高中数学必修二周报第六期答案-高中数学从哪学起
专题检测直线与圆
一、选择题
1.(2016·福建厦门联考)“C=5”
是“点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3”的
( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2
.(2016·全国甲卷)圆x
2
+y
2
-2x-8y+13=0的圆心到直
线ax+y-1=0的距离为1,
则a=( )
43
A.- B.-
34
C.3 D.2
3.(2016·山西运城二模)已知圆(x-2)
2
+(y+1)
2
=16的一条直径通过直线x-2y+3=0
被圆所截弦的
中点,则该直径所在的直线方程为( )
A.3x+y-5=0 B.x-2y=0
C.x-2y+4=0 D.2x+y-3=0
2
4.圆心在曲线y=(x>0)
上,与直线2x+y+1=0相切,且面积最小的圆的方程为( )
x
A.(x-2)
2
+(y-1)
2
=25
B.(x-2)
2
+(y-1)
2
=5
C.(x-1)
2
+(y-2)
2
=25
D.(x-1)
2
+(y-2)
2
=5
5.(2016·
福州模拟)已知圆O:x
2
+y
2
=4上到直线l:x+y=a的距离等于1
的点至少有
2个,则a的取值范围为( )
A.(-32,32)
B.(-∞,-32)∪(32,+∞)
C.(-22,22)
D.[-32,32 ]
x+y≤4,
?
?
6.(2016·河北
五校联考)已知点P的坐标(x,y)满足
?
y≥x,
过点P的直线l与圆C:
?
?
x≥1,
x
2
+y
2
=14相交于A,B两
点,则|AB|的最小值是( )
A.26 B.4 C.6 D.2
二、填空题
7.(2016·山西五校联考)过原点且与直线6x-3y+1=0平行的直线l被圆
x
2
+(y-3)
2
=7所截得的弦长为________.
8.已知f(x)=x
3
+ax-2b,如果f(x)的图象在切点P(1,-2)
处的切线与圆(x-2)
2
+(y
+4)
2
=5相切,那么3a+2
b=________.
9.(2016·河南焦作一模)著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般
好,隔裂分家万事
休.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:(x-a)
2
+(y-b)
2
可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合
上述观点,可得f(x)=x
2
+4x+20+
x
2
+2x+10的
最小值为________.
三、解答题
10.(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,
1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)
2
+(y-3)
2
=1
交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
11.已知点P(2,2),圆C:x<
br>2
+y
2
-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,
线段
AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
12.(2016·湖南东
部六校联考)已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,
圆心C在x轴上且在直线
l的右上方.
(1)求圆C的方程;
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点
(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否
存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的
坐标;若不存在,请说明理由.
一、选择题
|3×2+4×1+C|
1.解析:选B 点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3
等价于
=3,
22
3
+4
解得C=5或C=-25,所以“C=5”
是“点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3”的充
分不必要条件,故选B.
2.解析:选A 因为圆x
2
+y
2
-2x-8y+13=0的圆心
坐标为(1,4),所以圆心到直线
|a+4-1|
4
ax+y-1=0的距离d=<
br>=1,解得a=-
.
3
a
2
+1
1
3.解析:选D 直线x-2y+3=0的斜
率为
,已知圆的圆心坐标为(2,-1),该直径
2
所在直线的斜率为-2,所以该直
径所在的直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0,
故选D.
2
2a+
+1
2
a
2
a,
?
(a>0),4.解析:选D 设圆心坐标为C
?
则半径r=≥
?
a
?
5
2
2a×
+1<
br>a
=5,
5
2
当且仅当2a=,即a=1时取等号.所以当a=1时圆
的半径最小,此时r=5,C(1,2),
a
所以面积最小的圆的方程为(x-1)
2
+(y-2)
2
=5.
5.解析:选A 由圆的方程可知圆心为O(0,0
),半径为2,因为圆上的点到直线l的
距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线l的距离d<2+
1=3,即d=
解得a∈(-32,32),故选A.
