高一数学直线与圆位置关系练习题

高一数学直线与圆位置关系练习题
20150211

1．若经过两点A（
?1
， 0），B（0， 2）的直线
l
与圆< br>?
x?1
?
?
?
y?a
?
?1
相切 ，
22
求
a
的值






2．已知⊙C经过点
A(2,4)
、
B(3,5)
两点， 且圆心C在直线
2x?y?2?0
上.
（1）求⊙C的方程；
（2）若直 线
y?kx?3
与⊙C总有公共点，求实数
k
的取值范围.







3．已知关于
x,y
的方程
C
:
x
2
?y
2
?2x?4y?m?0< br>.
（1）当
m
为何值时，方程C表示圆。
（2）若圆C与直线l:x?2y?4?0
相交于M,N两点，且｜MN｜=
45
,求
m的值。
5
（3）在（2）条件下，是否存在直线
l:x?2y?c?0
，使得圆上有四点到直线
l
的
距离为





4．已知直线
l
过点
A(?6,7)
与圆
C:x ?y?8x?6y?21?0
相切，
（1）求该圆的圆心坐标及半径长 （2）求直线
l
的方程




22
5
，若存在，求出
c
的范围，若不存在，说明理由。
5

5．已知圆
C
的圆心在直线
l:x?2y?1?0
上，并且经过
A
（2，1）
B
（1，2）两
点，求圆
C的标准方程．





6．已知圆
C:x
2
?(y?1)
2
?5,
直线
l:mx?y?1?m?0.

（I）求证：对
m?R
，直线
l
与
C
总 有两个不同的交点；
（II）设
l
与
C
交于
A、B
两点，若
|AB|?17
，求
m
的值.




7.已知圆
C:(x?3)
2
?(y?4)
2
? 4
，直线
l
1
过定点
A
(1，0)．
（1）若
l
1
与圆
C
相切，求
l
1
的方程 ；
（2）若
l
1
的倾斜角为
坐标；
（3 ）若
l
1
与圆
C
相交于
P
，
Q
两 点，求△
CPQ
面积的最大值




8．已知 点
P(2,0)
及圆
C
：
x
2
?y
2?6x?4y?4?0
.
（1）若直线
l
过点
P
且与圆心
C
的距离为1，求直线
l
的方程；
（2）设过点
P
的直线
l
1
与圆
C
交于
M
、< br>N
两点，当
MN?4
时，求以线段
MN
为直径的圆
Q
的方程；
（3）设直线
ax?y?1?0
与圆
C
交于A
，
B
两点，是否存在实数
a
，使得过点
?
，
l
1
与圆
C
相交于
P
，
Q
两点， 求线段
PQ
的中点
M
的
4
P(2,0)
的直线l
2
垂直平分弦
AB
？若存在，求出实数
a
的值；若不 存在，请说明
理由

高一数学直线与圆位置关系练习题答案
20150211

1 解：直线AB：
2x?y?2?0
，圆心
?
1,a
?
到直线 AB的距离
d?
得
a?4?5

2（1）解法1：设圆的方程为x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
，
2?a?25
=
1
，
?
2
?
2?4
2
? 2D?4E?F?0
?
D??6
?
?
则
?
3
2
?5
2
?3D?5E?F?0?
?
E??8
所以⊙C方 程为
x
2
?y
2
?6x?8y?24?0
.
??
F?24DE
?
?
2(?)?(?)?2?0
?22
59< br>解法2：由于AB的中点为
D(,)
，
k
AB
?1
，
22
则线段AB的垂直平分线方程为
y??x?7

而圆心C必为直线
y??x?7
与直线
2x?y?2?0
的交点，
?
y??x?7
?
x?3
由
?
解得
?，即圆心
C(3,4)
，
?
2x?y?2?0
?
y? 4
又半径为
CA?(2?3)
2
?(4?4)
2
?1
，故⊙C的方程为
(x?3)
2
?(y?4)
2
?1
.
（2）解法1：因为直线
y?kx?3
与⊙C总有公共点，
则圆心
C(3,4)
到直线
y?kx?3
的距离不超过圆的半径，
即
3k?4?3
1?k
2
?1
，将其变形得
4k< br>2
?3k?0
，解得
0?k?
3
.
4
?< br>(x?3)
2
?(y?4)
2
?1
?(1?k
2)x
2
?(6?2k)x?9?0
， 解法2：由
?
?
y?kx?3
因为直线
y?kx?3
与⊙C总有公共点，则
??(6?2k)
2
?36(1?k
2
)?0
，
解得
0?k?
3
.
4
3：（1）方程C可化为
(x?1)
2
?(y?2)
2
?5?m

显然
5?m?0时,即m?5
时方程C表示圆。

（2）圆的方程化为
(x?1)
2
?(y?2)
2
?5?m
圆心 C（1，2），
半径
r?5?m
则圆心C（1，2）到直线l:x+2y-4=0的距离为 < br>d?
1?2?2?4
1
2
?2
2
1
5
?
1
5
2
5
?MN?
412
1
,则MN ?
，有
r
2
?d
2
?(MN)
2
2
2
55
?5?m?()
2
?()
2
,
得
m?4

