高中数学必修二单元测试：直线与圆word版含答案

“直线与圆”单元测试
一、选择题
1．直线 3
x
＋
y
－3＝0的倾斜角为( )
A.
C.
π

6
2π

3
B.
D.
π

3
5π

6
解析：选C ∵直线3
x
＋
y
－3＝0可化为
y
＝－3
x
＋3，
∴直线的斜率为－3，
设倾斜角为α，则tan α＝－3，
2π
又∵0≤α<π，∴α＝.
3
2.如图，直线
l
1
，
l
2
，
l
3
的斜率分别为

1
，

2
，

3
，则必有( )
A．

1
＜

2
＜

3

B．

3
＜

1
＜

2

C．

3
＜

2
＜

1

D．

1
＜

3
＜

2

解析：选D 由图可知

1
＜0，

2
＞0，

3
＞0，且

2
＞

3
，所以

1
＜

3
＜

2
.
3．经过点(1,0)，且圆心是两直线
x
＝1与
x
＋
y
＝2的交点的圆的方程为( )
A．(
x
－1)＋
y
＝1
B．(
x
－1)＋(
y
－1)＝1
C．
x
＋(
y
－1)＝1
D．(
x
－1)＋(
y
－1)＝2
?
?
x
＝1，
解析：选B 由
?
?
x＋
y
＝2，
?
22
22
22
22
< br>?
?
x
＝1，
得
?
?
y
＝1，?


即所求圆的圆心坐标为(1,1)，
又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，
故圆的方程为(
x
－1)＋(
y
－1)＝1.
4．过直线 2
x
－
y
＋4＝0与
x
－
y
＋5＝0的交 点，且垂直于直线
x
－2
y
＝0的直线方程是( )
A．2
x
＋
y
－8＝0
C．2
x
＋
y
＋8＝0
B．2
x
－
y
－8＝0
D．2
x
－
y
＋8＝0
22
解析：选A 设过直 线2
x
－
y
＋4＝0与
x
－
y
＋5＝0的 交点的直线方程为2
x
－
y
＋4＋λ(
x
－
y＋5)＝0，
即(2＋λ)
x
－(1＋λ)
y
＋4＋5λ＝0，
∵该直线与直线
x
－2
y
＝0垂直，

2＋λ4
∴

＝＝－2，解得λ＝－.
1＋λ3< br>4
?
4
??
4
?
∴所求的直线方程为
?2－
?
x
－
?
1－
?
y
＋4＋5×－ ＝0，
3
?
3
??
3
?
即2
x
＋
y
－8＝0.
5．已知直线
l
1
：
x
＋2
y
＋
t
＝0和直线
l
2
：2
x
＋4
y
＋2
t
－3＝0，则当
l
1
与
l
2
间的距离最短时
t
的值为( )
2
A．1 B.
1
2

C.
1
3
D．2
解析：选B ∵直线
l
2
：2
x
＋4
y
＋ 2
t
－3＝0，
即
x
＋2
y
＋
2
t
－3
2
＝0.
?
?
t
2
－
2
t
－3
1
?
2
5
∴
l
间的距离
d
＝
?
2
?
?
?
?
?
＝
?
t
－
2
?
?
＋
4
1
∥
l
2
，∴
l
1
与
l
2
1
2
＋2
2
5
≥
5
4
，当且仅当
t
＝
1
2
时取等号．
∴当
lt
的值为
1
1
与
l
2
间的距离最短时
2
.
6．已知直线
l
1
：(
a
＋3)
x
＋
y
－4＝0与直 线
l
2
：
x
＋(
a
－1)
y
＋4 ＝0垂直，则直线
l
1
在
x
轴上的截距是(
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B ∵直线
l
1
：(
a
＋3)
x
＋
y
－4＝0与直线
l
2
：< br>x
＋(
a
－1)
y
＋4＝0垂直，
∴
a
＋3＋
a
－1＝0，解得
a
＝－1，
∴直线
l
1
：2
x
＋
y
－4＝0，
∴直线
l
1
在
x
轴上的截距是2.
7．一条光线 从
A
?
?
?
－
1
2
，0
?
?
?
处射到点
B
(0,1)后被
y
轴反射，则反射光线所 在直线的方程为( )
A．2
x
－
y
－1＝0 B．2
x
＋
y
－1＝0
C．
x
－2
y
－1＝0 D．
x
＋2
y
＋1＝0
解析：选B 由题意可得点
A?
?
?
－
1
2
，0
?
?
?< br>关于
y
轴的对称点
A
′
?
?
1
?< br>2
，0
?
?
?
在反射光线所在的直线上，
又点
B
(0,1)也在反射光线所在的直线上，


则两 点式求得反射光线所在的直线方程为
y
－1
0－1
＝
x
－0
1
，即2
x
＋
y
－1＝0.
2
－0
)

8．若圆
C
的半径为1，圆心 在第一象限，且与直线4
x
－3
y
＝0和
x
轴都相切，则该 圆的标准方程是( )
A．(
x
－2)＋
(
y
－1
)
＝1
22
B．(
x
－2)＋(
y
＋1)＝1
C．(
x
＋2)＋(
y
－1)＝1
D.
(
x
－3
)
＋(
y
－1)＝1
22
22
22
解析：选A 由于圆心在第一象限且与
x
轴相 切，故设圆心为(
a,
1)(
a
>0)，
|4
a
－3|
又由圆与直线4
x
－3
y
＝0相切可得＝1，解得
a
＝2，
5
故圆的标准方程为(
x
－2)＋(
y
－1)＝1.
二、填空题
9．已知直线
l
过点
A
(0,2)和
B
(－3，3
m
＋12
m
＋13)(
m
∈R)，则 直线
l
的倾斜角的取值范围为________．
解析：设此直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，
则tan θ＝
3
m
＋12
m
＋13－2
－3－0
2
2
22
＝－3(< br>m
＋2)＋
2
33
≤.
33
因为θ∈[0，π)， 所以θ∈
?
0，
?
?
π
??
π
?
∪
?
，π
?
.
?
6
??
2
?< br>?
π
??
π
?
答案：
?
0，
?∪
?
，π
?

