高中数学竞赛讲义_直线与圆的方程

直线与圆的方程

一、基础知识
1．解析几何的研究对 象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线
与方程的关系，即如 果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条
曲线的方程，这条曲 线叫做方程的曲线。如x
2
+y
2
=1是以原点为圆心的单位圆的方程。 < br>2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐 标表示条件，
列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都 在曲线上，且曲线上
对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率 ：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于180
0
的正角，叫做它的倾斜角。规定
平 行于x轴的直线的倾斜角为0
0
，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直 线上一点
及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C= 0；（2）点斜式：y-y
0
=k(x-x
0
)；（3）斜截式：y=kx+ b；
（4）截距式：
x?x
1
y?y
1
xy
?；（5）两点式：
??1
x
2
?x
1
y
2?y
1
ab
；（6）法线式方程：xcosθ+ysinθ=p
（其中θ
?
?
x?x
0
?tcos
?
为法线倾斜角，|p| 为原点到直线的距离）；（7）参数式：
?
?
?
y?y
0
? tsin
?
（其中θ为该直线
倾斜角），t的几何意义是定点P
0
（ x
0
, y
0
）到动点P（x, y）的有向线段的数量（线段的长度前添加 正负号，
若P
0
P方向向上则取正，否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l
1
, l
2
的斜率分别为k
1
, k
2
，将l
1
绕它们的交点逆时针旋转到与l
2
重合所转过的最小
正角叫l
1
到l
2
的角；l
1
与l
2
所成的角中不超过90
0的正角叫两者的夹角。若记到角为θ，夹角为α，则tan
θ=
k
2
?k
1
1?k
1
k
2
,tanα=
k
2
?k
1
1?k
1
k
2
.
6．平行与垂直：若直 线l
1
与l
2
的斜率分别为k
1
, k
2
。且两者不重合，则l
1
l
2
的充要条件是k
1
=k
2
；l
1
?
l
2
的
充要条件是k
1k
2
=-1。
7．两点P
1
(x
1
, y
1
)与P
2
(x
2
, y
2
)间的距离 公式：|P
1
P
2
|=
(x
1
?x
2)
2
?(y
1
?y
2
)
2
。
8．点P(x
0
, y
0
)到直线l: Ax+By+C=0的距离 公式：
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
。
9．直线系的方程：若已知两直线的方程是l
1
：A
1< br>x+B
1
y+C
1
=0与l
2
：A
2
x+B
2
y+C
2
=0，则过l
1
, l
2交点的直线
方程为A
1
x+B
1
y+C
1
+λ (A
2
x+B
2
y+C
2
=0；由l
1
与 l
2
组成的二次曲线方程为（A
1
x+B
1
y+C
1
）（A
2
x+B
2
y+C
2
）=0；
与 l
2
平行的直线方程为A
1
x+B
1
y+C=0(
C?C
1
).
10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为Ax+By+C=0. 若B>0，则Ax+B y+C>0表示的区域
为l上方的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l下方的部分。
1 1．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x和y表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。
12．圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，其参数方程为
?
x?a?rco s
?
?
?
y?b?rsin
?
1
（θ为参数）。

