(新)高中数学直线与圆的方程知识点总结

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
高中数学之直线与圆的方程
一、概念理解：
1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x轴正方向；
②平行：α=0°；
③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tanα （α≠90°）；
②垂直：斜率k不存在；
③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与 坐标：
k?tan
?
?
y
1
?y
2
y2
?y
1
?

x
1
?x
2
x
2
?x
1
①构造直角三角形（数形结合）；
②斜率k值于两点先后顺序无关；
③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：
l
1
:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k
2
x?b
2

①相交：斜率
k
1
?k
2
（前提是斜率都存在）
特例----垂直时：<1>
l
1
?x轴，即k
1
不存在，则k< br>2
?0
；
<2> 斜率都存在时：
k
1
?k
2
??1
。
②平行：<1> 斜率都存在时：
k
1
?k
2
,b
1
?b
2
；
<2> 斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：
k1
?k
2
,b
1
?b
2
；
二、方程与公式：
1、直线的五个方程：
①点斜式：
y?y
0
?k(x?x
0
)
将已知点
(x
0
,y
0
)与斜率k
直接带入即可；
②斜截式：
y?kx?b
将已知截距
(0,b)与斜率k
直接带入即可；
③两点式：
带入即可；
y?y
1
x?x
1
?，(其中x< br>1
?x
2
,y
1
?y
2
)
将已知 两点
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2)
直接
y
2
?y
1
x
2
?x
1
④截距式：
xy
??1
将已知截距坐标
(a,0),(0,b)
直接带入即可；
ab
⑤一般式：
Ax?By?C?0
，其中A、B不同时为0
用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
1

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
3、距离公式：
①两点间距离：
P
1
P
2
?( x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)

②点到直线距离：
d?
22
Ax
0
?By
0?C
A?B
22

③平行直线间距离：
d?
C
1
?C
2
A?B
22

4、中点、三分点坐标公式：已知两点
A(x
1
,y
1
), B(x
2
,y
2
)

x
1
?x
2
y
1
?y
2
,)

22
2x?x
2
2y
1
?y
2
,)
靠近A的三分点坐标 ②AB三分点
(s
1
,t
1
) ,(s
2
,t
2
)
：
(
1
33
x ?2x
2
y
1
?2y
2
,)
靠近B的三分点坐标
(
1
33
①AB中点
(x
0
,y< br>0
)
：
(
中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。
5.直线的对称性问题
已知点 关于已知直线的对称:设这个点为P（x
0
，y
0
）,对称后的点坐标为P’ （x，y），则
pp’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp’的中点坐标在已知直线上。
三、解题指导与易错辨析：
1、解析法（坐标法）：
①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；
②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；
③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。
y
2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：
①
PA?PB
的最小值：找对称点再连直线，如右图所示：
②
PA?PB
的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”；
22
o
x
③
PA?PB
的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。
3、直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3
令：x+2=0 => 必过点(-2,3)
②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0
令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-17,37)
4、易错辨析：
① 讨论斜率的存在性：
解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1>斜率不存在时，是否满足题意；
<2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。
② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；
（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
2

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
③ 直线到两定点距离相等，有两种情况：
<1> 直线与两定点所在直线平行；
<2> 直线过两定点的中点。
圆的方程
1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称< br>为圆的圆心，定长为圆的半径.
2. 圆的方程表示方法：
DE
?
第一种：圆的一般方程——
x?y?Dx?Ey?F?0

其中圆心
C
?
?
?,?
?
，
?
2 2
?
22
D
2
?E
2
?4F
半径
r?
.
2
当
D
2
?E
2
?
4< br>F?
0
时，方程表示一个圆，
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程表示一个点
?
?
?
当
D2
?E
2
?
4
F?
0
时，方程无图形.
DE
?
,?
?
.
22
??
第二种：圆的 标准方程——
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.其中点
C(a,b)
为圆心，
r
为半径的
圆
第三种：圆 的参数方程——
圆的参数方程：
?
?
x?a?rcos
?
（
?
为参数）

y?b?rsin
?
?
注：圆的直径 方程：已知
A(x
1
,y
1
)B(x
2
,y
2
)?(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0

3. 点和圆的位置关系：给定点
M(x0
,y
0
)
及圆
C:(x?a)
2
?(y?b )
2
?r
2
.
①
M
在圆
C
内< br>?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2

