烟台一中高中数学奥数王老师-高中数学定积分题目
圆与直线
一、典型例题
例1、已知定点P(6,4)与定直线?
1
:y=4x,过P点的直线?与?
1
交于第一象限Q点,与x
轴正
半轴交于点M,求使△OQM面积最小的直线?方程。
分析:
直线?是过点P的旋转直线,
因此是选其斜率k作为参数,还是选择点Q(还是M)作为参数
是本题关键。
通过比较可以发现,选k作为参数,运算量稍大,因此选用点参数。
设Q(x
0
,4x
0
),M(m,0)
∵
Q,P,M共线
∴ k
PQ
=k
PM
∴
4?4x
0
4
?
6?x
0
6?m
5x
0
x
0
?1
解之得:
m?
∵
x
0
>0,m>0
∴ x
0
-1>0
∴
S<
br>?OMQ
10x
0
2
1
?|OM|4x
0
?
2mx
0
?
2x
0
?1
令x
0
-1=t,则t>0
10(t?1)
2
1
S??10(t??2)
≥40
tt
当且仅当t=1,x
0
=11时,等号成立
此时Q(11,44),直线?:x+y-10=0
评注:本题通过引入参数,建立了关于目
标函数S
△OQM
的函数关系式,再由基本不等式再此目
标函数的最值。要学会选择适
当参数,在解析几何中,斜率k,截距b,角度θ,点的坐标都是常
用参数,特别是点参数。
例2、已知△ABC中,A(2,-1),B(4,3),C(3,-2),求:
(1)BC边上的高所在直线方程;(2)AB边中垂线方程;(3)∠A平分线所在直线方程。
分析:
(1)∵ k
BC
=5
∴
BC边上的高AD所在直线斜率k=
?
1
5
1
∴ AD所在直线方程y+1=
?
即x+5y+3=0
1
(x-2)
5
(2)∵
AB中点为(3,1),k
AB
=2
∴ AB中垂线方程为x+2y-5=0
(3)设∠A平分线为AE,斜率为k,则直线AC到AE的角等于AE到
AB的角。
∵ k
AC
=-1,k
AB
=2
∴
k?12?k
?
1?k1?2k
2
∴ k+6k-1=0
∴ k=-3-
10
(舍),k=-3+
10
∴
AE所在直线方程为(
10
-3)x-y-2
10
+5=0
评注:
在求角A平分线时,必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问
题时,都要对两解进
行取舍。也可用轨迹思想求AE所在直线方程,设P(x,y)为直线AE上任一
点,则P到AB、AC
距离相等,得
于AE对称。
例3、(1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上圆方程;
(2)设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上,且与直线x-y+
1=0相交
的弦长为
22
,求圆方程。
分析:
研究圆的问题,既
要理解代数方法,熟练运用解方程思想,又要重视几何性质及定义的运用,
以降低运算量。总之,要数形
结合,拓宽解题思路。
(1)法一:从数的角度
若选用标准式:设圆心P(x,y),则由
|PA|=|PB|得:(x
0
-5)+(y
0
-2)=(x
0-3)+(y
0
-2)
又2x
0
-y
0
-3=0
?
x
0
?4
两方程联立得:
?
,|PA|=
10
y?5
?
0
2222
|2x?y?5|
5
?
|x?y?1|2
,化简即可。还可注意到,AB与AC关
∴
圆标准方程为(x-4)+(y-5)=10
若选用一般式:设圆方程x+y+Dx+Ey+F=0,
则圆心(
?
22
22
DE
,?
)
22
2
?
2
?
5?2
2
?
5D?2E?F?0
?
∴
?
3
2
?2
2
?3D?2E?F?0
?
DE
?
2?(?)?(?)?3?0
22
?
?
D?
?8
?
解之得:
?
E??10
?
F?31
?
法二:从形的角度
?
2x?y?3?0AB为圆的弦,由平几知识知,圆心P应在AB中垂线x=4上,则由
?
得圆心P(4,<
br>x?4
?
5)
∴ 半径r=|PA|=
10
显然,充分利用平几知识明显降低了计算量
(2)设A关于直线x+2y=0的对称点为A’
由已知AA’为圆的弦
∴ AA’对称轴x+2y=0过圆心
设圆心P(-2a,a),半径为R
则R=|PA|=(-2a-2)+(a-3)
又弦长
22?2R
2
?d
2
,
d?
(3a?1)
2
∴
R?2?
2
2
22
|?2a?a?1|
2
(3a?1)
2
∴ 4(a+1)+(a-3)=2+
2
22
∴ a=-7或a=-3
当a=-7时,R=
52
;当a=-3时,R=
244
∴
所求圆方程为(x-6)+(y+3)=52或(x-14)+(y+7)=244
例4、已知方程x
+y-2(m+3)x+2(1-4m)y+16m+9=0表示一个圆,(1)求实数m取值范围;(2)求圆半径r取值范围;(3)求圆心轨迹方程。
分析:
(1)m满足[-2(m+3)]+[2(1-4m)]-4(16m+9)>0,即7m-6m-1<0
∴
?
