高考数学复习专题 直线与圆位置关系

第66炼 直线与圆位置关系
一、基础知识：
1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
2、圆的标准方程：设圆心的坐标
C
?
a,b
?
，半径为
r
，则圆的标准方程为：
?
x?a
?
22
2
?
?
y?b
?
?r
2

2
3、圆的一般方程：圆方程为
x?y?Dx?Ey?F?0

（1）
x,y
的系数相同
（2）方程中无
xy
项
（3）对于
D,E,F
的取值要求：
D?E?4F?0

4、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：
（1）几何 性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径
为
r
，圆心到直线的距离为
d
，则：
① 当
r?d
时，直线与圆相交
② 当
r?d
时，直线与圆相切
③ 当
r?d
时，直线与圆相离
（2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直 线与圆位置关系，即联立直线与圆的
方程，再判断解的个数。设直线：
Ax?By?C?0，圆：
x?y?Dx?Ey?F?0
，则：
22
22
22?
Ax?By?C?0
消去
y
可得关于
x
的一元二次方 程，考虑其判别式的符号
?
22
?
x?y?Dx?Ey?F?0
①
??0
，方程组有两组解，所以直线与圆相交
②
??0
，方程组有一组解，所以直线与圆相切
③
??0
，方程组无解，所以直线与圆相离
5、直线与圆相交：
弦长计算公式：
AB?2AM?2r?d

6、直线与圆相切：
（ 1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心
到切线的距离 等于半径

22
- 1 -

例：已知圆的方程为：
x?y?4
及圆上一点
P1,3
，求过
P
的圆的切线
2 2
??
方法一：利用第一条性质：
k
OP
?3
，所以可得切 线斜率
k??
3

3
?
切线方程为：
y?3??< br>3
?
x?1
?
，整理后可得：
x?3y?4

3
方法二：利用第二条性质：设切线方程
l
为：
y?3?k
?x?1
?

即
kx?y?3?k

?d
O?l
?
3?k
k?1
2
?r?2

整理可得：
3k?23k?1?0?
2
?
3k?1?0
解得：
k??
?
2
3

3
?l:y?3??
3
?
x?1
?
?3x?y?4

3
（2）圆上点的切线结论：
2
222
① 圆
x?y?r
上点
P
?
x
0
,y
0
?
处的切线 方程为
x
0
x?y
0
y?r

② 圆
?< br>x?a
?
2
?
?
y?b
?
?r
2< br>2
上点
P
?
x
0
,y
0
?
处的切线方程为
?
x?a
??
x
0
?a
?
?
?
y?b
??
y
0
?b
?
?r
2

（3）过圆外一点的切线方程（两条切线）：可采取上例方法二的做法，先设出直线方程， 再
利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程。（要注意判断斜率不存在的直线是否
为切线）
7、与圆相关的最值问题
（1）已知圆
C
及圆外一定点
P
，设圆
C
的半径为
r
则圆上点到
P
点距
离的最小值为
PM?PC?r
，最大值为
PN?PC?r
（即连结
P C
并延长，
M
为
PC
与圆的交点，
N
为
P C
延长线与圆的交点




N
C
M
P

- 2 -

（2）已 知圆
C
及圆内一定点
P
，则过
P
点的所有弦中最长的为直径 ，最短的为与该直径垂直
的弦
MN

A
解：，弦长的最大值为直径， 而最小值考虑弦长公式为
C
P
B
AB?2r?d
，若
AB< br>最小，则
d
要取最大，在圆中
CP
为定值，
在弦绕
P
旋转的过程中，
d?CP
，所以
d?CP
时，
AB
最小
（3）已 知圆
C
和圆外的一条直线
l
，则圆上点到直线距离的
最小值为
PM?d
C?l
?r
，距离的最大值为
PN?d
C?l
? r
（过圆心
C
作
l
的垂线，垂足为
P
，
C P
与圆
C
交于
M
，其
反向延长线交圆
C
于
N

（4）已知圆
C
和圆外的一条直线
l
，则过 直线
l
上的点作圆的
切线，切线长的最小值为
PM

解：< br>PM?
M
C
22
N
C
l
P
M
l
CP?r
2
，则若
PM
最小，则只需
CP
最小 即可，
2
所以
P
点为过
C
作
l
垂线的垂 足时，
CP
最小
P
?
过
P
作圆的切线，则切线长
PM
最短
8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含
（1）可通过圆心距离与半径的关系 判定：设圆
O
1
,O
2
的半径为
r
1
,r
2
，
OO
12
?d

