高中数学-直线与圆的位置关系测试题

高中数学-直线与圆的位置关系测试题
时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只< br>有一个是符合题目要求的)
1．数轴上三点A、B、C，已知AB＝2.5，BC＝－3，若A点坐标为0，则C点坐标为( )
A．0.5
C．5.5
[答案] B
[解析] 由已知得， x
B
－x
A
＝2.5，x
C
－x
B
＝－3 ，且x
A
＝0，∴两式相加得，x
C
－x
A
＝－0.5，< br>即x
C
＝－0.5.
2．点P(2，－1)关于点(3,4)的对称点是( )
A．(1,5)
C．(5,3)
[答案] B
[解析] 设P关于A(3,4)的对称点为Q(a，b)，则PQ的中点为A，
a
?
3＝2＋
2
由中点坐标公式得
?
－1＋b
4＝
?
2


B．(4,9)
D．(9,4)

B．－0.5
D．－5.5

?
?
a＝4
，∴
?
.选B.
?
b＝9
?

3．方程|x|＋|y|＝1所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积是( )
A．2
C．4
[答案] A
[解析] 当x≥0，y≥0时x＋y＝1.
当x≥0，y<0时x－y＝1；
当x<0，y≥0时－x＋y＝1；
当x<0，y<0时x＋y＝－1画出其图象，围成图形为正方形ABCD，面积为2.


B．1
D.2
1 8

4．(·广州执信中学高一期末检测)下列四种说法，不正确的是( )
A．每一条直线都有倾斜角
B．过点P(a，b)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线方程为A(x－a)＋B(x－b)＝0
C．过点M(0,1)斜率为1的直线仅有1条
D．经过点Q(0，b)的直线都可以表示为y＝kx＋b
[答案] D
[解析] 经过点Q(0，b)斜率不存在的直线方程为x＝0，经过点Q(0，b)斜率存在的直线
方程为y＝k x＋b.
5．方程x(x
2
＋y
2
－1)＝0和x
2－(x
2
＋y
2
－1)
2
＝0表示的图形是( )
A．都是两个点
B．一条直线和一个圆
C．前者为两个点，后者是一条直线和一个圆
D．前者是一条直线和一个圆，后者是两个圆
[答案] D
[解析] 方程x(x
2
＋y
2
－1)＝0 即x＝0或x
2
＋y
2
＝1表示一条直线和一个圆；方程x
2
－(x
2
＋y
2
－1)
2
＝0即(x＋x
2＋y
2
－1)·(x－x
2
－y
2
＋1)＝0即x2
＋y
2
＋x－1＝0和x
2
＋y
2
－x－1 ＝0表示
两个圆．∴选D.
6．若点(2,2)在圆(x＋a)
2
＋(y－ a)
2
＝16的内部，则实数a的取值范围是( )
A．－2B．0C．a<－2或a>2
D．a＝±2
[答案] A
[解析] 由题意，得(2＋a)
2
＋(2－a)
2
<16，∴－27．点M(x
0
，y
0
)是直线Ax＋By＋C＝0上的点，则直线方程可 表示为( )
A．A(x－x
0
)＋B(y－y
0
)＝0
B．A(x－x
0
)－B(y－y
0
)＝0
C．B(x－x
0
)＋A(y－y
0
)＝0
D．B(x－x
0
)－A(y－y
0
)＝0
2 8

[答案] A
[解析] ∵M(x
0
，y
0
)在直线Ax＋By＋C＝0上，
∴Ax
0
＋By
0
＋C＝0，∴C＝－Ax
0
－By
0
，
∴直线方程为Ax＋By－Ax
0
－By
0
＝0，∴选A. < br>8．直线3x－2y＋m＝0与直线(m
2
－1)x＋3y＋2－3m＝0的位置关系是 ( )
A．平行
C．相交
[答案] C
[解析] 由3× 3－(－2)×(m
2
－1)＝0，即2m
2
＋7＝0无解．故两直线相交．
9．若圆(x－1)
2
＋(y＋1)
2
＝R
2
上有 且仅有两个点到直线4x＋3y＝11的距离等于1，则半径
R的取值范围是( )
A．R＞1
C．1＜R＜3
[答案] C
[解析] 可求得圆心(1，－1)到直线4x＋3y－11＝0的距离为d＝2.
由数形结合可知：当R＝1时，圆上仅有一点到直线的距离等于1；
当R＝3时，圆上有三点到直线的距离等于1；
当1＜R＜3时圆上有且仅有两点到直线的距离等于1.
10．M(2,1)是圆x
2
＋y
2
－2x－2y－2＝0内一点，则过M点且弦长最长时的直线方程是( )
A．x＝1
C．y＝1
[答案] C
[解析] 圆心C(1,1)，过M点最长的弦，就是过圆心C的弦，即直线MC的方程为y＝1.
11．圆x< br>2
＋y
2
－4x＝0，在点P(1，3)处的切线方程为( )
A．x＋3y－2＝0
B．x＋3y－4＝0
C．x－3y＋4＝0
D．x－3y＋2＝0
[答案] D
[解析] 解法一：点(1，3)在圆x
2
＋y
2
－4x＝0上，
∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直，
0－3
又∵圆心为(2,0)，∴·k＝－1，
2－1