（x
0
?a)
2
?(y
0?b)
2
?r
2
②
M
在圆
C
上?
③
M
在圆
C
外
?(x
0
?a)2
?(y
0
?b)
2
?r
2

4. 直线和圆的位置关系：
设圆圆
C
：
(
x?a
)
2
?
(
y?b
)
2
?r
2
(
r?
0)
； 直线
l
：
Ax?By?C?
0(
A
2
?B
2
?
0)
；
圆心
C(a,b)
到直线
l
的距离
d?
①
d?r
时，
l与
C
相切；
②
d?r
时，
l
与
C
相交；，
③
d?r
时，
l
与
C
相离.
5、圆的切线方程：
2
①一般方程若点(
x
0
,
y
0
)在圆上，则(
x
– a)(
x
0
– a)+(
y
– b)(
y
0
– b)=
R
. 特别地，
过圆
x< br>2
?y
2
?r
2
上一点
P(x
0
, y
0
)
的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
2
.(注:该点在圆上，则切线方程只
有一条)
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
3
Aa?Bb?C
A?B
22
.

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 ?
y
1
?y
0
?k(x
1
?x
0)
?
b?y
1
?k(a?x
1
)
，②若点(< br>x
0
,
y
0
)不在圆上，圆心为(a,b)则
?< br>联立求出
k?
切线方程.（注：
R?
?
R
2
?1
?
过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直 于
X轴的直线。）
6.圆系方程：
过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C
1
:x+y+D
1
x+E
1
y+F
1
=0
C
2
:x
2
+y
2
+D
2x+E
2
y+F
2
=0
则过两圆的交点圆方程可设为：
x
2
+y
2
+D
1
x+E
1
y+F
1
+λ
22
（x
2
+y
2
+D
2
x+E
2
y+F
2
）=0
过两圆的交点的直线方程：x+y+D
1
x+E
1
y+F
1
- x+y+D
2
x +E
2
y+F
2
=0（两圆的方程相减得到的方
程就是直线方程）
7.与圆有关的计算：
22
弦长的计算：AB=2*√R-d 其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离
2
AB=（√1+k）*∣X
1
-X
2
∣ 其中k是直线的斜率，X
1
与X
2
是直线与圆的方程联
立之后得到的两个根
过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线
圆内的最长弦是直径
8.圆的一些最值问题
①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径
②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径
③假设P（x，y）是在某个圆上 的动点，则（x-a）（y-b）的最值可以转化为圆上的点与
该点（a，b）的斜率问题，即先求过该 定点的切线，得到的斜率便是该分式的
最值。
④假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y的最值可以转化为：设T=x+y或T= x-y，
在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。
9.圆的对称问题
①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆
的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。
②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆
心坐标

2222
圆锥曲线

椭圆
椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合
1、定义：< br>PF
1
?PF
2
?2a(2a?F
1
F
2< br>)
第二定义：
PF
c
?e?(0?e?1)

da
x
2
y
2
y
2
x
2
2、标准方程：
2
?
2
?1(a?b?0)
或
2
?
2
?1(a?b?0)
；
abab
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
4

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
3、参数方程
?
?
x?acos
?
（
?
为参数）
?
几何意义：离心角
?
y?bsin
?
4、几何性质：（只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质）
①、顶点
(?a,0),(0,?b)

②、焦点
(?c,0)

③、离心率
e?
c
(0?e?1)

a
a
2
④准线：
x??
（课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出）
c5、焦点三角形面积：
S
PF
1
F
2
?b
2< br>?tan
?
2
（设
?F
1
PF
2
?
?
）(推导过程必须会)
6、椭圆面积：
S
椭
?
?
?a?b
（了解即可）
7、直线与椭圆位置关系：相离（
??0
）；相交（
??0
）；相切 （
??0
）
判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数
8、椭圆切线的求法
x
2
y
2
xxyy
1）切点 （
x
0
y
0
）已知时，
2
?
2
? 1(a?b?0)
切线
0
2
?
0
2
?1

ab
ab
y
2
x
2
yyxx

2
?
2
?1(a?b?0)
切线
0
2
?
0
2
?1

ab
ab
x
2
y
2
2）切线斜率k已知时，
2
?
2
?1(a?b?0)
切线
y?kx?a
2
k
2
?b
2

ab
y
2
x
2

2
?
2
?1(a?b?0)
切线
y?kx?b
2
k
2
?a
2

ab
9、焦半径：椭圆上点到焦点的距离
x
2
y
2

2
?
2
?1(a?b?0)

r?a?ex
0
（左加右减）
ab
y
2
a
2

2
?
2
?1(a?b?0)

r?a?ey
0
（下加上减）
ab

双曲线
PF
c
?e?(e?1)
1、定义：
PF
1
?PF
2
??2a
第二定义：
da
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
5