①
d?r
1
?r
2
?eO
1
,eO
2
外离
② < br>d?r
1
?r
2
?eO
1
,eO
2
外切
③
r
1
?r
2
?d?r
1
?r< br>2
?
eO
1
,eO
2
相交
④
d ?r
1
?r
2
?
eO
1
,eO
2
内切
⑤
d?r
1
?r
2
?
eO
1,eO
2
内含
（2）可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位 置关系。但只能判断交点的
个数。例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还 是内切无法直
接判定。


- 3 -

二、典型例题：
例1：已知直线
ax?y?2?0
与圆心为
C
的圆
?
x?1
?
?
?
y?a
?
?4
相交于
A,B
两点，且
22
VABC
为等边三 角形，则实数
a?
（ ）
A.
?
3
1
B.
?
C.
1
或
7
D.
4?15

3
3
思路：因为
VABC
为等边三角形且
C
为圆心 ，所以该三角形的边长为
2
，由等边三角形的性
质可知高为
3
，即< br>C
到
AB
的距离为
3
，由圆方程可得：
C
?
1,a
?
，所以利用点到直线距离
公式可得：
d
C?AB< br>?
答案：D
例2：圆心在曲线
y?
（ ）
A.
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?5
B.
?
x?2
?
?
?
y?1
?
?5

C.
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?25
D.
?
x?2
?
?
?
y?1
?
?25

思路：不妨设圆心
?
a,
2222
2222
a?a?2a
2
?1
?3?
?
2a?2
?
?3
?
a
2
?1
?
，解得：
a?4?15

2< br>2
?
x?0
?
上，且与直线
2x?y?1?0
相切的 面积最小的圆的方程为
x
?
?
2
?
?
，其中
a?0
，半径为
r
，因为直线与圆相切，所以有
a
?
2a ?
d?
22
?12a??1
1
?
2
?
aa
?r
，若圆的面积最小，则半径最小，则
r??2a??1
?
?
a
?
555
?
?
1
?
1
? 2?2a??1
?
?5
，即
r
min
?5
，此时< br>a?1
，所以圆方程为：
?
??
a
5
??
?
x?1
?
2
?
?
y?2
?
?5

2
答案：A
o
例3：设点
M
?
m,1
?
，若在圆
O:x?y?1
上存在点
N
，使得
?OMN?30
，则
m
的取值
22
范围是（ ）
,
?
A.
?
?3,3
?
B.
?
?,
?
C.
?
?2,2
?
D.
?
?
??
?
22
?
?
33
?
思路：由圆的性质可知：圆 上一点
T
，与
M,O
所组成的角
?OMT
，当
MT
与圆相切时，

- 4 -
?
11
?
?
33
?

?OMT
最大。所以若圆上存在点
N
，使得< br>?OMN?30
o
，则
?OMT?30
o
。由
M?
m,1
?
和
x
2
?y
2
?1
可知过
M
且与圆相切的一条直线为
y?1
，切点
T
?0,1
?
，所以在直角三角形
OMT
中，
tanOMT?
答案：A
OT
TM
?
3
，从而
TM?3??3?m?3

3
例4：设
m,n?R
，若直线
?
m?1
?
x?
?
n?1
?
y?2?0
与圆
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?1
相切，则
22
m? n
的取值范围是（ ）
A.
?
1?3,1?3
?
B.
??,1?3
?
U
?
1?3,??

??
C.
?
2?22,2?2
?
??
????
2
?
?
D.
???,2?22
?
U
?
2?22,??
?

? 1?
?
m?n
?
?
?
m?1
?
?
?
n?1
?
222
思路：通过圆方程可知圆心
C
?
1,1
?
，半径
r?1
，因为直线与圆相切，所以
d
C?l
?
m?n
?
m?1
?
2
?
?
n? 1
?
2
，整理后可得：
mn?m?n?1
，即
n?
m?1m?12
，所以
m?n?m??m?1??2
，进而由“对勾
m?1m ?1m?1
函数“性质可知
m?n???,2?22
?
U
?
2?22,??

