必修2直线与圆典型题型总结

直线与圆方程复习专题
注：标*的为易错题，标**为有一定难度的题。
一：斜率与过定点问题
1．已知点
A(1,3)
、那么实数
m的值为_______直线的斜率=_____．
B(2,6)
、
C(5,m)
在同一条直线上，
2．已知
m?0
，则过点
(1,?1)
) 的直线
ax?3my?2a?0
的斜率为________
**3．已知线段
PQ
两端点的坐标分别为
(?1,1)
、
(2,2)
，若直线l:mx?y?m?0
与线段
PQ
有交
点，求
m
的范围．


二：截距问题：
4 .若三点
A(2,2)
,
B(a,0)
，
C(0,b)
(< br>ab?0
)共线，则
11
?
=______
ab
**5.已知
ab?0,bc?0
，则直线
ax?by?c
通过（ ）
A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限
*6.（1）过点
A(1,2)
且在
x
轴
，
y
轴上截距相等的直线方程是 .
（2）过点< br>A(1,2)
且在
x
轴
，
y
轴截距互为相反数的直线 方程是 .
三：平行垂直：
7、已知过点
A?
?2，m
?
和
B
?
m，4
?
的直线 与直线
2x?y?1?0
平行，则
m
=______
2x?my ?1?0
与直线
l
2
：y?3x?1
平行，则
m?
___ （若垂直呢） 8、若直线
l
1
：　
9、过点
P(?1,3 )
且垂直于直线
x?2y?3?0
的直线方程为__________
1 0、已知直线
l
1
:(m?3)x?4y?5?3m,l
2
:2x? (m?5)y?8
，
（1）若
l
1
?l
2
，则< br>m?________
*（2）若
l
1
l
2
，则m?________

五：交点问题：
11、过直线
l
1< br>:2x?3y?5?0,l
2
:3x?2y?3?0
的交点且平行于直线
2x?y?3?0
的直线方程.
是____________（垂直呢？）
**12．若直线
l:y?kx?1
与直线
x?y?1?0
的交点位于第 一象限，求实数
k
的取值范围.


六：距离问题
13 ．已知点
(3,m)
到直线
x?3y?4?0
的距离等于1，则
m?
_________
14．已知直线
3x?2y?3?0
和
6x? my?1?0
互相平行，则它们之间的距离是_________
15. ①平行于直线3x?4y?12?0
,且与它的距离是7的直线的方程是__________________ ______
②垂直于直线
x?3y?5?0
, 且与点
P(?1,0)< br>)的距离是
3
10
的直线的方程是___________
5
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16.过点
A(1,2)
且与原点距离最大的直线方程是____________
七：圆的方程
例1、 若方程
x
2
?y
2
?2x ?4y?1?a?0
表示的曲线是一个圆，则
a
的取值范围是
圆心坐标是__________________,半径是________________
例2、 求过点
A(1,4)
、
B(3,2)
且圆心在直线
y?0
上的圆的标准方程，并判断点
P(2,4)
与圆的
关系．



例3 圆心在直线
3x?y?0
上，与直线
y?0相切，且被直线
x?y?0
所截得的弦长为
27
的圆的
方程．





22
**练习. 方程
(x?y?1)x?y?4?0
所表示的曲线是 ( )
A．一个圆和一条直线 B． 两个点 C． 一个点 D．一个圆和两条射线
八：点与圆，直线与圆的位置关系：
1、直线
x?y?1
与圆
x< br>2
?y
2
?2ay?0(a?0)
没有公共点，则
a
的取值范围是
*2、设点（
x
0
,y
0
）在圆
x
2
?y
2
?r
2
的外部，则直线
x
0
x?y
0
y?r
2
与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C． 相离 D．不确定
*3、原点与圆
(x?1)
2
?(y?a)
2
?2a(0?a?1)
的位置关系是___________
九：直线与圆的位置关系
（一）相交
22
例1、已知圆
C:x?y?2x?4y?0
和 点
P(0,2)
，（1）求直线
l
1
:3x?y?6?0
被 圆
C
截得的
弦
AB
的长；
（2）
直线
l< br>2
与圆
C
交与
MN
两点，弦
MN
被点P
平分，求
l
2
的方程（*3）过
P
点的直线
l
截圆
C
所得的弦长为
4
，求直线
l
的方程。




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**例2、 圆
(x?3)
2
?(y?3)
2
?9
上到直线
3x?4y?b?0
的距离为1的点有 三个，则
b?_____
，
**例3、.已知方程
x
2
? y
2
?2x?4y?m?0
表示圆,（1）求
m
的取值范围； （2）若该圆与直线
x?2y?4?0
相交于两点，且
OM
?
O N
（
O
为坐标原点）求
m
的值；
（3）在（2）的条件下，求以
MN
为直径的圆的方程.













