高考数学 直线与圆的位置关系 专题

高考数学 直线与圆的位置关系 专题


时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1 ．(2009·重庆高考)直线y＝x＋1与圆x
2
＋y
2
＝1的位置关系是 ( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
12
解析：圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离为d＝
＝，圆的半径r ＝1，∴02
2
∴直线与圆相交但不过圆心．
答案：B 2．直线3x－y＋m＝0与圆x
2
＋y
2
－2x－2＝0相切，则实数 m等于
A.3或－3 B．－3或33
C．－33或3 D．－33或33
解析：把圆的方程化成标准方程(x－1)
2
＋y
2
＝3，
由已知得
|3×1－0＋m|
(3)
2
＋(－1)
2
＝3 ，
( )
即|m＋3|＝23，
∴m＝－33或m＝3.故选C.
答案：C
3．过点(－4,0)作直线l与圆x
2
＋y
2
＋2x－4y－20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则l
的方程为 ( )
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
解析：圆 的标准方程为(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝25，若|AB|＝8，只需保 证圆心(－1,2)到直线l的
距离等于3，过点(－4,0)的直线方程为y＝k(x＋4)和x＝－ 4，显然x＝－4与(－1,2)的距离为3
满足题意；
而
|－k－2＋4k|
5
＝3，得k＝－，
12
1＋k
2
从而直线方程为5x＋12y＋20＝0.
答案：B
4．若直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)始终平分圆x
2
＋y
2＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取
值范围是 ( )
11
A．(－∞，] B．(－∞，)
44
11
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
44
解析： 圆心(－1,2)，∵直线平分圆的周长，∴直线必过圆心，将(－1,2)代入直线方程得a
a＋b< br>1
＋b＝1，ab≤(
)
2
＝
.
24

答案：A
5．能够使得圆x
2
＋y
2< br>－2x＋4y＋1＝0上恰有两个点到直线2x＋y＋c＝0距离等于1的c
的一个值为 ( )
A．2 B.5
C．3 D．35
解析：圆的标准方程为(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝4，圆心为
(1，－2)，半径为2.根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，圆上有
33
两点到直线的距离为1，经验证，c＝3时，圆心到直线2x＋y＋3＝0的距离为，满足1<55
<3.因此c＝3满足题意．
答案：C
xy
6．若直线＋＝1通过点M(cosα，sinα)，则
ab
22
A．a＋b≤1 B．a
2
＋b
2
≥1
1111
C.
2
＋
2
≤1 D.
2
＋
2
≥1
abab
( )
xy
解析：∵点M(cosα，sinα)的轨迹方程为x
2
＋y
2
＝1，由题意知直线＋＝1与圆x
2
＋y
2
＝1
ab
11 1
有公共点，得圆心到直线的距离
≤1，∴
2
＋
2
≥1.故 选D.
ab
11
＋
a
2
b
2
答案：D
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．直线l与圆x
2
＋y
2
＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于两点A、B，弦AB的中点为(0,1)，则直
线l的 方程为__________．
解析：圆心P(－1,2)，AB中点Q(0,1)，k
PQ
＝
＝－1，∴直线l的斜率k＝1，
－1－0
2－1
故y－1＝1(x－0)，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
8．已知圆C的圆心与抛物线y
2
＝4x的焦点关于 直线y＝x对称．直线4x－3y－2＝0与圆
C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为 __________．
解析：y
2
＝4x，焦点F(1,0)，
∴圆心O(0,1)．
5
O到4x－3y－2＝0的距离d＝
＝1，则圆半 径r满足r
2
＝1
2
＋3
2
＝10，∴圆方程为x
2
＋(y
5
－1)
2
＝10.
答案：x
2
＋(y－1)
2
＝10
图1
9．如 图1，A、B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B
点，C是这两 个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是
__________．
解析：如图2，当圆O
1
与圆O
2
外切于点C时，S最大，此时，

