高中数学必修二直线与圆、圆与圆的位置关系检测题(解析版)

高中数学必修二
直线与圆、圆与圆的位置关系检测题（解析版）
1. 圆
(x?2)?y?4
与圆
(x?2)?(y?1)?9
的位置关系为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D相离
2 若直线
l:mx?ny?m?n?0
?
n?0
?
将圆
C:< br>?
x?3
?
?
?
y?2
?
?4
的周 长分为
2:1
两部分，则直线
l
的
斜率为（ ）
A.
0
或
22
2222
3444
B.
0
或 C.
?
D.
2333
223.已知直线
l:y?x?a
将圆
x?y?4
所分成的两段圆弧的长度之 比为1：2，则实数
a?
（ ）
A.
2
B.
?2
C.
?2
D.
?22

4.已知直线
l
：
x?ky?5?0
与圆
O
:
x? y?10
交于
A
、
B
两点且
OA?OB?0
，则< br>k
22
?
（ ）
A．2 B．
?2
C．
?2
D．
2

5.已知圆
?
x?1
?
?y?4
的圆心为
C
，点
P
是直线
l:mx?y?5m?4?0
上的 点，若该圆上存在点
Q
使
2
2
得
?CPQ?30
， 则实数
m
的取值范围为（ ）
?
3?33?3
?
?< br>12
?
0,
?
,
A．
?
?1,1
?
B．
?
?2,2
?
C．
?
D．
?
?
44
?
5
?

??
6.已知圆
方程为（ ）
A.
C.
7.过点
P(?
B.
D.


的一条直径通过直线被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线
3,1)
的直线
l与圆
x
2
?y
2
?1
有公共点，则直线
l的倾斜角的取值范围是（ ）
?
（0，]
C.
[0，]
D.
[0，]

（0，]
B.A.
6
3
6
3
8.已知圆
x
2
?y< br>2
?2x?2y?a?0
截直线
x?y?2?0
所得弦的长度为4，则 实数
a
的值为（ ）
A.
?2
B.
?4
C.
?6
D.
?8

22
9.设点
M
?
x
0
,1
?
，若在圆
O:x+y?1
上存在点
N
，使得
?OMN?45?
，则
x
0
的取值范围是（ ）
?
?
?

（A）
?
?1,?1
?
（B）
?
?
10.已知直线
的值为（ ）
A. 或
2
?
22
?
?
11
?
,
?
（C）
?
?2,2
?
（D）
?
?,
?

??
?
22
?
?
22
?
相交于两点；且为等腰直角三角形，则实数与圆
B.
2
C. 或 D.
11.圆
x?y?2x?4y?1? 0关于直线2ax?by?2?0
?
a,b?R
?
对称,则ab的取值范围是 （ ）
A．
?
??,
?
B．
?
0,
?
C．
?
?,0
?
D．
?
??,
?

4
?
4
???
4
??
4
??
12.定义：曲线
C
上的点到直线
l
的距离的最小值称为曲线
C
到直线
l
的距离．已知曲线
C< br>1
：
y?x?a
到
直线
l
：
y?x
的距离等于曲线
C
2
：
x?(y?4)?2
到直线直线
l< br>：
y?x
的的距离，则实数
a
＝ ．
13.已知圆
O:x?y?1
和点
M(1,4)
．
（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；
（2）求以点M为圆心，且被直线
y?2x?8
截得的弦长为8的圆M的方程；






22
14.已知圆
C
1
:x?y?6x?0
关于直线
l
1
:y?2x?1对称的圆为
C
.
?
1
??
1
??
1
??
1
?
2
22
22
（1）求圆
C
的方程；
（2）过点
?
?1,0
?
作直线
l
与 圆
C
交于
A,B
两点，
O
是坐标原点，是否存在这样的直 线
l
，使得在平行四
边形
OASB
中
OS?OA?OB？若存在，求出所有满足条件的直线
l
的方程；若不存在，请说明理由.

