高中数学-直线和圆基础习题和经典习题加答案

直线和圆基础习题和经典习题加答案
【知识网络】
综 合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线
与圆和其他数学知识 的综合问题，提高分析问题和解决问题能力．
【典型例题】
[例1]（1）直线x＋y=1 与圆x
2
＋y
2
－2ay=0(a＞0)没有公共点，则a的取值范围是 （ ）
A．（0，2 －1） B．（2 －1，2 ＋1）
C．（－2 －1，2 －1） D．（0，2 ＋1
（2）圆（x－1)
2
＋(y＋3 )
2
=1的切线方程中有一个是 （ ）
A．x－y=0 B．x＋y=0 C．x=0 D．y=0
（3）“a=b”是“直线
y?x?2与圆(x?a)?(y?b)?2相切
”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
（4）已知直线5x＋12y＋a=0与圆x
2
＋y2
－2x=0相切，则a的值为 ．
（5）过点（1，2 ）的直线l 将圆（x－2)
2
＋y
2
=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，
直线l的斜率k= ．
[例2] 设圆上点A（2，3）关于直线x＋2y =0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1=0
相交的弦长为22 ，求圆的方程．







[例3] 已知直角坐标平面上点 Q（2，0）和圆C：x
2
＋y
2
=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|< br>的比等于λ（λ＞0）．求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．







[例4] 已知与曲线C：x
2
＋y2
－2x－2y＋1=0相切的直线l叫x轴，y轴于A，B两点，
|OA|=a,|OB |=b(a＞2,b＞2)．
(1)求证：（a－2)(b－2)=2；
(2)求线段AB中点的轨迹方程；
（3）求△AOB面积的最小值．




22

【课内练习】
5
1．过坐标原点且与圆x
2
＋y
2
－4x＋2y＋ =0相切的直线的方程为 （ ）
2
11
A．y=－3x 或y= x B．y=3x 或y=－ x
33
11
C．y=－3x 或y=－ x D．y=3x 或y= x
33
2．圆(x－2)
2
＋y
2
=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为
( )
A．(x＋2)
2
＋y
2
=5 B．x
2
＋(y－2)
2
=5
C． (x－2)
2
＋(
y－
2)
2
=5 D．x
2
＋(y＋2)
2
=5
3．对曲线|x|－|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是 （ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点轴对称 D．关于y=x轴对称
4．直线l
1
：y=kx＋1与圆x
2
＋y
2
＋kx－y－4=0的两个交点关于直线l
2
：y＋x=0对称，那么这两个交点中有一个是 （ ）
A．（1，2） B．（－1，2） C．（－3，2） D．（2，－3）
5．若直线y=kx＋2与圆（x－2)
2＋(y－3)
2
=1有两个不同的交点，则k的取值范围是 ．
6 ．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x
2
＋y
2
＝1相交于A、B两点， 且|AB|＝
3
，则
OA?OB

＝ .
7．直线l
1
：y=－2x＋4关于点M（2，3）的对称直线方程是 ．
8．求直线l
1
：x＋y－4=0关于直线l：4y＋3x－1=0对称的直线l
2
的方程．






9．已知圆C：x
2
＋y
2
＋2x－4y＋3=0
（1）若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；
（2）从圆C外一点P（ x
1
,y
1
)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO |，求
使|PM|最小的P点的坐标．




10．由 动点P引圆x
2
＋y
2
=10的两条切线PA，PB，直线PA，PB的斜率 分别为k
1
,k
2
．
(1)若k
1
＋k
2
＋k
1
k
2
=－1,求动点P的轨迹方程；
（2）若点P在直线x＋y=m上，且PA⊥PB，求实数m的取值范围．

11．5直线与圆的综合应用
A组
1．设直线过点（0，a），其斜率为1，且与 圆x
2
＋y
2
=2相切，则a的值为 （ ）
A．±2 B．±2 C．±22 D．±4
2．将直线2x－y＋λ＝0， 沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x
2
+y
2
+2x－4y=0相切，
则实数λ的值为
A．－3或7 B．－2或8 C．0或10 D．1或11
3．从原点向圆 x
2
＋y
2
－12y＋27=0作两条切线，则该 圆夹在两条切线间的劣弧长为( )
A．π B． 2π C． 4π D． 6π
11

?
的值等于 ．
ab
5． 设直线ax－y＋3=0与圆（x－1)
2
＋(y－2)
2
=4有两个不同的 交点A，B，且弦AB的长为
23 ，则a等于 ．
7
6．光线经过点A（1， ），经直线l：x＋y＋1=0反射，反射线经过点B（1，1）．
4
4．若三点A（2，2 ），B（a,0)，C（0，b)（a，b均不为0）共线，则
（1）求入射线所在的方程；
（2）求反射点的坐标．





7．在△ ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1=0,∠A的平分线所在直线方程为
y=0,若 B点的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．

y
B
?

A
?

O
x


C
?




