高中数学直线与圆的方程的应用教案

4.2.3 直线与圆的方程的应用
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用.
（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题.
2．过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系， 用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几
何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算 ，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.
3．情态与价值观
让 学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问
题的能力.
（二）教学重点、难点
重点与难点：直线与圆的方程的应用.
教学环节 教学内容 师生互动
学生思考后作答
教师再引入课题
现在我们通过几个例子说明
直线与圆的方程在 实际生活以及
平面几何中的应用.
设计意图
启发
并引导学
生回顾，
从而引入
新课.
你能说出两点间的距离公
式直线方程的四种形式及圆的
复习引入 方程的两种形式吗？
3．阅读并思考教科书上的
例4，你将选择什么方法解决
例4的问题？
例4 图是某圆拱形桥一孔
圆拱的示
意图.这
个圆的圆
拱跨度
AB = 20m，拱高OP = 4m，建
造时每间隔4m需要用一根支
应用举例 柱支撑，求支柱A< br>2
P
2
的高度(精
确到0.01m).
解析：建立图所示的直 角
坐标
系，使
圆心在
y轴上.
设圆心的坐标是(0，b)，圆的半< br>径是r，那么圆的方程是
x
2
+ (y – b)
2
= r
2
.
下面确定b和r的值.
师：指导学生观察教科书上的
图形特征 ，利用平面坐标系求解.
生：自学例4，并完成练习题
1、2.
师：分析例4并展示解 题过程，
启发学生利用坐标法求，注意给学
生留有总结思考的时间.
指导
学生从直
观认识过
渡到数学
思想方法
的选择.

因为P、B都在圆上，所
以它们的坐标(0，4)，(10，0)
都满足方程 x
2
+ (y – b)
2
= r
2
.于
是， 得到方程组
222
?
?
0?(4?b)?r,
?
222?
?
10?(0?b)?r
解得
b = –10.5，r
2
= 14.5
2
所以，圆的方程是
x
2
+ (y + 10.5)
2
= 14.5
2
.
把点P
2
的横坐标x = –2代
入圆的方程，得
(–2)
2
+ (y + 10.5)
2
= 14.5
2
，
取
y?10.5?14. 5
2
?(?2)
2
(P
2
的纵坐标y＞0平方根取正值).
所以
y?14.5
2
?(?2)
2
?10.5
≈1 4.36 – 10.5
=3.86(m)
4．你能分析一下确定一个
圆的方程的要点吗？
教师引导学生分析圆的方程
中，若横坐标确定，如何求出纵坐
标的值.
师： 引导学生建立适当的平面
直角坐标系，用坐标和方程表示相
应的几何元素，将平面几何问题转< br>化为代数问题.
生：建立适当的直角坐标系，
探求解决问题的方法.
证明：如图 ，以四边形ABCD
互直垂直的对角线CA，DB所在直
线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系.设A(a，0)，B(0，b)，C(c，
0)，D(0，d).
过四边形ABCD 外接圆的圆
心O′分别作AC、BD、AD的垂线，
垂足分别为M、N、E分别是线段
AC、BD、AD的中点.由线段的中
点坐标公式，得
使学
生加深对
圆的方程
的认识.
巩固
“坐标
法”，培养
学生分析
问题与解
决问题的
能力.

5．你能利用“坐标法”解
决例5吗？
例5 已知内接于圆的四
边形的对角线互相垂直，求证
圆心到一边的距离等于这条边
所对边长 的一半.

x
O
?
?x
M
?
yO
?
?y
N
?
x
E
?
a?c
2
b?d
2
ad
,y
E
?
22
所以
acabdd
|O
?
E|?(??)
2
?(??)
2222222
1
2
?b?c
2
2
又
|BC|? b
2
?c
2
1
所以
|O
?
E|?|BC|
.
2
6．完成教科书第140页的
练习题2、3、4.
练习2 赵州桥的跨度是
37.4m，圆拱高约为7.2m.求这
座圆拱桥的拱圆的方程.
练习3 某圆拱桥的水面跨
度20m，拱高4m.现有一船，
宽10m，水面以上高3m，这条
船能否从桥下通过？
练习4 等边△ABC中，点
D、E分别在边BC、AC 上，且
11
|BD|?|BC|
，|CE| = |CA|，
3
3< br>教师指导学生阅读教材，并解
决课本第140页的练习题2、3、4，
教师要注意引导学 生思考平面几
何问题与代数问题相互转化的依
据.
练习2解：建
立如图所示的 直角
坐标系.|OP| =
7.2m，|AB| = 37.4m.
即有
A(–18.7，0)，B (18.7，0)，C(0，
7.2) .
设所求圆的方程是(x – a)
2
+ (y
– b)
2
= r
2
.
于是有
AD、BE相交于点P.求证AP⊥
CP.
?
(a?18.7)
2
?b
2
?r
2
,
?
222
?
(a?18.7)?b?r,

?
222
a?(b?7.2)?r
?
使学
生熟悉平
面几何问
题与代数
问题的转
化，加深
“坐标
法”的解
题步骤.
解此方程组，得
a = 0，b = –20.7，r = 27.9.
所以这这圆拱桥的拱圆的方
程是
x
2
+ (y + 20.7)
2
= 27.9
2
(0≤y≤7.2)
练习3解：
建立如图所示
的坐标系.依题
意，有
A(–10，0)，B (10，0)，P(0，

