高中数学第二讲直线与圆的位置关系第五节与圆有关的比例线段2课后导练新人教A版选修4_12017102759

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第五节 与圆有关的比例线段
课后导练
基础达标
1.如图2-6-8,⊙O的两条弦AB、CD相交于点E,A C与DB的延长线交于点P,下列结论中成立
的是( )

图2-6-8
·CD=BE·BA ·AE=BE·DE
·CA=PB·BD ·PA=PB·PD
解析:根据相交弦定理A、B均不正确.
根据割线定理C错误,D正确.
答案:D
2.如图2-6-9,点C为⊙O的弦AB上一点,点P为⊙O上一点,且OC⊥CP,则有( )

图2-6-9
22
=CA·CB =PA·PB
22
=PA·PB =CA·CB
解析:延长PC交⊙O于D,∵OC⊥PC,
∴PC=CD.由相交弦定理,得PC·CD=CA·CB.
2
∴PC=CA·CB.
D正确.
若A正确,则OC=PC,条件不充分,而B、C均无法证明.
答案:D
3.如图 2-6-10,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为H,点P是上一动点(点P不与A、C重
合),连 结PC、PD、PA、AD,点E在AP的延长线上,PD与AB交于点F.给出下列四个结
论:①CH =AH·BH;②

2
=;③AD=DF·DP;④∠EPC=∠APD.
1
2

其中正确的个数是( )

图2-6-10
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①CD⊥AB,∴CH=DH.
由相交弦定理,得CH·DH=AH·BH.
2
∴CH=AH·BH.故①正确.
②由垂径定理得
③若正确,则
=,正确.
=,不合题意,故错误.
ADDP
?
?
△ADF∽△PDA
?
∠DAF=∠DPA
?
DFAD
④四边形ADCP内接于圆
?
∠EPC=∠APD,正确.
答案:C
4.如图2-6-11,PA、PB分别切⊙O于A、B、C是上任意一点,过C作 ⊙O的切线DE分别
交PA、PB于D、E,PO交AB于H,交⊙O于F,则下列结论:
22222
①△PDE周长是定值PA+PB;②AH=OH·PH;③PA=PO- OF;④PB=PO·PH.
其中正确的是( )

图2-6-11
A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④
解析:①由切线长定理,得DC=DA,EC=EB.
∴DE=AD+BE.
∴PD+DE+PE=PD+DA+BE+PE=PA+PB,正确.
②连结OA、OB,则P、A、O、B四点共圆,由相交弦定理,得
AH·BH=OH·PH.
2
∵AH=BH,∴AH=OH·PH.正确.
2
③延长PO交⊙O于G,由切割线定理,得PA=PF·PG
=(PO- OF)(PO+OG)
=(PO-OF)(PO+OF)
22
=PO- OF,正确.
2
④在Rt△POB中,BF⊥OP,由射影定理PB=PO·PH,正确.
答案:D
5.如图2-6-12,AB为⊙O的直径,CD、CB为⊙O的切线,D、B为切 点,OC交⊙O于E,AE延长线

2

交BC于点F,连结AD、B D.以下结论:①AD∥OC;②E
心;③FC=FE;④CE·FB=AB·CF.
其中正确的只有( )
为△CDB的内

图2-6-12
A.①② B.②③④ C.①③④ D.①②④
解析:①由切线长定理CD=BC,∠OCD=∠OCB,
∴OC⊥BD.
∴.
∴∠BAD=∠BOE.∴AD∥OC.正确.
②连结DE、BE,
∵,∴∠DAE=∠BDE.
由弦切角定理∠CDE=∠DAE.
∴∠CDE=∠BDE.
同理,∠DBE=∠CBE,
即E是△CDB的三内角平分线交点.
∴E为△CDB的内心,正确.
③无法证明.
④设AF、BD交于G点,
∵∠BFG+∠BAG=90°,
∠BGF=∠AGD,
∠AGD+∠DAE=90°,
∴∠BGF+∠DAE=90°.
∵∠DAG=∠BAE,∴∠BFG=∠BGF.
∴BF=BG.
又易证△ABG∽△ECF,
∴
ABCE
.
?
BGCF
∴AB·CF=BG·CE=BF·CE.
结论正确.
综上所述,选D.
答案:D
综合运用
6.如图2-6-13,已知⊙O
1
、⊙O
2
外切于点P,过⊙O
1
上一点B作⊙O
1
的切线,交⊙O
2
于C、D,直
线PB交⊙O
2
于点A.

