怎么样读好高中数学-高中数学曲线的意义
直线和圆的位置关系
教学目标：1、掌握直线和圆的位置关系及其判断办法；
2、能够解决直线与圆的有关综合题。
教学重点：直线和圆的位置关系的应用。
教学过程：
复习回顾：
1、直
线Ax+By+C＝0①与圆x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0②的位置关系
有三种：相离、相切、相交。
2、判断方法有两种：（1）由方程组①②组成方程组，利用方程组解的
个数来判断（2）
利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系如下表：
关系
二元一次方程组
消元后的一元二次方
程
圆心到直线的距离d
与圆的半径r的关系
相离
方程组无解
方程无实数根
（Δ<0）
d>r
相切
方程组有一组解
方程有两相等的
实数根 （Δ＝0）
d=r
相交
方程组有两组不同的
解
方程有两个不相等的
实数根（Δ>0）
d
二、常考题型
1、直线和圆相离
（1）<2006年湖南>圆x
2
+y
2
-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差
是〔 〕
A、36 B、18 C、6
2
D、5
2
解析：圆（x-2）
2
+（y-2）
2
=18，圆心到直线的距离为
2?2?14
?52
，直线与圆相离，最大距
2
离与最小距离的差为
(52?32)?(52?32)?62
，选C
（2）
直线x+y=1与圆x
2
+y
2
-2ay=0（a>0）没有公共点，则a的
取值范围（ ）
1
A、（0，
2
-1）
B、（
2
-1，
2
+1）
C、（-
2
-1，
2
+1） D、（0，
2
+1） <
br>解：由圆x
2
+y
2
-2ay=0（a>0）的圆心（0，a）到直线
x+y=0距离大于a且a>0，故应选A。
2、直线和圆相切
（2006年湖北） （1）已知直线5x+2y+a＝0与圆x
2
-2x+y
2
=0相切，则
a的值为 。
解：x
2
-2x+y
2
=0的标准
方程（x-1）
2
+y
2
=1，圆心（1，0），半径r=1
圆心到直线5x+2y+a＝0的距离
d?
解得 a=8或-18
（2）从原点向圆x
2
+y
2
-12y+27=0作两条切线，则这两条切
线的夹角的大小（2005年，北
京）。
A、
5?a
5?12
22
?1
???
2
B、 C、
D、
?
6323
解法一、由圆的方程x
2
+y
2
-12y+27=0，得x
2
+(y-6)
2
=9知圆心（0，6）
，半径为3。
设过原点的切线方程为y=kx
?
x
2
?(y?6
)
2
?9
?(k
2
?1)x
2
?12kx?27?
0
则
?
?
y?5x
??(?12k)
2
?x?2
7(k
2
?1)?0
解得：
k??3
?
两切线夹角θ满足
tan
?
?
3?3
?
?3
，<
br>?
?
?
3
1?3?(3)
方法二：如图所示，RtΔOCE中，CE＝3，OC＝6
?sin?COE?
CE1
?
?
，
??COE?
OC26
故
?DOE?2?
?
6
?
?
3<
br>，即两切线夹角为
?
。
3
(3)、从点P（3，0）向圆（x+2）
2
+（y+2）
2
=1作切线，
则切线长为
A、
27
B、
29
C、
31
D、
30
解：切线两条长度相等,L＝<
br>PC
2
?CA
2
?29
2
?1?27
3、直线和圆相交
2
（2005湖南）（1）直线ax+by=C与圆O：x+y=1相交于A
B两点，且|AB|＝
3
，则
OAOB
。
解：设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y2
）
则（x
1
2
-
x
2
）
2
+（y
1
2
-
y
2
）
2
=3
?
1+1－2（x
1
x<
br>2
+y
1
y
2
）=3
??
22
??
?
即
OAOB?
x
1
x
2
+ y
1
y
2
＝-
1
2
xy
??1
（a、b是非
零实数）与圆
x
2
?y
2
?100
有公共点，
ab
（2）（2007年湖北）已知直线
且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有
A、60条 B、66条 C、72条
D、78条
解：如右图，圆x
2
+y
2
=100上的整数
点（0，±10），
（±10，0），（6，±8），（8，±6），（－6，±8），（—8，
±6）共12点，
直线与圆的交点为上述各点，直线与圆的切线和割线
12
+
12?11
＝78，
2
又上述直线，中斜率为0，不存在过原点的直线不合要求
（a,
b存在）计7+7+4＝18
符合要求的78—18＝60，选择A
（3）（2008湖北
）过点A（11，2）作圆x
2
+y
2
+2x
—4y—164=0的
弦，其中弦长为整数的共有
A、16条 B、17条 C、32条 D、34条
解析：图的标准方程为(x+1)
2
+(y—2)
2
=13
2
圆心C
（－1，2）半径R＝13，|CA|=11－（－1）＝12，
∴经过A点且直于OA的弦是经过A点的最短的弦，
其长度为2
13
2
?1
2
2
＝10，而经过OA的弦是经过A
点的最长的弦，其长度为圆的直径即2R＝26
。
∴ 经过A点且为整数的弦长还可以取11、12、13……25由圆内弦的对称性共15×2=3
0。
而经过某一点的圆的最长弦为最短弦各只有一条，一共有30+2＝32条
答案：C
3
（2）（3）考察直线和圆的交点问题，是用分数讨论的方法把所有符合条件的弦找出。
三、练习
1、圆x
2
+y
2
＝1上的点到直线3x
+4y—25=0的距离的最小值为
解：过圆x
2
+y
2
＝1的圆
心O作直线3x+4y—25=0的垂线OA，
垂足为A，|OA|=
|3?0?4?0?2
5|
＝5，则所求距离的最小值为|OA|—1＝4
9?16
2、已知圆C：(x—
1)
2
+(y—2)
2
=25及直线L：（2m+1）x+(m+1)y=7
m+4 (m∈R)
（1）证明：不论m取什么实数，直线L与圆C恒
相交。
（2）求直线L被圆C截得的最短弦长及此时的直线
方程
解：（1）直线L可化为x+y—4+m(2x+y—7)＝0，
不论m取什么实数，
它恒过两直线x+y—4＝0与2x+y—7＝0的交点
两方程联立，解得交点为（3，1）
又有(3—1)
2
+(1—
2)
2
=5﹤25
∴点（3，1）在圆的内部，
∴不论m为何实数，直线L与圆恒相交。
（2）从(
1)的结论和直线L过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，被圆所截的
22
弦长
|AB|最短，由垂径定理得|AB|＝2
r?CM
＝2
25?
?
?
3?1
?
?
?
1?2
?
?
??
22
2
1
1
此时K
L
＝－＝4
5
，从而K
1
＝－
2?1
＝2
KCM
1?3
∴L的方程为y－1＝2|x－3|，即2x－y＝5
四、小结：由直线和圆的三种位置关系常见题型为以上三种，多以选择题，填
空题出现。
五、练习
4