?
??
?
答案：D
小炼有话说：本题由 于
m?R
，所以对于
m?1?
元转换为常见函数求得值域
例5：若 圆
x?y?4x?4y?10?0
上至少有三个不同的点到直线
l:y?kx
的距离为
22
，
则直线
l
斜率的取值范围是___________
思路：本题的关键在于如何将“至少三个符合条件的不同的点”这个条件与
k
找到联系 。通过
图像可知该条件与圆心到直线的距离相关。圆方程为：
?
x?2
??
?
y?2
?
?18
，即圆心为
22
222
?2
不能使用均值不等式，而要通过换
m?1
?
2,2
?
，半径
r?32
，作出图像可知若至少有三个不同的点到直线
l
距离为
22
，则圆心到
直线的距离应小于等于
2
，所以
d< br>C?l
?
解得：
k?
?
2?3,2?3
?

2k?2
k
2
?1
即解不等式：
?2
，
?
2k?2
?
?2
?
k
2
?1
?
，
2
??

- 5 -

答案：
?
2?3,2?3
?

??
uuuuruuuuruuur
例6：直线
y?x?m
与圆
x?y?16交于不同的两点
M,N
，且
MN?3OM?ON
，
22
其中
O
是坐标原点，则实数
m
的取值范围是（ ）
A.
?22,?2
?
U
?
2,22
B.
?42,?22
?
U
?
22,42

?
??
??
??
?
C.
?
?2,2
?
D.
?
?22,22
?

??
uuuuruuuruu ur
uuuuruuur
思路：不妨设
MN
的中点为
A
，则 可知
OM?ON?2OA
，从而
MN?23OA
，在圆
x
2
?y
2
?16
中，可知
OA
为圆心
O
到< br>MN
的距离，即弦心距。由圆中弦，半径，弦心距的
2
uuuuruuur1
2
??
2
关系可得：
?
MN
?
?O A?r?16
，代入
MN?23OA
可得：
?
2
?
?
3OA
?
2
?OA?16
，解得：
OA?2
，即
d
O?MN
?
2
m
?2
，所以
m?
?
?22,22
?

??
2
答案：D
例7：在 平面直角坐标系
xOy
中，已知圆
C:x?
?
y?3
??2
，点
A
是
x
轴上的一个动点，
2
2
AP,AQ
分别切圆
C
于
P,Q
两点，则线段
PQ
的取值范围是（ ）
?
14
??
214
??
1 4
??
214
?
,2
?
A.
?
?
B.
?
3
,22
?
?
C.
?
3
,2
?
D.
?
3
,22
?

3
????????
思路 ：如图设
AC,PQ
交于
M
，则有
PQ?2PM
，只需确< br>认
PM
的范围即可，由圆方程可得
r?
所以
PM?PCsin
?
?
2
，设
?PCM?
?
，
2sin?
，在
RtVPCA
中，可得：
?1?
2
AC
2
sin
?
?
AP
AC
?
AC?r
2AC
2
AC
2
2
，所以
PM?
2?1?
，下面确定
AC
的范围。设
A
?
x,0
?
，因为
C
?
0,3
?
，所以
2
?
14
? ?
214
?
2
,2
?
,22
。则
PQ?2 PM?
?

AC?x
2
?9?
?
9,??
?
，从而解得
PM?
?
?
??
?
3
??< br>3
?
答案：B

- 6 -

例8：已知圆
M:
?
x?cos
?
?
?
?
y?sin< br>?
?
?1
，直线
l:y?kx
下面四个命题：
（1 ）对任意实数
k
与
?
，直线
l
和圆
M
相切 ；
（2）对任意实数
k
与
?
，直线
l
和圆
M
有公共点；
（3）对任意实数
?
，必存在实数
k
，使 得直线
l
和圆
M
相切;
（4）对任意实数
k
，必 存在实数
?
，使得直线
l
和圆
M
相切.
其中真命题的代号是______________
思路一（代数运算）：四个命题均和直线 与圆位置关系相关，所以考虑圆心到直线的距离和半
径的大小关系：由圆
M
方程可知圆 心
M
?
?cos
?
,sin
?
?
，半径为 1，所以
22
d
M?l
?
?kcos
?
?sin< br>?
k
2
?1
，为了便于计算，不妨比较
d
M?l与1的大小关系，从而有：
2
2
d
2
M?l
?1??
kcos
?
?sin
?
?
k
2
?1
22
?k
2
?1
k
2
cos
2
?
?2sin
?
cos
?
?k?sin
2
?
?k
2
?1

?
2
k?1
??
1?co s
?
?
k
?

