直线和圆的方程——高中数学基础知识与典型例题

数学基础知识与典型例题
直线和圆的方程
直
线
和
圆
的
方
程
知
识
关
系

一、直线的倾斜角和斜率


1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与< br>x
轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的

倾斜角，其中直线与
x
轴平行或重合时,其倾斜角为

0
?
,故直线倾斜角
?
的范围是

0
?
≤
?
?180
?
.

2. 直线的斜率:倾斜角不是
90
?
的直线其倾斜角
?
的正切叫这条直线 的斜率
k
,即

k?tan
?
.

注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.
直
②当
?
?90
?
时，直线
l
垂直于
x
轴，它的斜率k不存在.
线
③过两点
的
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(x< br>1
?x
2
)
的直线斜率公式
k?tan
?
?
y
2
?y
1
x

2
?x
1
方
二、直线方程的五种形式及适用条件
程

名称 方程 说明 适用条件

斜截式
y=kx+b
k—斜率 倾斜角为90°的

b—纵截距 直线不能用此式

(x

0
，y
0
)—直线上已
点斜式 y-y
倾斜角为90°的

0
=k(x-x
0
) 知点，
k ──斜率
直线不能用此式


(x
与两坐标轴平行
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)是

两点式
y?y
1
y
=
x?x
1

直线上两个已知点
的直线不能用此

2
?y
1
x
2
?x
1
式

截距式
x
a—直线的横截距
过（0，0）及与两

b—直线的纵截距
坐标轴平行的直

a
+
y
b
=1
线不能用此式

一般式
Ax+By+C=0

(A、B不全为零)

A、B不能同时为

零


第1页
直
注:⑴确定直线方程需要有两个互相独立的条件,通常用待定系数法;
线
的
⑵确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围. 方
⑶直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A
2< br>+B
2
≠0）
程
是一一对应的.

例1. 过点
M(?2,a)
和
N(a,4)
的直线的斜率等于1, 则
a
的值为( )


(A)
1
(B)
4
(C)1或3 (D)1或4

例2. 若
?
?
?
?
?
6
,
?< br>?
2
?
?
, 则直线2
x
cos
?
＋3y＋1=0的倾斜角的取值范围（ ） 直
?
线
(A)
?
?
??
?
的
?
6
,
?
2
?
?
(B)
?
?
5
?
(C) (0,
?
?
6
?
,
?
?
?
6
) (D) ?
?
?
2
,
5
6
?
?
?
?
方
例3. 直线
y??
1
程
3
x?2
的倾斜角是（ ）．
（A）
arctan(?
1
3
)
（B）
arctan
111
3
（C）
π
?
arctan(
?
3
)
（D）
?
?arctan(?
3
)

例4. 连接
A(4,1)
和
B(?2,4)
两点的直线斜率为____,与y轴的交点P的坐标为 ____.
例5. 以点
(1,3)和(5,?1)
为端点的线段的中垂线的方程是
.


一、两直线的位置关系
例6. 将直线
2x?3y?6?0


1. 两直线平行:
绕着它与
y
轴的交点逆

⑴斜率存在且不重合的两条直线

l
时针旋转
45
?
的角后，在
1
∶
y=k
1
x+b
1
， l
2
∶
y=k
2
x+b
2
，则l
1
∥l
2
?
k
1
=k
2;


⑵两条不重合直线

l
1
, l
2
的倾斜角为
?
1
,
?
2
,
x
轴上的截距是( )
(A)
42

则
l< br>1
∥
l
2
?
?
1
?
?
2< br>.
5
(B)
5



两

(C)
55

2
(D)
4

直
2.两直线垂直:
例7. 将一张画了直角坐
线
⑴斜率存在的两条直线l
1
∶
y=k
1
x+b
1
,l
2
∶
y=k
2
x+b
2
,
标系且两轴的长度单位相
的
则l
1
⊥l
2
?
k1
·k
2
= -1;
同的纸折叠一次，使点(2，
位
⑵两直线l
1
∶
A
1
x+B
1
y+C
1< br>=0，l
2
∶
A
2
x+B
2
y+C
2
=0，
0)与点(－2，4)重合，若点
置
则l
1
⊥l
2
?
A
1
A
2
+B
1
B
2
= 0
（7，3）与点（m ,n）重
关

合，则m+n的值为( )

