高中数学-直线与圆的位置关系练习

高中数学-直线与圆的位置关系练习题
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
22
1.已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)+y=4相切,那么a的值是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
22
解析：考查直线与圆的位置关系及平面几何知识.结合图形,可知直线x=a要与 圆(x-1)+y=4
相切,则a=3或-1,因为a＞0,所以a=3.
答案：C
22
2.直线l:4x-3y+5=0与圆C:x+y-4x-2y+m=0无公共点的条件是m属于 ( )
A.(-∞,0) B.(0,5) C.(1,5) D.(1,+∞)
解析：由圆心(2,1)到直线l:4x-3y+5=0的距离大于圆的半径可得.
答案：C
22
3.过点M(3，2)作⊙O：x+y+4x-2y+4=0的切线方程是_______ _____.
解析：作图知,所求切线不可能垂直x轴,故切线斜率必定存在.设切线方程为y-2= k(x-3)，
即kx-y+2-3k=0,由
|?2k?1?2?3k|
k
2
?(?1)
2
=1,得k=
5
或k=0,代入即可求得.
12
答案：y=2或5x-12y+9=0
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
22
1.已知直线l:ax- y-b=0,圆C:x+y-2ax-2by=0,则l与C在同一坐标系中的图形只可能是
( )

图2-3-1
解析：考查对直线与圆的方程的认识,直线与圆位置关系的判断 .注意到圆的方程的特点,易
知圆C过原点,所以A、C均不正确;再由B、D两选项和圆心、直线的斜 率知B正确.
答案：B
22
2.直线m(x+1)+n(y+1)=0(m≠n)与圆x+y=2的位置关系是( )
A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定
解析：方法一,考查直线与圆的位置关系的判定方法.直线方程可化为mx+ny+m+n =0.由于圆
(m?n)
2
(m?n)
2
?2??
2
心(0,0)到该直线的距离为,又
2
＜0(m≠n),∴d＜r,即
22
22
m?nm?n
m?n
|m?n|
直线与圆相交.
方法二:易知 直线m(x+1)+n(y+1)=0(m≠n)恒过点(-1，-1)，且点(-1，-1)在圆上，又m≠n ，
所以直线与圆不相切.所以直线与圆相交.
答案：C
22
3.过点(2 ,1)的所有直线中,被圆x+y-2x+4y=0截得的弦最长的直线方程为( )
A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0
C.3x-y-1=0 D.3x+y-5=0
解析：考查直线与圆的位置关系及圆的性质.直线被圆截得的最长弦应是直径, 故问题即求过
22
(2,1)和圆心的直线方程.圆的方程为(x-1)+(y+2)=5,直 线被圆截得的弦最长时,应过圆心
1

(1,-2).由两点式,得直线方程为3x-y-5=0.
答案：A 22
4.已知圆C：(x-1)+(y-2)=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7 m+4(m∈R).
(1)证明不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.
22
(1)证明:∵直线过定点(3，1)，(3-1)+(1-2)=5＜25,
∴点(3，1)在圆的内部.
∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交.
(2)解: 从(1)的结论知当直线l过定点M(3，1)且与过此点的圆O的半径垂直时，l被圆所截
得的弦长d (A,B)最短，由垂径定理知
d(A,B)=
2r
2
?OM
2?225?[(3?1)
2
?(1?2)
2
]?45
,此时k< br>l
=
1
.
?k
OM
由
?
2m?1 1
3
??
=2,得m=
?
,代入得l的方程为2x-y-5=0.
2?1
m?1
4
1?3
222
5.已知圆x+y-6mx- 2(m-1)y+10m-2m-24=0(m∈R).
(1)求证：不论m为何值，圆心总在同一条直线l上.
(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离?
(3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等.
22
(1)证明:将圆的方程配方得(x-3m)+［y-(m-1)］=25.
设圆心为(x,y),则
?
?
x?3m,

?
y?m?1,
消去m得l:x-3y-3=0.
∴圆心恒在直线l:x-3y-3=0上.
(2)解：设与l平行的直线是l′:x-3y+ b=0,圆心(3m,m-1)到直线l′的距离为
d=
|3m?3(m?1)?b|
10
?
|3?b|
10
.
∵半径r=5,∴当d＜r，即
?510?3
＜b＜
510?3
时，直线与圆相交；当d=r，即
b=±510?3
时，直线与圆相切；当d＞r时，即b＜
?510?3
或b＞
510?3
时，直线
与圆相离.
(3)证明:设对于任一条平行于l且与圆相交的直 线l
1
:x-3y+b=0，由于圆心到直线l
1
的距离
d=
|3?b|
10
，则弦长=
2r
2
?d
2
与m无 关，故截得的弦长相等.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
22
1.圆x+y-4x=0在点P(1,3)处的切线方程是( )
A.x+
3y
-2=0 B.x+
3y
-4=0
2