??
?2sin?
cos
?
?k?
?
1?sin
2
?
?
k
2
?1
?
sin
?
?k?cos
?< br>?
k
2
?1
2
?0

所以对任意的实数< br>k,
?
，直线
l
和圆
M
有公共点，但不一定相切。故 （1）错误（2）正确；
2
（3）（4）与相切有关，所以考虑
d
M?l?1
，由上式可得：
sin
?
?k?cos
?
①，从而 可得，对
于任意的实数
?
，不一定会存在
k
，使得等式成立。例如< br>sin
?
?0
时，①不成立；但对于任
意的
k
，总有
k?
cos
?
1
，使得①成立，即直线与圆相切。所以（3）错误， （4）正确，
?
sin
?
tan
?
综上所述，正确的是（2 ）（4）
思路二（数形结合）：通过观察
M
?
?cos
?
,sin
?
?
，可知
M
为单位圆上的点。则必有
OM?1< br>，
又因为
eM
的半径为1，所以可得
eM
过原点。而直线l:y?kx
过定点
?
0,0
?
，所以直线与
圆必有公 共点。（2）正确。因为
?
0,0
?
在圆上，所以可知若直线与圆相切，则原 点为切点，故
切线也只有一条。所以（1）错误。对于（3）（4），通过前面的结论可知对于任意的一 个圆
M
，
均可过原点作出圆的切线。另一方面通过切线也可确定圆心。所以（4）正确 。而（3）忽略
了一种情况，当圆心
M
位于
x
轴上时，此时切线为< br>y
轴，虽有切线但斜率不存在，所以不能
表示为
y?kx
的形式。所以 （3）错误
答案：（2）（4）

- 7 -

2
例9：:设
A(1,0),B(0,1)
，直线
l:y?ax,
圆
C:
?
x?a
?
?y?1
.若圆
C
既与线段
AB
又与
2
直线
l
有公共点，则实数
a
的取值范 围是 ．
思路：本题
a
的取值范围为两个条件的交集。先处理圆
C
与
l
有公共点：由圆方程可知圆的圆
心为
?
a,0
?
，半径
r?1
，若圆与直线有公共点，则
d
C?l
?< br>a
2
a
2
?1
?1?a
4
?a
2< br>?1
，解得：
?
1?51?5
?
?
1?5
?
?
。另一方面，考虑圆
C
与
AB
有公共点，
a?< br>?
0,
,
?
，所以
a?
?
?
2?
22
??
?
??
2
因为该圆半径不变，圆心在
x
轴上移动，所以可根据
a
的符号进行分类讨论：
a?0
显然成立 ，
当
a?0
时，由图像可知圆心的最远端为在
A
的右侧且到
A
的距离为1，即
0?a?2
，当
a?0
时，可知圆最左端的位置为 与线段
AB
相切的情况，
AB:x?y?1?0
，所以
d
C ?AB
?
a?1
2
?1
，解得：
a?1?2
。所以
1?2?a?0
，综上所述：圆与线段
AB
有公
?
1?2? a?2
?
1?5
共点时，
1?2?a?2
，从而
?

?1?2?a?
1?51?5
2
?a?
?
?
22< br>?
?
1?5
?
?
答案：
?
1?2,
2
??
??
例10：已知
?ABC
的三个顶点
A(?1, 0)
，
B(1,0)
，
C(3,2)
，其外接圆为圆
H．
（1）求圆
H
的方程；
（2）若直线
l
过点C
，且被圆
H
截得的弦长为2，求直线
l
的方程；
（ 3）对于线段
BH
上的任意一点
P
，若在以
C
为圆心的圆上 都存在不同的两点
M,N
，使得点
M
是线段
PN
的中点，求 圆
C
的半径
r
的取值范围

解：（1）思路：求圆的方程关 键在于确定圆心坐标，条件中给了三个点，考虑两点所成线段
的垂直平分线为直径（过原点），所以选择 两组点，求出两条直径，即可解出圆心。在本题中
抓住
A
?
1,0
?
,B
?
?1,0
?
，关于
y
轴对称。从而得到圆心 在
y
轴上，设其坐标为
H
?
0,y
?
再根据
BH?CH
，即可解出
y
值。从而得到圆心坐标，然后计算半径即可得到圆的方程
由
?ABC
外接圆为圆
H
可得：
H
在
AB
垂直平分线上
QA
?
1,0
?
,B
?
?1,0
?