图2

两圆半径为1，S等于矩形ABO
2
O
1
的面积减去两扇形面积，
1
π
∴S
max
＝2×1－2×(×π×1
2
)＝ 2－.
42
随着圆半径的变化，C可以向直线l靠近，
π
当C到直线l的距离d→0时，S→0，∴S∈(0,2－
]．
2
π
答案：(0,2－]
2
10．已知圆C
1
： x
2
＋y
2
＝9，圆C
2
：(x－4)
2
＋(y－6)
2
＝1，两圆的外公切线交于P
2
点，内
→→
公切线交于P
1
点，若P
1
C
1
＝λC
1
P
2
，则λ等于__________．
→→→
解析：如图3：设|P1
C
1
|＝y，|C
1
P
2
|＝x，|C1
C
2
|＝l，
又圆C
1
的半径R＝3，圆C
2
的半径r＝1，
x－l
r13
由平面几何性质可得＝＝
?x＝l，
xR32
l－y
r13
＝＝
?y＝l.
yR34
3
l
4
y1
λ＝－
＝－＝－
.
x32
l
2
图3
1
答案：－
2
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知圆C同时满足下列三个条件．
①与y轴相切；
②在直线y＝x上截得弦长为27；
③圆心在直线x－3y＝0上，求圆C的方程．
解：设所求的圆C与直线y＝x交于A、B，

∵圆心C在直线x－3y＝0上，∴设圆心为C(3a，a)，
∵圆与y轴相切，∴R＝3|a|.
而圆心C到直线x－y＝0的距离
|3a－a|
|CD|＝
＝2|a|.
2
又∵|AB|＝27，|BD|＝7，
在Rt△CBD中，R
2
－|CD|
2
＝(7)
2
，
∴9a
2
－2a2
＝7，a
2
＝1，a＝±1,3a＝±3，

∴圆心的坐标C为(3,1)或(－3，－1)，故所求圆的方程为(x－3 )
2
＋(y－1)
2
＝9或(x＋3)
2
＋
(y＋ 1)
2
＝9.
12．(15分)已知圆x
2
＋y
2
＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P、Q两点，若OP⊥OQ(O
是原点)，求m的值 ．
解：设点P、Q的坐标分别为(x
1
，y
1
)、(x
2
，y
2
)．由OP⊥OQ得k
OP
·k
OQ
＝－1 ，
y
1
y
2
即
·
＝－1，x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝0 ①
x
1
x
2
又(x
1
，y
1
) ，(x
2
，y
2
)是方程组
?
?
x＋2y－3＝0
的实数解，
?
22
??
x
＋y＋x－6y＋m＝0
即x
1
、x
2
是 方程5x
2
＋10x＋4m－27＝0的两个根②
4m－27
∴x
1
＋x
2
＝－2，x
1
x
2
＝ ③
5
∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，
11
∴y
1
y
2
＝(3－x
1
)·(3－x
2
)
22
1
＝．
4
m＋12
将③代入，得y
1
y
2
＝ ④
5
将③④代入①，解得m＝3，代入方程②，检验Δ>0成立，∴m＝3.

图4

13．(20分)(2009·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，如图 4，已知圆C
1
：(x＋3)
2
＋(y
－1)
2
＝ 4和圆C
2
：(x－4)
2
＋(y－5)
2
＝4.
(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C
1
截得的弦长为23，求直线l的方程；
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l
1
和l2
，它们分别
与圆C
1
和C
2
相交，且直线l
1
被圆C
1
截得的弦长与直线l
2
被圆C
2
截得的 弦长相等．试求所有
满足条件的点P的坐标．
解：(1)由于直线x＝4与圆C
1< br>不相交，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x
－4)，圆C
1
的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C
1
截得的弦长为23，
所以d＝2
2
－(3)
2
＝1.
|1－k(－3－4)|
7
由点到直线的距离公式得d＝，从而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－，
24
1＋k
2
所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0. (2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l
1
的方程为y－b＝k(x－a)，k≠ 0，则直线l
2
的方程
1
为y－b＝－
(x－a)．
k< br>因为圆C
1
和C
2
的半径相等，及直线l
1
被圆C< br>1
截得的弦长与直线l
2
被圆C
2
截得的弦长相

等，所以圆C
1
的圆心到直线l
1
的距离 和圆C
2
的圆心到直线l
2
的距离相等，即
1
|5＋(4－a)－b|
|1－k(－3－a)－b|
k
＝， < br>1
2
1＋k
1＋
2
k
整理得|1＋3k＋ak－b| ＝|5k＋4－a－bk|，
从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，
即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，
因为k的取值有无穷多个，
??
?
a＋b－2＝0，
?
a －b＋8＝0，
所以
?
或
?

??
?
b－a＋3＝0，
?
a＋b－5＝0，


?
解得
?
1
b＝－
?
2
，
5a＝
，
2

?
或
?
13
b＝
?
2
.
3
a＝－
，
2


513 13
这样点P只可能是点P
1
(
，－
)或点P
2
( －
，
)．
2222
经检验点P
1
和P
2
满足题目条件．