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高中数学《直线和圆的位置关系》

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 11:05
tags:高中数学直线与圆

0026高中数学0004免费答案-新东方高中数学尖子班怎么样

2020年10月6日发(作者:赖遵游)


直线和圆的位置关系


1
.
理解直线与圆的位置关系的种类
.

2
.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
.

3
.
会用方程思想(判别式法)或点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系
.


一艘船在沿直线返回港口的途中,接到台风预报:台风中心位于船正西70千米处,受影
响的范 围是半径为30千米的圆形区域
.
已知港口位于台风中心正北40千米处,如果这艘船不
改变航线,那么它是否会受到台风影响?这个问题可归结为直线和圆是否有公共点的问题,也
是我们这 节课研究的对象
.


问题1:直线与圆的位置关系有三种:

相交



相切



相离


.

判断直线与圆的位置关系有两种方法: < br>(1)代数法:联立直线方程与圆的方程消去
x

y
整理成一元二次方 程后,计算判别式Δ,
当判别式Δ
<
0时,直线和圆

相离

;当判别式Δ
=
0时,直线和圆

相切

;当判别式Δ
>
0
时,直线和圆

相交
.

(2)几何法:利用圆心到直线的距离
d
和圆半径
r
的大小关系:
d?

相交

,
d=r
?

相切

,
d>r
?

相离
.

问题2:过一定点是否都存在圆的切线?如果存在,如何求圆的切线方程?
(1)若点在圆内,此时直线和圆相交,不存在圆的切线
.

(2)若点在圆上,则过该点的切线只有

一条

,切线方程求法如下:

直接法,先求该点与圆心的连线的直线的斜率,再利用垂 直关系求出切线斜率,最后用
点斜式求出切线方程
.


设元法,先 设出切线方程(注意斜率不存在时的讨论),再利用圆心到切线的距离等于
半径,求出所设参数
.


公式法,设
A
(
x
0
,
y
0
)是圆(
x-a
)
2
+
(
y-b
)
2
=r
2
上的一点,则过点
A
的切线方程
22 22
为:(
x-a
)(
x
0
-a
)
+(
y-b
)·(
y
0
-b
)
=r
,特 别地,当圆心在原点时,即:
A
(
x
0
,
y
0)是圆
x+y=r
上一
2
点,则过点
A
的切线方程为:
x
0
x+y
0
y=r .

(3)若点在圆外,则过该点的切线有

两条

,切线方程求法如下:
首先分析斜率不存在是否满足条件,再分析斜率存在时:设斜率为< br>k
,写出切线方程,利
用圆心到切线的距离等于半径求出斜率,从而求出切线方程
.

问题3:计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何法:运用弦心距(即 圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计

.

(2)代数法:运用韦达定理及两点距离公式有
|AB|=



·
|x
A
-x
B
|=









-




.

问题4:用直线与圆的知识解决实际问题的步骤
(1)仔细审题,理解题意;
(2)引入

数学符号

,建立

数学模型

;
(3)用直线与圆的知识解决已建立的数学模型;
(4)用结果解释

实际问题
.



1


1
.
直线3
x+
4
y=
5与圆
x+y=
16的位置关系是(

)
.

A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交
22
2
.
自点
A
(
-
1,4)作圆(
x-
2)
+
(
y-
3)
=
1的切线,则切线长为(

)
.

A.


B.3 C.


D.5
22
3
.
若直线
y=kx+
2与圆(
x-
2)
+
(
y-
3)
=
1有 两个不同的交点,则
k
的取值范围是
.

22
4
.
过原点作圆
x+y-
2
x-
2
y+
1< br>=
0的切线,求切线方程
.



圆的切线方程
222
已知圆的方程是
x+y=r
,求经过圆上一点
M
(< br>x
0
,
y
0
)的切线方程
.




求圆的弦长
22
求直线
x-


y+
2


=
0被圆
x+y=
4截得的弦长
.



利用圆的方程求最值
2222
已知实数
x
,
y
满 足(
x-
2)
+y=
4,求3
x+
4
y
的 最值
.




22
求过点
P
( 4,5)的圆(
x-
2)
+y=
4的切线方程
.



22
已知圆
C
:
x+y-
8
y+
12
=
0,直线
l
:
ax+y+
2
a=
0
.
当直线
l
与圆
C
相交于
A
,
B
两点,且
AB=
2


时,求直线
l
的方程
.



已知点P
(
x
,
y
)在圆
x+
(
y-
1)
=
1上运动,则
-
的最大值为

;最小值

.



22
1< br>.
直线
y=x+
1与圆
x+y=
1的位置关系是(

)
.

A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
22
2
.

C
:x+y-
4
x=
0在点
P
(1,


)处的切线方程为(

)
.