13．圆的一般方程：x
2
+y
2
+Dx +Ey+F=0(D
2
+E
2
-4F>0)。其圆心为
?
D E
?
?
?,?
?
?
22
?
，半径为
1
D
2
?E
2
?4F
2
。若点P(x
0
, y
0
)为圆上一点，则过点P的切线方程为
?
x
0< br>?x
??
y
0
?
??
x
0
x?y< br>0
y?D
?
?E
?
??
2
?
2??
y
?
?
?F?0.
①
?
?
14．根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。给定如< br>下三个不同的圆：x
2
+y
2
+D
i
x+E
i
y+F
i
=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别为(D
1
-D
2
)x+(E
1
-E
2
)y+(F
1
-F
2
)=0;
(D
2
-D
3
)x +(E
2
-E
3
)y+(F
2
-F
3
)= 0; (D
3
-D
1
)x+(E
3
-E
1
)y+(F
3
-F
1
)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这
就是著名的蒙日定理。
二、方法与例题
1．坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。
例1 在ΔAB C中，AB=AC，∠A=90
0
，过A引中线BD的垂线与BC交于点E，求证：∠ADB= ∠CDE。
[证明] 见图10-1，以A为原点，AC所在直线为x轴，建立直角坐标系。设点B ，C坐标分别为（0,2a）,(2a,0)，
xy
??1
， ①直线BC方程为x+y=2a， ②设直线BD和AE
a2a
11
的斜率分别为k, k，则k=-2。因为BD
?
AE，所以kk=-1.所以
k
2
?
，所以直线AE方程为y?x
，
22
则点D坐标为（a, 0）。直线BD方程为
12112< br>1
?
y?x,
?
?
42
?
由
?解得点E坐标为
?
a,a
?
。
2
?
33?
?
?
x?y?2a
所以直线DE斜率为
k
3
?
2
a
3
4
a?a
3
?2.
因为k+k= 0.
13
所以∠BDC+∠EDC=180，即∠BDA=∠EDC。
例2 半 径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三角形另两条边截圆所得的弧
所对的圆 心角为60。
[证明] 以A为原点，平行于正三角形ABC的边BC的直线为x轴，建立直角坐标 系见图10-2，设⊙D的半
径等于BC边上的高，并且在B能上能下滚动到某位置时与AB，AC的交 点分别为E，F，设半径为r，则直
线AB，AC的方程分别为
(x
1
,y< br>1
),(x
2
,y
2
)，则
0
0
y ?3x
,
y??3x
.设⊙D的方程为(x-m)+y=r.①设点E，F的坐标分别 为
222
y
1
?3x
1
,y
2
??3x< br>2
，分别代入①并消去y得
2
(x
1
?m)
2?3x
1
2
?r
2
?0.(x
2
?m)
2
?3x
2
?r
2
?0.

所以x
1
, x
2
是方程4x
2
-2mx+m2
-r
2
=0的两根。
m
?
x?x?,
12
?
2
?
由韦达定理
?
?
22
m?r
?
xx?
12
?
4
?
2
，所以

|EF|
2
=(x
1
-x
2)
2
+(y
1
-y
2
)
2
=(x1
-x
2
)
2
+3(x
1
-x
2)
2

=4(x
1
+x
2
)
2
-4x
1
x
2
=m
2
-(m
2
-r2
)=r
2
.
所以|EF|=r。所以∠EDF=60
0
。
2．到角公式的使用。
例3 设双曲线xy=1的两支为C
1
，C
2
，正ΔPQR三顶点 在此双曲线上，求证：P，Q，R不可能在双曲线
的同一支上。
[证明] 假设P，Q，R 在同一支上，不妨设在右侧一支C
1
上，并设P，Q，R三点的坐标分别为
?
1
?
x,
?
1
x
1
?
??
1??
,x,
??
2
x
2
??
?
?1
?
?
,x,
?
?
3
x
3
?
?
?
?
,
且01
2
3
. 记∠RQP=θ
?
?
，它是直线QR到PQ的角，由假设知直 线QR，
11
?
x
3
x
2
1
??
PQ的斜率分别为
k
1
?
x
3
?x
2
x< br>2
x
3
11
?
x
1
x
2
1
??.
，
k
2
?
x
1
?x
2< br>x
1
x
2
由到角公式
tan
?
?
k
2
?k
1
?
1?k
1
k
2
?11
?
x
1
x
2
x
2
x
3< br>x(x
1
?x
3
)
?
2
2
?0.< br>
1
x
1
x
2
x
3
?1
1 ?
2
x
1
x
2
x
3
所以θ为钝角，与ΔP QR为等边三角形矛盾。所以命题成立。
3．代数形式的几何意义。
例4 求函数
[解] 因为
f(x)?x
4
?3x
2
?6x?1 3?x
4
?x
2
?1
的最大值。
表示动点P(x, x
2
)到两定点A(3,
f(x)?(x
2
?2)
2?(x?3)
2
?(x
2
?1)
2
?(x?0)
2
2), B(0, 1)的距离之差，见图10-3，当AB延长线与抛物线y=x
2的交点C与点P重合时，f(x)取最大值
|AB|=
10.

