高中数学解析几何之直线与圆的位置关系

直线与圆（讲义）
知识点睛
一、直线、圆的位置关系
1. 直线与圆，常考查：
（1）判断直线与圆的位置关系：
①直线与圆相切
?
圆心到直线的距离等于半径长



②直线与圆相交
?
圆心到直线的距离小于半径长



③直线与圆相离
?
圆心到直线的距离大于半径长



④含参数的直线方程，判断直线所过定点，
y
O
A
l
x
?
直线与圆只有一个公共点
?
直线与圆的方程组成的方程组只有一组解．
y
l
O
Ax
?
直线与圆有两个公共点
?
直线与圆的方程组成的方程组有两组解．
y
?
直线与圆无公共点
?
直线与圆的方程组成的方程组无解．
O
A
l
x
结合定点和圆的位置关系确定直线与圆的位置关系．
（说明：定点多在圆内，此时直线与圆相交）
（2）直线与圆相切：
①过定点求已知圆的切线．
②直线与圆相切时的几何特征：
（i）圆的切线垂直于过切点的半径；
（ii）从圆外一点作圆的两条切线，
圆心与这一点所在的直线垂直平分两个切点的连线．
（3）直线与圆相交：
求相交弦长：计算圆心到直线的距离，结合勾股定理和垂径定理求解．
2. 圆与圆，常考查：
（1）判断圆与圆的位置关系：比较圆心距和两圆半径长的和、差．
（2）公共弦所在的直线方程：两圆标准方程或一般方程相减．
（3）和公共弦相关的几何特征：两圆圆心所在的直线垂直平分公共弦．
二、半圆的方程
如图，已知以点
A(a，b)
为圆心，
r
为半径的圆的标准方程为
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
，则
A
O
B
P

方方
1

y
方方
O
A
r
x

y
x=a
x
x?a?r
2
?(y?b)
2

O
A

y
x=a
O
A
x
a? x?r
2
?(y?b)
2

y

y?b?r
2
?(x?a)
2

y=b
y
O
A
x

b?y?r?(x?a)

22
O
y=bA
x


三、与圆有关的最值问题
类型
方方方方方方方方方方方
方
方方方方方方方方方方方
方方方方
方方方方方方方方方方方
方方方
方
y?n
方方方
x?m
破解策略
方方方方方方方方方方方
方方方方方方方方方方方方
方方方方方方方方方方方方方方
方方方方方方方方方方
方方方方方方方方方方方方
方方方方方方方方方方
y?n
方方方方方方方方方方方
x?m
方方 方方方方方方方方方方方方方方方方


精讲精练
1. 过点P(
?3
，
?1
)的直线l与圆
x
2
?y
2
?1
有公共点，则直线l的倾斜角的取
值范围是（ ）
?
A．
(0，]

6
?
C．[0，]
6





?
B．
(0，]

3
?
D．[0，]
3
2
y
O
x

2. 已知过点P(2，2)的直线 l与圆(x-1)
2
+y
2
=5相切，且与直线
ax-y+1=0垂 直，则a=（ ）
A．
?
1
2
B．1 C．2 D．
1
2









3. 过点A(4，1)的圆C与直线
x?y?1
相切于点B( 2，1)，则圆C
的方程为_________________________．









3

y
O
x
y
O
x

4. 过点(3，1)作圆
(x?1)
2
?y2
?1
的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的
方程为（ ）
A．
2x?y?3?0
B．
2x?y?3?0

C．
4x?y?3?0
D．
4x?y?3?0










5. 直线< br>y?kx?3
与圆
(x?3)
2
?(y?2)
2
?4
相交于M，N两点，若
|MN|
≥
23
，则k的取值范围是（ ）
A．
[?
3
4
，0]
B．
(??，?
3
4
]U[0，??)

