高三数学教案 直线与圆

专题11 直线与圆
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a等于（ D ）
A．2 B．1 C．0 D．
?1

?
x?y ?1?0,
?
2．如果实数x、y满足条件
?
y?1?0,
那么2x-y的最大值为（ B ）
?
x?y?1?0
?
A．
2
B．
1
C．
?2
D．
?3

3．圆x
2
+y
2
-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离 的差是（C）
A．36 B． 18 C．
62
D．
52

4．若直线y
＝
kx＋2与圆(x－2)
2< br>＋(y－3)
2
＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围
是 . k?(0，
4
)
3
3
x(x
≥
0)
相切 ，则这个圆
3
5．若半径为1的圆分别与
y
轴的正半轴和射线
y?< br>22
的方程为 ．
(x?1)?(y?3)?1

6. 制定 投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某
投资人打算投资甲、乙两个项 目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100
﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30 ﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，
要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，
才能使可能的盈利最大？
【专家解答】设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目.
?
x?y?10 ,
?
0.3x?0.1y?1.8,
?
由题意知
?
目标函数z=x+0.5y.
x?0,
?
?
?
y?0.
上 述不等式组表示的平面区域如图所示，
阴影部分（含边界）即可行域.
作直线
l
0
:x?0.5y?0
，
并作平行于直线
l
0
的一组直线
x?0.5y?z,z?R,

与可行域相交，其 中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线
x?0.5y?0
的
距离最大，这里M点 是直线
x?y?10
和
0.3x?0.1y?1.8
的交点.
?
x?y?10,
解方程组
?
得x=4，y=6 此时
z?1?4?0.5?6?7
（万元）.
0.3x?0.1y?1.8,
?
?7?0

?
当x=4，y=6时z取得最大值.
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大.
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★★★高考要考什么
【考点透视】
1．理解直 线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜
式、两点式、一般式，并能根据条 件熟练地求出直线方程。
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线 的距离公式，
能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
3．了解二元一次不等式表示平面区域。
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。
5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。
【热点透析】
直线与圆在高考中主要考查三类问题：
一、基本概念题和求在不同条件下的直线方程，基本概念重点考查：
（1）与直线方程特征值（主要指斜率、截距）有关的问题；
（2）直线的平行和垂直的条件；
（3）与距离有关的问题等。
此类题大都属于中、低档题，以选择题和填空题形式出现；
二、直线与圆的位置关系综合性试题，此类题难度较大，一般以解答题形式出现；
三、线性规划问题，在高考中极有可能涉及，但难度不会大
★★★突破重难点
【范例1】已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆 x
2
＋y< br>2
－2x－2y＋1
＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积 的最小值.
解法一：∵点P在直线3x+4y+8=0上. 如图1.
∴设P（x，
?2?
S
四边形
PACB
＝2S
△PAC
＝|AP|·| AC|＝|AP|·|AC|＝|AP|
∵|AP|
2
＝|PC|
2
－|AC|
2
＝|PC|
2
－1
∴当|PC|最小时，|AP|最小，四边形PACB的面积最小．
3
x），C点坐标为（1，1），
4
3
25
2
55
x?x? 10?(x?1)
2
?9
∴|PC|
2
＝（1－x）
2< br>＋（1＋2＋x）
2
＝
1624
4
∴|PC|
min
＝3 ∴四边形PACB面积的最小值为2
2
．
解法二：由法一知需求| PC|最小值，即求C到直线3x+4y+8=0的距离，∵C（1，1），
图1
|3?4?8|
∴|PC|==3，S
PACD
=2
2
.
5
【点晴】求角、距离、面积等几何量问题的关键在于分析几何问题的特殊性，寻找
快 捷简便的方法。本题的关键在于S
四边形
PACB
＝2S
△
PAC< br>，然而转化为|PC|的最值问题。
【文】已知等腰
?ABC
的底边AB所在 的直线方程为
3x?y?2?0
，顶点C的
坐标是（2，2），顶角为120
0
，求两腰所在的直线方程及
?ABC
的面积.
?两底角为30，
解：设腰所在直线的斜率为k，
?顶角为120，