4．最值问题。
例5 已知三条直线l
1
: mx-y+m=0, l
2
: x+my-m(m+1)=0, l
3
: (m+1)x-y+m+1=0围成ΔABC，求m为何值时，
ΔABC的面积有最大值、最小值。
[解]记l
1
, l
2
, l
3
的方程分别为①，②，③。在①，③中取x=-1, y=0，知等式成立，所以A(-1, 0)为l
1
与l
3
的
交点；在②，③中取x=0, y=m+1，等式也成立，所以B(0, m+1)为l
2
与l
3
的交点。设l
1
, l
2
斜率分别为k
1
, k
2
,
若m
?
0，则k
1
?k
2
=
?
1
?
m< br>?
?
?
??1
,
?
m
?
|m2
?m?1|
m?1
2
S
Δ
ABC
=
1
|AC|?|BC|
2
?
1
，由点到直线距离公式
|AC |=
|?1?m
2
?m|
1?m
2
?
，|BC|=
|?m?1?m|
1?m
2
1?m
2
。
所以S< br>Δ
1m
2
?m?11
?
m
?
??1?
??
。因为2m≤m
2
+1，所以S
ABC
=
22
22
?
m?1
?
m?1
ΔABC
≤
3
。 又因为-m-1≤2m，
4
2
所以
?
1m
，所以S
?
2
2
m?1
ΔABC
≥
1
.

4
3

当m=1时，（S
ΔABC
）
max
=
5．线性规划。 < br>3
；当m=-1时，（S
4
ΔABC
）
min
=1
.
4
例6 设x, y满足不等式组
?
?
1?x?y?4,

y?2?|2x?3|.
?
（1）求点(x, y)所在的平面区域；
（2）设a>-1，在（1）区域里，求函数f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。
?
1?x?y?4,
?
1?x?y?4,
??
[解] （1 ）由已知得
?
y?2?2x?3,
或
?
y?2?3?2x,

?
2x?3?0,
?
2x?3?0.
??
解得点(x, y )所在的平面区域如图10-4所示，其中各直线方程如图所示。AB：y=2x-5；CD：y=-2x+1； AD：
x+y=1；BC：x+y=4.
(2) f(x, y)是直线l: y-ax=k在y轴上的截距，直线l与阴影相交，因为a>-1，所以它过顶点C时，f(x, y)最大，
C点坐标为（-3，7），于是f(x, y)的最大值为3a+7. 如果-1此时值为-2a-1；如果a>2，则l通过B（3，1）时，f(x, y)取最小值为-3a+1.
6．参数方程的应用。
例7 如图10-5所示，过原点引 直线交圆x
2
+(y-1)
2
=1于Q点，在该直线上取P点，使P到直线y =2的距
离等于|PQ|，求P点的轨迹方程。
[解] 设直线OP的参数方程为
?
?
x?tcos
?
（t参数）。
?
y?tsin
?
代入已知圆的方程得t
2
-t?2sinα=0 .
所以t=0或t=2sinα。所以|OQ|=2|sinα|，而|OP|=t.
所以|PQ|=|t-2sinα|，而|PM|=|2-tsinα|.
所以|t-2sinα|=|2-tsinα|. 化简得t=2或t=-2或sinα=-1.
当t=±2时，轨迹方程为x+y=4；当sinα=1时，轨迹方程为x=0.
7．与圆有关的问题。
例8 点A，B，C依次在直线l上，且AB=ABC，过C作l的 垂线，M是这条垂线上的动点，以A为圆心，
AB为半径作圆，MT
1
与MT
2
是这个圆的切线，确定ΔAT
1
T
2
垂心 的轨迹。
[解] 见图10-6，以A为原点，直线AB为x轴建立坐标系，H为OM与圆的交点，N为T1
T
2
与OM的交点，
记BC=1。
以A为圆心的圆方程为x +y=16，连结OT
1
，OT
2
。因为OT
2
?
MT
2
，T
1
H
?
MT
2
，所以OT2
HT
1
，同理OT
1
HT
2
，
22
22
又OT
1
=OT
2
，所以OT
1
HT
2
是菱形。所以2ON=OH。
又因为OM
?
T
1
T
2
，OT
1
?
MT
1
，所以
OT1
2
?
ON?OM。设点H坐标为（x,y）。
点M坐标为(5, b )，则点N坐标为
?
by
?
xy
?
,
?
， 将坐标代入
OT
1
2
=ON?OM，再由
?
得
5 x
?
22
?
16
???
16
?
2
?
x?
?
?y?
??
.