C．
[?
33
3
，
3
]
D．
[?
2
3
，0]









6. 已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴上，直线l ：y=x-1被圆C
所截得的弦长为
22
，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为______________________________________．








4

y
O
x
y
O
x
y
O
x

7. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆
x
2
?y
2
?4
上有且仅有
4个点到直线l：
12x?5y?c?0
的距离为1，则实数c的取
值范围是___________________．







8. 若圆
x
2
?y
2
? 4
与圆
x
2
?y
2
?2ay?6?0
的公共弦的长 为
23
，则a=_____________．
y







两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为_____________．







10. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线
x?4?y
2
与直线
x?m

有且只有一个公共点，则实数m=_________．






Ox
y
9. 若⊙O
1
：
x
2
?y
2
?5
与⊙O
2
：
(x?m)
2< br>?y
2
?20
(m∈R)相交于A，B两点，且
Ox
y
Ox
5

11. 若直线
y?x?b
与曲线
y?3?4x?x
2
有公共点，则b的取值范围是（ ）
A．
[1?22，1?22]
B．
[1?2，3]

C．
[?1，1?22]
D．
[1?22，3]










12. 设P 是圆(x-3)
2
+(y+1)
2
=4上的动点，Q是直线x=-3上的动点 ，
则|PQ|的最小值为（ ）
A． 6 B．4
C．3 D．2








13. 若实数x，y满足
(x?2)
2
?y
2
?1
，则
y?3
x?1
的最小值为
________．










14. 已知 圆C
1
：
(x?2)
2
?(y?3)
2
?1
，圆C
2
：
(x?3)
2
?(y?4)
2
?9< br>，
M，N分别是圆C
1
，C
2
上的动点，P为x轴上的动点， 则
6

y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x

|PM|?|PN|
的最小值为（ ）
A．
52?4

C．
6?22

















B．
17?1

D．
17

2
15. 已 知以点
C(t，)
(t∈R，t
≠
0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，t
与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点．
y
（1）求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线
y??2x?4
与圆 C交于点M，N，若|OM|=|ON|，
求圆C的方程．



















16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已 知点A(0，3)，直线l：
y?2x?4
．设
圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线
y?x?1
上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
7

O
x

y
A
l
O
x




















回顾与思考
___________ _____________________________________________
__________________________________________________ ______
_______________________________________ _________________
【参考答案】
1．D
4．A


2．C
5．A






3．
(x?3)
2
?y
2
?2

6．
x?y?3?0或x?y?1?0

8．
?1

12．B


9．4
13．
10．2
14．A
4

3
7．
(?13，13)

11．D
15．（1）证明略；（2）
(x?2)
2
?(y? 1)
2
?5

8

31216．（1）
y?3
或
y??
4
x?3
；（2）
0
≤
a
≤
5


直线与圆（随堂测试）
1. 已知圆心在直线x-2y=0上的圆与y轴的正半轴相切，
圆C截x轴所得弦的长为
23
，则圆C的标准方程为
__________________．












2. 圆x
2< br>+y
2
-2x-2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离
的最小 值为___________．




















9

y
O
x
y
O
x

【参考答案】

1．
(x?2)
2
?(y?1)
2
?4

2．2



直线与圆（作业）
例1： 若 过点A(4，0)的直线l与曲线
(x?2)
2
?y
2
?1
有公共点，则直线l的斜率
的取值范围是_______________．
【思路分析】
1. 分析直线与圆有公共点，说明直线与圆的位置关系为相切或相交，其中相切
为临界状态．
2. 分析圆的标准方程，表示圆心为(2，0)，半径为1的圆，画出符合题意的图
形．
3. 计算直线与圆相切时直线的斜率．
y
M
O
1
B2
N
A
4
x

如图，设圆心为点B，直线AM，AN分 别与圆相切于点M，N，则BM⊥AM，
BN⊥AN，且BM=BN=1，AB=2，
∴∠MAB=∠NAB=30°，
∴
k
AM
??
33
，k
AN
?
．
33
33
，]
．
33
4. 结合图形分析直线斜率的取值 范围是
[?
说明：从解析的角度分析此题，判断有交点时直线斜率存在，借助点A的坐
标可设直线的点斜式方程为
y?k(x?4)
，化为一般式kx-y-4k=0，利用圆心(2，0)到直线的距离
d
≤
r
可
得关于k的不等式，解不等式即可算出斜率的取值范围．



