高一数学必修二直线和圆单元测试

标准
高一数学必修二直线和圆单元测试
一、填空题
1在直角坐标系中，直线
3x?y?3?0
的倾斜角是 ．
2.直线
l
经过A（2，1）、B（1，
m
2
）(
m∈R)两点，那么直线
l
的倾斜角的取值围是 ．
22
3. 若圆
x?y?4x?4y?10?0
上至少有三个不同点到直线< br>l
:
ax?by?0
的距离为
22
,
则直线
l
的倾斜角的取值围是 ．
22
4. 直线
ax?by ?c?0
?
ab?0
?
截圆
x?y?
5
所得弦长等 于4，则以|
a
|、
|b
|、|
c
|为边长
的确定 三角形一定是 ．
5. 已知直线
l
1
的方程为
y?x
，直线
l
2
的方程为
ax?y?0
（
a为实数）．当直线
l
1
与直线
l
2
的夹角在（0，?
）之间变动时，
a
的取值围是 ．
12
6若直线
y?kx?1
与圆
x
2
?y
2
?
1
相交于
P
、
Q
两点，且∠
POQ
＝120°（其 中
O
为原点），
则
k
的值为 ．
?2x?y?2≥0
?
22
7．如果点
P
在平面区域
?< br>x?y?2≤0
上，点
Q
在曲线
x?(y?2)?1
上，那么
PQ
的
?
2y?1≥0
?
最小值为 ．
8．若曲线
x
2
+
y
2
+
a
2< br>x
+(1–
a
2
)
y
–4=0关于直线
y< br>–
x
=0的对称曲线仍是其本身，则实数
a
= ．
9．已知圆
C:x?y?1
，点
A
（－2，0）及点
B（2，
a
），从
A
点观察
B
点，要使视线
不被 圆
C
挡住，则
a
的取值围是 ．
22
5 3
22
11
最大弦长为
a
n
，若公差
d?[,]
，那么
n
的取值集合为 ．
63
10． 在圆
x
2
+
y
2
＝5
x
，过点
( ,
)
有
n
条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项
a
1
，
11．点P（
a
，3）到直线
4x?3y?1?0
的距 离等于4，且在不等式
2x?y?3?0
表示的
平面区域，则点P的坐标是 .
文案

标准
12．将一画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点
A
(0，2)与点
B
(4，0)重合．若此时点
C
(7，3 )与点
D
(
m
，
n
)重合，则
m
＋
n
的值是 ．
13．已知圆
(x?23)
2
? (y?2)
2
?16
与
y
轴交于
A，B
两点，与< br>x
轴的另一个交点为
P
，则
?APB?
．
224*
14．设有一组圆
C
k
:(x?k?1)?(y?3k)?2k( k?N)
．下列四个命题：
Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切
Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交
Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交
．
Ｄ．所有的圆均不经过原点
．
其中真命题的代号是
二、解答题
15．已知点A(2, 0), B(0, 6)，坐标原点O关于直线AB的对称点为D, 延长BD到P, 且
|PD|=2|BD|.已知直线
l
:ax+10y+84-108
3
=0经过P, 求直线
l
的倾斜角。

．（写出所有真命题的代号）



?
x?0
2
C:(x?a)
16．已知平面区 域
?
恰好被面积最小的圆
?
y?0
?
x?2y?4?0?
?(y?b)
2
?r
2
及其
部所覆盖．
(1)试求圆
C
的方程.
(2)若斜率为1的直线
l
与圆
C
交于不同两点
A,B.
满足
CA?CB
,求直线
l
的方程.


文案

标准





17．如图所示，已知
P
(4，0)是圆
x
2
+
y
2
=36的一点，
A
、
B
是
_

y
uuuruuur
uuuruuuruuur
圆上 两动点，且满足
AP?BP
，
PQ?PA?PB
,求点
Q
的 轨
迹方程
R

_

_


_

Q
_

o
_

A
_

P
_

x







18．已知圆
C
：
x
2
?y
2
?4
.
（1）直线
l
过点
P?
1,2
?
，且与圆
C
交于
A
、
B< br>两点，若
|AB|?23
，求直线
l
的方程；
（2）过圆< br>C
上一动点
M
作平行于
x
轴的直线
m
，设< br>m
与
y
轴的交点为
N
，若向量
uuuruuuuru uur
OQ?OM?ON
，求动点
Q
的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.