22242
2224
2222
1
?m?1
7
316
(3)半径r=
?7m
2
?6m?1??7(m?)<
br>2
?
77
3
∵
?
1
?m?1
7
47
3
时,
r
max
?
7
7
∴
m?
∴ 0
7
7
?
x?m?3
(3)设圆心P(x,y),则
?
2
?
y?4m?1
消去m得:y=4(x-3)-1
又
?
∴
2
1
?m?1
7
20
?x?4
7
2
∴
所求轨迹方程为(x-3)=
22
120
(y+1)(
?x?4
)
47
例5、如图,过圆O:x+y=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线?,M为?上任一点,
过M作
圆O的另一条切线,切点为Q,求△MAQ垂心P的轨迹方程。
分析:
从寻找点P满足的几何条件着手,着眼于平几知识的运用。
连OQ,则由OQ⊥MQ,AP⊥MQ得OQ∥AP
同理,OA∥PQ
又OA=OQ
∴ OAPQ为菱形
∴ |PA|=|OA|=2
?x
0
?x
设P(x,y),Q(x
0
,y
0
)
,则
?
y?y?2
?
0
又x
0
+y
0
=4
∴ x+(y-2)=4(x≠0)
评注:一般说来,当涉及到圆的切线时,总考虑过焦点的
弦与切线的垂直关系;涉及到圆的
弦时,常取弦的中点,考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角
形。
4
22
22
同步练习
(一)选择题
1、若直线(m-1)x-y+1-2m=0不过第一象限,则实数m取值范围是
A、-1
1111
B、
?
≤m≤1
C、
2、已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为
A、
?
?
,则m值为
4
1
11
或-3
B、-3或 C、-3或3 D、或3
3
33
3、点P在直线x+y-4=0上,O为原点,则|OP|的最小值是
A、 2 B、
6
C、
22
D、
10
4、过点A(1,4),且横纵截距的绝对值相等的直线共有
A、 1条
B、2条
C、3条 D、4条
5、圆x+y-4x+2y+C=0与y轴交于A、B两点,圆心为P,若∠APB=90,则C的值是
A、 -3
B、3
C、
22
D、8
6、若圆(x-3)+(y
+5)=r上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1,则半径r取值范
围是
A、 (4,6) B、[4,6) C、(4,6]
D、[4,6]
7、将直线x+y-1=0绕点(1,0)顺时针旋转
相切,则正数R等于
2
1
A、 B、 C、1
D、
2
2
2
222
220
?
222后,再向上平移一个单位,此时恰与圆x+(y-1)=R
2
8、
方程x+y+2ax-2ay=0所表示的圆
A、关于x轴对称
B、关于y轴对称
C、关于直线x-y=0对称
D、关于直线x+y=0对称
(二)填空题
9、直线ax+by+c=0与直线d
x+ey+c=0的交点为(3,-2),则过点(a,b),(d,e)的直线方
程是_______
____________。
10、已知{(x,y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x,y
)|7x+(5-m)y-8=0}=φ,则直线(m+3)x+y=
3m+4与坐标轴围成的三角形面积是__________________。
22
5
?
3x?8y?15?0?
11、已知x,y满足
?
5x?3y?6?0
,则x-
y的最大值为________,最小值为________。
?
2x?5y?10?0?
12、过点A(2,1),且在坐标轴截距相等的直线方程是________________
_。
13、已知圆:(x-1)+y=1,作弦OA,则OA中点的轨迹方程是__________
________。
(三)解答题
14、已知y=2x是△ABC中∠C平分线
所在直线方程,A(-4,2),B(3,1),求点C坐标,并
判断△ABC形状。
15、已知n条直线:x-y+c
i
=0(i=1,2,…,n
),其中C
1
=
2
,C
1
<…
,且每相邻两
条之间的距离顺次为2,3,4,…,n,(
1)求C
n
;(2)求x-y+C
n
=0与坐标轴围成的三
角形面积
:(3)求x-y+C
n-1
=0与x-y+C
n
=0与x轴、y轴围成的图
形面积。
16、已知与曲线C:x+y-2x-2y+1=0相切的
直线?交x、y轴于A、B两点,O为原点,|OA|=a,
|OB|=b,a>2,b>2,(1)求
证:(a-2)(b-2)=2;(2)求线段AB中点的轨迹方程;(3)求
△AOB面积的最小值。
17、已知两圆x+y=4和x+(y-8)=4,(1)若两圆分别
在直线y=
2222
22
22
5
x+b两侧,求b取值范
2
围;(2)求过点A(0,5)且和两圆都没有公共点的直线的斜率k的范围。
18、当01
:ax-2y-2a+4=0
与?
2
:2x+ay-2a-4=0和坐标轴成一个四边形,要
使围成的四边形面积最
小,a应取何值?
22
6
参考答案
(一)1、D
2、C 3、C 4、C 5、A 6、A 7、B 8、D
(二)9、3x-2y+C=0 10、2 11、6,-5
12、x+y=3或x-2y=0
11
13、
(x?)