例2： 已知直线x-y+a=0与圆C：x
2
+y
2
+2x-4y -4=0相交于A，B两点，且AC⊥
BC，则实数a的值为________．
10

【思路分析】
1. 分析题意，可知直线x-y+a= 0的斜率为1，随着a的变化，直线上下平移，
把圆C的一般式方程x
2
+y
2
+2x-4y-4=0化为标准方程(x+1)
2
+(y-2)
2
=9，可知
点C坐标为(-1，2)，圆C半径为3．

2. 画出符合题意的图形，借助图形分析．
y
B
A
C
O
x

3. 结合AC⊥BC及A，B在 圆上可知△ABC为等腰直角三角形，分析等腰直角
三角形的性质，结合圆的半径可得点C到直线的距离 为
4. 由点到直线的距离公式可知，
求得a=0或6．
例3： 已知实数x，y满 足
2x?y?8
，当
2
≤
x
≤
3
时，则< br>y
的最大值为________，
x
32
．
2
|?1?2?a|32
，
?
2
2
最小值为________．
【思路分析】
1. 分析题意，建立平面直角坐标系，点A(x，y)在直线
2x?y?8
上，且满足
2< br>≤
x
≤
3
．
yy?0
2. ，即可看作点A和原点连线的斜率．
?
xx?0
3. 画出图形，结合图形分析．如图，
y
8
M(2，4)
N(3，2)

由题意可知，点A在线段MN上运动，
2
∵
k
OM
?2，k
ON
?
，
3
2
∴
≤
k
OA
≤
2
，
3
11

O4
x

即
y2
的最大值为2，最小值为．
x3
12

17. 已知圆C：x
2
+y
2
-4x=0，l为过点P(3，0)的直线，则（ ）
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．不能确定







18. 方程
|x|?1?1?(y?1)
2
所表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆







19. 直线
y ?x?k
与曲线
y?1?x
2
有两个不同的交点，则k的
取值范围是 （ ）
A．
|k|?2
B．
|k|?2

C．
1?k?2
D．
1
≤
k?2







20. 已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0
上，则圆C的方程为（ ）
A．(x+1)
2
+(y-1)
2
=2 B．(x-1)
2
+(y+1)
2
=2
C．(x-1)
2
+(y-1)
2
=2 D．(x+1)
2
+(y+1)
2
=2



13

y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x

21. 过点( 3，1)作圆(x-2)
2
+(y-2)
2
=4的弦，其中最短弦的长为
________．








22. 圆
x
2
?y
2
?50
与圆x
2
?y
2
?12x?6y?40?0
的公共弦长为
_ _______．







23. 已知直线l：x-y+4=0与圆C：
(x?1)
2
?(y?1)< br>2
?1
，则圆C
上各点到直线l的距离的最小值为________．







24. 若实数x，y满 足(x-2)
2
+y
2
=3，则
y
的最大值为______ __．
x
y
y
O
x
O
x
y
O
x
y



O






25. 已知圆x
2
+y
2=4，直线l：y=x+b．若圆x
2
+y
2
=4上恰有3个点到直线l 的距离
14

x

都等于1，则b的值为____________．








26. 若过定点M(-1，0)且斜率为k的直线与圆< br>x
2
?y
2
?4x?5?0
在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是___________．








27. 若曲线
C：x
2
?y
2
?2 x?0
与直线
l：mx?m?y?0
有两个不
同的交点，则实数m的取值范围 是___________．









28. 若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y=1相切，则圆
C的方程为_______________．





29. 若圆
x
2
?y
2
?a
2
与圆x
2
?y
2
?ay?6?0
的公共弦长为
23
，则a的值为_______________．

15

y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x

30. 过原点O作圆x
2
+y
2
-6x-8y+20=0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段
PQ的长为______ _________．










31. 过直线
x?y?22?0
上的一点P作圆
x< br>2
?y
2
?1
的两条切线，若两条切线的夹
角是60°，则点 P的坐标是_____________．












【参考答案】
1．A
4．B




2．D

3．D
6．
25

16

5．
22

7．
22?1
8．
3
3

10．
(0，5)

12．
(x?2)
2
?(y?
325
2
)
2
?
4

14．4




9．
?2

11．
(?
3
3
，
3
3
)

13．
?2

15．
(2，2)

17