A.
x+


y-
2
=
0 B
.x+


y-
4
=
0
C.
x-


y+
4
=
0 D.
x-


y+
2
=
0
22
3
.
直线


x-y+m=
0与圆
x+y-
2
x-
2
=
0相切,则实数
m
等于
.

22
4< br>.
已知圆
x+y=
8内一点
P
(
-
1,2) ,过点
P
的直线
l
的倾斜角为135°,直线
l
交圆于A

B

点,求
AB
的长
.


22
22
-

2




(2012年·北京卷) 直线
y=x
被圆
x
2
+
(
y-
2)
2
=
4截得的弦长为
.


考题变式(我来改编):




第10课时

直线和圆的位置关系

知识体系梳理
问题1:相交

相切

相离

(1)相离

相切

相交
(2)相交

相切

相离
2
问题2:(2)一条
③x
0
x+y
0
y=r

(3)两条
问题3:(2)



·
|x
A
-x
B
|=
















问题4:(2)数学符号

数学模型

(4)实际问题
基础学习交流
1
.
A
∵d=
-





=
1
<
4,

直线与圆 的位置关系是相交
.

2
.
B

因为过圆外一点作圆的切线,两条切线长相等,故切线长为

- -

-

-
=
3,或
2
-
(-
1)
=
3
.

-
3
.
(0,

)

依题意有
<
1,解得0
,





∴k
的取值范围是(0,

)
.


4
.
解:已知圆的标准方程为(
x-
1)
+(
y-
1)
=
1,所以圆与坐标轴相切,所以切线方程为
x=< br>0或
y=
0
.

重点难点探究
探究一: 【解析】 (法一)当点
M
不在坐标轴上时,设切线的斜率为
k
,半径
OM的斜率为
k
1
,

圆的切线垂直于过切点的半径,


∴k=-


.∵k
1
=


,
∴k=-

.



22


3






经过点
M
的切线方程是
y-y
0
=-

(
x-x
0
),整理得
x
0
x+y
0y=



+


.






M
(
x
0
,
y
0
)在圆上,




+


=r.

2

所求的切线方程是
x
0
x+y
0
y=r
2
.

当点
M
在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用
.

( 法二)设
P
(
x
,
y
)为所求切线上的任意一点,

P

M
不重合时,△
OPM
为直角三角形,
O P
为斜边,
222

∴OP
2
=OM
2
+MP
2
,即
x
2
+y
2
=



+


+
(
x-x
0
)
+
(
y-y
0
),整理得
x
0
x+y
0
y=r.

2
可以验证,当
P

M
重合时 同样适合上式,故所求的切线方程是
x
0
x+y
0
y=r.

(法三)设
P
(
x
,
y
)为所求切线上的任意一点 (
M

P
不重合),
当点
M
不在坐标轴上时,由
OM

MP

k
OM
·
k
MP
=-
1,即


·


-
=-
1,整理得
x
0
x+y
0
y=r.



-
2
可以验证,当点
M
在坐标轴上时, 同样适合上式;当
P

M
重合时亦适合上式
.

2
故所求的切线方程是
x
0
x+y
0
y=r.
【小结】(1)求圆的切线方程一般有三种方法:

设切线斜率,利用判别式,但过程冗长 ,
计算复杂,易出错,通常不采用此法,但该法却是判断直线和曲线相切的通法,以后会经常用
到;

设切线斜率,利用圆心到直线的距离等于半径;

设切点,利用过圆心 和切点的直线与
切线垂直
.
前两种方法要验证斜率是否存在
.

(2)过圆外一点可作圆的两条切线
.

22
探究二:【解析】(法一)直线
x-


y+
2


=
0和圆
x+y=
4的公共点坐标就是方程组
-






的解
.




根据
x-


y+
2


=
0得
y=


x+
2,
代入
x+y=
4得

x+



x=
0,
222


解得



-














公共点坐标为(
-


,1)和(0,2),
直线
x-


y+
2


=
0被圆
x+y=
4截得的弦长为

-

-

-

=
2
.

(法二)如图,设直线
x-


y+
2


=
0与圆
x+y=
4交于
A
,
B
两点,弦
AB
的中点为
M
,则
OM

AB
(
O
为坐标原点),
22
22

所以
OM=
-


=


,



-



所以
AB=
2
AM=
2



-

=
2



-



=
2
.

【小结】在本题的两种方法中,前 一种方法是代数法,后一种方法是几何法
.
在处理与直

4


线和圆相交形成的弦的有关问题时,我们经常用到如下解法:(1)设弦的两个端点坐标分别为
(
x
1
,
y
1
)、(
x
2
,y
2
),代入圆的方程后寻求坐标与弦的关系,然后加以求解;(2)涉及圆的弦长问题< br>时,为了简化运算,常利用垂径定理或半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行运算
.