5
???
5
?
22
4

在AB上取点K，使AK=
4
AB，所求轨迹是以K为圆心，AK为半径的圆。
5
例9 已知圆x
2
+y
2
=1和直线y=2x+m相交 于A，B，且OA，OB与x轴正方向所成的角是α和β，见图
10-7，求证：sin(α+β)是定 值。
[证明] 过D作OD
?
AB于D。则直线OD的倾斜角为
?
?
?
2
，因为OD
?
AB，所以2?
tan
?< br>?
?
2
??1
,
所以
tan
?
?
?
2
??
1
。所以
sin(
?
?
?
)?
2
4
2
??.

5
?
?< br>?
?
?
1?tan
2
??
?
2
?< br>2tan
?
?
?
例10 已知⊙O是单位圆，正方形ABCD的一边AB是⊙O的弦，试确定|OD|的最大值、最小值。
[解] 以单位圆的圆心为原点，AB的中垂线为x轴建立直角坐标系，设点A，B的坐标分别为A(c osα,sin
α),B(cosα,-sinα)，由题设|AD|=|AB|=2sinα，这里不 妨设A在x轴上方，则α∈(0,π).由对称性可
设点D在点A的右侧（否则将整个图形关于y轴作对 称即可），从而点D坐标为(cosα+2sinα,sinα)，
所以|OD|=
(cos
?
?2sin
?
)
2
?sin
2
?
?4sin
2
?
?4sin
?
cos
?
?1
=
?
??
2(sin2
?
?cos2
?)?3?3?22sin
?
2
?
?
?
.
4
??
因为
?2
?
??
2?22sin
?2
?
?
?
?22
，所以
2?1?|OD|?2?1.< br>
4
??
max
当
?
3
?
?
时，|OD|
8
=
2
+1；当
?
?
7
?
8
时，|OD|
min
=
2?1.

例11 当 m变化且m≠0时，求证：圆(x-2m-1)
2
+(y-m-1)
2
=4m
2
的圆心在一条定直线上，并求这一系列圆的
公切线的方程。
[证明] 由
?
?
a?2m?1,
消去
?
b?m?1
m得a- 2b+1=0.故这些圆的圆心在直线x-2y+1=0上。设公切线方程为
y=kx+b，则由相切有 2|m|=
|k(2m?1)?(m?1)?b|
1?k
2
，对一切m≠0成 立。即
(-4k-3)m
2
+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2
=0对一切m≠0成立
3
?
k??,
?
?4k?3 ?0,
?
37
?
4
所以
?
即
?
当 k不存在时直线为x=1。所以公切线方程y=
?x?
和x=1.
44
?< br>k?b?1?0,
?
b?
7
.
?
4
?
三、基础训练题
1．已知两点A(-3,4)和B(3,2)，过点P(2,-1)的直线与线段A B有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是
__________.
2．已知θ∈[0,π ]，则
y?
3?cos
?
2?sin
?
的取值范围是___ _______.
5