3

图2-6-13
求证:AD+BC·BD=AB.
2
解析:由BC·BD联想到割线定理BC·BD =BP·AB,又等式右边含AB,考虑移项后和差化积.
222
AD=AB- BC·BD=AB-BP·AB
=AB(AB-BP)=AB·AP.
2
只需证AD=AB·AP,利用△ABD∽△ADP.
证明:过P作公切线EF交BD于点E,
由切线长定理,得EB=EP.
∴∠B=∠EPB.∵∠EPB=∠APF,∠APF=∠ADP.
∴∠B=∠ADP.
又∠A=∠A,∴△ABD∽△ADP.
∴
22
ABAD
=.
ADAP
2
∴AD=AB·AP.
由割线定理,得BC·BD=BP·AB.
22
∴AD+BC·BD=AB·AP+BP·AB=AB(AP+BP)=AB.
22
∴AD+BC·BD=AB.
7.如图2-6-14,已知Rt△ABC中,∠ B=90°,AB交⊙O于D,且过圆心O,AC交⊙O于E,CF交⊙O
于D.
2
求证:AD=AC·AE-DF·CD.

图2-6-14
证明:连结AF、DE,
∵AD为直径,∴∠AED=90°,∠AFD=90°.
∴∠CED=90°.∵∠CBD=90°,
∴B、C、E、D四点共圆.
∴AE·AC=AD·AB.
又A、F、B、C四点共圆,
∴AD·BD=DF·CD.
2
∴AC·AE-DF·CD=AD·AB- AD·BD=AD(AB-BD)=AD.
2
∴AD=AC·AE-DF·CD.
8.如图2-6-15,两圆内切于点A,P是两圆公切线上的点,过P点作小圆的割线PBC,连结AB、PCAE
2
?
AC,并延长分别交大圆于D、E,求证:.
PB
AD
2

4

图2-6-15
证明:连结DE,∵∠PAB=∠ACB,∠P=∠P,
∴△PAB∽△PCA.∴
PAAB
=.
PCAC
∵∠PAD=∠E,∠PAB=∠ACB,
∴∠ACB=∠E.同理,∠ABC=∠D.
ABAC
=.
ADAE
ABADPAAD
∴=.∴=.
ACAEPCAE
∴BC∥DE.∴
又由切割线定理,得PA=PB·PC,
2
AE
2
PC
2
PC
2
PC
PCAE< br>2
???
?
∴.∴.
PB
AD
2
AD2
PA
2
PB?PCPB
9.如图2-6-16,已知△ABC中,∠A CB=90°,CD⊥AB于D,以BD为直径的⊙O交BC于E,求证:
BC
2
BE
=.
2
AC
EC

图2-6-16
证明:连结DE,∵BD是直径,
∴∠DEB=90°.∵∠ACB=90°,
∴DE∥AC.∴
BE
BD
=.
CE
AD
22
由射影定理得BC=BD·AB,AC=AD·AB.
BC
2
BD?ABBDBE
∴===.
2
AC
AD?ABADEC
BC
2
BE
∴=.
AC
2
EC
拓展探究
10.如图2-6-17,⊙O
1< br>和⊙O
2
都经过A、B两点,PQ切⊙O
1
于点P,交⊙O
2
于Q、M,交AB的延长
2
线于N,则PN=NM·NQ.(不要求证明)

5

图2-6-17
2
问题1:在上图中,将Q P绕Q旋转至⊙O
1
与⊙O
2
外切如图2-6-18,结论PN=NM·NQ 还成立吗?
若成立,请证明.

图2-6-18
探究1:结论PN=NM·NQ仍然成立.
证明:由切线长定理,得PN=AN.
2
由切割线定理,得AN=NM·NQ,
2
∴PN=NM·NQ.
2
问题2:继续旋转至⊙O
1
与⊙O
2
外离,如图2-6-19, 若使PN=NM·NQ,请探究如何确定N的位置.
2

图2-6-19
2
探究2:作两圆内公切线交O
1
O
2
于点A,过A作AN⊥PQ于 N,则PN=NM·NQ.
备选习题
11.如图2-6-20,C是⊙O的直径AB延长线 上一点,过点C作⊙O的切线CD,D为切点,连结AD、
OD、BD,请根据图中所给出的已知条件, 写出你认为正确的结论______________.

图2-6-20
解析:本题属于开放题,答案较多,如:
2
(1)CD=CB·CA,切割线定理.
(2)DC⊥OD,切线性质.
(3)∠ADB=90°,圆周角性质.
(4)∠BDC=∠A,弦切角定理.
(5)△ACD∽△DCB等等.
12.如 图2-6-21,已知AB是圆的直径,D是AB上一点,CD⊥AB,CD交圆于点E,CT是圆的切线,T< br>222
是切点.求证:BE+CT=BC.

