高中数学《直线和圆的方程》常用公式

高中数学《直线和圆的方程》常用公式
1.直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
?y
2
)(< br>P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
(4)截距式
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
（3）两点式
2.两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l
1
||l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
;
②< br>l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1.
(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y ?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B1
、B
2
都不为零,
①
l
1
||l
2
?
A
1
B
1
C
1
；
??A
2
B
2
C
2
②
l
1
?l< br>2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
；
3.
l
1
到
l
2
的角公式
k
2
?k
1
.
1?k
2
k
1< br>(
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l< br>2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k< br>2
??1
)
AB?A
2
B
1
(2)
tan
?
?
12
.
A
1
A
2
?B
1
B
2
(
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2< br>x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A< br>2
?B
1
B
2
?0
).
?
直线< br>l
1
?l
2
时，直线l
1
到l
2
的 角是.
2
(1)
tan
?
?

4.斜率公式
k?
y
2
?y
1
（
P
1
(x1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
, y
2
)
）.
x
2
?x
1

5.夹角公式
k
2
?k
1
|
.
1? k
2
k
1
(
l
1
:y?k
1
x? b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
AB?A
2
B
1
(2)
tan
?
?|
12
|
. < br>A
1
A
2
?B
1
B
2
(
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2?0
).
?
直线
l
1
?l
2
时，直 线l
1
与l
2
的夹角是.
2
(1)
tan
?
?|
6．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)< br>(除直线

x?x
0
),其中
k
是待定的系数; 经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方 程为
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
,其中
A,B
是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线
l
1
: A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系方程为
(A
1
x?B
1
y?C
1
) ?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0(除
l
2
)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线y?kx?b
中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线
系方程．与直线
Ax?B y?C?0
平行的直线系方程是
Ax?By?
?
?0
(
?< br>?0
)，λ是
参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变量．
7. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D
2
?E
2
?4F
＞0).
22
222
?
x?a?rcos
?
.
?
y?b?rsin
?
（4）圆的直径式方程
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
(圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).
（3）圆的参数方程
?

8.点到直线的距离
A?B
9.
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域
设直线
l: Ax?By?C?0
，则
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区 域是：
若
B?0
，当
B
与
Ax?By?C
同号时 ，表示直线
l
的上方的区域；当
B
与
Ax?By?C
异号时 ，表示直线
l
的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若
B?0，当
A
与
Ax?By?C
同号时，表示直线
l
的右方的 区域；当
A
与
Ax?By?C
异号时，表示直线
l
的左方的 区域. 简言之,同号在右,异号在左.
10.
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2)?0
或
?0
所表示的平面区域
设曲线
C:(A
1< br>x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
（
A
1
A
2
B
1
B
2
?0
），则
(A
1
x?B
1y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
或
?0
所表示的平面区域是：
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
所表示的平面区域上下两部分；
(A
1
x?B
1< br>y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
所表示的平面区域上下两部分.
11.点与圆的位置关系
点
P( x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的 位置关系有三种
若
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
，则
22
222
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l< br>：
Ax?By?C?0
).
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆 内.
12.直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
( x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.

其中
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
.
13. 圆系方程
(1)过点
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
的圆系方程是
(x ?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?
?
[(x?x
1
)(y
1
?y
2)?(y?y
1
)(x
1
?x
2
)]?0
< br>?(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y? y
2
)?
?
(ax?by?c)?0
,其中
ax?by?c ?0
是直线
AB
的方程,λ是待定的系数．
22
(2)过直线l
:
Ax?By?C?0
与圆
C
:
x?y?Dx?Ey ?F?0
的交点的圆系方程
是
x?y?Dx?Ey?F?
?
(Ax? By?C)?0
,λ是待定的系数．
2222
(3) 过圆
C
1< br>:
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0与圆
C
2
:
x?y?D
2
x?E
2
y ?F
2
?0
的交
22
2222
点的圆系方程是
x? y?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x?y ?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
,λ是待定的系数．

14.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
15.圆的切线方程
(1)已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0
．
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切线只有一条， 其方程是
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
? ?F?0
.
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y???F?0
表示过两个切点
22

x
0
x?y
0
y?
的切点弦方程．
②过圆外一点 的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，再利用相切 条件求k，这时必
有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆
x?y?r
．
2
①过圆上的
P
0< br>(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
;
222
②斜率为
k
的圆的切线方程为
y?kx?r1?k
.


2