高中数学高考总复习直线与圆圆与圆的位置关系及空间坐标系习题及详解

高考总复习
高中数学高考总复习直线与圆圆与圆的位置关系及空间坐
标系习题及详解

一、选择题
1．(文)(2010·黑龙江哈三中)直线x＋y＝1与圆x
2
＋y
2
－2ay＝0(a>0)没有公共点，则a
的取值范围是( )
A．(0，2－1)
C．(－2－1，2＋1)
[答案] A
[解析] 圆的方程x
2
＋(y－a)
2
＝a
2
， 由题意知圆心(0，a)到直线x＋y－1＝0距离大于a，
|a－1|
即>a，解得－1－2 0，∴02
(理)(2010·宁德一中)直线x－ y＋m＝0与圆x
2
＋y
2
－2x－1＝0有两个不同交点的一个充
分不必要条件是( )
A．－3C．0[答案] C
[解析] 根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d小于半径．∵圆x
2
|1－0＋m|
＋y
2
－2x－1＝0的圆心是(1,0)，半径是2，∴d ＝<2，
2
∴|m＋1|<2，∴－32．直线l：2xsinα＋2ycosα＋1＝0，圆C：x
2＋y
2
＋2xsinα＋2ycosα＝0，l与C的位置关
系是( )
A．相交
C．相离
[答案] A
[解析] 圆心C(－sinα，－cosα)到直线l的距离为
|－2sin
2
α－2cos
2
α＋1|
1
d＝
22
＝
2
，圆半径r＝ 1，
?2sinα?＋?2cosα?
∵d3．(文 )(2010·青岛市质检)圆x
2
＋y
2
－2x－2y＋1＝0上的点到直 线x－y＝2的距离的最大
值是( )
A．2
C．2＋








B．1＋2
D．1＋22










B．相切
D．不能确定








B．－4D．m<1


B．(2－1，2＋1)
D．(0，2＋1)
2

2
含详解答案

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[答案] B
[解析] 圆心C(1,1)到直线x－y－2＝0距离d＝2，∴所求最大值为d＋r＝2＋1. < br>(理)(2010·山东肥城联考)若圆x
2
＋y
2
－6x－2y＋6 ＝0上有且仅有三个点到直线ax－y＋1
＝0(a是实数)的距离为1，则a等于( )
A．±1
C．±2
[答案] B
[解析] 圆(x－3)
2
＋(y－1)
2
＝4，半径为2，
由题意圆心(3,1)到直线的距离是1，
∴
|3a|2
＝1，∴a＝±.
4
a
2
＋1










2
B．±
4
3
D．±
2
4．(2010·深圳中学)过点(－4,0)作直线l与圆x
2
＋y2
＋2x－4y－20＝0交于A、B两点，
如果|AB|＝8，则( )
A．l的方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
B．l的方程为5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
C．l的方程为5x－12y＋20＝0
D．l的方程为5x＋12y＋20＝0
[答案] A
[解析] 圆x
2
＋y
2
＋2x－4y－2 0＝0化为(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝25，圆心C(－1,2)，半径 r＝5，
点在圆内，设l斜率为k，方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，
∵|AB|＝8，∴圆心到直线距离为5
2
－4
2
＝3，
∴
|－k－2＋4k|
5
＝3，∴k＝－，当斜率不存在时，直线x＝－4也满足．故 选A.
12
k
2
＋1
5．设直线x＋ky－1＝0被圆O：x2
＋y
2
＝2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线
x－y－1＝0 的位置关系是( )
A．相离
C．相交
[答案] C
[解析] ∵直线x＋ky－1＝0过定点N(1,0)，且点N(1,0)在圆x
2
＋y
2
＝2的内部，∴直线
1
?
1
?
1
， 0
?
，0
，被圆所截弦的中点的轨迹M是以ON为直径的圆，圆心为P
?半径为，∵点P
?
2
??
2
?
2
到直线x－y －1＝0的距离为
21
<，
42










B．相切
D．不确定
∴曲线M与直线x－y－1＝0相交，故选C.
含详解答案

高考总复习
6．已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2
＋y
2
＝50有公共点，且公共点的横、
纵坐标均为整数，那么这样的 直线共有( )
A．66条
C．74条
[答案] B
[解析] 因为在圆x
2
＋y
2
＝50上，横坐标、纵坐标都为整数 的点一共有12个，即：(1，
1
±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，( －5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有×(12×11)
2
＝66条，过 每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为
整数的直线共有66＋1 2＝78条，而方程ax＋by－1＝0表示的直线不过原点，上述78条直
线中过原点的直线有6条， 故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.
x
2
y
2
7． (2010·温州十校)在平面直角坐标系xOy中，过双曲线
2
－
2
＝1( a>0，b>0)的左焦点
ab
F作圆x
2
＋y
2
＝a2
的一条切线(切点为T)交双曲线的右支于点P，若M为FP的中点，则|OM|
－|M T|等于( )
A．b－a
a＋b
C.
2
[答案] A
[解析] 如图，F′是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF|－|PF′|＝2a.又M 为
PF的中点，∴|MF|－|OM|＝a，即|OM|＝|MF|－a.










