高中数学：直线与圆、圆与圆的位置关系练习

高中数学：直线与圆、圆与圆的位置关系练习


1．若 直线x＋my＝2＋m与圆x
2
＋y
2
－2x－2y＋1＝0相交,则实数m 的取值范围为( D )
A．(－∞,＋∞)
C．(0,＋∞)
B．(－∞,0)
D．(－∞,0)∪(0,＋∞)
解析：圆的标准方程为(x－ 1)
2
＋(y－1)
2
＝1,圆心C(1,1),半径r＝1.因为直线与圆 相交,所以
d＝
|1＋m－2－m|
＜r＝1.解得m＞0或m＜0,故选D. 1＋m
2
2．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x
2
＋y
2< br>＝5相切的直线的方程是( A )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
解析：切线平行于直线2x＋y＋1＝0,故可设 切线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1),结合题意可得
|c|
＝5,解得c＝±5.故选A.
5
3．若a
2
＋b
2
＝2c
2
(c≠0) ,则直线ax＋by＋c＝0被圆x
2
＋y
2
＝1所截得的弦长为( D )
1
A.
2

2
C.
2

B．1
D.2
|c||c|2
＝＝,因此根据直角三
22
2
2|c|
a＋b
解析：因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝
角形的关系,弦长的一半就等于
2
?
2
?
1－
? ?
2
＝
2
,所以弦长为2.
?
2
?
4． 过三点A(1,3),B(4,2),C(1,－7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|＝( C )
A．26 B．8 C．46 D．10
解析：方法一：设圆的方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0,

将点
?
D＋3E＋F＋10＝0，
A( 1,3),B(4,2),C(1,－7)的坐标代入得方程组
?
4D＋2E＋F＋20＝0，
?
D－7E＋F＋50＝0，

解得
?
D＝－2，
?
E＝4，
?
F＝－20，

所以圆的方程为x
2
＋y
2
－2x＋4y－20＝0,即(x－1)
2
＋(y＋2)
2< br>＝25,
所以|MN|＝225－1＝46.
1
方法二：因为k
A B
＝－
3
,k
BC
＝3,
所以k
AB
k
BC
＝－1,所以AB⊥BC,
1
所以△ABC为直角三角形,所以△ABC的外接圆圆心为AC的中点(1,－2),半径r＝
2
|AC|＝
5,
所以|MN|＝225－1＝46.
→
·
→
＝0得AB⊥BC,下同方法二． 方法三：由ABBC
5． 湖北四地七校联考)若圆O
1
：x
2
＋y
2
＝5与圆O2
：(x＋m)
2
＋y
2
＝20相交于A,B两点,且
两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是( B )
A．3
C．23
解析：连接O
1
A、O
2
A,如图,
B．4
D．8

由于⊙O
1
与⊙O
2
在点A处的切线互相垂直,
22因此O
1
A⊥O
2
A,所以O
1
O
2
2
＝O
1
A＋O
2
A,
即m
2
＝5＋20＝25,设AB交x轴于点C.
5
在Rt△O< br>1
AO
2
中,sin∠AO
2
O
1
＝
5
,

5
∴在Rt△ACO
2
中,AC＝AO
2
·sin∠AO
2
O
1
＝25×
5
＝2,∴AB＝2AC＝4.故选B.
6．(山西太原五中模拟)已知k∈R,点P(a ,b)是直线x＋y＝2k与圆x
2
＋y
2
＝k
2
－2k＋ 3的公
共点,则ab的最大值为( B )
5
A．15 B．9 C．1 D．－
3

解析：由题意得,原点到直线x＋y＝2k的距离d＝
|－2k|

2
≤k
2
－2k＋3,且k
2
－2k＋3＞0,解得－3≤k≤1,因为2a b＝(a＋b)
2
－(a
2
＋b
2
)＝4k
2－(k
2
－2k＋3)
＝3k
2
＋2k－3,所以当k＝－3时 ,ab取得最大值9,故选B.
7．(河南郑州外国语中学调研)已知圆C
1
：(x ＋2a)
2
＋y
2
＝4和圆C
2
：x
2
＋ (y－b)
2
＝1只有一
1
条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则
2