2
?y
2
?
(x≠0)
24
(三)14、C(2,4),∠C=90
15、(1
)
C
n
?
2n(n?1)
n
2
(n?1)
2
3
(2) (3)n
2
4
0
16、(1)利用圆心到直线距离等于半径
(2)(x-1)(y-1)=
(3)
22?3
17、(1)画图 3≤b≤5
(2)k∈(
?
18、
55
)
,
22
1
(x>1,y>1)
2
1
2
一、选择题
10
2000
?910
2001
?9
10
2000
?110
2001
?1
,Q?<
br>2002
1、设
M?
2001
,
P?
2001
,则M与N
、
P
与
Q
的
,N?
2002
10?10010?100
10?110?1
大小关系为
( )
A.
M?N,P?Q
B.
M?N,P?Q
C.
M?N,P?Q
D.
M?N,P?Q
解:设点
A(?1,?1)
、点
B(
10
2001
,10
2000
)
、点
C(10
20
02
,10
2001
)
,则M
、
N分别表示直线AB
、
AC
7
的斜率,BC的方程为
y?
1
x
,点A在直线的下方,∴
K
AB
?KAC
,即M>N;
10
同理,得
P?Q
。
答案选B。 仔细体会题中4个代数式的特点和“数形结合”的好处
2、已知两圆
相交于点
A(1,3)和点B(m,?1)
,两圆圆心都在直线
l:x?y?c?0<
br>上,则
m?c
的值
等于
( )
A.-1 B.2 C.3 D.0
?41
????1?m?5
;
m?1k
l
线段<
br>AB
的中点
(3,1)
在直线
x?y?c?0
上,
?
c??2?m?c?3
,答案选C。
解:由题设得:点
A,B
关于直线x?y?c?0
对称,
k
AB
?
3、三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为
( )
A.15 B.30
C.36 D.以上都不对
解:设三角形的另外两边长为x,y,则
?
0?x?11
?
?
0?y?11
;注意“=”号,等于11的边可以多于一条。
?
x?y?11
?
点
(x,y)
应在如右图所示区域内:
当x=1时,y=11;当x=2时,y=10,11;当x=3时,y=9,10,11;当
x=4时,y=8,9,10,11;当x=5时,y=7,8,9,10,11。以上共有15个,x,y对
调又有15个。
再加(6,6),(7,7),(8,8),(9,9),(10,10)、(11,
11),共36个,答案选C。
22
4、设
m?0
,则直线2(x?y)?m?1?0
与圆
x?y?m
的位置关系为 (
)
A.相切 B.相交
解:圆心
(0,0)
到直线的
距离为
d?
∵
d?r?
C.相切或相离
D.相交或相切
1?m
,圆半径
r?m
。
2
1?m1
?m?(m?1)
2
?0
,
22
∴直线与圆的位置关系是相切或相离,答案选C。
5、已知向量
m?(2cos
?
,2sin
?
),n
rr
?(3cos<
br>?
,3sin
?
),
若
m
与
n
的夹
角为
60
?
,则直线
r
?
l:xcos
?
?ysin
?
?
11
?0
与圆
C:(x?cos
?
)
2
?(y?sin
?
)
2
?
的位置关系
是( )
22
A.相交但不过圆心 B.相交过圆心 C.相切
D.相离
urr
m?n6(cos
?
cos
?
?sin<
br>?
sin
?
)1
rr
?
解:
u
?c
os(
?
?
?
)?cos60
0
?
,
2?32
|m|?|n|
8
圆心C(cos
?
,?sin
?
)
到直线
l
的距离
d?|cos(
?
?
?
)?
12
|?1??r,
22
?
直线与圆相离,答案选D。
复习向量点乘积和夹角余弦的计算及三角函数公式
6、已知圆
O:(x?3)?(
y?5)?36
和点
A(2,2),B(?1,?2)
,若点
C
在圆
上且
?ABC
的面积为
22
5
,则满足条件的点
C
的个数是 (
)
2
A.1 B.2 C.3 D.4 <
br>解:由题设得:
AB?5
,
Q
S
?
ABC
?
5
,
?
点
C
到直线
AB
的距离
d
?1
,
2
?
l:4x?3y?3?0
?
l
2
:4x?3y?7?0
直线
AB
的方
程为
4x?3y?2?0
,与直线
AB
平行且距离为1的直线为
?<
br>1
得:圆心
O(3,5)
到直线
l
1
的的距离
d
1
?6?r
,到直线
l
2
的距离为
d<
br>2
?4?r
,
?
圆
O
与直线
l
1
相切;与直线
l
2
相交,
?
满足条件的点
C
的个数是3,答案选C
22222<
br>7、若圆
C
1
:(x?a)?(y?b)?b?1
始终平分圆
C
2
:(x?1)?(y?1)?4
的周长,则实数
a,b
应满足的关系是
( )
A.
a?2a?2b?3?0
B.
a?2a?2b?5?0
C.
a?2b?2a?2b?1?0
D.
