高中数学知识点总结-第七章直线和圆的方程

高中数学第七章-直线和圆的方程
考试内容：
直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．
两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．
用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．
曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．
圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．
考试要求：
（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线 方程的点
斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
（2）掌握两条直线平 行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据
直线的方程判断两条直线的位置关系 ．
（3）了解二元一次不等式表示平面区域．
（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．
（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．
（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．

§07. 直线和圆的方程 知识要点
一、直线方程.
1. 直线的倾斜角：一 条直线向上的方向与
x
轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜
角，其中直线与< br>x
轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是
0
?
??
?180
?
(0?
?
?
?
)
. < br>注：①当
?
?90
?
或
x
2
?x
1
时，直线
l
垂直于
x
轴，它的斜率不存在.
②每一条直线 都存在惟一的倾斜角，除与
x
轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都
有惟一的 斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.
2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.
特别地，当直线经过两点
(a,0 ),(0,b)
，即直线在
x
轴，
y
轴上的截距分别为
a, b(a?0,b?0)
时，
直线方程是：
注：若
y??
y??
x
y
??1
.
ab
22
x?2
是一直线的方程 ，则这条直线的方程是
y??x?2
，但若
33
2
x?2(x?0)
则不是这条线.
3
附：直线系：对于直线的斜截式方程
y?kx?b
，当
k,b
均为确定的数值时，它表示一条确定
的直线，如果
k,b
变化时，对应的直线也会变化.①当
b
为定植，
k
变化时，它们表示过定点
（0，
b
）的直线束.②当
k
为定值，
b
变化时， 它们表示一组平行直线.
3. ⑴两条直线平行：
l
1
∥
l2
?k
1
?k
2
两条直线平行的条件是：①
l
1
和
l
2
是两条不重合的直线. ②在
l
1
和
l
2
的斜率
都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的
错误.
（一般的结论是： 对于两条直线
l
1
,l
2
，它们在
y
轴上的纵截距 是
b
1
,b
2
，则
l
1
∥
l2
?k
1
?k
2
，
1

且< br>b
1
?b
2
或
l
1
,l
2
的斜率均不存在，即
A
1
B
2
?B
1
A
2
是平行的必要不充分条件，且
C
1
?C
2
）
推论 ：如果两条直线
l
1
,l
2
的倾斜角为
?
1
,
?
2
则
l
1
∥
l
2
?
?
1
?
?
2
.
⑵两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线
l
1
和l
2
的斜率分别为
k
1
和
k
2
，则有
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1< br>这
里的前提是
l
1
,l
2
的斜率都存在. ②
l
1
?l
2
?k
1
?0
，且
l
2
的斜率不存在或
k
2
?0
，且
l
1
的斜 率不
存在. （即
A
1
B
2
?A
2
B1
?0
是垂直的充要条件）
4. 直线的交角：
⑴直线
l< br>1
到
l
2
的角（方向角）；直线
l
1
到l
2
的角，是指直线
l
1
绕交点依逆时针方向旋转到
与
l
2
重合时所转动的角
?
，它的范围是
(0,
?< br>)
，当
?
?90
?
时
tan
?
?< br>k
2
?k
1
.
1?k
1
k
2⑵两条相交直线
l
1
与
l
2
的夹角：两条相交直线l
1
与
l
2
的夹角，是指由
l
1
与< br>l
2
相交所成的四
?
?
?
?
个角中最小的正 角
?
，又称为
l
1
和
l
2
所成的角，它的 取值范围是
?
?
0,
2
?
，当
?
?90< br>，则有
?
?
tan
?
?
k
2
?k< br>1
.
1?k
1
k
2
?
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
的交点的直线系方 程
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
( A
2
x?B
2
y?C
2
)?0(
?
l:A x?By?C?0
2222
?
5. 过两直线
?
为参数，
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
不包括在内）
6. 点到直线的距离：
⑴点到直线的距离公式：设点
P(x
0
, y
0
)
，直线
l:Ax?By?C?0,P
到
l
的 距离为
d
，则有
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
.
注：
1. 两点P
1
(x
1
,y
1
)、P
2
(x
2
,y
2
)的距离公式：
|P
1
P
2
|?(x
2
?x1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
.
特例：点P(x,y)到原点O的距离：
|OP|?x
2
?y
2

????????
2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段
PP
,其中
12
所成的比为
?
即PP
1
?
?
PP
2
x
1
?
?
x
2
y?< br>?
y
2

,y?
1
1?
?
1??
特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
3. 直线的倾斜角（0°≤
?
＜180°）、斜率:
k?tan
?
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x2
,y
2
).则
x?
4. 过两点
Pk?
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)的直线的斜率公式：
当
x
1
y
2
?y
1
.
x
2
?x
1
(x
1
? x
2
)

?x
2
,y
1
?y
2< br>（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角
?
＝
90?
，没有斜率
王新敞

⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线
l
1
:Ax?By?C
1
?0,l
2
:Ax?By?C
2
?0( C
1
?C
2
)
，
2

它们之间的 距离为
d
，则有
d?
C
1
?C
2
A?B< br>22
.
注；
直线系方程
1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m).
2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m?R)
3. 过定点（x
1
,y
1
）的直线系方程是： A(x-x
1
)+B(y-y
1
)=0 (A,B不全为0)
4. 过直线l
1
、l
2
交点的直线系方程：（A
1
x+B
1
y+C
1
）+λ( A
2
x+B
2
y+C
2
）=0 (λ?R） 注：
该直线系不含l
2
.