3．三条直线2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0围成一个三角形，当点P(x, y)在此三角形边上或内部运动时，2x+y
的取值范围是__________.
4．若三条直线4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4能围成三角形，则m的范围是__________.
5．若λ∈R。直线(2+λ )x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2)的距离为d，比较大小：d__________
42
.
6．一圆经过A(4,2), B(-1,3)两点，且在两个坐标轴上的 四个截距的和为14，则此圆的方程为__________.
7．自点A(-3,3)发出的光线l 射到x轴上被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x
2
+y
2
-4x- 4y+7=0相
切，则光线l所在的方程为__________.
8．D
2
=4F且E≠0是圆x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0与x轴相切的___ _______条件.
9．方程|x|-1=
1?(y?1)
2
表示的曲线 是__________.
10．已知点M到点A（1，0），B（a,2）及到y轴的距离都相等， 若这样的点M恰好有一个，则a可能值
的个数为__________.
11．已知函数S=x+y，变量x, y满足条件y
2
-2x≤0和2x+y≤2，试求S的最大值和最小值。
12．A，B是x轴正半轴上两点，OA=a，OB=b(a（1）求∠AMB的最大值；
（2）当∠AMB取最大值时，求OM长；
（3）当∠AMB取最大值时，求过A，B，M三点的圆的半径。
四、高考水平训练题 1．已知ΔABC的顶点A(3,4)，重心G(1,1)，顶点B在第二象限，垂心在原点O，则点B的坐 标为__________.
2．把直线
3x?y?2?3?0
绕点（-1，2）旋 转30得到的直线方程为__________.
0
3．M是直线l:
xy
??1
上一动点，过M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，则在线段AB上满足
43AP?2PB
的点P的轨迹方程为__________.
4．以相交两圆C
1
：x+y+4x+y+1=0及C
2
：x+y+2x+2y+1=0的公共弦为直径的 圆的方程为__________.
5．已知M={(x,y)|y=
2222
2a
2
?x
2
,a>0},N={(x,y)|(x-1)+(y-
2< br>3
)=a,a>0}.M
?
N
??
，a的最大值与
2 2
最小值的和是__________.
6．圆x+y+x-6y+m=0与直线x+2y- 3=0交于P，Q两点，O为原点，OP
?
OQ，则m=__________.
2 2
7．已知对于圆x+(y-1)=1上任意一点P(x,y)，使x+y+m≥0恒成立，m范围是_ _________.
8．当a为不等于1的任何实数时，圆x-2ax+y+2(a-2)y+2= 0均与直线l相切，则直线l的方程为__________.
9．在ΔABC中，三个内角A，B， C所对应的边分别为a,b,c，若lgsinA,lgsinB, lgsinC成等差数列，那
么直 线xsinA+ysinA=a与直线xsinB+ysinC=c的位置关系是__________. 10．设A={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x- 4}是坐标平面xOy上的点集，
22
22
22
??
?
?< br>x
1
?x
2
y
1
?y
2
?
?
?
,(x,y)?A,(x,y)?B
C=
?
?
?
所围成图形的面积是__________.
1122
??
22
???
?
?
?
11．求圆C
1
：x
2
+y
2
+2x+6y+9=0与圆C
2
：x
2
+y
2< br>-6x+2y+1=0的公切线方程。
12．设集合L={直线l与直线y=2x相交，且以交点的横坐标为斜率}。
（1）点(-2,2)到L中的哪条直线的距离最小？
（2）设a∈R
+
，点P(-2, a)到L中的直线的距离的最小值设为d
min
，求d
min
的表达式。 < br>13．已知圆C：x
2
+y
2
-6x-8y=0和x轴交于原点O和定 点A，点B是动点，且∠OBA=90
0
，OB交⊙C于M，
6