3a?2b?2a?2b?1?0
即:
2(1?a)x?2(1?b)y?a?1?0
,
2
22
2222
22222
??
解:公共弦所在
的直线
l
方程为:
?
(x?1)?(y?1)-4-(x?a)?(y?b)
-b-1
?
????
=0
,
?
圆
C
1<
br>始终平分圆
C
2
的周长,
?
圆
C
2
的圆心
?
?1,?1
?
在直线
l
上,
??2(1
?a)?2(1?b)?a
2
?1?0
,即
a
2
?2a?2
b?5?0
,答案选B。
8、在平面内,与点
A(1,2)
距离为1,
与点
B(3,1)
距离为2的直线共有 ( )
A.1条 B. 2条 C. 3条 D.
4条
解:直线
l
与点
A(1,2)
距离为1,所以直线
l
是以A为圆心1为半径的圆的切线,
同理直线
l
也是以B为圆心2为半径的圆的切线,即两圆的公切线,
QAB?5?3
,
?
两圆相交,公切线有2条,答案选B。
想一下,如果两圆相切或相离,各有几条公切线?
B
C
二、填空题
1、直线2x-y-4=0上有一点P,它与两定点A(4,-1),B(3,4)的
距离之差最大,则P点坐标是______ ___.
解:A关于l的对称点A′,A′B与直线l的
交点即为所求的P点。得P(5,6)。 <
br>想一想,为什么,
A
′
B
与直线
l
的交点即为所求的
P
点?
P
如果
A、B
两点在直线的同一边,情况又如何?
A
B
P
A
9
2、设不等式
2x?1?m(
x?1)
对一切满足
m?2
的值均成立,则
x
的范围为
。
解:原不等式变换为
(x?1)m?(1?2x)?0
,
设:
f(m)?(x?1)m?(1?2x)
,
(?2?m?2)
,按题意得:
f
(?2)?0,f(2)?0
。
2
?
7?13?1
?
2x
?2x?3?0
即:
?
。
??x?
2
22
??
2x?2x?1?0
2
2
2
3、已知直线
l:x?y?4?0
与圆
C:
?
x?1
?
?
?y?1
?
?2
,则
C
上各点到
l
的距离的最大
值与最
小值之差为 。
解: 圆心
C
?1,1
?
到直线的距离=
22
1?1?4
1?1
?22
?r?2
,
?
直线与圆相离,
?
C
上
各点到
l
的距离的最大值与最小值之差=
2r
=
22
。
1
?
x?2?t
?
?
2
4、直线
?
(t为参数)
被圆
x
2
?y
2
?4
截
得的弦长为______________。
?
y??1?
1
t
?
?2
解:直线方程消去参数
t
得:
x?y?1?0
,圆心到
直线的距离
d?
12
,弦长的一半为
?
2
2
22
?(
2
2
14
,得弦长为
14
。
)?
22
22
5、已知圆
M:(x?cos
?
)?
(y?sin
?
)?1
,直线
l:y?kx
,以下命题成立的有__
_________。
①对任意实数
k
与
?
,直线
l和圆
M
相切;
②对任意实数
k
与
?
,直线<
br>l
和圆
M
有公共点;
③对任意实数
?
,必存在实数
k
,使得直线
l
和圆
M
相切
④对任意实数
k
,必存在实数
?
,使得直线
l
和圆
M
相切 <
br>解:圆心坐标为
M
?
?cos
?
,sin
?
?
d?
-kcos
?
-sin
?
1+k
2
1+k
2
sin(
?
+
?
)<
br>=?sin(
?
?
?
)?1?r
,所以命题②④成立。
2
1+k
仔细体会命题③④的区别。
6、点A(-3,
3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射,反射光线与圆
C:x?y?4x?4y?7?0
相切
,则光线l所在直线方程为____
__。
解:光线l所在的直线与圆
C
关于x轴对称的圆
C
相切。圆
心
C
坐标为
?
2,?2
?
,半径
r?1
,
''
22
Q
直线过点A(-3,3),设
l
的方程为:y?3?k(x?3)
,即:
kx?y?3k?3?0
圆心
C
到直线
l
的距离
d?
'
2k?2?3k?3
k2
?1
?1
,
?12k
2
?25K?12?0
10
解得:
k??
43<
br>或
k??
,得直线
l
的方程:
4x?3y?3?0
或
3x?4y?3?0
。
34
m
且
M
、
N
关于直线
x?y?0
x
与圆
x
2
?y
2<
br>?mx?ny?4?0
交于
M
、
N
两点,
2
对称,则弦
MN
的长为 。
m
解:由直
线
y?x
与直线
x?y?0
垂直
?m?2
,由圆心在直线<
br>x?y?0
上
?n??2
,
2
?1?1?0
22<
br>圆方程为
(x?1)?(y?1)?6
,圆心为
?
?1,1
?
,圆心到直线的距离
d??2
,
1?1
7、直线
y??