a
1
＋
b
2
的最小值为( D )
A．2
C．8
B．4
D．9
解析：由 题意可知,圆C
1
的圆心为(－2a,0),半径为2,圆C
2
的圆心为(0 ,b),半径为1,因为两圆
只有一条公切线,所以两圆内切,
所以?－2a－0?
2
＋?0－b?
2
＝2－1,
即4a
2
＋b
2
＝1.
11
?
11?
b
2
4a
2
22
所以
a
2
＋
b
2
＝
?
a
2
＋
b
2
?
·(4a＋b)＝5＋
a
2
＋
b
2
≥5＋2??
b
2
4a
2
b
2
4a
2
2
2
·
2
＝9,当且仅当
2
＝
2
,且4a ＋
abab
1111
b
2
＝1,即a
2
＝
6
,b
2
＝
3
时等号成立,所以
a
2
＋< br>b
2
的最小值为9,故选D.
8．在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3 ),直线l：y＝2x－4,设圆C的半径为1,圆心在l上．若
圆C上存在点M,使MA＝2MO,则 圆心C的横坐标a的取值范围是( A )
12
??
A.
?
0，
5
?

??
12
??
C.
?
1，
5
?

??
解析：因为圆心在直线y＝2x－4上,
所以圆C的方程为(x－a)
2
＋[y－2(a－2)]
2
＝1.
B．[0,1]
12
??
D.
?
0，
5
?

??

设点M(x,y),因为MA＝2MO,
所以x
2
＋?y－3?
2
＝2x
2
＋y
2
,
化简得x
2
＋y
2
＋2y－3＝0,
即x
2
＋(y＋1)
2
＝4,
所以点M在以D(0,－1)为圆心,2为半径的圆上．
由题意,点M(x,y)在圆C上,
所以圆C与圆D有公共点,
则|2－1|≤CD≤2＋1,
即1≤a
2
＋?2a－3?
2
≤3.
由a
2＋?2a－3?
2
≥1得5a
2
－12a＋8≥0,解得a∈R； 12
由a
2
＋?2a－3?
2
≤3得5a
2
－ 12a≤0,解得0≤a≤
5
.
12
??
所以点C的横坐标a的取 值范围为
?
0，
5
?
.故选A.
??
9．已知圆 C
1
：x
2
＋y
2
－2x＋10y－24＝0和圆C
2
：x
2
＋y
2
＋2x＋2y－8＝0,则两圆的公共弦
长为 25 .
解析：两式相减整理得x－2y＋4＝0,即为两圆公共弦所在直线的方程．
解法一：设两圆相交于点A,B,
?
x－2y＋4＝0，
则A,B两点的坐 标满足方程组
?
22

?
x＋y＋2x＋2y－8＝0，
?
x＝－4，
?
x＝0，
?
解得或
?

?< br>y＝0
?
y＝2.
所以|AB|＝?0＋4?
2
＋?2－0?
2
＝25,
即公共弦长为25.
解法二：由x
2
＋y
2
－2x＋10y－24＝0,
得圆心坐标为(1,－5),半径r＝52.
|1－2×?－5?＋4|
圆心到直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝35,
1
2
＋?－2?
2
设两圆的公共弦长为l,
?
l
?
由r
2
＝d
2
＋
?
2
?
2
,
??

得l＝2 r
2
－d
2
＝2?52?
2
－?35?
2
＝25,
即两圆的公共弦长为25.
10．(湖南湘中名校联考)已知m＞0,n＞0,若 直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)
2
＋(y
－1)
2
＝1相切,则m＋n的取值范围是 [2＋22,＋∞) .
解析：因为m＞0,n＞0,直 线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝ 1相切,所以圆
心C(1,1)到直线的距离为半径1,
所以
|m＋1＋n＋1－2|
＝1,
22
?m＋1?＋?n＋1?
即|m＋n|＝?m＋1?
2
＋?n＋1?
2
.
两边平方并整理得mn＝m＋n＋1.
?
m＋n
?
2
?< br>m＋n
?
2
?
可得m＋n＋1≤
??
, 由基本不等 式mn≤
?
?
2
??
2
?
即(m＋n)
2
－4(m＋n)－4≥0,
解得m＋n≥2＋22.
当且仅当m＝n时等号成立．
11．(广东深圳联考)如图,直角三角形ABC的顶点A的坐标为(－2,0),直角顶点B的坐标为
(0,－22),顶点C在x轴上,点P为线段OA的中点．

(1)求BC边所在直线方程；
(2)若M为直角三角形ABC外接圆的圆心,求圆M的方程；
(3)在(2)的条件下,若动圆N过点P且与圆M内切,求动圆N的圆心的轨迹方程．
解：(1)易知k
AB
＝－2,AB⊥BC,