15.已知点
P(2,2)
，圆
C
:
x?y?8y?0
，过点
P
的动直线
l
与圆
C
交于
A,B
两点，线段
AB
的中点为
22
M
，
O
为坐标原点.
(1)求
M
的轨迹方程；
(2)当
OP?OM
时，求l
的方程及
?POM
的面积







16.已知圆C经过两点P（-1，-3），Q（2，6），且圆心在 直线
x?2y?4?0
上，直线l的方程为
(k?1)x?2y?5?3k?0
．
（1）求圆C的方程；
（2）证明：直线l与圆C恒相交；
（3）求直线l被圆C截得的最短弦长．




17.已知
?ABC
的三个顶点
A(?1,0)
，
B(1,0)
，
C(3,2)
，其外接圆为
H
．
(1)若直线
l
过点
C
，且被
H
截得的弦长为2，求直线
l
的方 程；
(2)对于线段
BH
上的任意一点
P
，若在以
C为圆心的圆上都存在不同的两点
M,N
，使得点
M
是线段
PN< br>的
中点，求
C
的半径
r
的取值范围．

22
18.已知定点
A
?< br>?1,0
?
,B
?
2,0
?
，圆C：
x?y?2x?23y?3?0
，
（1）过点
B
向圆C引切线l，求切线l的方程；
（2）过点A作直线
l
1
交圆C于P,Q，且
AP?PQ
，求直线
l
1
的斜率k；
（3）定点M,N在直线
l
2
:x?1
上，对于圆C上任意一点R都满足
RN?3RM
，试求M,N两点的坐标








19.
O:x?y?4
和圆
C:x?(y?4)?1

（1）判断圆
O
和圆
C
的位置关系；
（2）过圆
C
的圆心
C
作圆
O
的切线
l
，求切线
l< br>的方程；
（3）过圆
C
的圆心
C
作动直线
m
交圆
O
于A，B两点．试问：在以AB为直径的所有圆中，是否存在这样
的圆
P
，使得圆
P
经过点
M(2,0)
？若存在，求出圆
P< br>的方程；若不存在，请说明理由．

2222

参考答案
答案1 2.B 3.C 4.B 5.D 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.B 12.
9

4
13（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为：
x?1
，为圆O的切线； 1分
当切线l的斜率存在时，设直线方程为：
y ?4?k(x?1)
，即
kx?y?k?4?0
，
∴圆心O到切线的距离为 ：
|?k?4|
k
2
?1
?1
，解得：
k?
15

8
∴直线方程为：
15x?8y?17?0
．
综上，切线的方程为：
x?1
或
15x?8y?17?0
4分

14.（1）圆
C
1
化为标准为
?
x?3< br>?
?y?9
，
2
2
设圆
C
1
的圆 心
C
1
?
?3,0
?
关于直线
l
1
:y?2x?1
的对称点为
C
?
a,b
?
，则
k
CC
1
k
l
??1
，
且
CC
1
的中点
M
?
?
a?3b
?
,
?
在 直线
l
1
:y?2x?1
上，
?
22
?
b
?2??1
a?1
a?3
所以有
{
，解得：
{
，
b
b??2
?
a?3
?
??1?0
2
所以圆
C
的方程为
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?9
.
（2）由
OS?OA?OB?BA< br>，所以四边形
OASB
为矩形，所以
OA?OB
.
22
·?0
，即：
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
. 要使
OA?OB
，必须使
OAO B
①当直线
l
的斜率不存在时，可得直线
l
的方程为
x?? 1
，与圆
C:
?
x?1
?
?
?
y?2?
?9

交于两点
A?1,5?2
，
B?1,?5?2
.
22
????

< br>·?
?
?1
??
?1
?
?
因为
OA OB
?
5?2?5?2?0
，所以
OA?OB
，所以当直线
l
的斜率不存在时，直线
???
l:x??1
满足条件.
②当直线
l
的斜率存在时，可设直线
l
的方程为
y?k
?
x ?1
?
.
设
A
?
x
1
,y
1< br>?
,B
?
x
2
,y
2
?

