0026高中数学0004免费答案-新东方高中数学尖子班怎么样
直线和圆的位置关系
1
.
理解直线与圆的位置关系的种类
.
2
.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
.
3
.
会用方程思想(判别式法)或点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系
.
一艘船在沿直线返回港口的途中,接到台风预报:台风中心位于船正西70千米处,受影
响的范
围是半径为30千米的圆形区域
.
已知港口位于台风中心正北40千米处,如果这艘船不
改变航线,那么它是否会受到台风影响?这个问题可归结为直线和圆是否有公共点的问题,也
是我们这
节课研究的对象
.
问题1:直线与圆的位置关系有三种:
相交
、
相切
、
相离
.
判断直线与圆的位置关系有两种方法: <
br>(1)代数法:联立直线方程与圆的方程消去
x
或
y
整理成一元二次方
程后,计算判别式Δ,
当判别式Δ
<
0时,直线和圆
相离
;当判别式Δ
=
0时,直线和圆
相切
;当判别式Δ
>
0
时,直线和圆
相交
.
(2)几何法:利用圆心到直线的距离
d
和圆半径
r
的大小关系:
d
相交
,
d=r
?
相切
,
d>r
?
相离
.
问题2:过一定点是否都存在圆的切线?如果存在,如何求圆的切线方程?
(1)若点在圆内,此时直线和圆相交,不存在圆的切线
.
(2)若点在圆上,则过该点的切线只有
一条
,切线方程求法如下:
①
直接法,先求该点与圆心的连线的直线的斜率,再利用垂
直关系求出切线斜率,最后用
点斜式求出切线方程
.
②
设元法,先
设出切线方程(注意斜率不存在时的讨论),再利用圆心到切线的距离等于
半径,求出所设参数
.
③
公式法,设
A
(
x
0
,
y
0
)是圆(
x-a
)
2
+
(
y-b
)
2
=r
2
上的一点,则过点
A
的切线方程
22
22
为:(
x-a
)(
x
0
-a
)
+(
y-b
)·(
y
0
-b
)
=r
,特
别地,当圆心在原点时,即:
A
(
x
0
,
y
0)是圆
x+y=r
上一
2
点,则过点
A
的切线方程为:
x
0
x+y
0
y=r .
(3)若点在圆外,则过该点的切线有
两条
,切线方程求法如下:
首先分析斜率不存在是否满足条件,再分析斜率存在时:设斜率为<
br>k
,写出切线方程,利
用圆心到切线的距离等于半径求出斜率,从而求出切线方程
.
问题3:计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何法:运用弦心距(即
圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计
算
.
(2)代数法:运用韦达定理及两点距离公式有
|AB|=
·
|x
A
-x
B
|=
-
.
问题4:用直线与圆的知识解决实际问题的步骤
(1)仔细审题,理解题意;
(2)引入
数学符号
,建立
数学模型
;
(3)用直线与圆的知识解决已建立的数学模型;
(4)用结果解释
实际问题
.
1
1
.
直线3
x+
4
y=
5与圆
x+y=
16的位置关系是(
)
.
A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交
22
2
.
自点
A
(
-
1,4)作圆(
x-
2)
+
(
y-
3)
=
1的切线,则切线长为(
)
.
A.
B.3 C.
D.5
22
3
.
若直线
y=kx+
2与圆(
x-
2)
+
(
y-
3)
=
1有
两个不同的交点,则
k
的取值范围是
.
22
4
.
过原点作圆
x+y-
2
x-
2
y+
1<
br>=
0的切线,求切线方程
.
圆的切线方程
222
已知圆的方程是
x+y=r
,求经过圆上一点
M
(<
br>x
0
,
y
0
)的切线方程
.
求圆的弦长
22
求直线
x-
y+
2
=
0被圆
x+y=
4截得的弦长
.
利用圆的方程求最值
2222
已知实数
x
,
y
满
足(
x-
2)
+y=
4,求3
x+
4
y
的
最值
.
22
求过点
P
(
4,5)的圆(
x-
2)
+y=
4的切线方程
.
22
已知圆
C
:
x+y-
8
y+
12
=
0,直线
l
:
ax+y+
2
a=
0
.
当直线
l
与圆
C
相交于
A
,
B
两点,且
AB=
2
时,求直线
l
的方程
.
已知点P
(
x
,
y
)在圆
x+
(
y-
1)
=
1上运动,则
-
的最大值为
;最小值
为
.
22
1<
br>.
直线
y=x+
1与圆
x+y=
1的位置关系是(
)
.
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
22
2
.
圆
C
:x+y-
4
x=
0在点
P
(1,
)处的切线方程为(
)
.
A.
x+
y-
2
=
0 B
.x+
y-
4
=
0
C.
x-
y+
4
=
0 D.
x-
y+
2
=
0
22
3
.