(A)4 (B)－4
系

(C)10 (D)－10

例8. 与直线
3. “到角”与“夹角”:
?:2x?3y?5?0
平行
⑴直线
l
1< br>到
l
2
的角（方向角）；
且过点
A(1,?4)
的 直线
直线
l
1
到
l
2
的角，是指直线
l< br>1
绕交点依逆时针方向旋转到
?
?
的方程是__________。
与
l
例9. 已知二直线
2
重合时所转动的角
?
，它的范围是
(0,
?
)
.
注:①当两直线的斜率k
1< br>,k
2
都存在且k
1
·k
2
≠-1
l
1
:mx?8y?n?0
和
时,
tan
?
?
k
2
?k
1
l
2
:2x?my?1?0
，若
1?k
;②当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.
1
k
2
l

1
?l
2
，
l
1
在y轴上的截距

为-1，则m=_____，

n=____.
第2页

⑵两条相交直线
l
1
与
l
2
的夹角：
例10. 经过两直线


两条相交直线
l
1
与
l
2
的夹角，是指由
l
1
与
l
2
相交所成
11x－3y－9＝0与

的四个角中最小的正角
?
，又 称为
l
1
和
l
2
所成的角，它的
12x＋y－19 ＝0的交

点，且过点(3,-

取值范围是
?
?
0,
?
?
2)的直
,当两直线的斜率k

?
1，k
2
都存在且k
1
·k
2
?
2
?< br>线方程为_______.

≠-1时，则有
tan
?
?
k
2
?k

1

1?k
.
例11. 已知△ABC中，
1
k
2
A（2，-1），B（4，3），




C（3，-2），求：

4.距离公式。
⑴BC边上的高所在直

⑴已知一点P(x
0
，y
0
)及一条直线l：Ax+By+C=0，则点P
线方程；⑵AB边中垂

到直线l的距离d=
|Ax
0
?By
0
?C|
；
线方程；⑶∠A平分线

A
2
?B
2
所在直线方程.
两
⑵两平行直线l
1
:Ax+By+C
1
=0， l
2
:Ax+By+C
2
=0之间的距
直
线
离d=
|C
1
?C
2
|
。
A
2
?B
2
的

位

置
5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数.
关
含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是
有规律的，
系
即旋转直线系和平行直线系.


⑴在点斜式方程y-y
0
=k(x-x
0
)中，
例12. 已知定点
①当（x
0
，y
0
）确定，k变化时，该方程表示过定点 （x
0
，
P（6，4）与定直线l
1
：
y
0
）的旋转直线系，
②当k确定，(x
y=4x，过P点的直线l
0
，y< br>0
)变化时，该方程表示平行直线系.

与l
1
交于第一象限Q
⑵已知直线l：Ax+By+C=0，
点，与x轴正半轴交于
则①方程Ax+By+m=0（m为参数）表示与l平行的直线系；
点M，求使△OQM面
②方程-Bx+Ay+n=0（n为参数）表示与l垂直的直线系。
积最小的直线l方程.

⑶已知直线l
1
：A
1
x+B
1
y+C
1
=0，
直线l
2
：A
2
x+B
2
y+C
2
=0，
则方程A
1
x+B
1
y+C
1
+λ(A
2
x+B
2
y +C
2
)=0
表示过l
1
与l
2
交点的直线系（不含l
2
）
掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化
解题思路.


简线性规划
单⑴当点P(x
0
，y
0
)在直线Ax+By +C=0上时，其坐标满足方程Ax
0
+By
0
+C=0；
的⑵当 P不在直线Ax+By+C=0上时，Ax
0
+By
0
+C≠0，即Ax0
+By
0
+C>0或Ax
0
+By
0
+C< 0。
线这就是二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）表示直线性Ax+By+C=0上方或下方区域，其具体位置的确定常用原点（0，0）代入检验。
规利用此几何意义，可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容。

划
第3页

例13. 若点（3，1）和（
?4
，6）在直线
3x?2y?a ?0
的两侧，则实数
a
的


取值范围是（ ）

(A)a??7或a?24

(B)?7?a?24


(C)a??7或a?24
（D）以上都不对

例14.
?ABC
的三个顶点的坐标为
A( 2,4)
，
B(?1,2)
，
C(1,0)
，点
P(x,y )
在


?ABC
内部及边界上运动，则
y?2x
的最大值为 ，最小值

为 。

?
x?y?1≥0

例15. 不等式组：
?
?
x?y≤0
表示的平面区域的面积是 ；

?

