作出函数f(x)=以及y=-a的
图象,由图象可知,关于x的方程f(x)+a=0(0x
1
,x
2
,x3
,x
4
,x
5
,则x
1
+x
2=-6,x
4
+x
5
=6,
aa
由-log
2
(-x
3
+1)=-a得x
3
=1-2,
a
所以< br>x
1
+x
2
+x
3
+x
4
+x5
=-6+(1-2)+6=1-2.

22

高中数学
典例4 (不等式问题)已知当动点P(x,y)满足
x+y+2y≥2a-1恒成立,则实数a的取值范围是 .
22
时,不等式
答案
解析 动点P(x,y)满足的约束条件为< br>222222
其可行域如阴影部分所
示.x+y+2y=x+(y+1)-1,其中x+ (y+1)表示点(x,y)到点(0,-1)的距离的平方,
由图可知,点A(0,-1)到直线y=-x的距离的平方就是x+(y+1)的最小值,
22
由点到直线的距离的平方得x+(y+1)的最小值为
22
=,
因此x+y+2y=x+(y+1)-1的最小值为
2222
-1=-,
所以由不等式恒成立的条件知2a-1≤-,解得a≤,故实数a的取值范围是
.

典例5 (解析几何问题)若抛物线y=2px(p>0)上一点M到抛物线的准线和对称轴的距
离分别为10和6,则点M的横坐标为 .
答案 9或1
解析 在图(1)中, MN=MF=10,MG=6,∴FG=8,故AF=2,则x
M
=OF+FG=9,∴M的横 坐标为9.在
图(2)中,GF=8,∴AF=10+8=18,∴OG=AG- OA=10-9=1,故M的横坐标为1.
2

23

高中数学


技法4 待定系数法
待定系数 法就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为解
方程(组)的问题来解决. 待定系数法主要用来解决所求解的数学问题中涉及某种确定的数学
表达式的情况,例如求函数解析式、求 曲线方程、求数列的通项公式等问题.
典例1 (求函数解析式)(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2 f(x-1)=2x+17,求
f(x).
(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0, f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).
解析 (1)设f(x)=ax+b(a≠0),
则f(x+1)=ax+a+b, f(x-1)=ax-a+b,
∴3 f(x+1)-2 f(x-1)=ax+b+5a=2x+17,
∴
2
解得∴f(x)=2x+7.
(2)设f(x)=ax+bx+c(a≠0),
由f(0)=0,知c=0,∴f(x)=ax+bx.
∵f(x+1)= f(x)+x+1,
∴a(x+1)+b(x+1)=ax+bx+x+1,
∴ax+(2a+b)x+a+b=ax+(b+1)x+1,
22
22
2
∴解得
∴f(x)=x+
2
x.
2
典例2 (求曲线方程)(1)(2017天津,12,5分)设抛物线y=4x的焦点为F ,准线为l.已
知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则 圆的方程
24

高中数学
为 .
(2)已知椭圆C的焦点在x轴上,其离心率为
准方程为 .
,且过点A,则椭圆C的标
答案 (1)(x+1)+(y-
2
)=1 (2)
2
+y=1
2
解析 (1)由抛物线的方程可知F(1,0),准线 方程为x=-1,设点C(-1,t),t>0,则圆C的
方程为(x+1)+(y-t)=1,
因为∠FAC=120°,CA⊥y轴,
所以∠OAF=30°,在△AOF中,OF=1,
所以OA=,即t=
2
22
,
)=1.
2
故圆C的方程为(x+1)+(y-

(2)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).
因为e==,所以=,即a=2b.
故椭圆C的方程为+=1.
又点A
解得b=1.
2
在椭圆C上,所以+=1,
所以椭圆C的标准方程为+y=1.
2
典例3 (求数列的通项公式)(2018江苏南京调研)已知数列{a
n
}
中,a
1
=0,a
n+1
=2a
n
+n(n∈N ),求数列{a
n
}的通项公式.

25
*

高中数学
解析 已知a
n+1
=2a
n
+n,
设a
n+1
+A(n+1)+B=2(a
n
+An+B),
则a
n+1
+An+A+B=2a
n
+2An+2B,
即a
n+1
=2a
n
+An+B-A,
则?
∴a
n+1
+n+1+1=2(a
n
+n+1),
∴{a
n
+n+1}是首项为a
1
+1+1=2,公比为2的等比数列,
∴a
n
+n+1=2·2=2,
∴a
n
=2-n-1(n∈N).

