高中数学文科 直线与圆

直线与圆

11.1直线


知识点睛


1．直线的斜率
倾斜角：
0?≤
?
?180?

斜率：
k?tan
?

⑴ 直线
l
与
x< br>轴平行或重合时，
?
?0?
，
k?tan0??0
;
⑵ 当直线
l
与
x
轴垂直时，
?
?90?
，
k
不存在．
y?y
1
y
1
?
，
P
2
?
x
2
，y
2
?
为直线上两点． 直线的斜率公式：
k?
2
，
P
1
?
x
1
，
x
2
?x
1
2．直线方程
点斜式方程：
y?y
0
?k(x?x
0
)
；
斜截式方程：
y?kx?b
；
y?y
1
x?x
1
两点式方程：
?(x
1
?x
2
，y
1
?y
2
)
；
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
截距式方程：
??1(a?0,b?0)
；
ab
一般式方程：
Ax?By?C?0
（
A
，
B
不 全为零
)
，与直线一一对应．
<教师备案>注意讲授每一种直线方程的使用条件，截距可正可负可为零．
3．两条直线的位 置关系：
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1< br>?0
，
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
；
⑴相交：
A
1
B
2
? A
2
B
1
?0

⑵平行：
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
且
B
1
C
2
?C
1
B
2
?0

⑶重合：
A
1
?
?
A
2
，
B
1
?
?
B
2
，
C
1
?
?
C
2
(
?
?0)

⑷垂直：
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0

4．点到直线的距离公式
⑴ 点
P(x
0
，y
0
)
到直线
l:Ax?By?C? 0
的距离：
d?
Ax
0
?By
0
?C
A? B
22
，
C
1
?C
2
A?B
22
⑵两条平行线
l
1
:Ax?By?C
1
?0
，
l
2
:Ax?By?C
2
?0
之间的距离：
d?



．

经典精讲

考点：直线的方程

尖子班学案1
2
?
，< br>Q
?
?1，3
?
，则直线
PQ
的斜率是______ __． 【铺1】 ⑴ 已知点
P
?
1，
⑵ 直线
3x?y?5?0
的倾斜角是_____．
⑶ 直线
5x3y20
与两坐标轴围成的三角形面积 ．
1
【解析】 ⑴
2
π
⑵
3
2
⑶
15

3
【例1】 ⑴ 倾斜角是直线
yx2
倾斜角
2
倍的直线斜率等于 ．
3
⑵ 对于任意实数
k
，直线
yk(x2)3
必过一定点，则该定点坐标为 ．
⑶ 若三点
(2，3)，(3，a)，(4，b)
在同一直线上，则
a， b
满足的关系为__________．
⑷ 直线
ax6y12a0
（a
不等于
0
）在
x
轴上的截距是它在
y
轴上的 截距的
3
倍，则
a
有公共点，则直线
l
的倾斜角的取值范围 是（ ）
π
???
ππ
??
π3π
??
3 π
?
A．
?
0，
?
B．
?
，
?
C．
?
，
?
D．
?
，
π
?

4
???
42
? ?
24
??
4
?
【解析】 ⑴
3

⑵
(2，3)

⑶
b2a3

⑷
2

⑸ C



目标班学案1
【拓2】 ⑴ 若
ab0
，
ac0
，则直线
axbyc0
不经过第 象限．
⑵ 过点
A(1，2)
作直线
l
使它在两坐标轴上的截距的 绝对值相等，则满足条件的直线
l
的条数
是 ．
⑶ 若直线mx?y?2?0
与线段
AB
有交点，其中
A(?2，3)，B(3，2 )
，求实数
m
的取值范围．
【解析】 ⑴ 三．
⑵
3

54
⑶
m
的范围为
m≥
或
m≤?
．
23



【例2】 ⑴ 若直线
l
1
:ax?2y?6?0与
l
2
:x?
?
a?1
?
y?a
2< br>?1?0
平行，则
a
的值是 ；
．
O
?
0，0
?
,
A
?
1，0
?
为 平面直角坐标系内的三点，⑸ 已知
P(0，
若过点
P
的直线
l与线段
OA

1)
，
??
3
?
，B
?
?5，1
?
为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） ⑵ 以
A
?
1，
A．
3x?y?8?0
B．
3x?y?4?0
C．
3x?y?6?0
D．
3x?y?2?0

⑶ 过点
M(0，1)
作直 线，使它被两已知直线
l
1
:x?3y?10?0
，
l
2< br>:2x?y?8?0
所截得的线段
恰好被
M
平分，求此直线方程．
【解析】 ⑴
1