6

图2-6-21
证明:延长CD交⊙O于G,则DE=DG.
2
由切割线定理CT=CE·CG
=CE·(CD+DG)
=CE·(CD+DE)
=CE·CD+CE·DE,
2222
∴BE+CT=DE+BD+CE·CD+CE·DE
2
=CE·CD+DE(DE+CE)+BD
2
=CE·CD+DE·CD+BD
2
=CD(CE+DE)+BD
22
=CD+BD
2
=BC.
13.如图2-6-22,已知P M是⊙O的切线,M为切点,PAB和PCD均是⊙O割线,且AB·PD=BC·AD.
22
求证:PM-PA=AC·AD.

图2-6-22
证明:∵=,
∴∠ADC=∠ABC.
∵AB·PD=BC·AD,∴
ABAD
.
?
BCDP
∴△ABC∽△ADP.∴∠ACB=∠APD.
又∵=,∴∠ACB=∠ADB.
∴∠APC=∠ADB.
又∵四边形ABDC内接于圆,
∴∠ACP=∠ABD.
∴△APC∽△ADB.
∴
APAC
?
.
ADAB
∴AP·AB=AC·AD.
2
由切割线定理,得PM=PA·PB.
222
∴PM- PA=PA·PB-PA
=PA(PB-PA)=PA·AB=AC·AD.
22
∴PM-PA=AC·AD.

7

14.如 图2-6-23,已知⊙Ｏ
1
和⊙O
2
外切于点P,过P的直线分别交⊙O< br>1
、⊙O
2
于点A、B,过B
作⊙O
2
的切线交⊙O
1
于点C、D,CP的延长线交⊙O
2
于点Q.
PA
2
CP
?
求证:.
2
CQ
AD

图2-6-23
证明:过点P作两圆的公切线PT交BD于T,则∠CPT=∠CDP,
∵BD是⊙O
2
的切线,
∴∠B=∠BPT.∵∠APD=∠CDP+∠B,∠BPC=∠BPT+∠CPT,
∴∠APD=∠BPC.
又∵∠BCP=∠A,∴△PAD∽△PCB.
∴
PAPC
.
?
ADBC
2
∵BC是⊙O
2
的切线,∴BC=CP·CQ.
PA
2
PC
2
PC< br>2
CP
???
∴.
AD
2
BC
2
PC?CQCQ
15.如图2-6-24,已知⊙O
1
和⊙O
2
外切 于点C,AB切⊙O
1
于A,切⊙O
2
于点B,O
2
O1
的延长线交⊙O
1
PC
2
PO
2
于D,并与 BA的延长线交于点P,求证:.
?
2
PO
1
PA

图2-6-24
证明:连结AC、BC,过C作两圆公切线CE交PB于E,连结O
1
A.
则∠1=∠2,∠3=∠4.
∴∠2+∠3=90°.
又∠2+∠5=90°,∴∠5=∠3.
∴∠5=∠4.∵∠P=∠P,
∴△PAC∽△PCB.∴
∴PC=PA·PB.
2
PAPC
=.
PCPB
PC
2
PA?PBPB
??
∴.
22< br>PA
PAPA
又∵O
1
A⊥PB,O
2
B⊥PB,∴ O
1
A∥O
2
B.

8

PB< br>PO
2
PC
2
PO
2
?
∴.∴.
?
2
PAPO
1
PAPO
1
16.如图2-6-25,已知 △ABC内接于⊙O,∠A的外角平分线交BC的延长线于D,交⊙O于E,求
2
证:AD=B D·CD-AB·AC.

图2-6-25
2
思路分析:由BD·CD可 联想到割线定理,则BD·CD=DA·DE=DA(AD+AE)=AD+AD·AE.
只需证AD·AE=AB·AC即可.
事实上,由△ABE∽△ADC易证.
证明:连结BE,
由割线定理,得BD·CD=DA·DE,
∵∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3.
又∵∠ACD=∠E,∴△ABE∽△ADC.
∴
ABAE
=.
ADAC
∴AB·AC=AD·AE.
2
∴BD·CD-AB·AC=DA·DE-AD·AE=AD(DE-AE)=AD. 17.如图2-6-26,已知以AF为直径的⊙O与以OA为直径的⊙O
1
内切于A,△ ADF内接于
⊙O,DB⊥FA于B交⊙O
1
于C,连结AC并延长交⊙O于E,求证 :
(1)AC=CE;
222
(2)AC=DB-BC.

图2-6-26
222
思路分析:要证AC=DB-BC,将其化为等积式.
由(1)及平方差公式有AC·CE=(DB+BC)(DB-BC)=(DB+BC)·DC.
考虑利用相交弦定理.
证明:(1)连结OC,因OA是⊙O
1
的直径,则OC⊥AE.
∴AC=CE.
(2)延长DB交⊙O于G.
∵DB⊥AF,∴DB=BG.
由相交弦定理有AC·CE=CG·CD=(BG+BC)(DB-BC)=(DB+BC)(DB- BC)
22
=DB-BC.
222
∵AC=CE,∴AC=DB-BC.


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