第2页 共8页
00

又
?k
AB< br>?3，?
k?3
1?3k
?tan30
0
?
1
3
，
?k?
3
，
3
3
（x?2）即x?3y?23?2?0，

3
另一腰垂直于x轴，方程为
x?2
.S
?ABC
=
33

故一腰所在直线方程为
y?2?【范例2】过点M(2,4)作两条互相垂直的直线，分别交x、y的正半轴于A、B，若四
边形O AMB的面积被直线AB平分，求直线AB方程。
解：设AB的方程为
x
?
y
?1
（a>0,b>0）
ab
∴
A(a,0)
、
B(0,b)
。 ∵
MA
⊥
MB

∴
(a?2)?(?2)?(?4)?(b?4)?0?a?10?2b

∵a>0 0∴M到AB的距离
d?
|2b?4a?ab|

a
2
?b
2
2
1
∴
?MAB
的面积
S
1?
1
2
d|AB|?
2
|2b?4a?ab|?b?8b?20

2
而
?OAB
的面积
S
2
?
1
2
ab?5b?b
，
∵直线AB平分四边形
OAMB
的面 积，∴
S
1
?S
2
，
5
?
b?4b?
?
?
可得
?
或
?
2

?
a?2
?
a?5
?
故所求AB方程为
x?2y?5?0和
2x?y?4?0
。
【点晴】若命题中的直线与两坐标轴均有交点，应先考虑选用截距式方程是否有利。
【文】已 知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为
线PM的距离为1．求直线PN的方程 < br>解：设点P的坐标为（x，y），由题设有
即
2
，点N到直
|PM|< br>?2
，
|PN|
(x?1)
2
?y
2
?2 ?(x?1)
2
?y
2
．
整理得 x
2
+y
2
－6x+1=0． ①
因为点N到PM的距离为1，|M
Ｎ
|＝2，
所以∠PMN＝30°，直线PM的斜率为±
直线PM的方程为y=±
3
，
3
3
（x＋1）．②
3
将②式代入①式整理得x
2
－4x＋1＝0．解得x＝2＋
3
，x＝2－
3
．
代入②式得点 P的坐标为（2＋
3
，1＋
3
）或（2－
3
，－1＋
3
）；
（2＋
3
，－1－
3
）或（2－
3，1－
3
）．
直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1．
第3页 共8页

【范例3】 已知气象台A处向西300km处，有个台风中心，已 知台风以每小时40km
的速度向东北方向移动，距台风中心250km以内的地方都处在台风圈内，问 ：从现在起，
大约多长时间后，气象台A处进入台风圈？气象台A处在台风圈内的时间大约多长？
解：如图建立直角坐标系，B为台风中心，处在台
y
风圈内的界线为以B为圆心，半径为250的圈内，若t
小时后，台风中心到达B
1
点，
则B
1
(-300+40 tCOS45
0
,40tsin45
0
)，
B
1

则以B
1
为圆心，250为半径的圆的方程为
?
x?300?20 2t
?
?
?
y?202t
?
22
?250
2

B
那么台风圈内的点就应满足
O(A)
x

x?300?202t?y?202t?250
2
。
若气象台A处进入台风 圈，那么A点的坐标就应满足上述关系式，把A点的坐标
(0，0)代入上面不等式，
得300?202t
???
2
?
2
??
?
?202t
?
22
?250
2
，解得
152?57152 ?57
?t?
，
44
即为
1.99?t?8.61
；
所以气象台A处约在2小时后进入台风圈，处在台风圈内的时间大约6小时37分。
【点晴】做应用题的关键是寻求有效信息，建立数量之间的关系。
【文】设A（－c，0）， B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B
点的距离的比为定值a（a>0），求P 点的轨迹.
(x?c)
2
?y
2
|PA|
解：设动点P的 坐标为P（x，y），由=a（a>0）得=a，
22
|PB|
(x?c)?y化简得（1－a
2
）x
2
+2c（1+a
2
）x+c< br>2
（1－a
2
）+（1－a
2
）y
2
=0.
22
2c(1?a)1?a
2ac
22
+y
2
=0 . 整理得(x－
2
+y
2
=(当a≠1时，得x
2
+x+cc))
1?a
2
a
2
?1
a
2
?1
当a=1时，化简得 x=0.
a
2
?1
2ac
所以当a≠1时，P点的轨迹是以（2
c，0）为圆心，|
2
|为半径的圆；
a?1
a?1
当a=1时，P点的轨迹为y轴.
【点睛】本题考查直线、圆 、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解
决问题的能力.
【范例4】已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（Ⅱ）设过点P，且斜率为－
3
的直线与曲线M相交于A、B两点.
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
（Ⅰ）法1 依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，
所以曲线M的方程为y
2
=4x.
法2 设M（x，y），依题意有|MP|=|MN|，
所以|x+1|=
(x?1)
2< br>?y
2
.化简得：y
2
=4x.
第4页 共8页