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 x
2
y
2
2、标准方程：
2
?
2
?1 (a?0,b?0)
（焦点在x轴）
ab
y
2
x
2
??1(a?0,b?0)
（焦点在y轴）
a
2
b
2
?
x?a?sec
?
参数方程：
?
（
?
为参数） 用法：可设曲线上任一点P
(asec
?
,btan
?
)

?
y?b?tan
?
3、几何性质
① 顶点
(?a,0)

② 焦点
(?c,0)

c
2
?a
2
?b
2

③ 离心率
e?
c
a

e?1

?
a
2
④ 准线
x
c

⑤ 渐近线 < br>x
2
y
2
b
x
2
y
2
a< br>2
?
b
2
?1(a?0,b?0)

y??
a
x
或
a
2
?
b
2
?0

y
2
x
2
y
2
x
2
a
2
?
b
b
2
?1(a?0,b?0)

y??
a
x
或
a
2
?
b
2
?0

4、特殊双曲线
x
2
y
2
①、等轴双曲线
a
2
?
a
2
?1

e?2
渐近线
y??x

②、双曲线
x2
y
2
x
2
y
2
a
2
?b
2
?1
的共轭双曲线
a
2
?
b
2< br>??1

性质1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线
性质2：双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上
5、直线与双曲线的位置关系
① 相离（
??0
）；② 相切（
??0
）； ③ 相交（
??0
）
判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起

??0
时可以是相交也可以是相切
6、焦半径公式
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1(a?0,b?0)
点P在右支上
r?ex
0
?a
（左加右减）
点P在左支上
r??(ex
0
?a)
（左加右减）
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
6

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 y
2
x
2
a
2
?
b
2
?1( a?0,b?0)
点P在上支上
r?ey
0
?a
（下加上减）
点P在上支上
r??(ey
0
?a)
（下加上减）
7、双曲线切线的求法
① 切点P
(x
x
2
y2
xxyy
0
,y
0
)
已知
a
2
?
b
2
?1(a?0,b?0)
切线
0
a
2
?
0
b
2
?1


y
2
x
2
ab
a?0,b?0)
切线
y
0
yxx
2
?
2
?1(
a
2
?
0
b
2
?1

② 切线斜率K已知 x
2
y
2
222
b
a
2
?
b
2
?1

y?kx?ak?b(k?
a
)

y
2
x
2
22
b
a
?
b
1

y?kx?a?bk
2
22
?
(k?< br>a
)
8、焦点三角形面积：
S
PF
1
F
2< br>?b
2
?cot
?
2
（
?
为
?F< br>1
PF
2
）
抛物线
1、定义：平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合（轨迹）
2、几何性质：P几何意义：焦准距 焦点到准线的距离设为P
标准方程：
y
2
?2px(p?0)

y
2
??2px(p?0)


图 像：

范 围：
x?0

x?0

对 称 轴： x轴 x轴
顶 点： （0，0） （0，0）
焦 点： （
p
2
,0
） （
?
p
2
,0
）
离 心 率：
e?1

e?1

准 线：
x??
pp
2

x?
2

标准方程：
x
2
?2py(p?0)

x
2
??2py(p?0)

图 像：

范 围：
y?0

y?0

对 称 轴： y轴 y轴
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
7

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
定 点： （0，0） （0，0）
焦 点： （0，
p
2
）
(0,?
p
2
)

离 心 率：
e?1

e?1

准 线：
y??
pp
2

y?
2

3、参数方程
?
?
x?2pt
2
?2pt
（t为参数方程）
?
y
2
?2px(p?0)
?
y
4、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦
椭圆：双曲线通径长
2b
2

a
抛物线通径长2P
5、直线与抛物线的位置关系
1）相交（有两个交点或一个交点） 2）相切（有一个交点）；
3）相离（没有交点）
6、抛物线切线的求法
1）切 点P
(x
2
0
,y
0
)
已知：
y?2px (p?0)
的切线；
y
0
y?p(x?x
0
)
2） 切线斜率K已知：
y
2
?2px(p?0):y?kx?
p
2k

y
2
??2px(p?0):y?kx?
p
2k

2
?2py(p?0):y?kx?
pk
2

x
2

2
??2py(p?0):y?kx?
pk
2

x
2

此类公式填空选择或解答题中（部分）可作公式直接应用
附加：弦长公式：
y?kx?b
与曲线交与两点A、B则
d?AB?x2
?x
1
1?k
2
?y
2
?y
11?
1
k
2