6.解析:选B 根据约束条件画出可
行域,如图中阴影部分所示,设点P到圆心的距
离为d,则求最短弦长,等价于求到圆心的距离最大的点
,即为图中的P点,其坐标为(1,
3),则d=1+3
2
=10,此时|AB|min
=214-10=4,故选B.
|-a|
=
|a|
<3
,
2
1
2
+1
2
二、填空题
7.解析
:由题意可得l的方程为2x-y=0,∵圆心(0,3)到l的距离为d=1,∴所求
弦长=2R
2
-d
2
=27-1=26.
答案:26
8
.解析:由题意得f(1)=-2?a-2b=-3,又∵f′(x)=3x
2
+a,∴f(x
)的图象在点P(1,
|(3+a)×2+4-a-5|
-2)处的切线方程为y+2=(3+
a)(x-1),即(3+a)x-y-a-5=0,∴
(3+a)
2
+1
2
51
=5?a=-,∴b=,∴3a+2b=-7.
24
答案:-7
9.解析:
∵f(x)=
=
x
2
+4x+20+x
2
+2x+10
(x+1)
2
+(0-3)
2
, (x+2)
2
+
(0-4)
2
+
∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(-2,4)与B
(-1,3)的距离之和,设点A(-2,
4)关于x轴的对称点为A′,则A′为(-2,-4).要
求f(x)的最小值,可转化为|MA|+|MB|的最
小值,利用对称思想可知|MA|+|MB|≥
|A′B|=
x
2
+4x+20+
答案:52
三、解答题
10.解:(1)由题设可知直线l的方程为y=kx+1.
|2k-3+1|
因为直线l与圆C交于两点,所以
<1,
2
1+k
4-74+7
解得
所以k
的取值范围为
?
x
2
+2x+10的最小值为52.
(-1+2)
2
+(3+4)
2
=52,即f(x)=
?
4-74+7<
br>?
?
.
?
3
,
3
?
(2)设M(
x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
).
将y=kx+1代入方程(x-2)
2
+(y-3)
2
=1,
整理得(1+k
2
)x
2
-4(1+k)x+7=0.
4
(1+k)
7
所以x
1
+x
2
=,x
x
=
.
12
1+k
2
1+k
2
4k(
1+k)
=x
1
x
2
+y
1
y
2
=(1+k
2
)x
1
x
2
+k(x
1
+x
2
)+1=
+8.
1+k
2
4k(1+k)
由题设可得+8=12,解得k=1,
2
1+k
所以直线l的方程为y=x+1.
故圆心C在直线l上,所以|MN|=2.
11.解:(1)圆C的方程可化为x
2
+(y-4)
2
=16,
所以圆心为C(0,4),半径为4.
设M(x,y),则
由题设知·
=(x,y-4),
=0,
=(2-x,2-y).
故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)
2
+(y-3)
2
=2.
由于点P在圆C的内部,
所以M的轨迹方程是(x-1)
2
+(y-3)
2
=2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.
由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.
1
因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,
3
18
故l的方程为y=-
x+.
33
410
又|OM|=|OP|=22,O到l的距离d为,
5
所以|PM|=2
410
|OP|
2
-d
2
=,
5
116
所以△POM的面积为S
△
POM
=
|PM|d=
.
25
|4a+10|
5
a>-
?
,则
12.解
:(1)设圆心C(a,0)
?
=2?a=0或a=-5(舍).
2
??
5
所以圆C:x
2
+y
2
=4.
(2)当直线AB⊥x轴时,x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜
率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),N(t,0),A(x
1
,y
1<
br>),B(x
2
,
y
2
),
22
?
?
x
+y=4,
由
?
得(k
2
+1)x
2
-2k
2
x+k
2
-4=0.
?
?
y=
k(x-1),
k
2
-4
2k
2
所以x
1
+x
2
=
2
,x
1
x
2
=
2.
k
+1
k
+1
k(x
1
-1)
k
(x
2
-1)
y
1
y
2
若x轴平分∠ANB,则k
AN
=-k
BN
?
+=0?+=0?2x
1
x2
x
1
-t
x
2
-t
x
1
-
t
x
2
-t
2(k
2
-4)
2k
2
(t+1)
-(t+1)(x
1
+x
2
)+2t=0?
-
+2t=0?t=4,
k
2
+1
k
2
+1
所以当
点N为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM总成立.