⑵ B
⑶
x?4y?4?0
．

目标班学案2
【拓2】 ⑴ 已知
M?{(x，
且
MN??
，
y)|(m?3)x?y?3m? 4}
，
N?{(x，y)|7x?(5?m)y?8?0}
，
则直线
(m?3)x?y?3m?4
与坐标轴围成的三角形面积是___________．
⑵ 已 知过点
A(1，1)
且斜率为
?m(m?0)
的直线
l
与< br>x，
Q
，过
P，Q
作直线
y
轴分别交于
P，
2x?y?0
的垂线，垂足分别为
R，S
，求四边形
PRSQ
的面积的最小值．
【解析】 ⑴
2

⑵
3.6
．


尖子班学案2
【铺1】 如图所示，在
?ABC
中， 顶点
A，B
和内心
I
的坐标分别为
A(9，1)
、
y
B
B(3，4)
、
I(4，1)
，求顶点
C
的坐 标．
【解析】 点
C
坐标为
(?1，?4)
．
A
I

O
x



C


【例3】 已知三直线
l
1
：
2x?y?a?0(a＞0 )
，
l
2
:
?4x?2y?1?0
和
l
3
:
x?y?1?0
，且
l
1
与
l
2
的距离是
7
5
．
10
⑴ 求
a
的值；
⑵ 能否找到一点
P
，使
P
同时满足下列三条件：①
P是第一象限的点；②
P
点到
l
1
的距离是
1
P
点到
l
2
距离的；③
P
点到
l
1
的距离与
P
点到
l
3
的距离之比是
2:5
，若能， 求
P
点
2
的坐标；若不能，说明理由．
【解析】 ⑴
a?3
．
?
137
?
⑵
P
?
，
?

?
918
?

11.2圆

知识点睛



1. 圆的方程
标准方程 ：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
，
C(a，b)
为圆心，
r
为半径：
一般方程：
x
2?y
2
?Dx?Ey?F?0
，（
D
2
?E
2
?4F?0
）
<教师备案>⑴
x
2
和
y
2
项的系数相等且都不为零；
⑵没有
xy
这样的二次项．
1
?
DE
?
⑶表示以
?
?,?
?
为圆心，
D
2
?E
2
?4F
为半径的圆．
2
?
2
?
2
2. 点与圆的位置关系
22
b
?
，半径
r
， 圆的标准方程
?
x ?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
，圆心
A
?
a，

点
M
?
x
0
，y< br>0
?
在圆上，则
?
x
0
?a
?
?< br>?
y
0
?b
?
?r
2
；
点
M
?
x
0
，y
0
?
在圆外，则
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?< br>?r
2
；
点
M
?
x
0
，y
0
?
在圆内，则
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r
2
；反之，也成立．
3．直线与圆的位置关系
如果圆心到直线的距离为
d
，圆的半径为
r
，那么：
①若
d?r
，则直线与圆相离；
②若
d?r
，则直线与圆相切；
③若
d?r
，则直线与圆相交
4．圆与圆的位置关系
设
O
1
的半径为
r
1
，
O
2
的半径为
r
2
，两圆的圆心距为
d
，
外离：
r
1
?r
2
?d

外切：
r
1
?r
2
?d

相交：
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2

内切：
r
1
?r
2
?d
?
d?0
?

内含：
r
1
?r
2
?d


22
22
22
经典精讲


考点：圆的方程
【例4】 ⑴ 已知一圆的圆心为点
(2，

?3)
，一条直径的两 个端点分别在
x
轴和
y
轴上，求此圆的方程．
?1
?
与
B
?
?1，1
?
且圆心在直线
x?y?2?0
上的圆的方程为（ ） ⑵ 过点
A
?
1，
A．
?
x ?3
?
?
?
y?1
?
?4
B．
?
x?3
?
?
?
y?1
?
?4

C ．
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?4
D．
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?4

⑶ 如果圆的方程为
x
2
?y
2
?kx?2y?k2
?0
，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（ ）．
A．
(?1，1)
B．
(1，?1)
C．
(?1，0)
D．
(0，?1)

【解析】 ⑴
(x?2)
2
?(y?3)
2
?13
．
⑵ D
2222
2222

⑶ D

尖子班学案3
【拓1】 已知
△ABC
三边所在直线方程
AB:x?6?0
，BC:x?2y?8?0
，
CA:x?2y?0
，求此三角
形外接圆的方 程．
21
【解析】
x
2
?y
2
?x?4y?30?0
．
2

【例5】 已知圆
C:x
2
?y
2
?2x?4y?4?0< br>，问是否存在斜率为
1
的直线
l
，其被圆
C
截得弦< br>AB
，且以
AB
为直径的圆经过原点，若存在，写出直线
l
的 方程；若不存在，说明理由．
【解析】
x?y?1?0
或
x?y?4?0
．