8．过圆O：x
2
＋y2
=4与y轴正半轴的交点A作这个圆的切线l，M为l上任意一点，过M
作圆O的另一条 切线，切点为Q，当点M在直线l上移动时，求△MAQ垂心H的轨迹方
程．

B组
1．已知两定点A（－2， 0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围
的图形的面积等于 （ ）
A．π B．4π C．8π D．9π
2．和x轴相切，且 与圆x
2
＋y
2
=1外切的圆的圆心的轨迹方程是 （ ）
A．x
2
=2y＋1 B．x
2
=－2y＋1 C．x
2
=2y－1 D．x
2
=2|y|＋1
3．设直 线的方程是
Ax?By?0
，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为
A、 B的值，则所得不同直线的条数是
A．20 B．19
22

C．18

D．16
（ ）
4．设直线
2x?3 y?1?0
和圆
x?y?2x?3?0
相交于点A、B，则弦AB的垂直平分
线方程是 .
5．已知圆M：（x＋cosθ)
2
＋(y－si nθ)
2
=1，直线l：y=kx，下面四个命题
A．对任意实数k和θ，直线l和圆M都相切；
B．对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；
C．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；
D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切．
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
6．已知点A，B的坐标为（－3，0），（3，0），C为线段AB上 的任意一点，P，Q是分别
以AC，BC为直径的两圆O
1
，O
2
的 外公切线的切点，求PQ中点的轨迹方程．
7．已知△ABC的顶点A（－1，－4），且∠B和∠C 的平分线分别为l
BT
：y＋1=0,l
CK
:x＋y
＋1=0,求 BC边所在直线的方程．
8．设a,b,c,都是整数，过圆x
2
＋y
2< br>=（3a＋1)
2
外一点P（b
3
－b,c
3
－c) 向圆引两条切线，试证
明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（纵横坐标均为整数的点）．
11．5直线与圆的综合应用
【典型例题】
例1 （1）A．提示：用点到直线的距离公式．
（2）C．提示：依据圆心和半径判断．
（3）A．提示：将直线与圆相切转化成关于ab的等量关系．
（4）－18或8．提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况．
（5）
2
．提示：过圆心（2，0）与点（1，2 ）的直线m的斜率是－2 ，要使劣弧所
2
对圆心角最小，只需直线l与直线m垂直．
例2、设圆的方程为（x －a)
2
＋(y－b)
2
=r
2
, 点A（2，3）关于直 线x＋2y=0的对称点仍在圆
上，说明圆心在直线x＋2y=0上，a＋2b=0，又（2－a)2
＋(3－b)
2
=r
2
,而圆与直线x－y＋1=0
a?b?1
2
相交的弦长为22 ，，故r
2
－()=2,依据上述方程解得：
2
｛
b
1< br>=－3
a
1
=6
或
r
1
2
=52< br>｛

b
2
=－7
a
2
=14

r
2
2
=244

∴ 所求圆的方程为（x－6)
2
＋(y＋3)
2
=52，或（x－14)
2
＋(y＋7)
2
=224．
例3、设切点为N，则|MN|
2
=|MO|
2
－|ON|
2
=|MO|
2
－1，设 M（x,y),则
（x
2
＋y
2
)－4λx＋(1＋4λ
2
）=0
x
2
?y
2
?1?
?
(x?2)
2
?y
2
，整理得（λ
2
－1）
5
当λ= 1时，表示直线x= ；
4
1?3
?
2
2
?
2< br>2
1?3
?
2
2
?
2
2
当λ≠1时 ，方程化为
(x?
2
)?y?
2
，它表示圆心在
(
2
半径为
,0)
，
|
?
2
?1|
?
?1(
?
?1)
2
?
?1
的一个圆．
例4、（1）设出直线方程的截距式，用点到直线的距离等于1，化减即得；
1
（2 ）设AB中点M(x,y),则a=2x,b=2y,代入（a－2)(b－2)=2，得（x－1)(y－1) = (x＞1,y＞
2
1)；
(3)由（a－2)(b－2)=2得ab＋2=2(a＋b)≥4ab ,解得ab ≥2＋2 （ab ≤2－2 不合，舍
去），当且仅当a=b时，ab取最小值6＋42 ，△AOB面积的最小值是3＋22 ．
【课内练习】
1．A．提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率．
2．D．提示：求圆心关于原点的对称点．
3．C.提示：画张图看，或考虑有关字母替代规律．
4．A．提示：圆心在直线l
2
上．
4
5．0＜k＜ ．提示：直接用点到直线的距离公式或用△法．
3
6．
?
1
．提示：求弦所对圆心角．
2
7．2 x＋y－10=0．提示：所求直线上任意一点（x,y)关于（2，3）的对称点（4－x,6－y)在
已知直线上．
8．2x＋11y＋16=0．提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于l的对 称点，用两点式
写l
2
的方程；或直接设l
2
上的任意一点，求其关 于l的对称点，对称点在直线l
1
上．求对称
点时注意，一是垂直，二是平分． 9．（1）提示：∵切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1．分别依据
斜率 设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为：x＋y－3=0, x
＋y＋1=0, x－y＋5=0, x－y＋1=0．
(2)将圆的方程化成标准式（x ＋1)
2
＋(y－2)
2
=2，圆心C（－1，2），半径r=2 ， ∵切线PM与CM垂直，∴|PM|
2
=|PC|
2
－|CM|
2
，
又∵|PM|=|PO|，坐标代入化简得2x
1
－4y
1< br>＋3=0．
|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即P点到直线2x
1－4y
1
＋3=0的距离，即
35
．
10
9
?
22
33
?
x
1
?y
1
?
从而 解方程组
?
．
20
，得满足条件的点P坐标为（－
10
，
5
）
?
?
2x
1
?4y
1
?3?0