B．a－b
D．a＋b








B．72条
D．78条

又直线PF与圆相切，
∴|FT|＝OF
2
－OT
2
＝b，
∴|OM|－|MT|＝|MF|－a－(|MF|－|FT|)＝|FT|－a＝b－a，故选A.
8．(文)(2010·广东茂名)圆x
2
＋y
2
＋2x－4y＋1 ＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，
则ab的取值范围是( )
1
－∞，
?
A.
?
4
??
1
－，0
?
C.
?
?
4
?
[答案] A








1
0，
?
B.
?
?
4
?
1
－∞，
?
D.
?
4
??
含详解答案

高考总复习
[解析] 由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤< br>?
2
a＋b
?
?
2
?
1
＝，故选A .
4
(理)(2010·泰安质检)如果直线y＝kx＋1与圆x
2
＋y< br>2
＋kx＋my－4＝0交于M、N两点，且
kx－y＋1≥0
?
?< br>M、N关于直线x＋y＝0对称，则不等式组
?
kx－my≤0
?
?< br>y≥0
1
A.
4










1
B.
2
D．2

表示的平面区域的面积是( )
C．1
[答案] A
[解析] ∵直线y＝kx＋1与圆的两交点M、N关于直线x＋y＝0对称，∴圆心在直线x
k＝1
?
?
＋y＝0上，且两直线y＝kx＋1与x＋y＝0垂直，∴
?k
?
m
?
，
－
－＋＝0
?
?
2
?
2
?
?
?
?
k＝1
?
∴，∴不等式组化为
?
x＋y ≤0
?
m＝－1
?
?

?
x－y＋1≥0
?
y≥0

1
，表示的平面区域 如图，故其面积S＝
2
1
|OA|·y
B
＝.
4

9．(文)若动圆C与圆C
1
：(x＋2)
2
＋y
2
＝1外切，与圆C
2
：(x－2)
2
＋y
2
＝4内切，则 动圆
C的圆心的轨迹是( )
A．两个椭圆
B．一个椭圆及双曲线的一支
C．两双曲线的各一支
D．双曲线的一支
[答案] D
[解析] 设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得
|C
1
C|＝r＋1，|C
2
C|＝r－2，
∴|C
1
C|－|C
2
C|＝3，
含详解答案

高考总复习
故C点的轨迹为双曲线的一支．
(理)台风中心从A地 以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的
地区为危险区，城市B在A的正东4 0千米处，B城市处于危险区内的时间为( )
A．0.5小时
C．1.5小时
[答案] B
[解析] 以A为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立直角坐标系， 则A(102
t,102t)，B(40,0)．
1
当满足下列条件时，B城市处于 危险区内，即(102t－40)
2
＋(102t)
2
≤30
2，解得2－
2
1
≤t≤2＋，
2
故选B.
10．( 2010·山东聊城模考)若在区间(－1,1)内任取实数a，在区间(0,1)内任取实数b，则
直 线ax－by＝0与圆(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝1相交的概率为( )
3
A.
8
5
C.
8
[答案] B
[解析] 由题意知，圆心C(1,2)到直线ax－by＝0距离d<1，∴
|a－2b |
<1，化简得3b
a
2
＋b
2










5
B.
16
3
D.
16










B．1小时
D．2小时
3
?
－4a<0，如图，满足直线与圆相交的点(a，b)落在图中阴影部分，E
??
4
，1
?
，∵S
矩形
ABCD
＝2，
S
梯形
OABE
＝
?
1
＋1
?
×1?
4
?
5
2
＝，
8

5
8
5
由几何概型知，所求概率P＝＝.
216
二、填空题
11．(2010·四川广元市质检)已知直线l：x－2y－5 ＝0与圆O：x
2
＋y
2
＝50相交于A、B
两点，则△AOB的面 积为______．
含详解答案