【例6】 已知圆
C
1
:x
2
?y
2
?2 x?6y?1?0
和圆
C
2
:x
2
?y
2
?4x?2y?11?0
，求两圆的公共弦所在的直
线方程及公共弦长．
24
【解析】 ．
3x?4y?6?0
，
5


【备选】 求与已知圆
x
2
?y
2
?7y?10?0
相交，所得公共弦平行于已知直线
2x?3y?1?0
且过点
(?2，3)
、
(1，4)
的圆的方程．
x
2
?y
2
?2x?10y?21?0
． 【解析】


【备选】 已知圆
C:(x?1)
2
?(y?2)2
?25
，直线
l:(2m?1)x?(m?1)y?7m?4?0(m?R)< br>．
⑴ 证明直线
l
与圆相交；
⑵ 当直线
l
被圆
C
截得的弦长最小时，求直线
l
的方程．
?
x?y?4?0
?
x?3
【解析】 ⑴ 将直线
l
的方程整理为
(x?y?4)?m(2x?y?7)?0
，由
?
解得
?
．
2x?y?7?0y?1
??
即直线
l
过定点A(3，1)
，因为
(3?1)
2
?(1?2)
2
?5 ?25
，所以
A
在圆
C
的内部．
故直线
l
恒与圆相交．
⑵
2x?y?5?0
．


【备选】 求过直线
x?3y?7?0
与已知圆
x2
?y
2
?2x?2y?3?0
的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为
?8
的圆的方程．
x
2
?y
2
?4x?4y?17?0
． 【解析】






y?3
【例7】 ⑴ 若< br>?
x，y
?
满足关系式
x
2
?y
2
?4x?14y?45?0
，则的最大值为 ；
x?2
2
⑵ 若
?
x，y
?
满足
x
2
?
?
y?1
?
?1
，不等式
x?y?c≥0< br>恒成立，则实数
c
的取值范围为_____．
3
【解析】 ⑴
2
⑵
?
??

?
2?1，

?

已知圆
C
：< br>x
2
?y
2
?2x?2y?1?0
，直线
l:y?k x
，且
l
与圆
C
相交于
P、Q
两点，点
M (0，b)
，
且
MP?MQ
．
2
?
时，求
k
的取值范围． ⑴ 当
b?1
时，求
k
的值；⑵ 当
b?
?
1，
【解析】 ⑴ 圆
C:(x?1)
2
?(y?1)
2
?1
，当
b?1
时，点
M(0，b)
在圆
C
上，
当且仅当直线
l
经过圆心
C
时，满足
MP?MQ
．
1)
，∴
k?1
．
∵
圆心
C
的坐标为< br>(1，
?
y?kx,
22
(1?k)x?2(1?k)x?1?0．① ⑵ 由
?
消去得
y
22
(x?1)?(y?1)?1.< br>?
2(1?k)1
设
P(x
1
,y
1
)，
Q(x
2
,y
2
)
，
∴
x
1
?x
2
?
，．
xx?
12
1?k
2< br>1?k
2
∵
MP?MQ
，
∴
MP?MQ?0
．
∴
(x
1
,y
1
?b)?(x
2
,y
2
?b)?0
，即
x
1
x
2
?(y
1
?b)(y
2
?b)?0
．
∵
y
1
?kx
1
，
y
2
?kx
2
，
∴
x
1
x
2
?(kx
1
?b)(kx
2
?b )?0
，即
(1?k
2
)x
1
x
2
?kb (x
1
?x
2
)?b
2
?0
．
2k(1?k)b
2
?11
12(1?k)
22
，即． < br>??b?
?kb??b?0
∴
(1?k)?
1?k
2
bb
1?k
2
1?k
2
1
?
5
?
2
?
时，
b??
?
2，
?
， 当
b??
1，
b
?
2
?
2k(1?k)5
＜
．
∴
2＜
1?k
2
2
?
2k(1?k)＞2(1 +k
2
),
?
k?1
?
即
?
得
?
5
2
k?R
2k(1+k)<(1?k).
?
?
?2
由①式得
Δ?[2(1?k)]
2
?4(1?k
2
)? 0
，解得
k?0
．
∴
k?1
．
大千世界


（2011年南京理工大学自主招生）
已知圆
O
：< br>x
2
?y
2
?1
，直线
l:x?y?4
．过
l
上一点
P
作圆
O
的切线，则当切线长最短时，
P
点的坐标为 ．
2
?
【解析】
?
2，
y
P
如图，切线长
PA?PO2
?OA
2
?PO
2
?1
，
所以当切线长最短时，线段
PO
也最短，
所以当直线
OP?l
时，切线长最短，
2
?
． 此时，
k
OP
?1
，即
P
?
2，

A
O
B
x