2
∴k
CB
＝
2
,
2
∴BC边所在直线方程为y＝
2
x－22.
(2)由(1)及题意得C(4,0),∴M(1,0),
又∵AM＝3,
∴外接圆M的方程为(x－1)
2
＋y
2
＝9.
(3)∵圆N过点P(－1,0),∴PN是动圆的半径,
又∵动圆N与圆M内切,
∴MN＝3－PN,即MN＋PN＝3,
∴点N的轨迹是以M,P为焦点,长轴长为3的椭圆．
∵P(－1,0),M(1,0),
3
∴a＝
2
,c＝1,b＝a
2
－c
2
＝
5
4
,
x
2
y
2
4x
2
4y
2
∴所求轨迹方程为
9
＋
5
＝1,即
9＋
5
＝1.
44
12．(河北武邑中学模拟)已知⊙H被直线x－y－ 1＝0,x＋y－3＝0分成面积相等的四部分,
且截x轴所得线段的长为2.
(1)求⊙H的方程；
(2)若存在过点P(a,0)的直线与⊙H相交于M,N两点,且| PM|＝|MN|,求实数a的取值范围．
解：(1)设⊙H的方程为(x－m)
2
＋(y－n)
2
＝r
2
(r＞0),
因为⊙H被直线x－y－1＝ 0,x＋y－3＝0分成面积相等的四部分,所以圆心H(m,n)一定是两
互相垂直的直线x－y－1 ＝0,x＋y－3＝0的交点,易得交点坐标为(2,1),所以m＝2,n＝1.
又⊙H截x轴所得 线段的长为2,所以r
2
＝1
2
＋n
2
＝2.
所以⊙H的方程为(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝2.
(2)设N(x
0
,y
0
),由题意易知点M是PN的中点, ?
x
0
＋a
y
0
?
所以M
?
，
2
?
.
?
2
?
因为M,N两点均在⊙H上,
所以(x
0
－2)
2
＋(y
0
－1)
2< br>＝2,①

?
x
0
＋a
?
2
?
y
0
?
2
－1
?
＝2,
?
－2
?
＋
?
?
?
2
?
?
2
即(x
0
＋a－4)
2
＋(y
0
－2 )
2
＝8,②
设⊙I：(x＋a－4)
2
＋(y－2)
2
＝8,
由①② 知⊙H与⊙I：(x＋a－4)
2
＋(y－2)
2
＝8有公共点,从而22－ 2≤|HI|≤22＋2,
即2≤?a－2?
2
＋?1－2?
2
≤32,
整理可得2≤a
2
－4a＋5≤18,
解得2－17≤a≤1或3≤a≤2＋17,
所以实数a的取值范围是[2－17,1]∪[3,2＋17]．

13．若a,b 是正数,直线2ax＋by－2＝0被圆x
2
＋y
2
＝4截得的弦长为23, 则t＝a1＋2b
2
取
得最大值时a的值为( D )
1333
A.
2
B.
2
C.
4
D.
4

2
解析：由已知可得圆心到直线2 ax＋by－2＝0的距离d＝,则直线被圆截得的弦长
4a
2
＋b
2
为2
4
22
4－
22
＝23,化简得4a＋b＝4.
4 a＋b
∴t＝a1＋2b
2
＝
1
1
22
·(22a )·1＋2b
2

19
8a
2
＝1＋2b
2
，
?
≤[(22a)
2
＋(1＋2b
2
)
2]＝(8a
2
＋2b
2
＋1)＝,当且仅当
?
2
时等号
2
424242
?
4a＋b＝4
3
成立,即t取最 大值,此时a＝
4
(舍负),故选D.
14．(江西新余五校联考)已知圆O：x< br>2
＋y
2
＝9,过点C(2,1)的直线l与圆O交于P,Q两点,
当 △OPQ的面积最大时,直线l的方程为( D )
A．x－y－3＝0或7x－y－15＝0
B．x＋y＋3＝0或7x＋y－15＝0
C．x＋y－3＝0或7x－y＋15＝0
D．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0
解析：当直线l的斜率不存在时,l的方程为x＝2,