B．x＝2
D．y＝2
B．R＜3
D．R≠2


B．垂直
D．与m的取值有关
3 8

解得k＝
3
，
3
即切线方程为x－3y＋2＝0.
解法 二：圆x
2
＋y
2
－4x＝0的圆心坐标为(2,0)，而过点P的半径所在 直线的斜率为－3，
则切线斜率为
3
，由此排除A、B，再代入点P(1，3)，排除 C，故选D.
3
12．一辆卡车宽1.6m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)则这 辆卡车的平顶车篷篷顶
距地面高度不得超过( )
A．1.4m
C．3.6m
[答案] B
[解析] 圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，∴AB＝0.8，

B．3.5m
D．2.0m

∴弦心距OB＝3.6
2
－0.8
2
≈3.5.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13 ．与两坐标轴正方向围成面积为2平方单位的三角形且截距差为3的直线方程为
__________．
xy
[答案] ＋y＝1或x＋＝1
44
14．等腰△ABC的顶点是A( 3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点D(5,4)，则腰长为
__________．
[答案] 26
[解析] 如图所示，

1
|BD|＝|BC|＝2，
2
|AD|＝(5－3)
2
＋(4－0)
2

＝25，
在Rt△ADB中，由勾股定理得腰长|AB|＝2
2
＋(25)
2
＝26.
4 8

15．(·山东聊城高 一期末检测)若直线x＋3y－a＝0与圆x
2
＋y
2
－2x＝0相切，则a 的值
为________．
[答案] －1或3
[解析] 圆心为(1,0)，半径r＝1，由题意，得
|1－a|
＝1，∴a＝－1或3.
1 ＋3
16．已知a＋b＝c(c是非零常数)，则直线ax＋by＝1恒过定点__________．
11
?
[答案]
?
?
c
，
c
?

1
??
1
?
＝1， [解析] ∵a＋b＝c(c≠0)，∴a?
＋b
?
c
??
c
?
11
?
∴点
?
?
c
，
c
?
满足直线ax＋by＝1的方程 ，
11
?
即直线ax＋by＝1过点
?
?
c
，< br>c
?
.
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1 7．(本题满分12分)正方形ABCD的对角线AC在直线x＋2y－1＝0上，点A，B的坐标
分别 为A(－5,3)，B(m,0)(m>－5)，
求B、C、D点的坐标．
[解析] 如图 ，设正方形ABCD两顶点C，D坐标分别为(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)．

1
∵直线BD⊥AC，k
AC< br>＝－，∴k
BD
＝2，直线BD方程为y＝2(x－m)，与x＋2y－1＝0联
2
立
?
x＝
5
＋
5
m
解得
?
22
y＝
?
5
－
5
m
∵|AE|＝|BE |，
∴
＝
14

，
1422
＋m，－m
?
， 点E的坐标为
?
?
55 55
?
?
1
＋
4
m＋5
?
2
＋< br>?
2
－
2
m－3
?
2

?
55
??
55
?
?
1
＋
4
m－m
?
2
＋
?
2
－
2
m
?
2
，
?
55
??
55
?
5 8

平方整理得m
2
＋18m＋56＝0，
∴m＝－4或m＝－14(舍∵m>－5)，∴B(－4,0)．
E点坐标为(－3,2)，
＋x
?
－3＝
－5
2
∴
?
3＋y
2＝
?
2
1
1