直线
x-y+m=
0与圆
x+y-
2
x-
2
=
0相切,则实数
m
等于
.
22
4<
br>.
已知圆
x+y=
8内一点
P
(
-
1,2)
,过点
P
的直线
l
的倾斜角为135°,直线
l
交圆于A
、
B
两
点,求
AB
的长
.
22
22
-
2
(2012年·北京卷) 直线
y=x
被圆
x
2
+
(
y-
2)
2
=
4截得的弦长为
.
考题变式(我来改编):
第10课时
直线和圆的位置关系
知识体系梳理
问题1:相交
相切
相离
(1)相离
相切
相交
(2)相交
相切
相离
2
问题2:(2)一条
③x
0
x+y
0
y=r
(3)两条
问题3:(2)
·
|x
A
-x
B
|=
问题4:(2)数学符号
数学模型
(4)实际问题
基础学习交流
1
.
A
∵d=
-
=
1
<
4,
∴
直线与圆
的位置关系是相交
.
2
.
B
因为过圆外一点作圆的切线,两条切线长相等,故切线长为
- -
-
-
=
3,或
2
-
(-
1)
=
3
.
-
3
.
(0,
)
依题意有
<
1,解得0
∴k
的取值范围是(0,
)
.
4
.
解:已知圆的标准方程为(
x-
1)
+(
y-
1)
=
1,所以圆与坐标轴相切,所以切线方程为
x=<
br>0或
y=
0
.
重点难点探究
探究一: 【解析】
(法一)当点
M
不在坐标轴上时,设切线的斜率为
k
,半径
OM的斜率为
k
1
,
∵
圆的切线垂直于过切点的半径,
∴k=-
.∵k
1
=
,
∴k=-
.
22
3
∴
经过点
M
的切线方程是
y-y
0
=-
(
x-x
0
),整理得
x
0
x+y
0y=
+
.
又
∵
点
M
(
x
0
,
y
0
)在圆上,
∴
+
=r.
2
∴
所求的切线方程是
x
0
x+y
0
y=r
2
.
当点
M
在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用
.
(
法二)设
P
(
x
,
y
)为所求切线上的任意一点,
当
P
与
M
不重合时,△
OPM
为直角三角形,
O
P
为斜边,
222
∴OP
2
=OM
2
+MP
2
,即
x
2
+y
2
=
+
+
(
x-x
0
)
+
(
y-y
0
),整理得
x
0
x+y
0
y=r.
2
可以验证,当
P
与
M
重合时
同样适合上式,故所求的切线方程是
x
0
x+y
0
y=r.
(法三)设
P
(
x
,
y
)为所求切线上的任意一点
(
M
与
P
不重合),
当点
M
不在坐标轴上时,由
OM
⊥
MP
得
k
OM
·
k
MP
=-
1,即
·
-
=-
1,整理得
x
0
x+y
0
y=r.
-
2
可以验证,当点
M
在坐标轴上时,
同样适合上式;当
P
与
M
重合时亦适合上式
.
2
故所求的切线方程是
x
0
x+y
0
y=r.
【小结】(1)求圆的切线方程一般有三种方法:
①
设切线斜率,利用判别式,但过程冗长
,
计算复杂,易出错,通常不采用此法,但该法却是判断直线和曲线相切的通法,以后会经常用
到;
②
设切线斜率,利用圆心到直线的距离等于半径;
③
设切点,利用过圆心
和切点的直线与
切线垂直
.
前两种方法要验证斜率是否存在
.
(2)过圆外一点可作圆的两条切线
.
22
探究二:【解析】(法一)直线
x-
y+
2
=
0和圆
x+y=
4的公共点坐标就是方程组
-
的解
.
根据
x-
y+
2
=
0得
y=
x+
2,
代入
x+y=
4得
x+
x=
0,
222
解得
-
或
∴
公共点坐标为(
-
,1)和(0,2),
直线
x-
y+
2
=
0被圆
x+y=
4截得的弦长为
-
-
-
=
2
.
(法二)如图,设直线
x-
y+
2
=
0与圆
x+y=
4交于
A
,
B
两点,弦
AB
的中点为
M
,则
OM
⊥
AB
(
O
为坐标原点),
22
22
所以
OM=
-
=
,
-
所以
AB=
2
AM=
2
-
=
2
-
=
2
.
【小结】在本题的两种方法中,前
一种方法是代数法,后一种方法是几何法
.
在处理与直
4
线和圆相交形成的弦的有关问题时,我们经常用到如下解法:(1)设弦的两个端点坐标分别为
(
x
1
,
y
1
)、(
x
2
,y
2
),代入圆的方程后寻求坐标与弦的关系,然后加以求解;(2)涉及圆的弦长问题<
br>时,为了简化运算,常利用垂径定理或半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行运算
.
