高中数学直线与圆的位置关系 教学设计

《直线与圆的位置关系》教学设计
一、教材分析
直线与圆的位 置关系是人教版高中课程标准实验教科书数学必修2第四章
第二节的内容。圆的教学在平面解析几何乃至 整个中学数学中都占有重要的地
位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，是在学习了点和圆的位置 关系的
基础上进行的，又为后面的圆和圆的位置关系作了铺垫，对后面的解题及几何证
明，将起 到重要的作用。解决直线与圆的位置关系的思想、方法也为以后解决高
考重点问题直线与圆锥曲线的位置 关系问题提供思想、方法上的铺垫。
二、学情分析
学生在初中的学习中已了解直线与圆的位 置关系,并知道可以利用直线与圆
的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的 位置关系,
但是,在初中学习时,利用圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位
置 关系的方法却以结论性的形式呈现。解决问题的方法主要是几何法和代数法。
结合高中所学的点到直线的 距离公式求出圆心与直线的距离d后,比较与半径r
的关系从而作出判断。虽然学生学习解析几何了,但 把几何问题代数化无论是思
维习惯还是具体转化方法,学生仍是似懂非懂,因此应不断强化,逐渐内化为 学生
的习惯和基本素质。
三、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置的种类；
（2）利用平面几何中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
2、过程与方法
会用代数 法和几何法判断直线与圆的位置关系及会利用直线与圆的位置
关系解决相关的问题，让学生通过观察图形 ,明确数与形的统一性和联系性.
3、情感态度与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形
结合的思想.
四、教学重点与难点
【教学重点】直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法。
【教学难点】用代数法和几何法判定直线与圆的位置关系。
五、教学方法与手段
1、教学方法：探究式教学法
2、教学手段：多媒体、实物投影仪
六、教学过程
教学环
教学内容 师生互动 设计意图
节
复习引入 1．初中学过的平师：让学生之间进行讨启发

1

面几何中，直线与 圆的论、交流，引导学生观察图形，学生由图
位置关系有几类？ 导入新课. 形获取判
生：看图，并说出自己断直线与
的看法. 圆的位置
关系的直
观认知，引
入新课.
2．直线与圆的位
置关系有哪几种呢？师：引导学生利用类比、
得出
三种 归 纳的思想，总结直线与圆的
直线与圆
（1）直线与圆相位置关系的种类，进一步深化
的 位置关
概念形成 交，有两个公共点. “数形结合”的数学思想.
系的几何
（2） 直线与圆相生：观察图形，利用类
特征与种
切，只有一个公共点. 比的方法，归纳直线与圆的位
类.
（3）直线与圆相置关系.
离，没有公共点.
3．在初中，我们师：引导学生回忆初中判使学
怎样判断直线与圆的断直线与圆的位置关系的思 生回忆初
位置关系呢？如何用想过程. 中的数学
直线与圆的方程判断生：回忆直线与圆的位知 识，培养
它们之间的位置关系置关系的判断过程. 抽象概括
呢？ 能力.
概念深化
4．你能说出判断
抽象
直线与圆的位置关系师：引导学生从几何的角
判断直线
的两种方法吗？ 度说明判断方法和通过直线
与圆的位
方法一：利用圆与圆的方程说明判断方法.
置关系的
心到直线的距离
d
. 生：利用图形，寻找两
思路与方
方法二：利用直种方法的数学思想.
法.
线与圆的交点个数.
5．你能用两种判师：指导学生阅读教科书体会
断直线与圆的位置关上的例1. 判断直线
系的数学思想解决例生：仔细阅读教科书上与圆的位
1的问题吗？ 的例1。 置关系的
例1 解法一：由直线思想方法，

例1 如图，已知
l
与圆的方程，得 关注量与
直线
l
：3
x
+
y
– 6 量之间的
①
?
3x?y?6?0
2

?
2
应用举例 = 0和圆心为
C
的圆
x
关系.
2
②
x?y?2y?4?0
?
2
+
y
–2
y
– 4 = 0，使学
判断直线
l
与圆的位消去
y
，得
x
2
– 3
x
+ 2 生熟悉判
置关系；如果相交，求= 0， 断直线与
它们交点的坐标. 因为△= (–3)
2
– 4×1圆的位置
×2 关系的基
= 1＞0 本步骤.
所以，直线
l
与圆相交，

2

有两个公共点.

解法二：圆
x
2
+
y
2
–2
y

– 4 = 0可化为
x
2
+ (
y
– 1)
2

=5，其圆心
C
的坐标为（0，1），
半径长为
5
，点
C< br> (0，1)到

分析：方法一：直线
l
的距离
|3?0?1?6|5
由直线
l
与圆的位置
?
d
=＜
22
10
3?1
关系，就是看由它们的
5
. 方程组成的方程组有
无实数解；方法二，可所以，直线
l
与圆相交，
以依据圆心到直线的有两个公共点.
2
距离与半径长的关系，由
x
–3
x
+ 2 = 0，解
判断直线与圆的位置得
x
1
=2，
x
2
= 1.
关系. 把
x
1
=2代入方程①，得
y
1
= 0；

把
x
2
=1代入方程①，得
y
2
= 0；

所以，直线
l
与圆有两
个交点，它们的坐标分别是

6．通过学习教科
A
(2，0)，
B
(1，3).
书的例1，你能总结一
下判断直线与圆的位师：分析例1，并展示解
置关系的步骤吗？ 答过程；启发学生概括判断直
线与圆的位置关系的基本步

骤，注意给学生留有总结思考
的时间.

