高中数学直线与圆的位置关系教案

4.2.1 直线与圆的位置关系
（一）教学目标
1．知识与技能
（ 1）理解直线与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 ；
（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
（二）过程与方法
设直线l ：ax + by + c = 0，圆C：x
2
+ y
2
+ Dx + Ey + F = 0，圆的半径为r，圆心
(?
到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关 系的依据有以下几点：
（1）当d＞r时，直线l与圆C相离；
（2）当d＝r时，直线l与圆 C相切；
（3）当d＜r时，直线l与圆C相交；
3．情态与价值观
DE
,? )
22
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.（二）教学重点、难点
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.
难点：用坐标 法判定直线与圆的位置关系.
（三）教学过程设想
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
启发学
师；让学生之间进行讨论、生由图形获
1．初中学过的平面
复习引入 几何中，直线与圆的位置
关系有几类？
法.
交流，引导学生观察图形，导入取判断 直线
新课.与圆的位置
认知，引入
新课.
生：看图，并说出自己的看关系的 直观
2．直线与圆的位置
关系有哪几种呢？三种
有两个公共点.
师：引导学生 利用类比、归
关系的种类，进一步深化“数形
（1）直线与圆相交，纳的思想，总结直线与圆的 位置
概念形成
得出直
线与圆的位
置关系的几
何特征与种
类.
（2）直线与圆相切，结合”的数学思想.
只有一个公共点.
没有公共点.
生：观察图形，利用类比的
（3）直线与圆相离，方法，归纳直线与圆的位置关系.
概念深化
3．在初中，我们怎
样判断直线与圆的位置
师：引导学生回忆初中 判断使学生
直线与圆的位置关系的思想过回忆初中的

关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间
的位置关系呢？
4．你能说出判断直
线与圆的位置关系的 两
种方法吗？
程.数学知识，
生：回忆直线与圆的位置关培养抽象概
括能力. 系的判断过程.
师：引导学生从几何的角度
方程说明判断方法.
法的数学思想.
抽象判
的位置关系
法.
说明判断方法和通过直线与圆的断直线与圆
方法一：利用圆心到
直线的距离d.生：利用图形，寻找两种方的思路与方
方法二：利用直线与
圆的交点个数.
5．你能用两种判断
直线与圆的位置关系的
数学思想解决例 1的问题
吗？
师：指导学生阅读教科书上
的例1.
体会判
断直线与圆
生：仔细阅读教科书上的例的位置关系
1，并完成教科书第140页的练习的思想方
题 2.法，关注量
关系.
使学生
熟悉判断直
例1 如图，已知直
线l ：3x + y – 6 = 0和圆
心为C的圆x
2
+ y
2
–2y – 4
= 0，判断直线l 与圆的位
置关系；如果相交，求它
们交点的坐标.
例1 解法一：由直线l 与与量之间的
圆的方程，得
①
?
3x?y?6?0
?
22
?
x?y?2y?4?0
②
消去y，得x
2
– 3x + 2 = 0，
因为△= (–3)
2
– 4×1×2
= 1＞0
个公共点.
线与圆的位
置关系的基
本步骤.
所以，直线l与圆相交，有两
应用举例
解法二：圆x
2
+ y
2
–2y – 4 = 0
可化为x
2
+ (y – 1)
2
=5，其圆心C
分析：方法一：由直
线l 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成
的方程组有无实数解；方
法二，可以依据圆心到直
线的距离 与半径长的关
系，判断直线与圆的位置
关系.
的坐标为（0，1），半径长为
5
，
点C (0，1)到直线l 的距离
d =
|3?0?1?6|
3?1
22
?
5
10
＜
5
.
所以，直线l 与圆相交，有
两个公共点.
x
2
= 1.
由x
2
–3x + 2 = 0，解得x
1
=2，
把x
1
=2代入方程①，得y
1
= 0；
把x
2
=1代入方程①，得y
2
= 0；

所以，直线l 与圆有两个交
6．通过学习教科书点，它们的坐标分别是< br>生：阅读例1.
的例1，你能总结一下判
断直线与圆的位置关系
的步骤吗？A (2，0)，B (1，3).
师：分析例1，并展示解答过
程；启发学生概括判断 直线与圆
的位置关系的基本步骤，注意给
学生留有总结思考的时间.
例2 已知过点M
(–3，–3)的直线l 被圆x
2
+
y
2
+ 4y –21 = 0所截得的
弦长为
45
，求直线l 的
方程.
生：交流自己总结的步骤.
师：展示解题步骤.
例2 解：将圆的方程写成标
准形式，得
x
2
+ (y
2
+ 2)
2
=25，
所以，圆心的坐标是(0，–2)，
半径长r =5.
如图，因为直线l 的距离为
45
，所以弦心距为
5
2
?(
45
2
)?5
，
2