高考总复习
[答案] 15
[解析] 圆心(0,0)到直线l距离d＝5，圆半径R＝52，∴弦长|AB|＝2?52?
2
－?5?
2
＝65，
11
∴S
△
AOB
＝|AB|·d＝×65×5＝15.
22
12．(文)(2010·天津南开区模拟)过原点O作圆x
2
＋y
2< br>－6x－8y＋20＝0的两条切线OA、
OB，A、B为切点，则线段AB的长为______ __．
[答案] 4
[解析] 圆(x－3)
2
＋(y－4)
2
＝5的圆心C(3,4)，半径为r＝5，|CO|＝5，∴切线长|OA|
＝25，
11
由|OA|·|CA|＝|OC|·d，得d＝2，
22
∴弦长|AB|＝2d＝4.
(理)(2010·甘肃质检)若直线2x－y＋ c＝0按向量a＝(1，－1)平移后与圆x
2
＋y
2
＝5相切，
则 c的值为________．
[答案] 8或－2
?
?
x＝x
0
＋1
[解析] 设直线2x－y＋c＝0上点 P(x
0
，y
0
)，按a平移后移到点P′(x，y)，则
?
，
?
y＝y
0
－1
?
?
x
0
＝ x－1
?
∴
?
代入直线2x－y＋c＝0中得2x－y－3＋c＝0，此时直 线与圆x
2
＋y
2
＝5相切，
?
?
y
0
＝y＋1


∴
|－3＋c|
＝5，∴c＝8或－2.
5
13．(2010·湖 南文)若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的
垂直平分线l的 斜率为________；圆(x－2)
2
＋(y－3)
2
＝1关于直线l对 称的圆的方程为
________．
[答案] －1 x
2
＋(y－1)
2
＝1
b－?3－a?a＋b－3
[解析] 过P、Q两点的直线的斜率k
PQ
＝＝＝1，
a－?3－b?a＋b－3
∴ 线段PQ的垂直平分线l的斜率为－1，线段PQ的中点坐标为
?
a－b＋3b－a＋3
?
?
2
，
2
?
，
b－a＋3
a－b＋3
?
∴PQ的垂直平分线l的方程为y－＝－
?
x－
，即y＝－x＋3 ，设圆心(2,3)
2
2
??
关于直线l：y＝－x＋3的对称点为(a，b )，则
含详解答案

高考总复习
b＋3a＋2
＝－＋3< br>?
2
?
2
?
b－3
?
?
a－2＝1

?
a＝0
?
，解得
?
，
?
b＝1
?

故所求的圆的方程为x
2
＋(y－1)
2
＝1.
14．( 2010·江苏，9)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x
2
＋y
2
＝4上 有且仅有四个点到
直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
[答案] (－13,13)
|c|
[解析] 由题意知，圆心O(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离d<1，∴<1，∴－1313
三、解答题
15．(2010·广东湛江)已知圆C：x
2
＋ y
2
＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．
(2)从圆C外一点P( x
1
，y
1
)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝ |PO|，
求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
[解析] (1)将圆C配方得(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝2.
|－k－ 2|
①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得
2
k＋1
＝2，即k＝2±6，从而切线方程为y＝(2±6)x.
②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，
由直线与圆相切得x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
∴所求切线的方程为y＝(2±6)x
x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
(2)由 |PO|＝|PM|得，x
1
2
＋y
1
2
＝(x
1
＋1)
2
＋(y
1
－2)
2
－2?2x
1
－4y
1
＋3＝0.
即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，|PM|取最小值时即
|OP|取得最小值，直线OP⊥l，
∴直线OP的方程为2x＋y＝0.
?
?
2x＋y＝0
33
－，
?
. 解方程组
?
得P点坐标为
?
?
105
?
?
2x－4y＋3 ＝0
?

16．(文)(2010·北京延庆县模考)已知长方形ABCD，AB＝2 2，BC＝1，以AB的中点O
为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy.

含详解答案

高考总复习
(1)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；
(2)过点P(0,2)的直 线l交(1)中椭圆于M、N两点，判断是否存在直线l，使得以弦MN
为直径的圆恰好过原点，并说明 理由．
[解析] (1)由题意可得点A，B，C的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，(2，1)．
x
2
y
2
设椭圆的标准方程为
2
＋
2
＝1(a>b>0 )，则有
ab
2a＝|AC|＋|BC|＝?－2－2?
2
＋?0－1?< br>2
＋?2－2?
2
＋?0－1?
2
＝4>22，
∴a＝2，b
2
＝a
2
－c
2
＝4－2＝2，
x
2
y
2
椭圆的标准方程为＋＝1.
42
(2)假设满足条件的直线l存在，由条件可知直线l的斜率存在，
设直线l的 方程为：y＝kx＋2(k≠0)，设M(x
1
，y
1
)，N(x
2
，y
2
)．
22
?
?
x＋2y＝4
联立 方程
?
，消去y并整理得
?
?
y＝kx＋2