- 8 -

?H
在
y
轴上 设
H
?
0,y
?

QBH?CH

? BH?CH?1?y
2
?3
2
?
?
y?2
?
，解得：
y?3

?H
?
0,3
?

r?BH?10

22
2
?eH:x
2
?
?
y?3
?
?10

（2）思路：已知弦长和半径，可求出弦心距。 直线过
C
从而可设出直线方程，再利用弦心距
解得直线方程即可
设
l:y?2?k
?
x?3
?
?kx?y?2?3k?0

由 弦长为2和
r?10
可得：
d
H?l
?
2
r
2
?1
2
?3

4

3
d
H? l
?
?3?2?3k
k
2
?1
?3?
?
1 ?3k
?
?9
?
k
2
?1
?
，解得：k?
2
?l:y?2?
4
?
x?3
?
?4x? 3y?6?0

3
2
2
?
?
x?
?
y?3
?
?10
?
x?3
?
x?3
?
?
,
?
当斜率不存在时，
l:x?3
，联立方程：
?

?
y?4
?
y?2
?
?
x?3
?
弦长为2，符合题意
综上所述：
l
的方程为
4x?3y?6?0
和
x?3

（3）思路一：（代数方法）由
B,H
坐标可求出
BH
的方程：
3x?y?3?0
，其线段上一点
?
m?xn?y?
,
P
?
m,n
?
，设
N
?
x,y
?
，则中点
M
??
，由
M,N
在圆
C
上可得（设圆
C
的半径
2
??
2
?
?< br>x?3
?
2
?
?
y?2
?
2
?r< br>2
?
22
为
r
）：
?
m?x
，则存 在
M,N
即方程组有解。方程组中的方程
???
n?y
?
2
?3
?
?
?
?2
?
?r
?
???
2
?
?
?
2
为两个圆
?
x?3< br>?
?
?
y?2
?
?r,
?
x?m?6
?
?
?
y?n?4
?
?4r
，只需两个圆有公共点即22
2222
可。所以
r?
?
?
3?
?
6?m
?
?
?
?
?
?
2?
?
4 ?n
?
?
?
?3r
，再由
3m?n?3?0
整理后 可得：
22
?
2
32
?
r?
r
2
?10m
2
?12m?10?9r
2
对任意
m?
?
0,1
?
恒成立。可得：
?
5
，再有线段
BH
与圆
?
9r
2
?10
?

- 9 -

C
无公共点，即
?
m?3
?
?
?
n?2< br>?
?r
2
在
m?
?
0,1
?
恒成立 。解得：
r
2
?
1032
?r
2
?
，即可 求得
r
的范围
95
解：
QB
?
1,0
?
,H
?
0,3
?

?
BH
的方程为 ：
x?
设
P
?
m,n
?

QP
在线段
BH
上
22
32
，从而
5
y
?1?3x?y?3?0

3
?3m?n?3?0
且
m?
?
0,1
?

?n?3?3m

设
N
?
x,y
?

QM
为
PN
中点
?N
?
22
2?
m?xn?y
??
m?x3?3m?y
?
,,
??
??

2222
????
设圆
C:
?
x?3
?
?
?
y?2
?
?r
，由
M,N
在圆上可得：
?
?
x?3
?
2
?
?y?2
?
2
?r
2
?
22
，整理后可得： < br>?
?
m?x
??
3?3m?y
?
2
?3?
?
?
?2
?
?r
?
?
22
???
?
?
22
?
x?3?y?2?r
2
????
?
，若
M,N
存在，则方程组有解
?
22
2?
?
?
x?m?6
?
?
?
y?3m?1
?
?4r
即圆心为
C
?
3,2
?
，半径为
r
的圆与圆心为
C
?
6?m,3m?1
?
，半径为
2r
的圆有公共点
'
根据两圆位置关系可知：
2r?r?CC
'
?2r?r
，即：
r?
?
?
3?
?
6? m
?
?
?
?
?
?
2?
?
3m?1
?
?
?
?3r
在
m?
?
0,1
?
恒成立
22
?r
2
?
?
m?3
?
?
?
3m?1
?
?9r
2
，整理后可得：
22
22
?
r?10m?12m?10
??
?
?
?r?10m?12m?10
min
?
在恒成立
m?0,1
??
?
?
22
22
9r?
?
10m?12m?1 0
?
?
?
9r?10m?12m?10
?
max
?
22
3
?
32
?
设
f
?
m
?
?10m
2
?12m?10?10
?
m?
?
?

