关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

高考数学《直线和圆》专题学案:直线与圆、圆与圆的位置关系

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 11:20
tags:高中数学直线与圆

高中数学教材 相等关系和不等关系-高中数学知识点总结概率教案

2020年10月6日发(作者:屠岸)


▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
第6课时 直线与圆、圆与圆的位置关系

基础过关
1.直线与圆的位置关系
将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为△,圆 心C到直线l的距离为d,
则直线与圆的位置关系满足以下关系:
相切
?
d=r
?
△=0
相交
?

?

相离
?

?

2.圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为R和r(R≥r),圆心距为d,则两圆的位置关系满足以下条件:
外离
?
d > R+r
外切
?

相交
?

内切
?

内含
?

3. 圆的切线方程
① 圆x
2
+y
2
=r
2
上一点p(x
0
, y
0
)处的切线方程为l: .
② 圆(x -a)
2
+(y-b)
2
=r
2
上一点p(x
0< br>, y
0
)处的切线方程为l : .
③ 圆x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0上一点p(x
0
, y
0
)处的切线方程为 .


典型例题

例1. 过⊙:x
2
+y
2
=2外一点P(4,2)向圆引切线.
⑴ 求过点P的圆的切线方程.
⑵ 若切点为P
1
、P
2
求过切点P< br>1
、P
2
的直线方程.
解:(1)设过点P(4,2)的切线方程为y-2=k(x-4)
即kx-y+2-4k=0 ①
则d=
2?4k
1?k
2?4k
1?k
2
2
y
P
1

O
P(4,2)
x
P
2


∴=
2
解得k=1或k=
1
7
∴切线方程为:x-y-2=0或x-7y+10=0
(2) 设切点 P
1
(x
1
,y
1
)、P
2
(x
2
,y
2
),则两切线的方程可写成l
1
: x
1
x+y
1
y=2,l
2
:x
2
x+y
2
y =2
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~(^v^)~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓


▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
因为点(4,2)在l
1
和l
2
上.
则有4 x
1
+2y
1
=2 4x
2
+2y
2
=2
这表明两点都在直线4x+2y=2上,由于两点只能确定一条直线,故直线2 x+y-1=0即为
所求
变式训练1:(1)已知点P(1,2)和圆C:
x
2
?y
2
?kx?2y?k
2
?0
,过P作C的切线有两
条,则k的取值范围是( )
A.k∈R B.k<
23
3
C.
?
23
?k?0
3
D.
?
2323

?k?
33
(2)设集合A={(x,y )|x
2
+y
2
≤4},B={(x,y)|(x-1)
2
+(y-1)
2
≤r
2
(r>0)},当A∩B=B时,r的取值范围
是 ( )
A.(0,2 -1) B.(0,1] C.(0,2-2 ] D.(0,2 ]
(3)若实数x、y满足等式(x-2)+y=3,那么
22
y
的最大值为( )
x
D.
3
A.
1
2
B.
33
C.
32
3
2
22
(4)过点M
(?3,?)
且被圆
x?y?25
截得弦长为8的 直线的方程为 .
(5)圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆
x? y?4x?3?0

x?y?4y?3?0
的交点
的圆的方程是 .
解:(1)D.提示:P在圆外.
(2)C.提示:两圆内切或内含.
(3 )D.提示:从纯代数角度看,设t=
得t的范围。从数形结合角度看,
2222
y< br>,则y=tx,代入已知的二元二次方程,用△≥0,可解
x
y
是圆上一点与原 点连线的斜率,切线的斜率是边界.
x
(4)
3x?4y?15?0或x?3?0< br>.提示:用点到直线的距离公式,求直线的斜率.
(5)
x?y?6x?2y?3?0
.提示:经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出,其
中的一个待定系数,可依据圆心在 已知直线上求得.
例2. 求经过点A(4,-1),且与圆:x
2
+y
2
+2x-6y+5=0相切于点B(1,2)的圆的方程.
解:圆C的方程可化为(x+1)
2
+(y-3)
2
=5
∴圆心C(-1,3),直线BC的方程为:
x+2y-5=0
5
2
22

1
2

又线段AB的中点D(,),k
AB
=-1
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~(^v^)~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓


▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
∴线段AB的垂直平分线方程为:
y-=x-即x-y-2=0 ②
联立①②解得x=3,y=1
∴所求圆的圆心为E(3,1),半径|BE|=
5

∴所求圆的方程为(x-3)
2
+(y-1)
2
=5
变式训练2:求圆心在直线5x-3y=8上,且与坐标轴相切圆的标准方程.
解:设所求圆 的方程为(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
,
∵圆与坐标轴相切,
∴a=±b,r=|a|
又∵圆心(a,b)在直线5x-3y=8上.
∴5a-3b=8,
?
a??b
?
?

