高中数学-直线与圆的方程的应用教案

4.2.2 直线与圆的方程的应用教案
（两个课时）

一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题 中的几何元素，将平面几
何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
3、情态与价值观
让学生通过观察 图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问
题的能力．
二、教学重点、难点
重点与难点：直线与圆的方程的应用．
三、教学过程
例1图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP=4 m，在建
造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱A
2
P
2
的长度（精确到0.01）
思考:(用坐标法)



1.圆心和半径能直接求出吗？
2.怎样求出圆的方程？
3.怎样求出支柱A
2
P
2
的长度？
解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标
是（0，b）,圆的半径是r ,则圆的方程是
x
2
+(y-b)
2
=r
2
.
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组：
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0
2
+(4-b)
2
= r
2

10
2
+(0-b)
2
=r
2
解得，b= -10.5 ， r
2
=14.5
2

所以圆的方程是： x
2
+(y+10.5)
2
=14.5
2

把点P
2
的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)
2
+(y+10.5)
2
=14.5
2

因为y>0,所以y=
14.5-(-2)
-10.5≈14.36-10.5=3.86(m )
答：支柱A2P2的长度约为3.86m.
例2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边
长的一半.
解：以四边形ABCD互相垂直的对角线作为x轴y轴，建立直角坐标系，设
A(a,0),B(0, b),C(c,0),D(0,d).
过四边形的外接圆圆心O’作AC、BD、AD边的垂线，垂足 为M、N、E，则M、N、E分别为
AC、BD、AD边的中点。由线段的中点坐标公式有：

x?x?
a?c
,y?y?
b?d
,x?
a
,y?
d
OMONEE

22
2222
|O'E|?
< br>所以，
acabdd1
22
(??)
2
?(??)
2
?b?c
2222222
1
|BC|
2

又|BC|?b
2
?c
2

所以：|O'E|?
用坐标法解决平面几何问题的步骤：
第一步：建立适当的坐标系 ，用坐标和方程表示问题中的几
何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
练习
求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)+y=9所截得的弦长.
22
解：联立两个方程得


2x?y?2?0
(x?3)
2
?y
2
?9
7?297?29
x
2
?< br>55

解得：,
4?2294?229
y?y?
12

55
229

d?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?
5
x
1
?
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四、课堂小结
?
?
?
?
理解直线与圆的位置关系的几何性质；
利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
熟悉直线与方程的关系，并应用其解决相关问题
会用“数形结合”的数学思想解决问题．
五、作业：教科书 132页 练习； 习题 4.2 A组 9，10，11，B组 1

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