弦
MN
的长=
2r
2
?d
2
?26
?2?4
8、过圆
x?y?4
内一点
A(1,1)作一弦交圆于
B、C
两点,过点
B、C
分别作圆的切线
22PB、PC
,两切线交于点
P
,则点
P
的轨迹方程为
。
解:设
P(x
0
,y
0
)
,根据题设条件,线
段
BC
为点
P
对应圆上的切点弦,
?
直线
BC<
br>的方程为
x
0
x?y
0
y?4
,
QA
点在
BC
上,
?x
0
?y
0
?4
,
即
P
的轨迹方程为:
x?y?4
。
注意掌握切点弦的证明方法。
三、解答题
1、已知过原点O的一条直线与函数<
br>y?log
8
x
的图象交于A、B两点,分别过点A、B作y轴的
平行
线与函数
y?log
2
x
的图象交于C、D两点。
(1)证明:点C、D和原点O在同一直线上;(2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标。
解:(1)设A、B的横坐标分别为
x
1
、x
2
,由题设知
x
1
?1、x
2
?1
,
得点
A(x
1<
br>,log
8
x
1
)、B(x
2
,log
8<
br>x
2
)
,
C(x
1
,log
2
x<
br>1
)、D(x
2
,log
2
x
2
)
,
Q
A
、
B在过点O的直线上,
?
k
O
C
?
log
2
x
1
3log
8
x
1
?,k
OD
x
1
x
1
log
8
x
1
log
8
x
2
?
,
x
1<
br>x
2
log
2
x
2
3log
8
x<
br>2
,得:
k
OC
?k
OD
,
?
O、
C
、
D共线。
??
x
2
x
2
3
(2)由BC平行于x轴,有
log
2
x
1
?log
8x
2
?x
2
?x
1
代入
log8
x
1
log
8
x
2
3
?
,
得
x
1
log
8
x
1
?3x
1
l
og
8
x
1
,
Q
x
1
?1
,?log
8
x
1
?0
x
1
x
2
?
x
1
3
?3x
1
,
x
1<
br>?3
,得
A(3,log
8
3)
。
2、
设数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?na?n(n?1)b
,
(n?1,2,L)
,a、b是常数且
b
?0
。
(1)证明:
?
a
n
?
是等差数列; <
br>(2)证明:以
?
a
n
,
(3)设
a?1,b??
?
S
n
?
?1
?
为坐标的点
Pn
,
(n?1,2,L)
落在同一直线上,并求直线方程。
n
?
1
,
C
是以
(r,r)
为圆心,
r
为半
径的圆
(r?0)
,求使得点P
1
、P
2
、P
3<
br>都落
2
在圆C外时,r的取值范围。
11
解:(1)证明:由题设得
a
1
?S
1<
br>?a
;当n≥2时,
a
n
?S
n
?S
n?
1
?
?
na?n(n?1)b
?
?
?
(n?1)a
?(n?1)(n?2)b
?
?a?2(n?1)b
,
a
n
?a
n?1
?
?
a?2(n?1)b
?
?
?
a?2(n?2)b
?
?2b
。
?
所以?
a
n
?
是以
a
为首项,
2b
为公差
的等差数列。证毕;
(2)证明:∵
b?0
,对于n≥2,
?
S
n
?
?
S
1
?
na?n(n?1)b
?a
?
?1
?
?
?
?1
?
(n?1)b1n1
??
?
a
k
P
n
P
1
?
?
???
a
n
?a
1
a?2(n?1)
b?a2(n?1)b2
S
??
1
(a,a?1)
∴以
?<
br>a
n
,
n
?1
?
为坐标的点
P
n<
br>,
(n?1,2,L)
落在过点
P
,斜率为的同一直线上,
1
2
n
??
1
此直线方程为:
y?(a?1)?(x?a)
,即
x?2y?a?2?0
。
2
1
?
1
?
1,0、P
(3)解:当
a?1,b?
时,得
P
??12
?
2,
?
、P
3
?
3,1
?,都落在圆C外的条件是
2
2
??
?
(r?1)
2<
br>?r
2
?r
2
?
(r?1)
2
?0
?
?
1
2
?
17
22
?
?
(r?
1)?(r?)?r
?
?
r
2
?5r??0
2
4
?
?
222
2
?
?
?
(r?3)?(r?1)?r
?
r?8r?10?0
由不等式①,得r≠1
由不等式②,得r<
①
②
③
55
-
2
或r>+
2
22
由不等式③,得r<4-
6
或r>4+
6
5
5
再注意到r>0,
Q
1<-
2
<4-
6
=+2
<4+
6
22
5
?
使P
1
、P
2
、P
3
都落在圆C外时,r的取值范围是(0,1)∪(1,-2
)∪(4+
6
,+∞)。
2
3、已知
a
?1
、
b?1
、
c?1
,求证:
abc?2?a?b?c<
br>
证一:
a?1??1?a?1
,
b?1??1?b?1
,<
br>c?1??1?c?1
?
?
b?1
?bc?1??1?bc?1
,
?
?