C.x-
3y
+4=0 D.x-
3y
+2=0
解：点P(1,3)在圆x+y-4x=0上,所以点P为切点,
从而圆心与P的连线应与切线垂直.
又因为圆心为(2,0),所以
22
0 ?33
·k=-1,解得k=,所以切线方程为x-
3
y+2=0.
2?13
答案：D
22
2.已知直线l过点(-2，0)，当直线l与圆x +y=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是
( )
A.(
?22,22
) B.(
?2,2
)
C.(
?
22
11
,
) D.(
?,
)
44
88
2222
解析：圆x+y=2x可 化为(x-1)+y=1,当直线l的斜率不存在时,显然直线与圆不相交,不合
题意;当直线的斜率存 在时,设直线的点斜式方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.因为直线和圆
相交,故圆心到 直线的距离小于半径,即
答案：C
3.过点(1,
2
)的直线l将圆(x- 2)+y=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l
22
|3k|
k
2
?1
＜1,解得k＜
2
22
1
,
,所以k∈(
?
).
44
8
的斜率k=_____________.
解析：由数形结合思想可知满足题设条件的直线与圆心(2,0)和点(1,
2
)垂直,由两 点间连
线的斜率公式可得过两点(2,0)和(1,
2
)的直线的斜率为
2< br>??2
,故所求直线的斜
1?2
率为
2
.
2
2

2
22
答案：
4.直线3x+y-23=0截圆x+y=4所得的弦长是( )
A.1 B.
3
C.2 D.
23

解析：本题考查点到直线的 距离公式和圆的弦长公式.圆心(0,0)到直线
3x?y?23
=0
的距离为
23
?3
,由圆的半径为2,结合圆中弦长公式可得:所求圆的弦长为
2
2 2
2
?(3)
2
=2.
3

答案：C
22
5.直线l过点P(0，2)，且被圆x+y=4截得的弦长为2，则直线l的斜率为( )
A.
2
3
B.±
2
C.±
3
D.±
3
2
解析：设直 线l:y-2=kx,即kx-y+2=0，由题意,得［
|0?0?2|
k
2
?(?1)
2
］+1=2,
222
解得k=±
3
.
3
答案：D
2222
6.若点P(x
0
,y
0< br>)是圆x+y=r内一点,则直线x
0
x+y
0
y=r和该圆的位置关 系是
______________.
2222
解析：考查点与圆、线与圆的位置关 系的判断方法.由已知x
0
+y
0
＜r,又(0,0)到x
0
x+y
0
y=r
r
2
?
的距离为d==r,
22
r
x
0
?y
0
∴直线与圆相离.
答案：相离
22
7.由动点P向圆x+y=1引两条切线PA、PB，切点分别为A 、B,∠APB=60°,则动点P的轨迹
方程为______________.
解：因为 ∠APB=60°,故∠APO=30°,设P(x,y),因为sin∠APO=
所以x+y=4.
22
答案：x+y=4
8.已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x-3y=0上,且 被直线y=x截得的弦长为
27
，求圆
C的方程.
解：设圆心坐标为(3m ，m),∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y=x的
距离为
22
r
2
|AO|
1
,即
?
|PO|
2
1< br>x?y
22
,
|2m|
2
?2
|m|.
22
由半径、弦心距的关系得9m=7+2m,
∴m=±1.
2222
∴所求圆C的方程为(x-3)+(y-1)=3,(x+3)+(y+1)=3.
9.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70 km
处,受影响的范围是半径为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这
艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?
解：以台风中心为原点O,东西方向为x轴,建立如图所示坐标系,其中,取10 km为长度单位.< br>22
这样,受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x+y=9.轮船航线所在直线l的方程为
4x+7y-28=0,问题转化为圆O与直线l有无公共点问题.由于d=
|0?0?28|
65
≈3.5＞半径3,
4

所以这艘轮船不用改变航线,不会受到台风影响.

5