5
?
5
?
?
32
?
?f
?
m
?
?
?
,10
?

?
5< br>?
2
?
2
32
10410
1032
?
r?
2
?r?
，解得：
?
?
??r?
5
35
95
?
9r
2
?10
?

- 10 -

若
M
为
PN
中点，则
P
在圆< br>C
外
?
?
m?3
?
?
?
n?2< br>?
?r
2
即
?
m?3
?
?
?
3m?1
?
?r
2
在
m?
?
0,1
?< br>恒成立
?r
2
?
?
10m
2
?12m?1 0
?
综上所述：
r?
?
222
min
?
3 2410
?r?

55
?
10410
?

,
?
?
5
??
3
思路二（数形结合）：通过图像可观察出， 若对于线段
BH
上任意一点
P
均满足题意，则需达
到两个条件：第一 ，
P
在圆外，可先利用坐标判定出
?CBH,?CHB
为锐角，从而
C
在
BH
上的投影位于线段
BH
上，所以
r?d
C ?BH
；第二，
P
到圆上点的最小距离（记为
d
min
）应 小
11
d
max
，否则，若
d
min
?d
max
当
22
1
圆上取其他
M,N
点时，
PM?d
min
,PN?d
max
，由不等式的传递性可知：
PM?PN，
2
于或等于到圆上点最大距离（记为
d
max
）的一半，即< br>d
min
?
M
不可能为
PN
中点。因为
P< br>在圆外，所以可知在圆上任意一点中，
d
min
?PC?r
，
d
max
?
?
r?d
C?BH
即可求出
r
的范围
?PC?r
，代入可得
PC?3r
恒成立。综上
?
?
?
3r?PC
max
解：
B
?
1,0
?
,H
?
0,3
?
,C
?
3,2
?
，若对任意
P
点，已知条件均满足
则
P
在
eC
外
uuuruuuruuuruuur
BH?
?
?1,3
?
, BC?
?
2,2
?
,HB?
?
1,?3
?
,HC?
?
3,?1
?

uuuruuuruuuruuur
?BH?BC?0,HB?HC?0

?
?CBH,?CHB
为锐角
?
C
在
BH
上的投影位于线段
BH
上
r ?d
C?BH
?
3?3?2?3
3
2
?1
2
?
4
10

5
1
PN

2
依题 意，若对任意
P
点，均存在
M,N
使得
PM?
设
P
到圆上点的最小距离为
d
min
，到圆上点最大距离为
d
m ax
，则有：
1
d
min
?d
max

2

- 11 -

否则若
d
min
?
1
d
max

QPM?d
min
,PN?d
max

2
?PM?
1
PN
，导致不存在满足条件的
M,N

2
QP
在圆外
?d
min
?PC?r,d
max
?PC?r
，代入可得：
PC?r?
?r?
1
?
PC?r
?
?PC?3r< br>
2
1
PC
max
?

?
3
3
2
?
?
2?3
?
?10

BC ?
2
由图可知：
QCH?
?
3?1
?
2
?
?
2?0
?
?22

2
?CH?BC
即
PC
max
?CH?10

?r?
10

3
?
10410
?
综上所述：
r?
?
,
?
?

35
??
三、历年好题精选
1、设圆
C: x?y?3
，直线
l:x?3y?6?0
，点
P
?
x
0
,y
0
?
?l
，若存在点
Q?C
，使得
22
?OPQ?60
o
（
O
为坐标原点），则
x
0
的取值范围是（ ）
A.
?
?,1
?
B.
?
0,
?
C.
?
0,1
?
D.
25
2、 已知
A?
?
1
?
??
?
6
?
??
?
?
x,y
?
|x
?
x?1
?
? y
?
1?y
?
?
,B?
?
?
x,y
?
|x
2
?y
2
?a
?
，若
A?B，则实数
a
的
取值范围是（ ）
?
2
?
?
1
?
,??
?
A.
0,2
B.
?
,??
?
C.
?
2,??
?
D.
?