10．（1）由题意设P（x
0
,y
0
)在圆外,切线l：y－y
0
=k(x－x
0
)，
∴（x
0
2
－10)k
2
－2x
0
·y
0
k＋y
0
2
－10=0
|kx
0
?y
0
|
k?1
2
?10
，
由k
1
＋k2
＋k
1
k
2
=－1得点P的轨迹方程是x＋y±25 =0．
y
0
2
?10
??1
,即：（2）∵P（x
0,y
0
)在直线x＋y=m上，∴y
0
=m－x
0
,又 PA⊥PB，∴k
1
k
2
=－1,
2
x
0
?10
x
0
2
＋y
0
2
=20,将y
0< br>=m－x
0
代入化简得,2x
0
2
－2mx
0
＋m
2
－20=0
∵△≥0,∴－210 ≤m≤210 ,又∵x
0< br>2
＋y
0
2
＞10恒成立，∴m＞2,或m＜－25
∴m的取值范围是[－210 ，－25 ]∪（25 ，210 ]
11．5直线与圆的综合应用
A组
1．B．提示：用点到直线的距离公式或用△法．
2．A．提示：先求出向左平移后直线的方程，再用点到直线的距离公式．
3．B．提示：考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角．
1
4． ．提示：由三点共线得两两连线斜率相等，2a＋2b=ab，两边同除以ab即可．
2
5．0．提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解．
21
6．（1）入射线所在直线的方程是：5x－4y＋2=0；（2）反射点（－ ，－ ）．提示：用入
33
射角等于反射角原理．
7．点A既在BC边上的高所在的直线上，又在∠A的平分线所在直线上，由
?
x－2y＋1=0
?
得A（－1，0）
?
y=0
∴k
AB
=1
又∠A的平分线所在直线方程为y=0
∴k
AC
=－1
∴AC边所在的直线方程为 y=－（x＋1） ①
又k
BC
=－2,
∴BC边所在的直线方程为 y－2=－2（x－1） ②
①②联列得C的坐标为（5，－6） 8．设所求轨迹上的任意一点H（x,y)，圆上的切点Q（x
0
,y
0
)
∵QH⊥l,AH⊥MQ,∴AH∥OQ,AQ∥QH．又|OA|=|OQ|，∴四边形AOQH 为菱形．
∴x
0
=x,y
0
=y－2．
∵点Q（x0
,y
0
)在圆上，x
0
2
＋y
0
2
=4
∴H点的轨迹方程是：x
2
＋（y－2）
2
=4（x≠0)．
B组
1．B．提示：直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以（2，0）为圆心，2 为半径
的圆．
2．D．提示：设圆心（x,y)，则
x
2
?y2
?|y|?1

3．C．提示：考虑斜率不相等的情况．
4．
3x?2y?3?0
．提示：弦的垂直平分线过圆心．
5． B，D． 提示：圆心到直线的距离
d?
|?kcos
?
?sin
?
|
1?k
2
?
1?k
2
|sin(
?
??
)|
1?k
2
=|sin(θ＋
?
）
|≤1 ．
6．作MC⊥AB交PQ于M，则MC是两圆的公切线．|MC|=|MQ|=|MP|，M为PQ 的中点．设
－3＋x3＋x
M（x,y),则点C，O
1
，O
2的坐标分别为（x,0),( ,0),( ,0)
22
连O
1
M， O
2
M，由平面几何知识知∠O
1
MO
2
=90°． ∴|O
1
M|
2
＋|O
2
M|
2
=| O
1
O
2
|
2
，代入坐标化简得：x
2
＋ 4y
2
=9(－3＜x＜3)
7．∵BT,CK分别是∠B和∠C的平分线，∴点A 关于BT,CK的对称点A′，A″必在BC所
在直线上，所以BC的方程是x＋2y－3=0．
111
8．线段OP的中点坐标为（ （b
3
－b), (c
3
－c)),以OP为直径的圆的方程是[x－ （b
3
－
222
111
b)]
2
＋[y－ (c
3
－c)]
2
=[ （b
3
－b)]
2
＋[ (c
3
－c)]
2
……①
222
将x
2
＋y
2
=（3a＋1)
2
代入①得：（b
3
－b)x＋(c
3
－c)y=（3a＋1)
2

这就是过两切点的切线方程．
因b
3
－b=b(b＋1)(b－1)，它为三个连续整数的乘积，显然能被整除．
同理，c
3
－c也能被3整除．
于是（3a＋1)
2
要能 被3整除，3a＋1要能被3整除，因a是整数，故这是不可能的．
从而原命题得证．