?
5a?3b?8
< br>?
?
?
r?a
1
2
5
2
?
a?4
?
a?1
??

?
b?4或
?
b? ?1

?
r?4
?
r?1
??
∴所求圆的方程为:
(x-4)
2
+(y-4)
2
=16
或(x-1)
2
+(y+1)
2
=1.
例3. 已知直线 l:y=k(x+2
2
)(k≠0)与圆O:x
2
+y
2
= 4相交于A、B两点,O为坐标原点.△AOB
的面积为S.
⑴ 试将S表示为k的函数S(k),并求出它的定义域.
⑵ 求S(k)的最大值,并求出此时的k值.
解:(1)圆心O到AB的距离d=
22k
1?k
2

由d<2
?
-1< k <1
|AB|=4
1?k
2
1?k
2
S(k)=42
k
2
(1?k
2
)
(1?k
2
)< br>2

(2) 解法一:据(1)令1+k
2
=t k
2
=t-1(1< t <2)
S=4
2
?
2
t
2
?
3
?1
=4
2
t
131
? 2(?)
2
?

t48
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~(^v^)~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓


▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
≤4
2
·
1
t
1
22
3
4
=2
33
时,等号成立.∴k=±为所求.
33
当=即k=
解法二:
△ABD的面积S=|OA||OB|sin∠AOB=2sin∠AOB
∴当∠AOB=90°时,S可取最大值2,此时,设AB的中点为C.
则OC=
2
|OA|=
2

2
1
2
由O到直线的距离为|OC|=
22|k|
1?k
2


22|k|
1?k
2

2
,k=±
3

3
22
变式训练3:点P在直线
2x?y?10?0
上,PA、PB与圆
x?y?4
相切于A、B两点,求
四边形PAOB面积的最小值..
答案:8。
提示:四边形可以分成两个全等的直角三角形,要面积最小,只要切线长最小,亦即P到圆
心距 离要最小.
例4. 已知圆C方程为:
x
2
?y
2
?2x ?4y?20?0
,直线l的方程为:(2m+1)x+(m+1)y-7m
-4=0.
(1)证明:无论m取何值,直线l与圆C恒有两个公共点。
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度,并求出此时的m值.
提示:(1)用点到直线的距离公式,证明r
2
-d
2
>0恒成立.
(2)求(1)中r
2
-d
2
的最小值,得直线l被圆C截得的线段 的最短长度为45 ,此时的m
3
值为-
4

变式训练4:已 知圆系
x
2
?y
2
?2ax?2
?
a?2
?
y?2?0
,其中a≠1,且a∈R,则该圆系恒过定
点 .
答案:(1,1).
提示:将a取两个特殊值,得两个圆的方程,求其交点,必为所求的定点 ,故求出交点坐标后,
只须再验证即可。另一方面,我们将方程按字母a重新整理,要使得原方程对任意 a都成立,
只须a的系数及式中不含a的部分同时为零.

▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~(^v^)~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓


▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

小结归纳
1.处理直线与圆、圆与圆的位置关系的相 关问题,有代数法和几何法两种方法,但用几何法
往往较简便.
2.圆的弦长公式l=2R
2
?d
2
(R表示圆的半径,d表示弦心距)利用这一弦长公式比用一 般二
次曲线的弦长公式l=
(1?k
2
)[(x
1
?x2
)
2
?4x
1
x
2
]
要方便. < br>3.为简化运算,处理交点问题时,常采用“设而不求”的方法,一般是设出交点后,再用韦达
定 理处理,这种方法在处理直线与圆锥曲线的位置关系中也常常用到.




▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~(^v^)~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

高中数学必修1知识点框架-高中数学竞赛教程第二版


高中数学试卷分析优缺点-高中数学教与学2019年第1期


高中数学高一正余弦定理-高中数学集合逻辑导图


高中数学教师资格证面试编码-高中数学端点效应例题


2019年高中数学教资科一试卷-高中数学必修二第五章测试题


创新设计高中数学必修5-高中数学优秀课例百度文库


高中数学思考与思维-全国高中数学联赛历年真题


高中数学各科答题技巧-2017年士兵高中数学真题



本文更新与2020-10-06 11:20,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/410780.html

高考数学《直线和圆》专题学案:直线与圆、圆与圆的位置关系的相关文章

高考数学《直线和圆》专题学案:直线与圆、圆与圆的位置关系随机文章