?
2
2
??
??
??
3、（2015，广东）平行于直线
2x?y?1?0
且与圆
x?y?5
相切的直线的方程是（ ）
A.
2x?y?5?0
或
2x?y?5?0
B.
2x?y?5?0
或
2x?y?5?0

C.
2x?y?5?0
或
2x?y?5?0
D.
2x?y?5?0
或
2x?y?5?0

4、（2015，江苏）在 平面直角坐标系
xOy
中，以点
?
1,0
?
为圆心且与直线
22
mx?y?2m?1?0
?
m?R
?
相切的所有圆中， 半径最大的圆的标准方程为

- 12 -

5、（2014，湖北）直线
l
1
:y?x?a
和
l
2:y?x?b
将单位圆
C:x?y?1
分成长度相等的
四段弧，则
a?b?
_______
6、（2014，全国卷）直线
l
1
和
l
2
是圆
x?y?2
的两条切线，若
l
1
与
22
22
22
l
2
的交点为
?
1,3< br>?
，则
l
1
与
l
2
夹角的正切值等于___ ____
7、(2016，吉安一中高三期中)已知圆C：
x
2
?y
2
?(6?2m)x?4my?5m
2
?6m?0
，直线
l
经过点
(1,1)
，若
对任意的实数m，直线
l
被圆C截得的弦长 都是定值，则直线
l
的方程为________
8、已知
M
?a,b
??
ab?0
?
是圆
O:x
2
?y2
?r
2
内一点，现有以
M
为中点的弦所在直
线
m
和直线
l:ax?by?r
2
，则（ ）
A.
m∥l
，且
l
与圆相交 B.
m?l
，且
l
与圆相交
C.
m∥l
，且
l
与圆相离 D.
m?l
，且
l
与圆相离
22
9、（2015，广东）已知 过原点的动直线
l
与圆
C
1
:x?y?6x?5?0
相交于 不同的两点
A,B

（1）求圆
C
1
的圆心坐标；
（2）求线段
AB
的中点
M
的轨迹
C
的方程； < br>（3）是否存在实数
k
，使得直线
L:y?k
?
x?4
?
与曲线
C
只有一个交点？若存在，求出
k
的
取值范围； 若不存在，说明理由.




习题答案：
1、答案：B
解析：依题意可知
OP?x
0
?y
0
，由
P
?
x
0
,y
0
?
?l
可 得：
y
0
?
22
2
6?x
0
。
3
Q
?OPQ
在
PQ
与圆相切时取得最大值
若
OP
变长，则
?OPQ
的最大值将变小
?
当< br>?OPQ?60
o
且
PQ
与圆相切时，
PO?2


- 13 -

若存在点
Q?C
，使得
? OPQ?60
，则
PO?2

o
6?x
0
?
?
y
0
?
?
6
?
?
?
3
，解得：
x
0
?
?
0,
?

?
5
?
?
x
2
?y
2
?4
0
?0
2、答案：C
2
1
??
1
?
1
?
11
?
?
解析：
A:x
2
?x?y
2?y?0?
?
x?
?
?
?
y?
?
?< br>即
A
为以
?
,
?
为圆心，为
2
22
2
??
2
?
2
??
?
半径的圆
A
的内部，集合
B
为圆心在原点，半径为
a
的圆
B
的 内部。则
A?B
表示圆
A
在
圆
B
的内部，在坐标系 中作出圆
A
，数形结合即可得到圆
B
半径的范围为
?
2,? ?
，则
a
的
22
?
?
范围为
?
2 ,??
?