（3）设存在这样的直线,圆心 C（1，2），半径
r?1
， 则圆心C（1，2）到直线
l:x?2y?c?0的距离为
d?
1?2?2?c
1
2
?2
2
?< br>c?3
5
?1?
1
5

解得
4?5?c?2?5


4．（1）
Q
?
x?4
?
?
?
y?3
?
?2

?
圆心坐标为（４，－３），半径
r?2
．
22
（2）当直线
l
垂直于x轴时，直线不与圆相切，所以直线的斜率存在，
设直线
l
的方程为
y?7?k(x?6)
，即
kx?y?6 k?7?0
则圆心到此直线的距离
为
d?
4k?3?6k?7
1 ?k
2
?
10k?1
34
?2
．由此解得
k??< br>或
k??
，
43
1?k
2
直线l的方程为：
3x?4y?10?0,4x?3y?3?0

5．解：圆心在线段的垂直平分线上，AB垂直平分线方程为
y?
33
?x ?
,即
22
?
x?2y?1?0
，解得
x?y?0
又圆心在直线
l
上 ∴圆心为两直线的交点
?
?
x?y?0
?
x??1
，圆心C(-1,-1)
?
y??1
?
2< br>r=
AC
=
(2?1)
2
?(1?1)
2
=
13
圆C的标准方程
?
x?1
?
?(y?1)
2
?13

6 .解：（I）
d?
|m?0?1?1?m|
m?1
2
?
|m |
m?1
2
?1
，所以直线与圆相交，恒有两个交点。
?
mx?y?1?m?0
法二：联立
?
2
得，
(m
2
?1)x
2
?2m
2
x?m
2
?5?0

2
?
x?(y?1)?5
??4m
4
?4(m
2
? 1)(m
2
?5)?16m
2
?20?0
，所以直线与圆相交，恒有 两个交点。

（II）设
r?5
，圆心
C
到直线的距 离为
d
，由圆的相关性质可知：
d?r
2
?(
|AB|< br>2
3
)?
，,又由（I）
d?
22
|m|
m
2
?1
故
|m|
m
2
?1
?
3< br>，解得
m??3

2
7．解：①若直线
l
1
的斜率不存在，则直线
x?1
，符合题意．
②若直线
l
1
的斜率存在，设直线
l
1
为
y?k(x?1)
，即
kx? y?k?0
由题意知，圆心
（3，4）到直线
l
1
的距离等于半径2，即：
所求直线
l
1
方程是
3x?4y?3?0

综上所述 ：所求直线
l
1
方程是
x?1
，或
3x?4y?3?0
(2) 直线
l
1
的方程为
y
=
x< br>－1∵M是弦
PQ
的中点，∴
PQ
⊥
CM
,
∴
CM
方程为
y
－4=－(
x
－3),即< br>x
＋
y
－7＝0
∵
?
?
y?x?1,
?
x?4,
∴
?
∴
M
点坐标（4，3）．
x?y?7?0,
??
y?3.
3k?4?k
k
2
?1
?2
解之得
k?
3

4
(3)设圆心到直线的距离为
d，
三角形CPQ的面积为S,则
1
d?24?d
2
?d4?d
2
2
∴当
d
＝
2
时，
S
取得最大值2.
?4d2
?d
4
??(d
2
?2)
2
?4，
S?
8．（1）设直线
l
的斜率为
k
（
k
存在）则 方程为
y?0?k(x?2)
.
又圆
C
的圆心为
(3,?2)
，半径
r?3
，由
3k?2?2k
k
2
?1
3
?1
，解得
k ??
.
4
3
所以直线方程为
y??(x?2)
， 即
3x?4y?6?0
.
4
当
l
的斜率不存在时，
l
的方程为
x?2
，经验证
x?2
也满足条件.
（2） 由于
CP?5
，而弦心距
d?r
2
?(
MN
2)?5
，
2
所以
d?
CP?5
，所以
P
为
MN
的中点. 故以
MN
为直径的圆
Q
的方程为
(x?2)
2
?y
2
?4
.
（3）把直线
ax?y?1?0
即
y?ax?1
．代入圆
C
的方程，

消去
y
，整理得
(a
2
?1)x
2
?6(a?1)x?9?0
．由 于直线
ax?y?1?0
交圆
C
于
A,B
两
点，
故
??36(a?1)
2
?36(a
2
?1)?0
，即
?2a?0
，解得
a?0
．
则实数
a
的取值范围是
(??,0)
．
设符合条件的实数
a
存在，由于
l
2
垂直平分弦
AB
，故圆心
C(3, ?2)
必在
l
2
上．
所以
l
2的斜率
k
PC
??2
，而
k
AB
?a??
1
1
，所以
a?
．
k
PC
2