**例4. 已知圆
C:x?(y?1)?5
，直线
l:mx?y?1?m?0
。
（1） 求证：对
m?R
，直线
l
与圆
C
总相交；
（2）设
l
与圆
C
交与不同两点
A
、
B< br>，求弦
AB
的中点
M
的轨迹方程；









练习、1、直线
3x?y? 23?0
截圆
x?y?4
得的劣弧所对的圆心角为
2、已知圆(x?2)
2
?(y?1)
2
?16
的一条直径通过直线
x?2y?3?0
被圆所截弦的中点，则该直
径所在的直线方程为____________ _________
22
3、圆
x?y?2x?4y?3?0
上到直线x?y?1?0
的距离为
2
的点共有______个
22
22
（二）相切
例1 已知圆
O：x?y?4
，
（1） 求过点
M(1,3)
与圆
O
相切的切线方程；
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22

（2） *求过点
P
?
2，4
?
与圆
O
相 切的切线方程并求切线长；
（3） 求斜率为
2
且与圆
O
相切的切线方程；
（4） **若点
(x,y)
满足方程
x
2
?y
2
?4
，求
y?2x
的取值范围；
（5） **若点
(x,y)
满足方程
x< br>2
?y
2
?4
，求














**例2、过圆
x
2
?y
2
?1
外一点
M (2,3)
，作这个圆的两条切线
MA
、
MB
，切点分别是
A
、
B
，
求直线
AB
的方程。




**例3、若直线
y?x?m
与曲线
y?
个公共点呢？



练习：
1．求过点
M(3,1)
，且与圆
( x?1)?y?4
相切的直线
l
的方程是____________________ ________.
22
2、已知直线
5x?12y?a?0
与圆
x?2x?y?0
相切，则
a
的值为 .
22
y?4
的取值范围。
x?3
4?x
2
有且只 有一个公共点，求实数
m
的取值范围.若有两
3. 过圆
x
2
?y
2
?4
外一点
M(4,?1)
引圆的两条切线，则经过两切点 的直线方程是______________
4．已知
P
是直线
3x?4y ?8?0
上的动点，
PA,PB
是圆
x
2
?y
2< br>?2x?2y?1?0
的两条切线，
A,B
是切
点，
C
是圆心，那么四边形
PACB
面积的最小值为 ．
22
* *5、已知对于圆
x?(y?1)?1
上任一点
P(x,y)
，不等式
x?y?m?0
恒成立，求实数
m
的取
值范围是____________
**6．曲线
y?1?4?x
2
(|x|?2)
与直线
y? k(x?2)?4
有两个交点时，实数
k
的取值范围是（ ）
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A．
(
5355
13
,]
B．
(,??)
C．
(,)
D．
(0,)

1241212
34
（三）相离
例1： 圆
x
2
?y
2
?4x?4y?10?0
上的点到直线
x?y?14?0
的最大距离与最小距离的差是
十：圆与圆的位置关系 < br>例1、判断圆
C
1
:x
2
?y
2
?2x?6 y?26?0
与圆
C
2
:x
2
?y
2
?4 x?2y?4?0
的位置关系，

例2、求两圆
x
2
?y
2
?x?y?2?0
和
x
2
?y
2
?5< br>的公共弦所在的直线方程及公共弦长。

例3：圆
x?y?2x?0
和圆
x?y?4y?0
的公切线共有 条。
1、若圆
x
2
?y
2
?2mx?m
2
?4?0
与圆
x
2
?y
2
?2x?4my?4m
2
?8?0
相切，则实数
m
的取
值集合是 .
22
2、与圆
x?y?5
外切于点
P(?1,2)
，且半径 为
25
的圆的方程是___________
2222