22
探究三:【解析】 由(
x-
2)
+y=
4得y
2
=
4
x-x
2
,所以
222222
3
x+
4
y=
3
x+
4(4
x-x
)<
br>=-x+
16
x=-
(
x-
8)
+
64,
22
故3
x+
4
y
在
x=
8时有最大值6
4,没有最小值
.
[问题]在圆的方程中变量
x
的取值范围是R吗?
222
[结论]
将
x=
8代入圆方程(
x-
2)
+y=
4,得
y=
-
32,矛盾,所以上述解法是错误的
.
因为
y
2
=
4
-
(
x-
2)
2
≥0,所以
x
的取值
范围不是R
.
于是,正确解答如下:
2222
由(
x-
2)
+y=
4得
y=
4
x-x
≥0,得0≤
x
≤4,
222222
所以3
x+
4
y=
3<
br>x+
4(4
x-x
)
=-x+
16
x=-
(
x-
8)
+
64(0≤
x
≤4),
2222所以当
x=y=
0时,3
x+
4
y
取得最小值0;当<
br>x=
4,
y=
0时,3
x+
4
y
取得最大值
48
.
22
【小结】确定圆的一般方程
x+y+Dx+Ey+F=
0中的变量的取值范围的方法:先配方,再根
据平方项非负来确定
.
圆的方程
中变量的范围一般是以隐含条件的形式出现在试题中,因此
在解题时注意挖掘出这个隐含条件
.
思维拓展应用
222222
应用一:把点
P
(4,5)
代入(
x-
2)
+y=
4,得(4
-
2)
+
5
=
29
>
4,即点
P
在圆(
x-
2)
+y=
4外
.
设切线斜率为
k
,则切线方程为<
br>y-
5
=k
(
x-
4),即
kx-y+
5<
br>-
4
k=
0,
又圆心坐标为(2,0),
r=
2,由圆心到切线的距离等于半径,得
- -
=
2,解得
k=
.
将
k
代入所设方程得此时切线方程为21
x-
20
y+
16
=
0
.
当直线的斜率不存在时,还有一条切线是
x=
4
.
因此切
线方程为
x=
4或21
x-
20
y+
16
=
0
.
2222
应用二:将圆
C
的方程
x+y-
8
y+
12
=
0配方后得到标准方程
x+
(
y-
4)
=
4,则此圆的圆心为
C
(0,4),半径为2
.
(法一)过圆心
C
作
CD
⊥
AB
交<
br>AB
于点
D
,
则根据题意和圆的性质,
得
即:
+
2
=
4
.
解得
a=-
7或
a=-
1
.
即直线l
的方程为7
x-y+
14
=
0或
x-y+
2
=
0
.
(法二)联立方程组
消去
y
,得(
a
2
+
1)
x
2<
br>+
4(
a
2
+
2
a
)
x+
4(
a
2
+
4
a+
3)
=
0
.<
br>
-
Δ
=-<
br>16(4
a+
3)
>
0,即
a<-
,
设此方程的两根分别为
x
1
,
x
2
,
由韦达定理知
x
1
+x
2
=-
,
x.
1
x
2
=
由
AB=
2
=
-
,
可求出
a=-
7或
a=-
1,
5
所以直线
l
的方程是7
x-y+
14
=
0或< br>x-y+
2
=
0
.
应用三:
-
因为
-
表示的几何意义是圆上的动点与(2,1)连线的斜率,所以设
-
=k
,即
-
-
kx-y+
1
-
2
k=
0,当直线与圆相切时,斜率
k
取最大值或最小值,此时
- -
=
1,解得
-
k=±
.
所以
的最大值为 ,最小值为
-
.
-
基础智能检测
1
.
B
因为 圆心(0,0)到直线
x-y+
1
=
0的距离
d=
<
1,故直线与圆相交,又(0,0)不在直线上,
所以直线不过圆心.
2
.
D
因为点
P
在圆
C
上,
k
PC
=-
,所以切线的斜率为
,所以切线方程为
y-
=
(
x-
1),即
x-
y+
2
=
0
.
3
.-
3
或
由题设知圆心坐标为(1,0),因为直线与圆相切,所以
d=
=r=
,解得
m=
或
-
3
.
4
.
解 :
k
AB
=-
1,直线
AB
的方程为
y-
2
=-
(
x+
1),即
x+y-
1
=
0< br>.
故圆心(0,0)到
AB
的距离
d=
-
-
=
.
=
,从而弦长
|AB|=
2
全新视角拓展
2
本题考查直线和圆的位置关系以及简单的平面几何知识
.
(法一)几何法:圆心到直线的距离为
d=
-
=
,圆的半径
r=
2,所以弦长为
l=
2
×
-
=
2
-
=
2
;
消去
y
可得
x-< br>2
x=
0,所以直线和圆(法二)代数法:联立直线和圆的方程
-
2
的两个交点坐标分别为(2,2),(0,0),弦长为
-
-
=
2
.
6