(
x?1)2
?(
y?2)2
?9
2222
由
{< br>得：
?
1?k
?
x?
?
2k?4k?2
?
x?k?4k?4?0
.由于点
?
?1,0
?
在圆
C
内部，所以
y?k
?
x?1
?
??0
恒成立，
?2k
2
?4k?2?
x
1,2
?
???
2k
2
?4k?2?41?k
2
k
2
?4k?4
2
?
2
?
1?k
?
2
????
，
2k
2
?4k?2k
2
?4k?4
x
1
?x
2
??
，
x
1
x
2
?
，
1 ?k
2
1?k
2
·?0
，即
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
， 要使
OA?OB
，必须使
OAOB
k
2
?4k?4
?k
2
?
x
1
?1
??
x
2
?1
?
?0
也就是：
2
1?k
整理得：
1?k
?
2
?2
k
2
?4k?4
2
k?4k?2
2
?k?? k?0

22
1?k1?k
解得：
k?1
，所以直线
l
的方程为
y?x?1

存在直 线
x??1
和
y?x?1
，它们与圆
C
交
A,B< br>两点，且四边形
OASB
对角线相等.
15.

（2）由 （1）可知M的轨迹是以点
N(1,3)
为圆心，
2
为半径的圆.
由于
|OP|?|OM|
，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而
ON ?PM
.

因为ON的斜率为3，所以
l
的斜率为
?
，故
l
的方程为
y??
1
3
18
x?
.
33
又
|OP|?|OM|?22
，O到l
的距离为
22
410410
16
，
|PM|?
，所以
?POM
的面积为.
55
5
16.（1）设圆C的方程为
x?y?Dx?Ey?F?0

(1分)

?
?
1?9?D?3E?F?0
?
D? ?4
?
?
由条件，得
?
4?36?2D?6E?F?0
,解 得
?
E??2

?
F??20
?
DE
?< br>?
(?)?2?(?)?4?0
?22
∴圆的方程为
x?y?4x?2 y?20?0

22
(4分)

（2）由
(k?1)x ?2y?5?3k?0
，得
k(x?3)?(x?2y?5)?0
，
?x?3?0
?
x?3
令
?
，得
?
，即直线l过 定点M（3，-1），…（6分）
x?2y?5?0y??1
??
由
3?( ?1)?4?3?2?(?1)?20?0
，知点M（3，-1）在圆内，
∴直线l与圆C恒相交． …（8分）
（3）圆心C（2，1），半径为5，由题意知，当点M满足CM垂直于直线l时，弦长最短．
22
2
直线l被圆C截得的最短弦长为2
5?
?
?
2?3
?
?
?
1?1
?
?
=
45
．…（ 12分）
22
??
17.

当直线
l
不垂直于
x
轴时，设直线方程为
y?2?k(x?3)
，则
综上，直线
l
的方程为
x?3
或
4x?3y?6?0
．
(2) 直线
BH
的方程为
3x?y?3?0
，设
P(m, n)(0?m?1),N(x,y)
，
因为点
M
是点
P
，
N
的中点，所以
M(

3k?1
1?k
2
?3
，解得
k?
4
，
3
m?xn?y
,)
，又
M,N
都在半径为
r的
C
上，
22

?
(x?3)
2
?(y?2)
2
?r
2
,
222
?
?
?
(x?3)?(y?2)?r,
所以
?
m?x
即
?

n?y
222
222
(?3)?(?2)?r.
?
?
?
(x?m?6)?(y?n?4)?4r.
?22
因为该关 于
x,y
的方程组有解，即以
(3,2)
为圆心
r
为半径的 圆与以
(6?m,4?n)
为圆心
2r
为半径的圆有公
2222共点，所以
(2r?r)?(3?6?m)?(2?4?n)?(r?2r)
，
又
3m?n－
1]
]成立．
12m?10≤9r
2
对
?m?[0，
3?0
，所以
r
2
≤10m
2< br>－
12m?10
在[0，1]上的值域为[而
f
?
m
?
?10m
2
－
32
32
,
10
]，故< br>r
2
≤
且
10≤9r
2
．
5
5
32
.故
C
的半径
r
5
222
又线段BH
与圆
C
无公共点，所以
(m?3)?(3?3m?2)?r
对
?m?[0，1]
成立，即
r
2
?
的取值范围为
[
18
10410
,)
．
35