?
y≥0

例16.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些

农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。问怎样安排才能使每亩都种

上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高？


简
单
的
线
性
规
划






例17.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为 了考虑社会
效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为
单位）如 下：
根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费

60 0元，
高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20
至30个 班为宜.根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大
利润多少万元？
（利润=学费收入－年薪支出）



第4页

曲线与方程：在直角坐标系中,当曲线C和方程F(x，y)=0满足如下关系时：

①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；②以方程F(x，y)=0的解为
曲
坐标 的点都在曲线C上，则称曲线C为方程F(x，y)=0表示的曲线；方程
线
和
F(x ，y)=0是曲线C表示的方程.

方
注:⑴如果曲线C的方程是F(x ,y)=0，那么点P
0
(x
0
,y
0
)在曲线C上的充要条
程
件是F(x
0
,y
0
)=0
⑵解析几何研究的内容就是给定曲线C，如何求出它所对应的方程， 并
根据方程的理论研究曲线的几何性质。其特征是以数解形, 坐标法是几何问
题代数化的重要方法。
⑶求曲线方程的步骤:建、设、现（限）、代、化.


例18. 点
M(t
2
,t
6
)适合方程
y?x
3
是点
M
在曲线
y?x
3上的 ( )

(A)充分条件 (B)必要条件

(C)充要条件 (D)什么条件也不是

例19.曲线C
1
：
x
2
?y
2
?x
与C
2
：
2 xy?y
的交点数是（ ）

(A)1个 (B) 2个 (C)3个 (D)4个

例20. 已知定点
A(?1,0)
，B(1,0)
，点M与A、B两点所在直线的斜率之积等

曲
于
?4
，则点M的轨迹方程是
线
例21. 已知圆
x
2
?y
2
?4
和两 点A（0，4），B（4，0）当点P在圆上运动时，
和
求
?ABC
的重心的 轨迹方程.
方

程






例22. 如图，圆
O
1
与圆
O
2
的半 径都是1，
O
1
O
2
?4
. 过动点
P
分 别作圆
O
1
、
圆
O
2
的切线
PM，PN< br>（
M，N
分别为切点），使得
PM?2PN
.
试建立适当的坐标系，并求动点
P
的轨迹方程.







第5页

确定圆的方程需要有三个互相独立的条件。的圆方程的适用范围。


一、圆的方程形式:

⑴圆的标准方程：(x-a)
2
+(y-b )
2
=r
2
,其中（a,b）是圆心坐标,r是圆的半径；
⑵圆的一般方程：x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0（D
2+E
2
-4F>0）,圆心坐标为（-
DE

2
，-
2
），


半径为r=
D
2
?E
2
?4F

2
.

⑶圆的参数方程：(x-a)
2
+(y-b)2
=r
2
（r>0）的参数方程为:
?
?
x?a?rc os
?

?
y?b?rsin
?
（
?
为

参数,表示旋转角），参数式常用来表示圆周上的点。



注:

①确定圆的方程需要有三个互相独立的条件, 通常也用待定系数法;


②圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义,使用时常数形结

合充分运用圆的平面几何知识.
圆
③圆的直径式方程：
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)? 0
,其中
的
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
是圆的一条直径的两个端点.（用向量可推导）.
方

程
二、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，判定方法有两种：
⑴代数法：直线：Ax+ By+C=0，圆：x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0，联立得方程组 ?
?
Ax?By?C?0
?
△?0?相交
Dx?Ey?F?0< br>??
消元
??
一元二次方程
???
判别式
?
?
?
x
2
?y
2
?
△?b
2
?4 ac
?
△?0?相切

?
?
△?0?相离
（2）几 何法：直线:Ax+By+C=0，圆：(x-a)
2
+(y-b)
2
=r< br>2
，圆心（a，b）到直
?
d?r?相离
线的距离为d=
|A a?Bb?C|
，则
?
?
d?r?相切
A
2
?B< br>2

?
?
d?r?相交

三、圆和圆的位置关系：
设两圆圆心分别为O
1
、O
2
，半径分别为r
1
， r
2
，|O
1
O
2
|为圆心距，则两圆
位置关系如 下：
①|O
1
O
2
|>r
1
+r
2?
两圆外离；
②|O
1
O
2
|=r
1
+r
2
?
两圆外切；
③| r
1
-r
2
|<|O
1
O
2
|< r
1
+r
2
?
两圆相交；
④| O
1
O
2
|=| r
1
-r
2
|
?
两圆内切；
⑤0<| O
1
O
2
|<| r
1
-r
2
|
?
两圆内含。
注：直线和圆位置关 系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而一般不
采用方程组理论（△法）.
第6页