例2 已知过点
M
生：交流自己总结的步
(–3，–3)的直线
l
骤.
被圆
x
2
+
y
2
+ 4
y
–21 师：展示解题步骤.
= 0所截得的弦长为
45
，求直线
l
的方例2 解：将圆的方程写
程. 成标准形式，得
x
2
+ (
y
+ 2)
2
=25，
所以，圆心的坐标是(0，
–2)，半径长
r
=5.
如图，因为直线
l
的距离
为
45
，所以弦心距为
5
2
?(
45
2
)?5
2
，

3

即圆心到所求直线
l
的距离
为
5
.
因为直线
l
过点
M
(–3，
–3)，所以可设所求直线
l
的方程为
y
+ 3 =
k
(
x
+ 3)，
即
k x
–
y
+ 3
k
–3 =
0.
根据点到直线的距离公
式，得到圆心到直线
l
的距
离
d
=
|2?3k?3|
k
2
?1
2
.
?5
， 因此，
|2?3k?3|
k?1
即|3
k
– 1| =
5?5k
2
，
两边平方，并整理得到
2
k
2
–3
k
–2 = 0，
解得
k
=，或
k
=2.
所以，所求直线
l
有两
条，它们的方程分别为
1
2
y
+ 3 =
?
(
x
+ 3)，
或
y
+ 3 = 2(
x
+ 3).
即
x
+2
y+9
= 0，或2
x
–
y
+ 3 = 0.
师：指导学生阅读并完成
教科书上的例2，启发学生 利
进一
用“数形结合”的数学思想解
步深化“数
决问题.
的
生：阅读教科书上的例2
形结合”
师：引导并启发学生探索
数学思想.
明确
直线与圆的相交弦的求法.
生：通过分析、抽象、归
弦长的运
纳，得出相交弦长的运算方
算方法.
法.
1
2
7．通过学习教科
书上的例2，你能说明
例2中 体现出来的数
学思想方法吗？
8．通过例2的学
习，你发现了什么？
半弦、弦心距、半
径构成勾股弦关系.

4

巩固
所学过的
师：引导学生完成练习
9．完成教科书第知识，进一
题.
128页的练习题1、2、步理解和
生：互相讨论、交流，完
3、4. 掌握直线
成练习题.
与圆的位
置关系.
10．课堂小结：
教师提出下列问题
让学生思考：
（1）通过直线与圆
的位置关系的判断，你回顾、
学到了什么？ 反思、总结
归纳总结 师生共同回顾
（2）判断直线与圆形成知识
的位置关系有几种方体系
法？它们的特点是什
么？
（3）如何求出直线
与圆的相交弦长？
布置作业：
巩固
课外作业 132页习题4.2 A组 学生独立完成
所学知识
2、3、5

七、板书设计
4.2.1 直线与圆的位置关系
一、直线和圆的三种位置关系 引例 （触礁问题）
交点 d与r
二、判定（方程）：代数法
几何法

八、教学反思：



5

《直线与圆的位置关系》教学设计说明
一.关于教学思路和内容的确定
本节课是第4．2节第一课时内容，是继学生学习了直线方程 、直线与直线
的位置关系、圆的方程等之后，用解析法研究直线与圆的位置关系．
在平面几何 对直线与圆之间的关系进行了定性的研究，即依照它们公共点的
个数来判定它们的位置关系．但在实际问 题中，我们会经常遇到直线与圆的位置
关系的定量刻画问题，如当直线与圆有公共点时，其公共点的准确 位置的确定问
题，这是平面几何没有解决好的问题．经过仔细研究教材，结合我校学生的实际
情 况，我制订了本节课的教学目标和由实际问题引入，学生自主探究的主要思路．
二．关于教学目标的确定
根据《普通高中数学课程标准》（实验）和新课改的理念，我从知识、能力
和情感三个方 面制 订了教学目标．从知识层面上看，本节课与前面的内容联系
紧密，要求学生能根据给定直线、圆的方程判 断直线与圆的位置关系，并解决相
关的问题。从能力层面上看，根据我校学生的实际情况，通过理论联系 实际培养
学生建模能力，培养学生数形结合思想与方程的思想。从情感态度层面上看，是
想训练 学生的探索精神，通过学生的自主探究，培养学生学习的主动性和合作交
流的学习习惯。
三．关于教学过程的设计
根据教学内容，结合学生的具体情况，我采用了学生自主探究和教师 启发引
导相结合的教学方式．在整个的教学过程中让学生尽可能地动手、动脑，调动学
生积极性 ，充分地参与学习的全过程．
四．教学特点和效果分析
学生在初中平面几何中已经接触过 直线与圆的位置关系，学习了直线方程、
圆的方程、两直线的位置关系以及点到直线的距离之后，具备利 用方程研究两条
直线的位置关系的基本能力．
为什么要对直线与圆的位置关系进行定量刻画？ 这是学生学习时可能遇到
的第一个学习障碍．这个问题可以结合“触礁问题”进行说明：我们如何刻画轮
船是否会有触礁危险的位置？这是平面几何没有解决的问题，必需借助坐标系，
才能精确刻画．
利用直线的方程与圆的方程进行直线与圆的位置关系的研究时，会遇上求方
程组的解，求圆心到 直线的距离等大量的代数计算问题，由于有些问题（特别是
像触礁这样的实际问题）中的数据较复杂，可 能导致学生计算出错，这是第二个
学习障碍，也是教学难点之一．教学时不能因为这个问题而使教学偏离 重点，必
要时可使用信息技术工具解决这个问题．
由于经验不足，肯定会有不当之处，欢迎各 位专家老师提出建议，以更好地
改进我的教学方法，提高教学质量．


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