∴直线l：
3x?y?23?0

故直线l的方程为x＝2或
3x?y?23?0

（2）设
P?
x
1
,y
1
?
，由
AP?PQ
知 点P是AQ的中点，所以点Q的坐标为
?
2x
1
?1,2y
1
?
.
由于两点P,Q均在圆C上，故
x
1
?y
1?2x
1
?23y
1
?3?0
， ①
22
?y
1
?3y
1
?
又
?
2x
1
?1
?
?
?
2y
1
?
?2
?
2x
1
?1
?
?23
?
2y
1
?
?3?0
，即
x
1
22
22
1
?0
， ②
2
②—①得
2x
1
?3y
1< br>?
5
?0
， ③
2
11
x
1
?
3113
214
或
由②③解得
{
或
{
，
?k?

315
3113
y
1
?y
1
?
214x
1
?

（3）设
M
?1,a
?
,N
?
1,b
?
,R
?
x< br>1
,y
1
?
，则
?
x
1
?1?
?y
1
?3
2
??
2
?1
④
22
又
3RM?RN
得
2
?
x
1< br>?1
?
?
?
y
1
?b
?
?3
?
y
1
?a
?
， ⑤
222
由④、⑤得< br>6a?2b?43y
1
?b?3a?4?0
，⑥
由于关于
y
1
的方程⑥有无数组解，所以
{
??
?
22
?
6a?2b?43?0
b?3a?4?0
22
，
43
23
a?
a?
解得
{
3
或{
3

b?0
b?23
?
43
??
23
?
M1，,N1，23或M1，
?
,N
?
1，0
?
所以满足条件的定点有两组
???
????
3
?
3
???< br>??
19. 【答案】（1）外离；（2）
3x?y?4?0
或
3x?y?4?0
； 22
（3）存在圆
P
：
5x?5y?16x?8y?12?0
或
x?y?4
，使得圆
P
经过点
M(2,0)
。
22
【解析】(1)因为圆
O
的圆心
O
(0,0)
，半径< br>r
1
?2
，圆
C
的圆心
C
(0,4)
，半径
r
2
?1
，
所以圆
O
和圆
C< br>的圆心距
|OC|?|4?0|?r
1
?r
2
?3
，
所以圆
O
与圆
C
外离.
（2）设切线
l
的方程为：
y?kx?4
，即
kx?y?4?0
，
所以
O
到
l
的距离
d?
|0?0?4|
k?1
2
?2
，解得
k??3
.
所以切线
l
的方程为
3 x?y?4?0
或
3x?y?4?0
.

消去
y
整理，得
(1?k)x?8kx?12?0
，
22
由△
?64k?48(1?k)?0
，得
k?
22

3
或
k??3
．

8k
?
x?x??,
12
2
?
?
1?k
设
A (x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)，则有
?
①
?
xx?
12
,
?< br>12
1?k
2
?
16?4k
2
由①得
y1
y
2
?(kx
1
?4)(kx
2
?4)?k x
1
x
2
?4k(x
1
?x
2
)?16?
， ②
2
1?k
2
y
1
?y
2?kx
1
?4?kx
2
?4?k(x
1
?x
2
)?8?
8
2
， ③
1?k
若存在以
AB
为直径的圆
P
经过点
M(2,0)
，则
MA?MB
，所以
MA?MB?0
，
因此
(x
1
?2)(x
2
?2)?y
1
y
2
?0
，即
x
1
x
2
?2(x
1
?x
2
)?4?y
1
y
2
?0
，
1216k16?4k
2
??4??0
，所以
16k?32?0
，
k??2
，满足题意． 则
222
1?k1?k1?k
22
此时以
AB
为直径的圆的方程为
x?y? (x
1
?x
2
)x?(y
1
?y
2
)y? x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
， < br>即
x?y?
22
16812
x?y??0
，亦即
5x
2
?5y
2
?16x?8y?12?0
．
555
22
综上，在以AB为直径的所有圆中，存在圆
P
：
5x?5y?16x? 8y?12?0
或
x
2
?y
2
?4
，使得圆P
经过点
M(2,0)
．