四、圆的切线:


1.求过圆上的一点
(x
0
,y
0
)
圆 的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率
k
,则
圆
由垂直关系,切线斜率为< br>?
1
的
k
,由点斜式方程可求得切线方程;
方
2. 求过圆外一点
(x
0
,y
0
)
圆的切线方程:⑴(几何方法 )设切线方程为
程
y?y
0
?k(x?x
0
)
即
kx-y?kx
0
?y
0
?0
,然后由圆心到直线的距离等 于半径,
可求得
k
,切线方程即可求出. ⑵(代数方法) 设切线方程为
y ?y
0
?k(x?x
0
)
,即
y?kx?kx
0< br>?y
0
代入圆方程得一个关于
x
的一元二次方
程,由
??0
,求得
k
,切线方程即可求出.
注：①以上方法只能求存在斜率的切 线,斜率不存在的切线,可结合图形求
得.②过圆
x
2
?y
2
?r
2
上一点
P(x
0
,y
0
)
的切线 方程为
xx
0
?yy
0
?r
2
.


例23.若直线
?
1?a
?
x?y?1＝0
与圆
x
2
?y
2
?2x?0
相切，则
a
的值为 ( )

(A)1或?1

(B)2或?2

(C)1

(D)?1


例24. 两圆x< br>2
+y
2
-4x+2y+1=0与(x+2)
2
+(y-2)
2
=9的位置关系是（ ）

(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离

例25. 已 知圆C与圆(x-1)
2
+y
2
=1关于直线y=-x对称，则圆C的方程为 ( )

(A) (x+1)
2
+y
2
=1 (B) x
2
+y
2
=1 (C)x
2
+(y+1)
2
=1 (D)x
2
+(y-1)
2
=1


例26. 若直线4x-3y-2＝0与圆
x
2
?y
2
?2ax?4y?a2
?12?0
有两个不同的
圆
公共点，则实数a的取值范围是（ ）
的
(A)-3＜a＜7 (B)-6＜a＜4 (C)-7＜a＜3 (D)-21＜a＜19
方
例27. 把参数方程
?
?
x?sin
?
程
1
（
?
为参数）化为普通方程，结果是 .
?
y?cos
?
?
例28. 过点
(?1,1)
的 直线被圆
x
2
?y
2
?2x?0
截得的弦长为
2< br>，则此直线的
方程为
例29. 圆的方程为x
2
+y
2
－6x－8y＝0，过坐标原点作长为8的弦，求弦所在
的直线方程。






例30.已知方程x
2+y
2
-2(m+3)x+2(1-4m
2
)y+16m
4+9=0表示一个圆，
⑴求实数m取值范围；⑵求圆的半径r取值范围；⑶求圆心轨迹方程.







第7页
数学基础知识与典型例题(第七章直线和圆的方程)答案
例1.A 例2.B 例3.C 例4.

?
1
2
、(0,3)

例
5.

x?y?2?0

例6.B 例7.C 例8. 2x＋3y＋10＝0
例9. 0,8, 例10.

13x?5y?29?0

例11. 解:⑴∵ k
BC
=5,∴ BC边上的高AD所在直线斜率k=
?
1
5

∴ AD所在直线方程y+1=
?
1
5
(x-2) 即x+5y+3=0
⑵∵ AB中点为（3，1），k
AB
=2,∴ AB中垂线方程为x+2y-5=0
⑶设∠A平分线为AE，斜率为k，
则直线AC到AE的角等于AE到AB的角。
∵ k
k?12
AC
=-1，k
AB
=2,∴
1?k
?
?k
1?2k
,
∴ k
2
+6k-1=0,∴ k=-3-
10
（舍），k=-3+
10

∴ AE所在直线方程为(
10
-3)x-y-2
10
+5=0
评注： 在求角A平分线时，必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平
分线这类问题时，都要对两解进 行取舍。也可用轨迹思想求AE所在直线方程，
设P(x，y)为直线AE上任一点，则P到AB、AC 距离相等，得
|2x?y?5|
5
?
|x?y?1|
2
，< br>化简即可。还可注意到，AB与AC关于AE对称。
例12. 解题思路分析：
直线 l是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q（还是M）
作为参数是本题关键。通 过比较可以发现，选k作为参数，运算量稍大，因此选
用点参数。
解:设Q（x
0
，4x
0
），M（m，0）
∵ Q，P，M共线∴
k
PQ
?k
PM