6
??
2
??
10．已知点
A
(－1，－2)，
B
(2,3)，若直线
l
：
x
＋
y
－
c
＝0与线段
AB
有公共点， 则直线
l
在
y
轴上的截距
的取值范围为__________．
解析：如图，
把
A
(－1，－2)，
B
(2,3)分别代 入直线
l
：
x
＋
y
－
c
得
c的值分别为－3,5.
故若直线
l
：
x
＋
y
－
c
＝0与线段
AB
有公共点，
则直线
l
在
y
轴上的截距的取值范围为[－3,5]．
答案：[－3,5]
11．已知直线
x
＋
y
－3
m
＝0与2
x
－
y
＋2
m
－1＝0的交点在第四象 限，则实数
m
的取值范围为________．
?
?
x
＋
y
－3
m
＝0，
解析：联立
?
?
?
2
x
－
y
＋2
m
－1＝0，
＝0，


m
＋1
x
＝
?
?
3
，
解得
?
8
m
－1
y
＝
?
?
3.


∵两直线的交点在第四象限，

∴
m＋1
3
>0，且
8
m
－1
<0，
3
1
解得－1<
m
<，
8
1
??
∴实数
m
的取值范围是
?
－1，
?
.
8
??
1
??
答案：
?
－1，
?

8
??
12．已知圆
C
：(
x
＋1)＋(
y
－1)＝1与
x
轴切于
A
点，与
y
轴切于
B
点，设劣弧
AB
的中点为
M
，则过点
M
的圆< br>C
的切线方程是______________．
解析：因为圆
C
与 两坐标轴相切，且
M
是劣弧
AB
的中点，
所以直线
CM
是第二、四象限的角平分线，
所以斜率为－1，所以过
M
的切线的斜率为1.
因为圆心到原点的距离为2，所以|
OM
|＝2－1，
所以
M?
2
??
2
－1，1－
?
，
2
??
2
22
＝
x
－＋1，
22
22
所以切线方程为
y
－1＋
整理得
x
－
y＋2－2＝0.
答案：
x
－
y
＋2－2＝0
三、解答题
13．已知△
ABC
的三个顶点分别为
A
(－ 3,0)，
B
(2,1)，
C
(－2,3)，求：
(1)
BC
边所在直线的方程；
(2)
BC
边上中线
AD
所在直线的方程；
(3)
BC
边的垂直平分线
DE
的方程．
解：(1)因为 直线
BC
经过
B
(2,1)和
C
(－2,3)两点，
y
－1
x
－2
由两点式得
BC
的方程为＝，
3－1－2－2
即
x
＋2
y
－4＝0.
(2)设
BC
边的中点
D
的坐标为(
x
，
y
)，
2－21＋3
则
x
＝＝0，
y
＝＝2.
22BC
边的中线
AD
过点
A
(－3,0)，
D
( 0,2)两点，
由截距式得
AD
所在直线方程为＋＝1，即2
x
－ 3
y
＋6＝0.
－32
xy

1
(3)由( 1)知，直线
BC
的斜率

1
＝－，
2
则直线
BC
的垂直平分线
DE
的斜率

2
＝2.
由(2)知，点
D
的坐标为(0,2)．
由点 斜式得直线
DE
的方程为
y
－2＝2(
x
－0)，
即2
x
－
y
＋2＝0.
14．已知圆
C
的方程为
x
＋(
y
－4)＝1，直线
l
的方程为2
x
－
y
＝0，点
P
在直线
l
上，过点
P< br>作圆
C
的切
线
PA
，
PB
，切点为
A
，
B
.
(1)若∠
APB
＝60°，求点
P
的坐标；
(2)求证 ：经过
A
，
P
，
C
(其中点
C
为圆
C
的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．
解：(1)由条件可得圆
C
的圆心坐标为(0,4)，|
PC
|＝2，
设
P
(< br>a,
2
a
)，则
a
＋?2
a
－4?＝2，
6
解得
a
＝2或
a
＝，
5
22
22
?
612
?
所以点
P
的坐标为(2,4)或
?
，
?
.
?
55
?
(2)证明：设
P(
b,
2
b
)，过点
A
，
P
，
C
的圆即是以
PC
为直径的圆，
其方程为
x
(
x
－
b
)＋(
y
－4)(
y
－2
b
)＝0，
整理得
x
＋
y
－
bx
－4
y
－2
by
＋8
b
＝0，
即(
x
＋
y
－4
y
)－
b
(
x
＋2
y
－ 8)＝0.
22
22
?
?
x
＋
y
－4< br>y
＝0，
由
?
?
?
x
＋2
y
－8＝0，
22

?
?
x
＝0，
解得
?
?
?
y
＝4

?
?
或
?
16
y
＝
?
?
5
，
x
＝，
85


?
816
?
所以该圆必经过定点(0,4)和< br>?
，
?
.
?
55
?