高中数学直线方程圆方程知识点总结

第三章 直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直 线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们
规定它的倾斜角为 0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不 是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当
?
?0,90
时，
k?0
；当
?
?90,180
②过两点的直线的斜率公式：
k?< br>注意下面四点：
(1)当
x
1
?x
2
时，公式右边 无意义(分母为0)，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k与P
1
、P
2
的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点 斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率k，且过点?
x
1
,y
1
?

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y
1
。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因
l上每一点的横坐标都等于x
1
，所以它的方程是x=x
1
。 ②斜截式：
y?kx?b
，直线斜率为
k
，直线在
y
轴 上的截距为
b

?
??
??
??
?
时，< br>k?0
；当
?
?90
时，
k
不存在。
?< br>y
2
?y
1
(x
1
?x
2
)

x
2
?x
1
③两点式：
y?y
1
x ?x
1
（
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
）直线两点
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?

?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
④截矩式：
xy??1

ab
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即
l
与
x
轴、
y
轴的截距分别为
a,b
。
⑤一般式：
Ax?By?C?0
（A，B不全为0）
1
各式的适用范围 注意：○
1

2
特殊的方程如： ○平行于x轴的直线：
y?b
（b为常数）； 平行于y轴的直线：
x?a
（a为常数）；
*（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线(此部分作为选学内容)
（一）平行直线系 ：平行于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0（
A
0
,B
0
是不全为0的常数）的直线系：
A
0
x?B
0
y?C?0
（C为常数）
（二）垂 直直线系：垂直于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0
（
A
0
,B
0
是不全为0的常数）的直线系：
B
0
x?A
0
y?C?0
（C为常数）
（三）过定点的直线系：① 斜率为k的直线系：
y?
② 过两条直线
l1
:
y
0
?k
?
x?x
0
?
，直线过定点
?
x
0
,y
0
?
；
A1
x?B
1
y?C
1
?0
，
l
2:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系 方程为
，其中直线
l
2
不在直线系中。
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
?
?
A< br>2
x?B
2
y?C
2
?
?0
（
?< br>为参数）
（5）两直线平行与垂直：
当
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b< br>2
时，
l
1
l
2
?k
1
?k< br>2
,b
1
?b
2
；
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（6）两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0

l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
相交，
A
1
x?B
1
y?C
1< br>?0
交点坐标即方程组
?
的一组解。
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
（7 ）两点间距离公式：设
A(x
1
,y
1
)，（
是平面直角坐 标系中的两个点，
Bx
2
,y
2
）
则
|AB|? (x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

（8）点到直线距离公式：一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C ?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C
< br>22
A?B
（9）两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距 离进行求解。




2

第四章 圆的方程
（1）标准方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
，圆心
22
2
?
a,b< br>?
，半径为r；
1
D
2
?E
2
?4F

2
（2）一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0

DE
?< br>，半径为
r?
当
D?E?4F?0
时，方程表示圆，此时圆心为
?
?
?,?
?
?
22
?
22
22
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，表示一个点； 当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，
若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1） 设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b
?
到l的距离为
d?
Aa?Bb?C
，
A
2
?B
2
则有
d?r?l与C相离
；
d?r?l与C相切
；
d?r?l与C相交

（2）过圆外一点 的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，
求解k，得到方程【一定两解】
(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)
2
+ (y-b)
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，
y0
)，则过此点的切线方程为
(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2

圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?
2
?
?
y?b
1
?
2
?r
2
，
C
2
:
?
x?a
2
?
?
?
y?b
2< br>?
?R
2

22
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当
d
当
d
?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当
d?R?r
时，两圆内含； 当
d?0
时，为同心圆。
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

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