∴
4?4 x
0
4
5x
0
6?x
?
解之得：
m?0
6?m
x?1

0
∵ x
0
>0，m>0∴ x
0
-1>0
∴
S
1
10x
2
0?OMQ
?
2
|OM|4x
0
?2mx
0
?< br>x

0
?1
令x
0
-1=t，则t>0,
S ?
10(t?1)
2
t
?10(t?
1
t
?2)< br>≥40
当且仅当t=1，x
0
=11时，等号成立,此时Q（11，44）， 直线l：x+y-10=0
评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数
S
△OQ M
的函数关系式，再由基本
不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中， 斜率k，截
距b，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。
例13.B 例14.
4
，
?2
例15.
1
4


第8页

例16. 种蔬菜20亩,棉花30亩,水稻不种,总产值最高27万元.
例17.解：设初中x个班，高中y 个班，则
?
?
20≤x?y≤30(1)
?
28x?58y≤120 0⑵

设年利润为s，
则
s?60?0.06x?40?0.15y?2? 1.2x?2.5?1.6y?1.2x?2y

作出（1）、（2）表示的平面区域，
如图，过点A时，S有最大值，
由
?
?
x?y?30
?< br>28x?58y?1200
解得A（18，12）.
易知当直线1.2x+2y=s
即学校可规划初中18个班，高中12个班,
?s
max
?1.2?18?2?12?45.6
（万元）.
可获最大年利润为45.6万元.
评 线性规划是直线方程的简单应用，是新增添的教学 内容，是新大纲重视知识
应用的体现，根据考纲要求，了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的
意义并会简单应用，解决此类问题，关键是读懂内容，根据要求，求出线性约束
条件和目标函数 ，直线性约束条件下作出可行域，然后求线性目标函数在可行域
中的最优解，归纳如下步骤：①根据实际 问题的约束条件列出不等式，②作出可
行域，写出目标函数，③确定目标函数的最优位置，从而获得最优 解．但在解答
时，格式要规范，作图要精确，特别是最优解的求法，作时还是比较困难的．是
函 数方程思想的应用.
例18.A 例19.D 例20. x
2
+
y
2
4
?1(x??1)

例21. (x
?
444
3
)
2
?(y?
3
)
2
?
9


例22. 解：以
O1
O
2
的中点
O
为原点，
O
1
O2
所在直线为
x
轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，则
O
1
(?2，0)
，
O
2
(2，0)
.由已知
PM?2PN
，
得
PM
2
?2PN
2
.因为两圆半径均为1，
所 以
PO
22
1
?1?2(PO
2
?1)
.设
P(x，y)
，
则
(x?2)
2
?y
2
?1? 2[(x?2)
2
?y
2
?1]
，
即
(x?6)
2
?y
2
?33
.(或
x
2
?y
2
?12x?3?0
)


例23.D 例24.C 例25.C 例26.B

例27. x
2
+(y-1)
2
=1

第9页

例28. x+y=0或x+7y-6=0

例29. 解：x
2
+y
2
－6x－8y=0即(x－3)
2
+(y－4)
2
=25，
设所求直线为y＝kx。
∵圆半径为5，圆心M（3，4）到该直线距离为3，
∴
d?
|3k?4|
k
2
?1
?3
，
∴< br>9k
2
?24k?16?9(k
2
?1)
，∴
k?< br>7
24
。
∴所求直线为y
?
7
24
x
或
x?0
。
例30.⑴m满足[-2(m+3)]
2
+[2(1-4m
2
)]
2
-4(16m
4
+9)>0，
即7m
2
-6m-1<0,
∴
?
1
7
?m?1

⑵半径r=
?7m< br>2
?6m?1??7(m?
3
)
2
16
7
?
7

∵
?
1
7
?m?1
,∴
m?
3
47
7
时，
r
max
?
7
,
∴ 04
7
7

⑶设圆心P（x，y），则< br>?
?
x?m?3
?
y?4m
2
?1

消去m得：y=4(x-3)
2
-1,又
?
1
7
?m?1

∴
20
7
?x?4

∴ 所求轨迹方程为(x -3)
2
=
1
20
4
(y+1)（
7
?x ?4
）


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