（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为y=－
3
（x－1）.
?
?
y??3(x?1),
消y得3x
2
－10x+3=0，
2< br>?
?
y?4x.
1
解得x
1
=，x
2
=3.
3
123
所以A点坐标为（
,
），
33
B点坐标为（3，－2
3
），
16
|AB|=x
1
+x
2
+2=.
3
由
?
图7—12
假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，
16
2
?
22
(3?1)?(y?23)?(),
①
?
3
?
即
?

?
(
1
? 1)
2
?(y?
2
)
2
?(
16
)
2
.
②
?
3
3
?
3
4
223
2
）+（y－），
3
3
143143
解得y=－. 但y=－不符合①，
99由①－②得4
2
+（y+2
3
）
2
=（
所以由 ①，②组成的方程组无解.
因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.
?y??3(x?1),
（ii）法1：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由
?< br>
?
x??1.
得y=2
3
，即当点C（－1，2
3
）时，A、B、C三点共线，故y≠2
3
.
1
2
232
2843y
22
又|AC|=（－1－）+（y－）=+y，
?3
393
16
2
256
|BC|
2
=（3+1 ）
2
+（y+2
3
）
2
=28+4
3
y+ y
2
，|AB|
2
=（）=.
39
|AB|
2< br>?|AC|
2
?|BC|
2
当∠CAB为钝角时，cosA=<0.
2|AB|?|AC|
即|BC|
2
>|AC|
2
+|A B|
2
，即
28?43y?y
2
?
2843256
，
?y?y
2
?
939
2
3
时，∠CAB为钝角. 即y>
9
第5页 共8页

当|AC|
2>|BC|
2
+|AB|
2
，即
即y<－
284325 6
，
?y?y
2
?28?43y?y
2
?
939
10
3
时，∠CBA为钝角.
3
2562843y
又|A B|
2
>|AC|
2
+|BC|
2
，即
???y< br>2
?28?43y?y
2
，
993
442
2
即
y
2
?3y??0,(y?)?0
.
33
3
该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是
y??
10323
或y?(y?23)
.
39
5
2
28
3
）
2
=（）
2
. ）+（y+
3 3
3
8
52
圆心（
,?3
）到直线l：x=－1的距离为，
3
33
23
所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（－1，－）. < br>3
法2：以AB为直径的圆的方程为（x－
当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直 角，当C与G点不重合，且A、B、C
三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中，∠ACB不可能 是钝角.
因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.
23
2331
.
?(x?)
.令x=－1得y=
333< br>9
10
3
3
. 过点B且与AB垂直的直线方程为y+2
3?
( x－3).令x=－1得y=－
3< br>3
?
y??3(x?1),
又由
?
解得y=2
3，
?
x??1.
过点A且与AB垂直的直线方程为
y?
所以， 当点C的坐标为（－1，2
3
）时，A、B、C三点共线，不构成三角形.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是
y<－
103
23
或y>（y≠2
3
）.
39
【点晴】该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注
重学科 知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解
决问题的能力.比较深 刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思
想.该题对思维的目的性、逻辑性、周 密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、
化简能力要求也较高，有较好的区分度.


第6页 共8页

【文】设圆满足：①截y轴所得弦 长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为
3:1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为
5
。求该圆的方程。
5
解：设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴距离分别为|b|，|a|
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90
0
，
知圆P截x轴所得的弦长为
2r
，故r
2
=2b
2

又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r
2
=a
2
+1从而得2b< br>2
-a
2
=1
又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为
5
|a?2b|5
，所以
d??,

5
5
5?
2b
2
?a
2
?1,
?
2b
2?a
2
?1,
即有a-2b=?1，由此有
?

?a?2b?1;a?2b??1.
??
?
a??1,
?
a?1,
解方程组得
?
于是r
2
=2b
2
知
r?2 .