则P,Q的坐标为(2,5),(2,－5),
1
所以S
△
OPQ
＝
2
×2×25＝25. ?
1
?
当直线l的斜率存在时,设l的方程为y－1＝k(x－2)
?< br>k≠
2
?
,
??
则圆心到直线PQ的距离d＝
|1－2k|
,
1＋k
2
由平面几何知识得|PQ|＝29－d
2
,
11
S
△
OPQ
＝
2
·|PQ|·d＝
2
·2 9－d
2
·d＝?9－d
2
?d
2
≤
99
d＝
2
时,S
△
OPQ
取得最大值
2
.
2
?
9－d
2
＋d
2
?
2
9
? ?
＝,当且仅当9－d
2
＝d
2
,即
2
??
2
99
因为25＜
2
,所以S
△
OPQ
的最大值 为
2
,
4k
2
－4k＋1
9
此时＝
2< br>,解得k＝－1或k＝－7,此时直线l的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－15
k
2
＋1
＝0.
→→
≤20,15．在平面直角坐标系xOy中,A(－12, 0),B(0,6),点P在圆O：x
2
＋y
2
＝50上．若PA·PB则点P的横坐标的取值范围是
[－52,1] .
→→
≤20可得, 解析 ：解法一：设P(x,y),则由PA·PB
(－12－x)(－x)＋(－y)(6－y)≤20,
即(x＋6)
2
＋(y－3)
2
≤65,
所以P为圆(x＋6)
2
＋(y－3)
2
＝65上或其内部一点．
又点P在圆x
2
＋y
2
＝50上,
?
x
2
＋y
2
＝50，
联立得
?

?
?x＋6?
2
＋?y－3?
2
＝65，
?
x＝1，
?
x＝－5，
解得
?
或
?

y ＝7y＝－5，
??
即P为圆x
2
＋y
2
＝50的劣弧MN 上的一点(如图),

易知－52≤x≤1.
→→
≤20, 解法二：设P(x,y),则由PA·PB
可得(－12－x)(－x)＋(－y)(6－y)≤20,
即x
2
＋12x＋y
2
－6y≤20,
由于点P在圆x
2
＋y
2
＝50上,
故12x－6y＋30≤0,即2x－y＋5≤0,
∴点P为圆x
2
＋y< br>2
＝50上且满足2x－y＋5≤0的点,即P为圆x
2
＋y
2
＝50的劣弧MN上的
一点(如图),

同解法一,可得N(1,7),M(－5,－5),
易知－52≤x≤1.
16． 已知点G(5,4),圆C
1
：(x－1)
2
＋(y－4)
2
＝25,过点G的动直线l与圆C
1
相交于E,F两点,
线段EF的中点为C,且C 在圆C
2
上．
(1)若直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)经过点G,求mn的最大值；
(2)求圆C
2
的方程；
(3)若过点A(1,0)的直线l
1< br>与圆C
2
相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M.l
1
与l
2
：x＋2y＋2
＝0的交点为N,求证：|AM|·|AN|为定值．

解：(1)∵点G(5,4)在直线mx＋ny－1＝0上,
∴5m＋4n＝1,5m＋4n≥220mn(当且仅当5m＝4n时取等号),

11
∴1≥80mn,即mn≤
80
,∴(mn)
max
＝
80
.
(2)由已知得圆C
1
的圆心为(1,4),半径为5,
→→
设C(x,y),则C
1
C＝(x－1,y－4),CG＝(5－x,4－y),
→→
＝0, 由题设知CCG
1
C·
∴(x－1)(5－x)＋(y－4)(4－y)＝0,
即(x－3)
2
＋(y－4)
2
＝4,
∴C
2< br>的方程是(x－3)
2
＋(y－4)
2
＝4.
(3)证明： 当直线l
1
的斜率不存在时,直线l
1
与圆C
2
相切, < br>当直线l
1
的斜率为0时,直线l
1
与圆C
2
相离,
故设直线l
1
的方程为kx－y－k＝0(k≠0)．
由直线l
1
与圆C
2
相交,得
|3k－4－k|
3
＜2,解得k＞4
.
k
2
＋1
?
x＋2y＋2＝0，
3k< br>??
2k－2
，－
?
, 由
?
得N
?
2k＋12k＋1
??
kx－y－k＝0
?
又直线C
2
M 与l
1
垂直,
y＝kx－k，
?
?
由
?
1
y－4＝－
k
?x－3?
?
?
∴|AM|·|AN|＝< br>

?
k
2
＋4k＋34k
2
＋2k
?
?
, 得M
?
2
，
1＋k
2
??1＋k
?
k
2
＋4k＋3
?
2
?
4k
2
＋2k
?
2
?

2
－1
?＋
?
2
?
·
?
1＋k
??
1＋k?
3k
?
2
?
2k－2
?
?
－1?
2
＋
?
－
?
?
＝
?
2k ＋1
?
?
2k＋1
?
2|2k＋1|31＋k
2
2
·1＋k·＝6(定值)．
1＋k
2
|2k＋1|