AB交⊙C于N。求MN的中点P的轨迹。
五、联赛一试水平训练题
1．在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若a为无 理数，过点(a,0)的所有直线中，每条直
线上至少存在两个有理点的直线有_______条。 < br>2．等腰ΔABC的底边BC在直线x+y=0上，顶点A(2,3)，如果它的一腰平行于直线x-4y +2=0，则另一腰
AC所在的直线方程为__________.
3．若方程2mx2+( 8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0表示表示条互相垂直的直线，则m=___ _______.
4．直线x+7y-5=0分圆x
2
+y
2
=1 所成的两部分弧长之差的绝对值是__________.
5．直线y=kx-1与曲线y=
?1?(x?2)
2
有交点，则k的取值范围是__________.
6．经过点A(0,5)且与直线x-2y=0, 2x+y=0都相切的圆方程为__________.
7．在直角坐标平面上，同时满足条件：y≤3x, y≥
8．平面上的整点到直线
2
1
x, x+y≤100的整点个数是__________.
3
y?
54
x?
的距离中的最小值是__________. 35
?
f(x)?f(y)?0,
的点(x,y)构成图形的面积为______ ____.
f(x)?f(y)?0
?
9．y=lg(10-mx)的定义域为R， 直线y=xsin(arctanm)+10的倾斜角为__________.
10．已知f(x) =x-6x+5，满足
?
2
11．已知在ΔABC边上作匀速运动的点D，E，F，在 t=0时分别从A，B，C出发，各以一定速度向B，C，A
前进，当时刻t=1时，分别到达B，C， A。
（1）证明：运动过程中ΔDEF的重心不变；
（2）当ΔDEF面积取得最小值时，其值是ΔABC面积的多少倍？
12．已知矩形ABC D，点C(4,4)，点A在圆O：x+y=9(x>0,y>0)上移动，且AB，AD两边始终分别平行于x
轴、y轴。求矩形ABCD面积的最小值，以及取得最小值时点A的坐标。
13．已知直线l: y=x+b和圆C：x+y+2y=0相交于不同两点A，B，点P在直线l上， 且满足|PA|?|PB|=2,
当b变化时，求点P的轨迹方程。
六、联赛二试水平训练题
1．设点P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20上任意一点，求x- xy+y的最大值、最小值。
2．给定矩形Ⅰ（长为b，宽为a），矩形Ⅱ（长为c、宽为d），其中 aⅡ的充要条件是：(ac-bd)+(ad- bc)≥(a-b).
3．在直角坐标平面内给定凸五边形ABCDE，它的顶点都是整点，求证：见 图10-8，A
1
，B
1
，C
1
，D
1
， E
1
构成
的凸五边形内部或边界上至少有一个整点。
4．在坐标平面上，纵 横坐标都是整数的点称为整点，试证：存在一个同心圆的集合，使得：（1）每个整点
都在此集合的某一 圆周上；（2）此集合的每个圆周上，有且只有一个整点。
5．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷 多条直线l
1
,l
2
,…，l
n
，…的直线族，它满足条件 ：（1）点（1,1）
∈l
n
,n=1,2,3,…；（2）k
n+1
≥a
n
-b
n
，其中k
n+1
是l
n+1
的斜率，a
n
和b
n
分别是l
n
在x轴和y轴上的截距， n=1,2,3,…；
（3）k
n
k
n+1
≥0, n=1,2,3,….并证明你的结论。
6．在坐标平面内，一圆交x轴正半径于R，S，过原点的直 线l
1
,l
2
都与此圆相交，l
1
交圆于A，B，l
2
交圆
于D，C，直线AC，BD分别交x轴正半轴于P，Q，求证：
22222
22
22
22
1111
???.

|OR||OS||OP||OQ|

7