高中数学例题：直线与圆的方程的综合应用

高中数学例题：直线与圆的方程的综合应用
例4．设圆满足：
（1）截y轴所得的弦长为2；
（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．
在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线
l
：x―2y=0的
距离最小 的圆的方程．
【答案】(x―1)
2
+(y―1)
2
=2或(x+ 1)
2
+(y+1)
2
=2
【解析】 满足题设中两个条件 的圆有无数个，但所求的圆须满足
圆心到直线
l
的距离最小．这样须通过求最小值的方 法找出符合题意
的圆的圆心坐标．
设圆心为P（a，b），半径为r，则P点到x轴、y轴的距离分别
是|b|和|a|．
由题设知：圆P截y轴所得劣弧对的圆心角为90°，故圆P截x
轴所得弦长为
2r

∴r
2
=2b
2
．
又圆P截y轴所得的弦长为2，
∴r
2
=a
2
+1，从而 2b
2
―a
2
=1．
又∵P（a，b）到直线x―2y=0的距离为
d?
|a?2b|
，
5
∴5d
2
=|a―2b|
2
=a
2+4b
2
―4ab=2(a―b)
2
+2b
2
―a2
=2(a―b)
2
+1≥1，
当且仅当a=b时取等号，此时
d
min
?
由
?

5
．
5
?
a?b
2
?
2b?1?a，得
?
2
?
a?1
?
a??1
或
?< br>，∴r
2
=2．
?
b?1
?
b??1
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故所求的圆的方程为(x―1)
2
+( y―1)
2
=2或(x+1)
2
+(y+1)
2
=2．
【总结升华】 解决直线与圆的综合问题，一方面，我们要注意运
用解析几何的基本思想方 法（即几何问题代数化），把它转化为代数
问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面由于直线 与圆和
平面几何联系得十分紧密（其中直线与三角形、四边形紧密相连），
因此我们要勤动手， 准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含
的条件（性质），利用几何知识使问题得到较简捷的解决 ．本题若用
代数方法求解，其计算量大得多，不信自己试试看．
在解决有关直线与圆的综合问 题时，经常需要引进一些参数（用
字母表示相关量），但不一定要解出每一个几何量，而是利用有关方< br>程消去某些参数，从而得到所要的几何量的方程，解此方程即可．这
种解题方法就是“设而不求” （设出了但没有求出它）的思想方法．“设
而不求”是解析几何中的一种重要的思想方法．
举一反三：
【变式1】已知圆x
2
+y
2
+x― 6y+m=0与直线x+2y―3=0相交于P、
Q两点，点O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值．
【答案】3
【解析】 由
x?2y?3?0
得
x?3?2y
代入
x
2
?y
2
?x?6y?m?0
，化简
得： 5y
2
-20y+12+m=0，y
1
+y
6
=4，
y
1
?y
2
?
12?m

5
设
P,Q
的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
，< br>?
x
2
,y
2
?
，由
OP?OQ
可 得：
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0< br>
x
1
x
2
?y
1
y
2
? (3?2y
1
)?
?
3?2y
2
?
?y
1
y
2

=
9?6
?
y
1
?y
2
?
?5y
1
y
2


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=
9?24?12?m

=0
解得：
m?3





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