4)，D(–5，0)，E(5，0).
设所求圆的方程是(x – a)
2
+ (y
– b)
2
= r
2
.于是有
?
(a?10)
2< br>?b
2
?r
2
,
?
222
?
(a? 10)?b?r,

?
222
?
a?(b?4)?r
解此方程组，得
a = 0，b = –10.5，r = 14.5.
所以这座圆拱桥的拱圆的方
程是
x
2
+ (y + 10.5)
2
= 14.5
2
(0≤y≤4).
把点D的横坐标x = –5代入上式，
得y = 3.1.
由于船在水面以上高3m，3＜3.1，
所以该船可以从桥下穿过.
练习4解： 以
B为原点，BC边所
在直线为x轴，线
1
段BC长的为单
6
位长，建立如图所示的坐标系.则
A(3,3),B(0,0),C(6,0)
.
由已知，得D(2,0)，
E(5,3)
.
直线AD的方程为
y?33(x?2)
.
直线BE的方程为
y?
3
(x?5)?3
.
5
解以上两方程联立成的方程组，得
x?
53
,y?3
.
77
153
所以，点P的坐标是
(,3)
.
77
直线PC的斜率
k
pc
??
因为
k
AD
k
pc
?33?(?
所以，AP⊥CP.
练习题 直角△ABC的斜
边为定长 m，以斜边的中点O
为圆心作半径为长定长n的
学生独立解
决练习题，教师
组 织学生讨论交
3
.
9
3
)??1
，
9
反馈
学生掌握
“坐标

圆，BC的延长线交此圆于P、流.
Q两点，求证|AP|
2
+ |AQ|
2
+ 证明：如图， 以O为原点，
|PQ|
2
为定值. 分别以直线PQ为x轴，建立直角
7．你能说出练习题蕴含了坐标系.
什么思想方法吗？
mm
于是有
B(?,0),C(,0)
，
22
nn
P(?,0)
，
Q(,0)

22
法”解决
问题的情
况，巩固
所学知识.
设A(x，y)，由已知，点A在
m
2
圆
x?y?
上.
4
AP
2
+ AQ
2
+ PQ
2
22
nn
=
(x?)
2
?y
2
?(x? )
2
?y
2
?n
2

22
3
2< br>m
2
3
2
=
2x?2y?n??n
(定值)
222

22
8．小结：
（1）利用“坐标法”解决
问题的需要准备什么工作？
（2）如何建立直角坐标
系，才能易于解决平面几何问
归纳总结 题？
（3）你认为学好“坐标法”
解决问题的关键是什么？
（4）建立不同的平面直角
坐标系，对解决问题有什么直
接的影响呢？
课后作业
布置作业习案4.2第2课
时
师：指导学生完成练习题.
生：阅读教科书的例3，并完
成.
教师引导学生自己归纳总结
所学过的知识，组织学生讨论、交
流、探究.

对知
识进行归
纳概括，
体会利用
“坐标
法”解决
实 际问题
的作用.
学生独立完成 巩固
所学知识
备选例题
例1 一圆形拱桥，现时的水面宽为22米，拱高为9米，一艘船高7.5米，船顶宽4
米的船，能从桥下通过 吗？
【解析】建立坐标系如图所示：
C(–11，0 )，D(11，0)，M(0，9)
可求得过C、D、M三点的圆的方程是
x
2
?(y?
20
2
101
2
)?()

99
20
2
101
2
)?()?4

99
故A点坐标是(2，y
1
)，则
(y
1
?
得y1
≈8.82，(取y
1
＞0)
∴y
1
＞7.5，因此船不能从桥下通过.
例2 设半径为3km的圆形 村落，A、B两人同时从村落中心出发，
A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落 圆周的

方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3:1，问A、 B两人在何
处相遇.
【解析】由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北为y轴 的正方向，建
立直角坐标系，设A、B两人的速度分别的为3vkmh，vkmh，设A出发ah，在P 处改变方
向，又经过bh到达相遇点Q，则P(3av，0)Q (0，(a + b)v)，则
|PQ| = 3bv，|OP| = 3av，|OQ| = （a + b）v
在Rt△OPQ中|PQ|
2
= |OP|
2
+ |OQ|
2
得5a = 4b
k
PQ
?
∴
k
PQ
0?v(a?b)

3av?0
3
??

4
设直线PQ方程为
y??
3
x?b

4
由PQ与圆x
2
+ y
2
= 9相切，
|4b|
4?3
22
?3

解得
b?
15

4
15
km.
4
故A、B两人相遇在正北方离村落中心
例3 有一种商品，A、B两地均有售且价 格相同，但某居住地的居民
从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍.已知A、B相< br>距10km，问这个居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从
运费的多少来考虑)
【解析】以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系.
|AB| = 10，所以A(–5，0)，B(5，0)
设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往 P地的单位距离运费为a，即从
B地运往P地的运费为|PB|·a，则运住A地的运费|PA|·3a
当运费相等时，就是|PB|·a = 3a·|PA| ，
22
即
3(x?5)?y?(x?5)
2
?y
2

整理得
(x?
25
2
15
)?y
2
?()
2
①
44
所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A或B地购 买，在圆内的居民应选择在A
地购买，在圆外的居民应选择在B地购买.