22
探究三:【解析】 由(
x-
2)
+y=
4得y
2
=
4
x-x
2
,所以
222222
3
x+
4
y=
3
x+
4(4
x-x
)< br>=-x+
16
x=-
(
x-
8)
+
64,
22
故3
x+
4
y

x=
8时有最大值6 4,没有最小值
.

[问题]在圆的方程中变量
x
的取值范围是R吗?
222
[结论] 将
x=
8代入圆方程(
x-
2)
+y=
4,得
y= -
32,矛盾,所以上述解法是错误的
.
因为
y
2
=
4
-
(
x-
2)
2
≥0,所以
x
的取值 范围不是R
.

于是,正确解答如下:
2222
由(
x-
2)
+y=
4得
y=
4
x-x
≥0,得0≤
x
≤4,
222222
所以3
x+
4
y=
3< br>x+
4(4
x-x
)
=-x+
16
x=-
(
x-
8)
+
64(0≤
x
≤4),
2222所以当
x=y=
0时,3
x+
4
y
取得最小值0;当< br>x=
4,
y=
0时,3
x+
4
y
取得最大值 48
.

22
【小结】确定圆的一般方程
x+y+Dx+Ey+F=
0中的变量的取值范围的方法:先配方,再根
据平方项非负来确定
.
圆的方程 中变量的范围一般是以隐含条件的形式出现在试题中,因此
在解题时注意挖掘出这个隐含条件
.

思维拓展应用
222222
应用一:把点
P
(4,5) 代入(
x-
2)
+y=
4,得(4
-
2)
+
5
=
29
>
4,即点
P
在圆(
x-
2)
+y=
4外
.

设切线斜率为
k
,则切线方程为< br>y-
5
=k
(
x-
4),即
kx-y+
5< br>-
4
k=
0,
又圆心坐标为(2,0),
r=
2,由圆心到切线的距离等于半径,得
- -




=
2,解得
k=

.



k
代入所设方程得此时切线方程为21
x-
20
y+
16
=
0
.

当直线的斜率不存在时,还有一条切线是
x=
4
.

因此切 线方程为
x=
4或21
x-
20
y+
16
=
0
.

2222
应用二:将圆
C
的方程
x+y-
8
y+
12
=
0配方后得到标准方程
x+
(
y-
4)
=
4,则此圆的圆心为
C
(0,4),半径为2
.

(法一)过圆心
C

CD

AB
交< br>AB
于点
D
,
则根据题意和圆的性质,



















即:



+
2
=
4
.











解得
a=-
7或
a=-
1
.

即直线l
的方程为7
x-y+
14
=
0或
x-y+
2
=
0
.

(法二)联立方程组


消去
y
,得(
a
2
+
1)
x
2< br>+
4(
a
2
+
2
a
)
x+
4(
a
2
+
4
a+
3)
=
0
.< br>




-
Δ
=-< br>16(4
a+
3)
>
0,即
a<-

,

设此方程的两根分别为
x
1
,
x
2
,

由韦达定理知
x
1
+x
2
=-

,
x.

1
x
2
=






AB=
2


=









-




,
可求出
a=-
7或
a=-
1,

5

< p>
所以直线
l
的方程是7
x-y+
14
=
0或< br>x-y+
2
=
0
.

应用三:


-



因为
-
表示的几何意义是圆上的动点与(2,1)连线的斜率,所以设
-
=k
,即
-
-
kx-y+
1
-
2
k=
0,当直线与圆相切时,斜率
k
取最大值或最小值,此时
- -
=
1,解得




-




k=±



.
所以

的最大值为 ,最小值为
-

.


-
基础智能检测
1
.
B

因为 圆心(0,0)到直线
x-y+
1
=
0的距离
d=


<
1,故直线与圆相交,又(0,0)不在直线上,
所以直线不过圆心.

2
.
D

因为点
P
在圆
C
上,
k
PC
=-


,所以切线的斜率为



,所以切线方程为
y-


=



(
x-
1),即

x-


y+
2
=
0
.

3
.-
3






由题设知圆心坐标为(1,0),因为直线与圆相切,所以
d=



=r=


,解得
m=




-
3


.

4
.
解 :
k
AB
=-
1,直线
AB
的方程为
y-
2
=-
(
x+
1),即
x+y-
1
=
0< br>.

故圆心(0,0)到
AB
的距离
d=
-



-
=


.

=
,从而弦长
|AB|=
2



全新视角拓展
2



本题考查直线和圆的位置关系以及简单的平面几何知识
.

(法一)几何法:圆心到直线的距离为
d=
-


=


,圆的半径
r=
2,所以弦长为
l=
2
×



-

=
2

-
=
2


;
消去
y
可得
x-< br>2
x=
0,所以直线和圆(法二)代数法:联立直线和圆的方程



-



2

的两个交点坐标分别为(2,2),(0,0),弦长为

-

-

=
2


.



6

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