2
?
?
x
1
＝－1
， ∴
?
.
?
y＝1
?
1

即点C(－1,1)，
＋x?
－3＝
－4
2
又∵
?
0＋y
2＝
?
2
2

?
?
x
2
＝－2
， ∴
?
，即点D(－2,4)，
?
y＝4
?
2

∴点B(－4,0)，点C(－1,1)，点D(－2,4)．
18．(本题满分12分)已 知一直线通过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，
求这条直线的方程．
2
[解析] 设直线方程为y－2＝k(x＋2)，令x＝0得y＝2k＋2，令y＝0得x＝－2－，
k
2
1
2k＋2
|
＝1，
－2－
?·由题设条件
?
k
?
|
2
?
∴2(k＋1)< br>2
＝|k|，
??
?
k>0
?
k<0
?< br>∴
2
或
?
2
，
2k＋3k＋2＝0
??
??
2k＋5k＋2＝0

1
∴k＝－2或－，
2
∴所求直线方程为：2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
19．(本题满分1 2分)已知直线y＝－2x＋m，圆x
2
＋y
2
＋2y＝0.
(1)m为何值时，直线与圆相交？
(2)m为何值时，直线与圆相切？
(3)m为何值时，直线与圆相离？
?
?
y＝－2x＋m
[解析] 由
?
22
，得
?
x＋y＋2y＝0
?

5x
2
－4(m＋1)x＋m
2
＋2m＝0.
Δ＝16( m＋1)
2
－20(m
2
＋2m)＝－4[(m＋1)
2
－ 5]，
当Δ>0时，(m＋1)
2
－5<0，
∴－1－5当Δ＝0时，m＝－1±5，
6 8

当Δ<0时，m<－1－5或m>－1＋5.
故(1)当－1－5(2)当m＝－1±5时，直线与圆相切；
(3)当m<－1－5或m>－1＋5时，直线与圆相离．
20．(本题满分12分)求圆心 在直线x＋y＝0上，且过两圆x
2
＋y
2
－2x＋10y－24＝0，x< br>2
＋
y
2
＋2x＋2y－8＝0的交点的圆的方程．
[解析] 解法一：解方程组
22
?
?
x＋y－2x＋10y－24＝0
?
，
?
x
2
＋y
2
＋2x＋2y－8＝0
?

得交点坐标分别为(0,2)、(－4,0)．
设所求圆的圆心坐标为(a，－a)，则有
a
2
＋(－a－2)
2
＝(a＋4)
2
＋a
2
＝r，
解得a＝－3，r＝10，
故圆的方程为(x＋3)
2
＋(y－3)
2
＝10.
解法二：同解法一，得两已知圆的交点坐标为(0,2)、(－4,0)，
设所求圆的方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0，
4 ＋2E＋F＝0
?
?
16－4D＋F＝0
则
?
DE
－
?
?
2
－
2
＝0
D＝6
?
?< br>解得
?
E＝－6
?
?
F＝8

，

.
故圆的方程为x
2
＋y
2
＋6x－6y＋8＝0. < br>1
21．(本题满分12分)(1)求过点P(－1,2)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形 面积等于
2
的直线方程；
(2)求圆心在y轴上且经过点M(－2,3)，N(2,1)的圆的方程．
xy
[解析] (1)由题意设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
ab
∵点P(－1,2)在直线上，∴
11
又∵ab＝，则ab＝1
22
?
?
2a－b＝1
1
∴
?
，消去b整理得2 a
2
－a－1＝0，解得a＝1或a＝－(舍去)
2
?
?
ab＝1
7 8
－1
2
＋＝1，则2a－b＝ab，
ab

由ab＝1解得b＝1，故所求直线方程是x＋y＝1.
(2)由题意可知，圆心C在线段MN的中垂线上，
3－1
1
∵k
MN
＝＝－，MN的中点是(0,2)，
2
－2－2
∴MN的中垂线方程是y＝2x＋2，
令x＝0则y＝2，圆心C(0,2)，
半径r＝(2－0)
2
＋(1－2)
2
＝5，
所求圆的方程为x
2
＋(y－2)
2
＝5.
22．(本题 满分14分)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外
△EFA内部有一 文物保护区不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m，
应如何设 计才能使草坪面积最大？
[解析] 如图所示建立坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，

xy
∴线段EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)，
3020
在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于Q，PR⊥CD于点R，
设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ||PR|＝(100－m)(80－n)
又
mnm
＋＝1(0≤m≤30)，∴n＝20(1－)，
302030
2218 050
∴S＝(100－m)(80－20＋m)＝－(m－ 5)
2
＋(0≤m≤30)，
333
于是当m＝5时，S有最大值，
|EP|
30－5
这时＝＝5∶1.
|PF|5
答：当草坪矩形的 两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5
时，草坪面积最大．

1
8 8