技法5 构造法
构造法是指利用数学的基本思想,通过已知和所求之间的联系,构造出解题的数学模型,
从而使问题得以 解决.构造法需以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体
问题的特点采取相应的解决办 法,其基本的方法是借用一类问题的性质来确定另一类问题的
相关性质.常见的构造法有构造函数、构造 图形、构造方程等.
典例1 (构造函数)已知可导函数f(x)(x∈R)的导函数f '(x)满足f(x)< f '(x),则不
等式f(x)≥ f(2 019)e
x-2 019
n*
n-1n
的解集是 .
答案 [2 019,+∞)
解析 构造函数g(x)=,因为f(x)< f '(x),所以g'(x)=>0,所以
g(x)=在R上单调递增.不等式f(x)≥f(2 019)e
x-2 019
可转化为≥,
即g(x)≥g(2 019),即x≥2 019,故原不等式的解集为[2 019,+∞).
典例2 (构造图形)(2018江苏四校高三调研)已知a>1,b>2,则
为 .
答案 6
解析
的最小值
构造图形(如图),在直角三角形中由勾股定理可得
26

高中数学
(a+b)=(
2
+)+9,
2
则
=(+)+≥6,

当且仅当+=3时取等号,故
2
的最小值为6.
典例3 (构造方程)已知16cos C+4sin B+tan A=0,sinB=4cos Ctan A,其中cos C≠0,
试确定的值.
2
解析 令t=4,则由16cos C+4sin B+tan A=0得tcos C+tsin B+tan A=0.(*)
因为cos C≠0,所以(*)式是关于t的一元二次方程.
易得Δ=sinB-4cos Ctan A=0,
所以关于t的一元二次方程(*)有两个相等的实根,且t
1
= t
2
=4.
2
由根与系数的关系得:=t
1
·t
2
=4=16,故tan A≠0,
2
因此,

=.
技法6 补集法
补集法就是在已知问题涉及的类别较多,或直接求解比较麻烦时,先求解 该问题的对立
事件,进而利用补集的思想求得问题结果的方法.该方法在概率、集合、函数等问题中应用 较
多.
典例1 (概率问题)(2018江苏南通海安高级中学高三检测)分别在集合A={ 1,2,3,4}和
集合B={5,6,7,8}中各取一个数相乘,则乘积为偶数的概率为 .
答案

27

高中数学
解析 在集合A={ 1,2,3,4}和集合B={5,6,7,8}中各取一个数相乘,有16种结果,其中乘
积为奇数的 有(1,5)、(1,7)、(3,5)、(3,7),共4种,则乘积为偶数的概率为1-
222=.
典例2 (集合问题)已知集合A={x|x-2x-8=0},B={x|x+ax+a- 12=0},且A∪B≠A,求实
数a的取值范围.
解析 ∵集合A={x|x-2x-8=0}={-2,4}.
若A∪B=A,则B?A,
①若B=A,则x=-2和x=4是方程x+ax+a-12=0的两个根,解得a=-2.
②若B={-2},则x=-2是方程x+ax+a-12=0的唯一解,得a=4.
③若B={4},则x=4是方程x+ax+a-12=0的唯一解,此时a不存在.
④若B 为空集,则方程x+ax+a-12=0无实数解,即a-4(a-12)<0,解得a<-4或a>4.
综上可知,若A∪B=A,则a=-2或a<-4或a≥4.
∴若A∪B≠A,实数a的取值范围是[-4,-2)∪(-2,4).
典例3 (函数问题)已知函数f(x)=ax-x+ln x在区间[1,2]上不单调,则实数a的取值
范围是 .
2
2222
22
22
22
2
答案
解析 f '(x)=2ax-1+.
①若函数f(x)在区间[1,2]上单调递增,则f '(x)≥0 在[1,2]上恒成立,即
2ax-1+≥0,x∈[1,2],即a≥,x∈[1,2].(*)
令t=,因为x∈[1,2],所以t=∈.
设h(t)=(t-t)=-
2
+,t∈,显然函数h(t)在区间
上单调递减,
所以h(1)≤h(t)≤h
28

,即0≤h(t)≤.