?
c?1
设函数
y?f(a)?abc?2?(a?b?c)?(bc?1
)a?(1?b)?(1?c)
,
则:
f(?1)?(1?bc)?(1?b)?(
1?c)?0
?
?
?
f(1)?(bc?1)?(1?b)?(1
?c)?(1?b)(1?c)?0
?
当
a
?(?1,1)
,即a?1
时,上述函数
y?f(a)
表示的直线都在
a
轴上方,即
:
a?1
、
b?1
、
c?1
,不等式
abc?2
?a?b?c
成立,证毕。
因为题中变量较多,考虑“固定”某变量(这里是a),然后利用
一次函数的性质来证明代数不等
12
式的方法值得借鉴。
证二:
Q
a?1
、
b?1
,
?(a?1)(b?1)?ab?a?b?1?0
,即:
a?b?ab?1
L
①;
?
?
a?1
?ab?1
、
c?1
?
ab?c?abc?1
L
②(将
ab
看作一个数,利用①的结论)
Q
?
?
?
b?1
由①式得
ab?a?b?1
,
a?b?1?c?ab?c?abc?1
,
即:
abc?2?a?b?c
,证毕。
仔细体会上述递推证明的方法,你能
进一步推广运用吗?如试证明
a?b?c?d?e?abcde?4
,
其中
a
,b,c,d,e?(?1,1)
。
22
4、求与圆
x?y?5
外
切于点
P(?1,2)
,且半径为
25
的圆的方程
?
(a
?1)
2
?(b?2)
2
?(25)
2
?
a??3
?
解一:设所求圆的圆心为
C(a,b)
,则
?
b
,
?
?
2
1
)
?
b?6
?
?<
br>LL(
?
a?1
22
?
所求圆的方程为
(x?3)?(y?6)?20
。
注:因为两圆心及切点共线得(1)式
uuur
1
uuur
1
解二
:设所求圆的圆心为
C(a,b)
,由条件知
OP?OC?(?1,2)?(a,b)
33
?
a??3
22
?
?
,所求圆的方程为
(x?3)?(y?6)?20
。
?
b?6
仔细体会解法2,利用向量表示两个圆心的位置关系,同时体现了共线关系和长度关系
,显得更
y
简洁明快,值得借鉴。
5、如图,已知圆心坐标
为
M(3,1)
的圆
M
与
x
轴及直线
D
N
B
M
y?3x
均相切,切点分别为
A
、<
br>B
,另一圆
N
与圆
M
、
x
轴及直线
y?3x
均相切,切点分别为
C
、
D
。
(1)求圆
M
和圆
N
的方程;
(2)过
B
点作
MN
的平行线
l
,求直线
l
被圆
N
截得的弦的长度;
x
C
O A
解:(
1)由于圆
M
与
?BOA
的两边相切,故
M
到
OA
及
OB
的距离均为圆
M
的半径,则
M
在
?BOA
的角平分线上,同理,
N
也在
?BOA
的角平分线上, <
br>即
O、M、N
三点共线,且
OMN
为
?BOA
的角平
分线,
?
M
的坐标为
M(3,1)
,
?M
到x
轴的距离为1,即:圆
M
的半径为1,
?
圆
M的方程为
(x?3)
2
?(y?1)
2
?1
;
设圆
N
的半径为
r
,由
Rt?OAM~Rt?OCN
,得
:
OM:ON?MA:NC
,
21
??r?3
,
OC?3
3
,
?
圆
N
的方程为:
(x?33)
2
?
(y?3)
2
?9
; 即
3?rr
(2)由对称性可知,所求弦长等
于过
A
点的
MN
的平行线被圆
N
截得的弦长,
3
(x?3)
,即
x?3y?3?0
, 此弦所在直线方程为
y?
3
圆心
N
到该直线的距离
d?
33?3?3?31?3
13
?
3
,则弦长=
2r
2
?d2
?33
2
注:也可求得
B
点坐标
?
?
33
?
?
?
2
,
2
?
,得过
B
点
MN
的平行线
l
的方程
x?3y?3?0
,再根据圆
??
3
,求得答案
33
;还可以直接求
A
点或
B
点到直线的距离,进而求
2
22
心
N
到直线
l
的距离等于
得弦长。
6、已知两圆
C
1
:x?y?4
;
C
2
:x?
y?2x?4y?4?0
,直线
l:x?2y?0
,求经过圆
22
C
1
、C
2
的交点且和直线
l
相切的圆的方程。
解
:设所求圆的方程为
x?y?2x?4y?4?
?
(x?y?4)?0
, <
br>即:
(1?
?
)x?(1?
?
)y?2x?4y?4?4?
?0
,得:
22
2222
2
?
1
?
?2
??
?4
?
?
1
?
1?
?
?
,
圆心坐标为
??
;半径
r?
??
?<
br>??
?16
??
,
2
?
1?
?
?
?
1?
?
?
?
1?
?
1?
?
?<
br>?
1?
?
?
?
所求圆与直线
l
相切,
?