?
?
b??1;
?
b?1.
所求圆的方程是( x-1)
2
+(y-1)
2
=2或(x+1)
2
+(y+1 )
2
=2
★★★自我提升
1．将直线l沿x轴正方向平移两个单位，再沿 y轴负方向平移3个单位，又回到了
原来的位置，则l的斜率为（ B ）
A．
2
32
3
B．
?
C． D．
?

3
23
2
2．若
OPOP
2分别是直线l
1
：ax+(b-a)y-a=0，
1
?(1,2)
，
OP
2
?(?2,1)
，且
OP
1
,
l
2
：ax+4by+b=0的方向向量，则a，b的值分别可以是（A）
A．2，1 B．1，2 C．-1，2 D．-2，1
3．经济学中的“ 蛛网理论”（如图），假定某种商品的“需求—价格”函数的图象为直
线l
1
,“供给 —价格”函数的图象为直线l
2
，它们的斜率分别为k
1
、k
2，l
1
与l
2
的交点P为“供
给—需求”均衡点，在供求两种力 量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于
坐标轴的“蛛网”路径，箭头所指方向发展变化，最 终能否达于均衡点P，与直线l
1
、 l
2
的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达于均衡点P的条件为( A )

价格
价格

价格
l
1

l
1


l
1


P
P

P
l
2

l
2

需求供给量


图1
图2
图3

A．k
1
+k
2
>0 B．k
1
+k
2
=0 C．k
1
+k
2
<0 D．k
1
+k
2
可取任意实数
4．过点P（1，2）作一直线， 使此直线与点M（2，3）和点N（4，－5）的距离
相等，则此直线方程为____________ _______4x+y-6=0或3x+2y-7=0
o
需求供给量
o
需求供给量
o
l
2

5．已知直线ax＋by
＋
c＝0与圆O：x
2
＋y
2
＝1相交于A、B两点，且|AB|＝
3
，
第7页 共8页

则
OA?OB
＝ .
?
1

2< br>6．关于曲线C：x
2
+y
4
=1的下列说法：(1)关于点(0,0 )对称；(2)关于直线x轴对称；
(3)关于直线y=x对称；(4)是封闭图形，面积小于
?
；(5)是封闭图形，面积大于
?
；(6)不
是封闭图形，无面积可言.其 中正确的序号是_________________．(1)(2)(4)
7.曲线x
2
+y
2
+x-6y+3=0上两点P、Q满足：①关于直线kx-y+4=0对称；② OP?OQ.
求直线PQ的方程.
解：由圆上两点P、Q关于直线kx-y+4=0对称知直线kx-y+4=0经过圆心
（?，3）
即有
k（

??）?3?4?0，?k?2，
设 直线PQ方程为
y??
1
2
1
2
1

x? t，（Px
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
），
2
1
?
y??x?t，
5
?
由
?消y得x
2
?（4?t）x?t
2
?6t?3?0
.
2
4
?
x
2
?y
2
?x?6y?3?0，
?
（44?t）（4t
2
?6t?3）
?x
1
?x
2
?，x
1
x
2
?，

55
yy
?OP?OQ，?
1
?
2
??1即x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
x
1
x
2
1111
?
y
1
??x
1
?t，y
2??x
2
?t，?x
1
x
2
?（?x
1
?t）（?x
2
?t）?
0

2222
515（4t2
?6t?3）1（44?t）
22
即x
1
x
2
?t（x
1
?x
2
）?t?0，???t?t?0，

4 24525
35
化简得
8t
2
?22t?15?0，?t?或t?< br>
24
1315
?直线PQ方程为y??x?或y??x?即x?2y?3?0 或2x?4y?5?0
2224
8. 已知△ABC的三边长分别为3、4、5，点P是 它的内切圆上一点，求分别以PA、
PB、PC为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。
y
解：△ABC为直角三角形，如图建立直角坐标系，
则A（0，0）、B（4，0）、C（0，3），设内切圆半
C
径为r，则r=12（|OC|+|OB|-|BC|）=1，故内切圆方程为
（x-1）
2
+（y-1）
2
=1，
P x
可设P点坐标（1+cosα，1+sinα）
B
A
则以PA、PB、PC为直径的三个圆面积之和
S=
?
（10-cosα）
2
当cosα=-1时，S
max
=5.5π,
当cosα=1时, S
min
=4.5π.

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