即圆心到所求直线l的距离为
5
.
因为直线l 过点M (–3，–3)，
所以可设所求直线l的方程为
y + 3 = k (x + 3)，
即k x – y + 3k –3 = 0.
根据点到直线的距离公式，
得到圆心到直线l 的距离
d =
|2?3k?3|
k?1
2
.
?5
， 因此，
|2?3k?3|
k?1
2
即|3k – 1| =
5?5k
2
，
两边平方，并整理得到
2k
2
–3k –2 = 0，

1
解得k =，或k =2.
2
所以，所求直线l 有两条，
它们的方程分别为
1
y + 3 =
?
(x + 3)，
2
或y + 3 = 2(x + 3).
即x +2y = 0，或2x – y + 3 = 0.
7．通过学习教科书
上的例2，你能说明例2
中体现出来的数学思想
方法吗？
8．通过例2的学习，
你发现了什么？
半弦、弦心距、半径
构成勾股弦关系.
师：指导学生阅读并完成教
科书上的 例2，启发学生利用“数
形结合”的数学思想解决问题.
完成137页的练习题.
师：引导并启发学生探索直
线与圆的相交弦的求法.
得出相交弦长的运算方法.
巩固所
9．完成教科书第136
页的练习题1、2、3、4.
师：引导学生完成练习题.
生：互相讨论、交流，完成
练习题.
学过的知
识，进一步
理解和掌握
直线与圆的
位置关系.
10．课堂小结：
教师提出下列问题让
学生思考：
（1）通过直线与圆的
位置关系的判断，你学到了
归纳总结 什么？
（2）判断直线与圆的
位置关系有几种方法？它
们的特点是什么？
（3）如何求出直线与
圆的相交弦长？
课外作业
布置作业：
见习题4.2 第一课时
学生独立完成
巩固所
学知识
师生共同回顾
回顾、
反思、总结
形成知识体
系
生：通过分析、抽象、归纳，法.
进一步
深化“数形
学思想.
明确弦
长的运算方
生：阅读教科书上的例2，并结合”的数
备选例题

例1 已知圆的方程x
2
+ y
2
= 2，直线y = x + b，当b为何值时，
（1）圆与直线有两个公共点；
（2）圆与直线只有一个公共点；
（3）圆与直线没有公共点.
解法1：圆心O (，0)到直线y = x + b的距离为
d?
|b|
2
，圆的半径
r?2
.
（1）当d＜r，即–2＜b＜2时，直线与圆相交，有两个公共点；
（2）当d = r，即b=
?2
时，直线与圆相切，有一个公共点；
（3）当d＞r，即b＞2或b＜–2时，直线与圆相离， 无公共点.
?
x
2
?y
2
?2
解法2：联立两个方程得方程组
?
.消去y
2
得
?
y?x?b
2x
2
+ 2bx + b
2
– 2 = 0，
?
=16 – 4b
2
.
（1）当
?
＞0，即–2 ＜b＜2时，直线与圆有两个公共点；
（2）当
?
＝0，即
b??2
时，直线与圆有一个公共点；
（3）当
?
＜0即b＞2或b＜–2时，直线与圆无公共点.
例2 直线m经过点P (5，5)且和圆C：x
2
+ y
2
= 25相交，截得弦长l为
45
，求m的
方程.
l
【解析】设圆心到直线m的距离为 d，由于圆的半径r = 5，弦长的一半
?25
，
2
所以由勾股定理，得：
d?5
2
?(25)
2
?5
，
所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即kx – y + 5 – 5k = 0.
由
|5?5k|
1?k
2
?5
，得
k?
1
或k = 2.
2
所以直线m的方程为x – 2y + 5 = 0或2x – y – 5 = 0.
例3 已知圆C：x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 4 = 0. 问是否存在斜率为1的直线l， 使l被圆C截
得弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点.
【解析】假设存在且设l为：y = x + m，圆C化为(x – 1)
2
– (y + 2)
2
= 9，圆心C (1，–2).
解方程组
?
?
y?x?m
m?1m? 1
得AB的中点N的坐标
N(?,)
，
y?2??(x?1)
22
?
由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN| = |ON|.
又
|AN|?|CA|
2
?|CN|
2
? 9?
|ON|?(?
m?1
2
m?1
2
)?()

22
(m?3)
，
2
(3?m
2
)(m?1)m ?1
2
所以
9???()

222
解得m = 1或m = –4.

所以存在直线l，方程为x – y + 1 = 0和x – y – 4 = 0，
并可以检验，这时l与圆是相交于两点的.