7. 关于点对称和关于某直线对称：
⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
⑵关于某直线对称 的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称
直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.
⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对
称点的直线方 程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线（
y??x?b
）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0
关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.
②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0.
二、圆的方程.
1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线
C
上的 与一个二元方程
f(x,y)?0
的实数
建立了如下关系：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.
⑵曲线和方程的关系，实质 上是曲线上任一点
M(x,y)
其坐标与方程
f(x,y)?0
的一种关系，
曲线上任一点
(x,y)
是方程
f(x,y)?0
的解；反过来，满 足方程
f(x,y)?0
的解所对应的点是
曲线上的点.
注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P
0
(x
0
,y)线C上的充要条件是f(x
0
,y
0
)=0
2. 圆的 标准方程：以点
C(a,b)
为圆心，
r
为半径的圆的标准方程是
( x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
特例：圆心 在坐标原点，半径为
r
的圆的方程是：
x
2
?y
2
?r
2
.
注：特殊圆的方程：①与
x
轴相切的圆方程
(x ?a)
2
?(y?b)
2
?b
2

[r?b,圆心(a,b)或(a,?b)]

②与
y
轴相切的圆方 程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?a
2

[r?a,圆心(a,b)或(?a,b)]

③与
x
轴
y
轴都相切的圆方程
(x?a)
2
?(y?a)
2
?a
2

[r?a,圆心(?a,?a)]

3. 圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
.
3

?
DE
?
当
D?E?
4F?
0
时，方程表示一个圆，其中圆心
C
?
?,?
?< br>，半径
r?
2
??
2
22
D
2
?E
2
?4F
.
2
当
D
2
?E
2< br>?4F?0
时，方程表示一个点
?
?
?
DE
?
,?
?
.
2
??
2
当
D
2
? E
2
?
4
F?
0
时，方程无图形（称虚圆）.
?
x?a?rcos
?
注：①圆的参数方程：
?
（
?
为参数）.
y?b?rsin
?
?
②方程
Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
表示圆的充要条件是：
B?0
且
A?C?0
且
D
2
?E
2
?
4
AF?
0
.
③圆的直径或方程：已知
A(x
1
,y1
)B(x
2
,y
2
)?(x?x
1
)(x? x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
（用向量 可征）.
4. 点和圆的位置关系：给定点
M(x
0
,y
0
)
及圆
C:(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
①
M
在圆
C
内
?(x
0
?a )
2
?(y
0
?b)
2
?r
2

②
M
在圆
C
上
?（x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2

③
M
在圆
C
外
?(x
0
?a)
2
?(y
0?b)
2
?r
2

5. 直线和圆的位置关系：
设圆圆
C
：
(
x?a
)
2
?
(
y ?b
)
2
?r
2
(
r?
0)
； 直 线
l
：
Ax?By?C?
0(
A
2
?B
2
?
0)
；
圆心
C(a,b)
到直线
l
的距离
d?
①
d?r
时，
l
与
C
相切；
22
?
?
x?y?D
1
x?E
1
y?F< br>1
?0
附：若两圆相切，则
?
?
相减为公切线方程.
22
?
?
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
Aa?Bb?C
A?B
22
.
②
d?r
时，
l
与
C
相交；
C
1
:

x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
附：公共弦方程：设
C
2
:x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0

有两个交点，则其公共弦方程为
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?(F
1
?F
2
)?0
.
③
d?r
时，
l
与
C
相离.
22?
?
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
附：若两圆相离，则
?
?
相减为圆心
O
1
O< br>2
的连线的中与线方程.
22
?
?
x?y?D
2< br>x?E
2
y?F
2
?0
?
?
(x?a)2
?(y?b)
2
?r
2
由代数特征判断：方程组
?
用代入法，得关于
x
（或
y
）的一元二次方
?
A x?Bx?C?0
?
程，其判别式为
?
，则：
??0?l
与
C
相切；
??0?l
与
C
相交；
4

??0?l
与
C
相离.
注：若两圆为同心圆则x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F< br>1
?0
，
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
相减，不表示直
线.
6. 圆的切线方程：圆
x
2
?y
2
?r
2
的斜率为
k
的切线方程是
y?kx?1?k
2
r
过圆x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

上一点
P (x
0
,y
0
)
的切线方程为：
x
0
x? y
0
y?D
x?x
0
y?y
0
?E?F?0
.
22
①一般方程若点(x
0
,y
0
)在圆上，则(x – a)(x
0
– a)+(y – b)(y
0
– b)=R
2
. 特别地，过圆
x
2
?y
2
?r
2
上
一点
P(x
0
,y0
)
的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
2
.
?
y
1
?y
0
?k(x
1
?x
0
)
?
b?y
1
?k(a?x
1
)
，联立求出
k?
切线方程.
B
②若点(x
0
, y
0
)不在圆上，圆心为(a,b)则
?
?
R?
R
2
?1
?
A
C
D
(a,b)
7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共
圆. 已知
?O
的方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0…① 又以ABCD为圆为方程为
(x?x
A
)(x?a)?(y?y
A
)(x?b)?k
2
…②
(x
A
?a)
2?(y
A
?b)
2
…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.
R?
4
2

三、曲线和方程
1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；
2） 方程f(x, y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的
方程，曲线C 叫做方程f(x,y)=0的曲线。
2.求曲线方程的方法：.
1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系
数法.

5