圆心到直线的距离
22
?
?2
??
?4
??
1?
?
?
14
?
??
?
??
?1
6
??
1?
?
1?
?
1?
?
1?
?
1?
?
??????
d??r?
,解得
?
??1
,舍去
?
??1
2
5
?
所求圆的方程为
:
x
2
?y
2
?x?2y?0
要熟练掌握过两圆交点的圆系的方程及公共弦的直线方程(
?
=-1
)
22
y
的最大值、
2y?x
的最小值。
x
y22
解:(1)问题可转化为求圆
(x?2)?y?3
上点到原点的连线的斜率<
br>k?
的最大值。
x
设过原点的直线方程为
y?kx
,由图形
性质知当直线斜率取最值时,直线与圆相切。
?2k?0
?
x
?
得
:
?3
,
?k??3
,
?
??
?3
k
2
?1
?
y
?
max
?
?
x??2?3cos
?
22
(2)
Qx,y
满足
(x?2)
?y?3
,
?
?
?
?
y?3sin
?<
br>?2x?y??4?23cos
?
?3sin
?
??4?15sin(
?
?
?
)
7、如果实数
x
、
y
满足
(x?2)?y?3
,求
22
?
?
2x?y<
br>?
min
??4?15
。
注意学习掌握
解(2)中利用圆的参数方程将关于
x,y
的二元函数转化为关于角
?
的一元
函数,从
而方便求解的技巧。
8、已知圆
C:(x?1)?(y?2)?
25
,直线
l:(2m?1)x?(m?1)y?7m?4?0
,
(m?R)
。
(1)证明:不论
m
取什么实数,直线
l
与圆恒交于两点;
(2)求直线被圆
C
截得的弦长最小时
l
的方程.
解:(
1)解法1:
l
的方程
(x?y?4)?m(2x?y?7)?0
,
(m?R)
22
?
2x?y?7?0,
?
x?3,
即
l
恒过定点
A(3,1)
?
?
?
?<
br>?
x?y?4?0,
?
y?1,
圆心坐标为
C(1,2),半径
r?5
,
AC?5?r
,
∴点
A
在圆
C
内,从而直线
l
恒与圆
C
相交于两点。
14
(4m?3)
2
?0
解法2:圆
心到直线
l
的距离
d?
,
d?5??
2
2
5m?6m?2
5m?6m?2
?d?5?5?r
,所以直线
l
恒与
圆
C
相交于两点。
1?212m?13
(2)弦长最小时,
l?A
C
,
Q
k
AC
???
,
?k
l
?
2
,
???2?m??
3?12m?14
代入
(2m?1
)x?(m?1)y?7m?4?0
,得
l
的方程为
2x?y?5?0
。
注意掌握以下几点:(1)动直线斜率不定,可能经过某定点;(2)直线与圆恒有公共点
?
直线
|3m?1|
2
经过的定点在圆内,此结论可推广到圆锥曲线;(3
)过圆内一点,最长的弦为直径,最短的弦为
垂直于直径的弦。
222
9
、已知圆
C:(x?3)?(y?5)?r
和直线
l:4x?3y?2?0
,
(1)若圆
C
上有且只有4个点到直线
l
的的距离等于1,求半径<
br>r
的取值范围;
(2)若圆
C
上有且只有3个点到直线
l<
br>的的距离等于1,求半径
r
的取值范围;
(3)若圆
C
上有
且只有2个点到直线
l
的的距离等于1,求半径
r
的取值范围;
解一:与直线
l:4x?3y?2?0
平行且距离为1的直线有两条,分别为: l
1
:4x?3y?3?0
,
l
2
:4x?3y?7?
0
,注意掌握平行直线的表示方法及其距离计算。
圆心
C
到直线
l
1
的的距离为
d
1
?6
,到直线
l
2的的距离为
d
2
?4
,则:
(1)圆
C
上有
且只有4个点到直线
l
的的距离等于1
?r?4且r?6?r?6
(2)圆
C
上有且只有3个点到直线
l
的的距离等于1
?r?4且r
?6?r?6
(3)圆
C
上有且只有2个点到直线
l
的的
距离等于1
?r?4且r?6?4?r?6
解二:圆心
C
到直线
l
的距离
d?5
,则: (1)圆
C
上有且只有4个点到直线
l
的的距离等于1
?r?d
?1?r?6
,
(2)圆
C
上有且只有3个点到直线
l
的
的距离等于1
?r?d?1?r?6
,
(3)圆
C
上有且只有2个
点到直线
l
的的距离等于1
??1?r?d?1?4?r?6
解法
1采用将问题转化为直线与圆的交点个数来解决,具有直观明了的优点,对解决这类问题特
别有效;解法
2的着眼点是观察从劣弧的点到直线l的最大距离,请仔细体会。
10、已知
O<
br>为原点,定点
Q(4,0)
,点
P
是圆
x?y?4
上
一动点。
(1)求线段
PQ
中点的轨迹方程;
(2)设
?POQ
的平分线交
PQ
于
R
,求
R
点的轨迹方程。 解:(1)设
PQ
中点
M(x,y)
,则
P(2x?4,2y)
,代入圆的方程得
(x?2)?y?1
。
(2)设
R(x,y)<
br>,其中
y?0
,
P(m,n)
,由
22
22
PROP
21
???