3、答案：D
解析：由平行关系可设切线方程为
2x? y?c?0
，则
d?
切线的方程为
2x?y?5?0
或
2x ?y?5?0

4、答案：
?
x?1
?
?y?2

2
2
c
5
?5
，解得：
c??5
，所以< br>解析：方法一：
mx?y?2m?1?0?
?
x?2
?
m?< br>?
y?1
?
?0
可知动直线过定点
?
2,?1
?
，
所以可算出圆心与定点的距离为
2
，所以半径最大的圆即为以该定点为 切点的圆，所以
r?2
，圆方程为：
?
x?1
?
?y
2
?2

方法二：由相切可知
r?
为
?
x?1< br>?
?y?2

2
2
2
?m?1
m
2
?1
?
?
m?1
?
2
m
2
?1< br>?1?
2m
?2
，所以半径最大的圆方程
m
2
?1< br>5、答案：2
解析：由直线方程可知
l
1
∥l
2
， 若将单位圆分成相等的四段弧，则弦端点与圆心所成的角为
?
，
2
所以
d
O?l
1
?d
O?l
2
?
a
2
d??
?
O?l
1
2
2
2
?
22
?
，所以
?
解得
a?b?1
，所以
a?b?2

2
b
2
?
d??
O?l
2
?
2< br>2
?

- 14 -

6、答案：
4

3
解析：从几何性质出发，结合坐标计算线段的长，设
P
?
1,3< br>?
，则
PO?10
，又因为
r?2
，所以
sin?B PO?
可
BO5
?
，所
PO5
所求
以
1< br>，则
2
2tan?BPO4

tan?BPA?tan2?BPO??
2
1?tan?BPO3
得
tan?BPO?

7、答案：
2x?y?3?0

解析：圆标准方程：
?
x? 3?m
?
?
?
y?2m
?
?9
，圆心为
C
?
3?m,2m
?
，半径为
3
，可知
C
在 直线
y??2x?6
。点
(1,1)
到直线
y??2x?6
的距离
d?
22
2?1?6
5
?
3
?3
， 所以过
5
(1,1)
且与
y??2x?6
平行的直线与圆相交，因为 圆的半径
r?3
，所以截得的弦长为定值。
所以
k??2
，即
l:y?1??2
?
x?1
?
?2x?y?3?0


8、答案：C
解析：由圆的性质可知可知中点弦与
OM
垂直，所以斜率k??
m
方程为：
y?b??
1
k
OM
b??
，中点弦
a
a
?
x?a
?
?ax?by? a
2
?b
2
，可得
m∥l
，另一方面，
b
22
d
O?l
?
r
2
a?b
22
，因为< br>M
?
a,b
?
在圆内，所以
a?b?r
，所以
d
O?l
?
r
2
a?b
22
?r
，直线
l
与圆相离
9、解析：（1）圆
C
1
:x?y? 6x?5?0?
?
x?3
?
?y?4

222
2
?
圆心坐标为
?
3,0
?
< br>（2）设
M
?
x,y
?
，则可知
C
1
M?AB

?k
C
1
M
?k
AB
yy
3
?
9
?
??1????1
，整理可得：
?
x?
?
?y
2
?

x?3x
2
?4
?
2
当动直线与圆相切时，设直线方程：
y?kx


- 15 -

?
x
2
?y
2< br>?6x?5?0
则
?
?
?
k
2
?1
?
x
2
?6x?5?0

?
y?kx
???36 ?20
?
k
2
?1
?
?0?k
2
?
?
切点的横坐标为
x?
4

5
165
?
2
?

2k?13
?
5
?
?
3
?
由圆的性质可得：
M
横坐标的取值范 围为
?
,3
?

3
?
9
??
3< br>?
所以轨迹方程为
?
x?
?
?y
2
?,x?
?
,3

?
2
?
4
??
5
?
3
?
9
??
5
?
（3）由（2）可得曲线C
为圆
?
x?
?
?y
2
?,x?
?< br>,3
?
2
?
4
??
3
?
的一部分圆 弧
EF
（不包括
E,F
），其中
2
2
?
5 25
??
525
?
E
?
,
?
,F
?
,?
?

3
??
33
??
3
直线
L:y?k
?
x?4
?
过定点
?
4,0
?

① 当直线与圆相切时：
d
C?l
?
5
k
2
k
2
?1
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33
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24
② 当直线与圆不相切时，可得
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25
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25
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3
25
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25

3
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5
7
7
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4?
3
3
数形结合 可得：当
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2525
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,
?时，直线与圆有一个交点
7
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7
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2525
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33
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,
综上所述：
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时，直线
L
与曲线
C
只 有一个交点
77
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44
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