文案

标准










1 9．已知圆
M
：
x
2
?(y?2)
2
?1
，设点
B,C
是直线
l
：
x?2y?0
上的两点，它们的横 坐标
分别是
t,t?4(t?R)
，点
P
在线段
BC
上，过
P
点作圆
M
的切线
PA
，切点为
A
．
（1）若
t?0
，
MP?5
，求直线
PA
的方程；
（2）经过
A,P,M
三点的圆的圆心是
D
，求线段
DO< br>长的最小值
L(t)
．










文案

标准






20．如图，已知：射线
OA
为
y?kx(k?0,x?0)
，射线
OB
为
y??kx(x?0)
，动点
P(x,y)
在
?AOX
的部，
PM?OA
于
M
，
PN?OB
于
N
，四边形
ONPM
的面积恰为
k
.
（1）当
k
为定值时，动点
P的纵坐标
y
是横坐标
x
的函数，求这个函数
y?f(x)
的解
析式；
（2）根据
k
的取值围，确定
y?f(x)
的定义域.

x










y
文案

标准










直线和圆单元测试
3
2
?
?
5
?
??
1． 2．
[0,]?(
,
?
)
3.[
,
] 4．直角三角形 5．（，1）∪（1，
3
）
3
31212
42
6． 7．
?3
3
2
4
8．
?
9．（－∞，
?
3
2
2
3
）∪（
4
3
3
，+∞） 10．{4，5，6，
34
0
7} 11．
(?3,3)
12． 13．
30
14．
B，D


5
15．解：设D点的坐标为(x
0
, y
0
),∵直线AB:
xy
??
1,
即3x+y
—
6=0,
26
?y
0
11
?
k?? ?
18
6186
?
OD
?
k
AB
,即?
x
0
3
∴
?
. 解得x
0
=
，
y
0
=
，即D(,
)
.
5
555
?< br>3x?y?12?0
?
3x?y?6?0
0
0
?
0< br>?
0
文案

标准
由|PD|=2|BD|, 得λ=
将P(
BP35442
??
. ∴由定比分点公式得
x
p
=
，y
p
??
.
PD255
5442
,?
)代入
l
的方程, 得a=10
3
. ∴k
1
= -
3
. 故得直线
l
的倾斜角为120°
55
16. 解:(1)由题意知此平面区 域表示的是以
O(0,0),P(4,0),Q(0,2)
构成的三角形及其部,且
△
OPQ
是直角三角形,
所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是
5
,
所以圆
C
的方程是
(x?2)?(y?1)?5
.
22
(2)设直线
l
的方程是:
y?x?b
.
uuuruuur
10
因为
CA?CB
,所以圆心
C
到直线
l
的距离是, 2
即
|2?1?b|
1
2
?1
2
?
1 0

2
解得:
b??1?5
.
所以直线
l
的方程是:
y?x?1?5
.
17．解： 依 题意知四边形PAQB为矩形。设
AB
的中点为
R
，坐标为(
x,
y
)，则在Rt△
ABP
中，|
AR
|=|
PR
|
又因为R是弦
AB
的中点，依垂径定理 在Rt△
O AR
中，
y
B
Q
R
A
|
AR
|< br>2
=|
AO
|
2
－|
OR
|
2=36－(
x
2
+
y
2
)
又|
AR
|=|
PR
|=
(x?4)
2
?y
2
< br>所以有(
x
－4)
2
+
y
2
=36－(x
2
+
y
2
),即
x
2
+
y
2
－4
x
－10=0
因此点
R
在一个圆上，而当
R
在此圆上运动时，
Q
点即在所求的轨迹上运动
o
P
x
x?4y?0
,
,y
1
?
22
x?4
2
yx?4
代入方程
x
2
+
y
2
－4
x
－10=0,得
(
－10=0
)?( )
2
?4?
222
设
Q
(
x
,
y
)，
R
(
x
1
,
y
1
)，因为< br>R
是
PQ
的中点，所以
x
1
=
整理得
x
2
+
y
2
=56,这就是所求的轨迹方程
18. 解（1）①当直线
l
垂直于
x
轴时，则此时直线方程为x?1
，
l
与圆的两个交点坐标为
?
1,3
?
和
?
1,?3
?
，其距离为
23
，满足题意
②若 直线
l
不垂直于
x
轴，设其方程为
y?2?k
?
x ?1
?
，
文案