解题指导：
轨迹问题：
(一)求轨迹的步骤
1、建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点p（x，y）
2、立式：写出适条件的p点的集合
3、代换：用坐标表示集合列出方程式f（x，y）=0
4、化简：化成简单形式，并找出限制条件
5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上
（二）求轨迹的方法
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
8

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求出轨迹
2、定义法：利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义
3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题
4、交轨法：适用于求两条动 直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线，
然后联立，消去变量即可。
5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标，联立消参。
6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线，再参考参数法，找到轨迹方程。
弦长问题： |AB|=
(1?k
2
)[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]
。
弦的中点问题：中点坐标公式-----注意应用判别式。
Ⅰ.求曲线的方程
1．曲线的形状已知



这类问题一般可用待定系数法解决。
例1 （1994年全国）
已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴 上。若点A（-1，0）
和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。
分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。
设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y=2px(p>0).
设A、B关于L的对称点分别为A、B，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：

2
k
2
?12k8(k
2
?1)
（
16k
< br>,?
2
,
A（
2
），B）。因为A、B均在抛物线上，代入， 消去p，
22
k?1k?1k?1k?1

得：k-k-1=0.解得：k=< br>2
1?525
,p=.
25
1?5
2
45
x,抛物线C的方程为y=x.
25
所以直线L的方程为：y=

2．曲线的形状未知----- 求轨迹方程
例3 （1994年全国）
已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x+y=1, 动
点M到圆C的切线长与|MQ| 的比等于常数
?
（
?
>0）,
求动点M的轨迹方程，并说明它是什么 曲线。
分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的
O
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
22
M
N
Q
9

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
集合是：
P={M||MN|=
?
|MQ|}，由平面几何知识可知：|M N|=|MO|-|ON|=|MO|-1，将M点坐标代入，
2222
可得：(
?< br>-1)(x+y)-4
?
x+(1+4
?
)=0.
2222 2
当
?
=1时它表示一条直线；当
?
≠1时，它表示圆。


这种方法叫做直接法。

B
C
Ⅱ.研究圆锥曲线有关的问题
1．有关最值问题


例6 (1990年全国)
设椭圆中心为坐标原点，长轴在x上，离心率，
已知点P（0，）到这个 椭圆上的点的最远距离是
7
，
求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于
7
的点的坐标。
分析：最值问题，函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变 量是函数，
3
2
O A x
然后利用函数的知识求其最大值。

3
x
2
y
2
22222
设椭圆方程为
2
?
2
?1
，则由e=得 ：a=4b，所以x=4b-4y.
2
ab
设Q(x,y)是椭圆上任意一点，则:
|PQ|=
x?(y?)
=
4b?4y?(y?)?
2
3< br>2
222
3
2
2
?3y
2
?3y?4b2
?
9
(-b
?
y
?
b).
4若b<
99
11
222
，则-<-b,当y=-b时|PQ|
m ax
=
?3b?3b?4b??b?3b??7
.
44
22
解得：b=
7
-
得:b=1,a=2.
31111
>与b<矛盾；若b
?
，则当y=-时|PQ|
max
=
4b
2
?3?7
,解
22222
2．有关范围问题
例7 （2001春季高考题）
已知抛物线y=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为 1的直线L与抛物线交于不同的两点A、
B，|AB|≤2p。
（1）求a的取值范围；
2
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
10

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。


（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。 分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不
等式，通过 解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量
的函数，利用求函数的 值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变
量的函数，然后再求它的最大值, 即：“最值问题，函数思想”。
解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物 线方程y=2px,得：设直线L与抛
2
?
4(a?p)?4a
2
? 0
?
物线两交点的坐标分别为A（x
1
,y
1
）,B(x< br>2
,y
2
)，则
?
x
1
?x
2?2(a?p)
,又y
1
=x
1
-a,y
2
= x
2
-a,
?
2
?
x
1
x
2< br>?a
?|AB|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?2[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]?8p(p?2a)
?
0?|AB|?2p,8p(p?2a)?0,?0?8p(p?2a)?2p,
解得:< br>

?
pp
?a??.

24
(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x
3
,y
3
），则 由中点坐标公式得：
x
3
?
x
1
?x
2
2
2
?a?p
,
y
3
?
222
y
1
?y
2
(x
1
?a)?(x
2
?a)
? ?p.

22
所以|QM|=(a+p-a)+(p-0)=2p.又△MNQ为等腰 直角三角形，所以|QM|=|QN|=
2P
，
所以S
△NAB
=< br>122
|AB|?|QN|?p?|AB|?p?2p?2p
2
,即△NAB面 积的最大值为
222
2P
2
。
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
11