高中数学
由(*)可知,a≥.
②若函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,则f '(x)≤0在[1,2]上恒成立,即
2ax-1+≤0,x∈[1,2],即a≤·,x∈[1,2].
结合①可知,a≤0.
综上,若函数f(x)在区间[1,2]上单调,则实数a的取值范围为(-∞,0]∪.
所以,若函数f(x)在区间[1,2]上不单调,则实数a的取值范围为

技法7 等价转化法
.
等价转化法是把难解的问题转化为在已有知识范围内可解的问题的一种重 要的思想方
法.通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单的问题.利用
等价转化的思想方法解决数学问题没有统一的模式.既可以在数与数、形与形、数与形之间
进行 转换,也可以在宏观上进行等价转化,消元法、换元法等都体现了等价转化的思想.
典例1 (等体积 转化)如图,正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1,E,F分别为线段AA
1
,B
1
C上
的点,则 三棱锥D
1
-EDF的体积为 .

答案
解析 依题 意可知=,点F到平面D
1
ED的距离为1,所以
==××1=,即三棱锥D
1
-EDF的体积为.
典例2 (正与反的转化)由命题“存在x
0
∈R,使-m≤0”是假命题得m的取值

29

高中数学
范围是(-∞,a),则实数a的取值范围是 .
答案 a=1
解析 由命题“存在x
0
∈R,使
的x∈R, 都有e
|x-1|
-m≤0”是假命题可知它的否定形式“对任意
|x-1|
-m>0”是真命题,即m|x-1|
)
min< br>=1,所以m<1,
即m的取值范围为(-∞,1),所以a=1.
典例3 (函数、 方程、不等式间的转化)若关于x的方程9+(4+a)·3+4=0有解,则实
数a的取值范围是 .
答案 (-∞,-8]
解析 令3=t,t>0,则关于x的方程9+(4+a)·3 +4=0有解可转化为t+(4+a)t+4=0在
t∈(0,+∞)上有解,
xxx2xx
故a==-4-在t∈(0,+∞)上有解,由基本不等式可得t+≥4,
当且仅当t =,即t=2时等号成立,故-≤-4,所以-4-≤-8,所以
a≤-8,所以实数a的取值范围是( -∞,-8].
典例4 (命题转化)已知命题甲:a+b≠4,命题乙:a≠1且b≠3,则命题甲是命题乙的
条件.
答案 既不充分也不必要
解析 ∵a=1或b=3? a+b=4,且a+b=4? a=1或b=3,
∴a=1或b=3是a+b=4的既不充分也不必要条件.
由原命题与逆否命题等价可知,“ a+b≠4”是“a≠1且b≠3”的既不充分也不必要条
件.
典例5 (变量与常量的转化 )设f(x)是定义在R上的单调递增函数,若
f(1-ax-x)≤f(2-a)对任意的a∈[-1 ,1]恒成立,则x的取值范围是 .
答案 (-∞,-1]∪[0,+∞)
解析
2
2
因为f(x)是定义在
2
R
2
上的单调递增函数,所以
f(1-ax-x)≤f(2-a)?1-ax-x≤2-a,即(x-1)a +x+1≥0对任意的a∈[-1,1]恒成立,即
解得x≤-1或x≥0.
30

高中数学

技法8 坐标法
坐标法是解决平面图形( 立体几何中也有坐标法的应用)问题的有力工具,把平面图形放
在平面直角坐标系中,可以使用平面解析 几何、平面向量的方法解决问题.
典例 (平面向量)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠AD C=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上
的动点,则|
答案 5
解析 建立 如图所示的平面直角坐标系,设DC=m,P(0,t),由题意可知,A(2,0),B(1,m),
则
=(2,-t),=(1,m-t),+3=(5,3m-4t),|+3|=
+3|的最小 值为 .
≥5,当且仅当t=m时取等号,即|+3|的最小值是5.


技法9 向量法
向量法在解决几何问题、三角问题、代数问题中具有广泛的应用.解题的 关键是把已知
和所求向量化,使用向量知识加以解决.

典例1 (三角问题) 在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,则
cos∠DAC等 于 .
答案
解析 以点B为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,
设AB=2,
则AC=
=(-2,1),=(-1,1),
,AD=
·
,C(0,1),A(2,0),D(1,1),
=(-2,1)·(-1,1)=3.
则
根据平面向量数量积定义得

31

高中数学
·
所以
=||·||cos∠CAD=cos∠CAD,
cos∠CAD=3,
所以cos∠CAD==.

典例2 (代数问题)已知a+b=1,m+n=1,则am+bn的取值范围是 .
答案 [-1,1]
解析 设u=(a,b),v=(m,n),
则|u|=|v|=1,且u·v=ma+nb,
根据平面向量数量积的定义得u·v=|u|·|v|cos θ=cos θ,其中θ为向量u,v的夹
角,
由于0≤θ≤π,所以-1≤cos θ≤1,
所以-1≤am+bn≤1,
即am+bn的取值范围是[-1,1].



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