(1＋2k
2
)x
2
＋8kx＋4＝0
8k4
∴x
1
＋x
2
＝－
2
，x
1
x
2
＝
1＋2k1＋2k
2
→→
若以弦MN为 直径的圆恰好过原点，则OM⊥ON，
∴x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝0，
∴(1＋k
2
)x
1
x
2
＋2k(x
1< br>＋x
2
)＋4＝0，
4?1＋k
2
?
16k
2
8－4k
2
∴－＋4＝0，即＝0，
1＋2k
2
1＋2k
2
1＋2k
2
解得k＝±2
检验知k值满足判别式Δ>0
∴直线l的方程为y＝2x＋2或y＝－2x＋2.
(理)(2010·哈三中)已知圆C：(x－3)
2
＋(y－4)
2
＝16 .
(1)由动点P引圆C的两条切线PA、PB，若直线PA、PB的斜率分别为k
1
、k
2
，且满足
k
1
＋k
2
＋k
1·k
2
＝－1，求动点P的轨迹方程；
(2)另作直线l：kx－y－k＝0， 若直线l与圆C交于Q、R两点，且直线l与直线l
1
：x
＋2y＋4＝0的交点为M ，线段QR的中点为N，若A(1,0)，求证：|AM|·|AN|为定值．
[解析] (1)由k
1
＋k
2
＋k
1
·k
2
＝－1得，(k< br>1
＋1)(k
2
＋1)＝0，
∴k
1
＝－1或k< br>2
＝－1.设切线方程为x＋y＝m，则由圆心到直线距离公式得：m＝－
7±42，
∴P点轨迹方程为：x＋y－7±42＝0；
含详解答案

高考总复习
?
?
y＝k?x－1?
?
2k －4
，
－5k
?
(2)由
?
得M
??
?
2k＋12k＋1
?
?
x＋2y＋4＝0
?
22
?
?
?x－3?＋?y－4?＝16
由
?
消去y得(k
2＋1)x
2
－(2k
2
＋8k＋6)x＋k
2
＋8k＋ 9＝0此方程两根
?
y＝k?x－1?
?


k
2
＋4k＋3
即Q、R两点的横坐标，由根与系数的关系及中点坐标公式可得x
N
＝
2
，代入y＝k(x
k＋1
4k
2
＋2k
－1 )得y
N
＝
2
，
k＋1
?
k＋4k＋3
，
4k＋2k
?
， 即N< br>?
2
k
2
＋1
?
?
k＋1
?
又A(1,0)则由两点间距离公式可得：
|AM|·|AN|＝10为定值．
17．(文)已知定直线l：x＝－1，定点F(1,0)，⊙P经过 F且与l相切.
(1)求P点的轨迹C的方程.
(2)是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A 、B两点，并且以AB为直径的
圆都经过原点；若有，请求出M点的坐标；若没有，请说明理由.
[解析] (1)由题设知点P到点F的距离与点P到直线l的距离相等．
∴点P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线
∴点P的轨迹C的方程为：y
2
＝4x
(2)设AB的方程为x＝my＋n ，代入抛物线方程整理得：y
2
－4my－4n＝0
?
y
1
＋y
2
＝4m
?
设A(x
1
，y
1
)， B(x
2
，y
2
)，则
?
.
?
?
y
1
y
2
＝－4n
22

∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，
y
1
2
y
2
2
∴y
1
y
2
＋x
1
x
2
＝0.即y
1
y
2
＋·＝0.
44
∴y
1
y
2
＝－16，∴－4n＝－16，n＝4.
∴直线AB：x＝my＋4恒过存在M(4,0)点．
3
3
0，
?
，动圆P经过点F且和直线y＝－相切，(理)设点F
?
记动圆的圆心P的轨迹为曲< br>?
2
?
2
线w.
(1)求曲线w的方程；
(2) 过点F作互相垂直的直线l
1
、l
2
，分别交曲线w于A、C和B、D两个点 ，求四边形
ABCD面积的最小值．
p3
[解析] (1)由抛物线的定义知点P的 轨迹为以F为焦点的抛物线，＝，即p＝3，∴w：
22
x
2
＝6y.
含详解答案

高考总复习
(2)设AC：y＝kx＋
3
2
，
?
由
?
?
y＝kx＋
3
2
?k≠0?

?x
2
－6kx－9＝0.
?
?
x
2
＝ 6y
设A(x
1
，y
1
)，C(x
2
，y
2
)，易求|AC|＝6(k
2
＋1)，
∵l
1
与l
2
互相垂直，
∴以－
1
1< br>k
换k得|BD|＝6
?
?
k
2
＋1
??
，
S
1
ABCD
＝
2
|AC||BD|
＝
1
2
×6(k
2
＋1)×6
?
1
?
k
2
＋1
?
?

＝18
?
?
2＋k
2
＋
1
k
2
?
?
≥18( 2＋2)＝72，
当k＝±1时取等号，
∴四边形ABCD面积的最小值为72.
含详解答案