,
RQOQ42
O
P
R
Q
3x?4
?
m?
?
?
2
,代入圆方程
x
2
?y
2
?4
并化简得:
?
?
n?
3y
?
?2
2
4
?
16
?
2
(y?0)
。当y=0时,即
P
在
x
轴上时,
?
POQ
的平分线无意义。
x??y?
??
39
??
(1)
本题的解法称作相关点转移法求轨迹,其核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系;(2)
处理“角平
分线”问题,一般有以下途径:①转化为对称问题②利用角平分线性质,转化为比例
关系③利用夹角相等
。
15
11、如图所示,过圆
O
:x?y?4
与
y
轴正半轴的交点
A
作圆的切线
l
,
M
为
l
上任意一点,再
过
M
作圆的另一切线,切
点为
Q
,当点
M
在直线
l
上移动时,求三角形
MA
Q
的垂心的轨迹方程。
解:设
Q(x
1
,y
1
)
,AM
边上的高为
QB,MQ
边上的高为
AC
,连接
OQ,
MQ?OQ,
当
k
OQ
?0
时,
k
MQ
??
22
1
k
OQ
??
x
1
y<
br>,A(0,2),k
AC
?
1
,
y
1x
1
y
1
?
l:y?2?x
?
x
1<
br>?x
?
AC
x
1
?
?
?
?
?
y
1
?y?2
?
l:x?x
1
?QB
QQ(x,y?2)
在
x
2
?y
2
?4<
br>上,
?x
2
?(y?2)
2
?4
,
当k
OQ
?0
时,垂心为点
B
,也满足方程,而点
M与点
N
重合时,不能使
A,M,Q
构成三角形。
?
?
MAQ
的垂心的轨迹方程为:
x
2
?(y?2)
2
?4(x
?0)
。
12、已知函数
f(x)?(x?1)
(1)在曲线
y?f(x?t)
上存在两点关于直线
y?x
对称,求
t
的取值范围;
2
1
上取一点
P
,过
P
作曲线
y?f(x?t)
的两条切线
l
1
、
l
2<
br>,求证:
l
1
?l
2
4
解:(1)设曲线
上关于直线
y?x
的对称点为
A(x
1
,y
1
)<
br>和
B(x
2
,y
2
)
,线段
AB
的
中点
M(x
0
,y
0
)
,
则直线
AB垂直于直线
y?x
,设直线
AB
的方程为:
y??x?b
。
(2)在直线
y??
?
y?f(x?t)?(x?t?1)2
则
?
?x
2
?(2t?3)x?(t?1)
2
?b?0
?
y??x?b
2
据题意得:
??(2t?3
)
2
?4
?
?
(t?1)?b
?
?
?4t
?5?4b?0
LL
(1)
x
2
?x
2
2t?3
??
,
Q
M
在直线
AB
上,
22
2t?3
?
y
0
??x
0
?b??b
2
又
Q
M
在直线
y?x
上,
?x
0
?y
0
,得
b??2t?3
,
7
代入式(1)得
t
??
。
4
1
(2)设
P
点坐标为
(a,?),则过
P
点所作的切线方程为:
4
1
y??k(x?a)
,则有
4
?
y?f(x?t)?(x?t?1)
2
1
?
22
?x?2(t?1)?kx?(t?1)?ka??0
??
?
1
4
?
y??k(x?a)
?4
1
?
2<
br>?
??
?
2(t?1)?k
?
?4
?
(t?
1)
2
?ka?
?
?k
2
?4(t?1?a)k?1?0<
br>4
??
2
直线
l
1
、
l
2
的斜率
k
1
、k
2
为方程
k?4(t?1?a)
k?1?0
的两个根,
x
0
?
?
k
1
?
k
2
??1
,
?
l
1
?l
2
,证
毕。
16
13、已知圆
M:x?
(y?2)?1
,
Q
是
x
轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,
B两点,
求动弦AB的中点P的轨迹方程。
y
解:连接MB,MQ,设
P(x,y),Q(a,0)
,
22
Q<
br>点M,P,Q在一直线上,得
?
2y?2
?
L
①
?ax
2
由射影定理得
|MB|?|MP|?|MQ|
,即:
M
P
A
O
B
x
2
?(y?2)
2
?a
2
?4?1L
②
①式代入②式,消去a,得
x
2
?
?
y?
?
?
7
?
1
?
L
③,
?
4
?
16
2
2
Q
x
7?
13
?
从几何图形可分析出
y?2
,又由③式得
?<
br>y?
?
???y?2
(y?2)
,
4
?
1
62
?
1
?
7
?
?
动弦AB的中点P的轨迹方程是
:
x?
?
y-
?
?,(y?2)
。
?
4
?
16
2
2
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