十一：直线与圆中的对称问题
例1、（1） 圆
x
2
?y
2
?2x?6y?9?0
关于直线
2x?y?5?0
对称的圆的方程是
（2）已知圆
x?y?5
与圆
x
2
?y
2
?4x?4y?3?0
关于直线
l
对称，求直线
l
的方程。



例2．一束光线从点
A
?
?3，3
?
出发经
x
轴反射到圆
x
2
?y
2
?2x ?6y?9?0
的最短路程
是 ．
例3、已知圆
C：x2
?y
2
?4x?4y?7?0
，
自点
A
?< br>?3，3
?
发出的光线
l
被
x
轴反射，反射光线所在
的直线与圆
C
相切，（1）求反射光线所在的直线方程．（2）光线自
A到切点所经历的路程．





例4、 已知直线
l:y?3x?3
，（1）
P(1,?1)
关于直线
l
对称 点的坐标是____________
（2） 直线
y?x?2
关于直线
l
对称的直线方程是_______________
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22

（3） 已知点
A(1,2)
，
B(3,1)
，则线段
AB
的垂直平分线的方程为_________
**例5、已知点
M(3,5)
，在直线
l:x?2y?2?0
和
y
轴上各找一点
P
和Q
，使
?
ABC
的周长最小.


例6. （1）直线
l:y?3x?b
是圆
x
2
?y
2
?2 x?6y?9?0
的一条对称轴，则
b?
______
(2) 圆
x
2
?y
2
?2x?6y?9?0
关于点
M(3 ,5)
对称的圆的方程是_____________________
十二：直线与圆中的最值问题
例1、已知圆
O
1
：
则
x
2
?y
2
的最小值是_________
(x?3)< br>2
?(y?4)
2
?1
，
P(x,y)
为圆
O
上的动点，
例2、已知
A(?2,0)
，
B(2,0)
， 点
P
在圆
(x?3)?(y?4)?4
上运动，则
PA?PB
的最小值
是 .



例3.点
A(x,y)
满足
x?y?3?0
,
x?




例4.（1）点
A(1,3),B(5,?1)
，点
P
在
x
轴上使
|PA|?|PB|
最小，则
P的坐标为（ ）
（2）点
A(1,3),B(5,1)
，点
P< br>在
x
轴上使
|PA|?|PB|
最小，则
P
的坐__ ________
（3）点
A(1,3),B(5,1)
，点
P
在
x
轴上使
|PA|?|PB|
最大，则
P
的坐标为____ _____
例5.点
P(x,y)
在直线
x?y?4?0
上，则
22
（1）
(x?1)?(y?2)
的最小值是_____________ ___
22
22
y
?
1，2
?
，求的最大值和最小值 < br>x
22
（2）
(x?1)?(y?2)
的最小值是_________ _______
(3)
x?y
的最小值是________________
（4）
x?y?2x
的最小值是________________
（5） 若点
Q
在直线
2x?2y?3?0
上则
|PQ|
的最小值是 ___________
练习、
1、已知
x
2
?y
2< br>?4x?3?0
，则
x
2
?y
2
的最小值是____ __；
x
2
?y
2
?2y
的最大值是_________
■■■ 第 6 页 共 7 页 ■■■
22
22

2、已知点
A(?2,?2),B(?2,6),C(4,?2)
，点
P在圆
x
2
?y
2
?4
上运动，求
PA?PB? PC
的最
大值和最小值.






3、已知点
A(1,1)
，
B(2,2)
，点
P
在 直线
y?





222
1
2 2
x
上，求
PA?PB
取得最小值时
P
点的坐标。
2



十三： 轨迹问题
例1、已知 点
M< br>与两个定点
O(0,0)
，
A(3,0)
的距离的比为





例2、已知线段
AB
的端点
B< br>的坐标是（4，3），端点
A
在圆
(x?1)?y?4
上运动，求线段
AB
的中点
M
的轨迹方程.



< br>例3、由动点
P
向圆
x?y?1
引两条切线
PA
、< br>PB
，切点分别为
A
、
B
，
?APB
=60 ，则动点
0
1
，求点
M
的轨迹方程.
2
22
22
P
的轨迹方程是 .
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