标准
即
kx?y?k?2?0

设圆心到此直线的距离为
d
，则
23?24?d
，得
d?1

2
∴
1?
|?k?2|
k
2
?1
，
k?
3
，
4
故所求直线方程为
3x?4y?5?0

综上所述，所求直线为
3x?4y?5?0
或
x?1

（ 2）设点
M
的坐标为
?
x
0
,y
0
?，
Q
点坐标为
?
x,y
?

则
N
点坐标是
?
0,y
0
?

uuuruuuuruuur
∵
OQ?OM?ON
，
∴
?
x,y
?
?
?
x
0
,2y
0
?< br> 即
x
0
?x
，
y
0
?
y

2
y
2
?4

又∵
x?y?
4
，∴
x?
4
2
0
2
0
2
由已知，直线m ox轴，所以，
y?0
，
y
2
x
2
??1(y?0)

∴
Q
点的轨迹方程是
164
19．解：（1）设
P(2a,a)(0?a?2).






QM(0,2),MP?5,?(2a)< br>2
?(a?2)
2
?5.

解得
a?1
或
a??
（舍去）.
?P(2,1).

由题意知切线
PA
的斜率存在，设斜率为
k
.
所以直线< br>PA
的方程为
y?1?k(x?2)
，即
kx?y?2k?1?0.< br>
Q
直线
PA
与圆
M
相切，
?
1< br>5
|?2?2k?1|
1?k
2
4
?1
，解得
k?0
或
k??.

3

?
直线
PA< br>的方程是
y?1
或
4x?3y?11?0.

（2）设
P(2a,a)(t?2a?t?4).

文案

标准
QPA
与圆
M
相切于点
A
，
?PA?MA.

?
经过
A,P,M
三点的圆的圆心
D
是线段
MP
的中点.
a
QM(0,2),?D
的坐标是
(a,?1).

2a5524
设
DO
2
?f(a).?f(a)?a
2
? (?1)
2
?a
2
?a?1?(a?)
2
?.
< br>24455
t24
t5t
当
??
，即
t??
时，
f(a)
min
?f()?t
2
??1;

2 55
2162
t2t24424
当
????2
，即
??t? ?
时，
f(a)
min
?f(?)?;

2525555< br>24
t2
当
?2??
，即
t??
时
525
t5tt15
f(a)
min
?f(?2)?(?2)
2< br>?(?2)?1?t
2
?3t?8

242216
4
?
1
2
5t?8t?16,t??
?
45
?
4?
2524
,??t??
则
L(t)?
?

5 55
?
24
?
1
2
5t?48t?128,t??
?
45
?
20．解：（1）设M(
a
，
ka
)，N (
b
，-
kb
)，(
a>
0，
b>
0)。
则|OM|=
a1?k
，|ON|=
b1?k
。
由动点P在∠AOx的部，得0<
y
<
kx
.
∴|PM| =
22
|kx?y|
1?k
2
=
kx?y
1?k< br>2
，|PN |=
|kx?y|
1?k
2
=
kx?y
1?k
2

∴
S
四边形ONPM
?S
?O NP
?S
OPN
?
1
（|OM|·|PM|+|ON|·|PN|）
2
11
=[
a
(
kx
-
y
)+< br>b
(
kx
+
y
)]=[
k
(
a+
b
)
x
- (
a
-
b
)
y
]=
k

22∴
k
(
a
+
b
)
x
-(
a
-
b
)
y
=2
k
①
又由
k
PM
= -
分别解得
a?
1y?ka1y?kb
=，
k
PN
==，
kx?akx?b
x?kyx?ky
，，代 入①式消
a
、
b
，并化简得
x
2
-
y2
=
k
2
+1。
b?
22
1?k1?k
∵
y
>0，∴
y?x
2
?k
2
?1

文案

标准
（2）由0<
y
<
kx
，得 0<
x
2
?k
2
?1
<
k
x
?
22
?
?
x?k?1?0
?
2222
?
?
x?k?1?kx
?
?
?
x?k
2
?1
(*)
?
222
?
?
(1?k)x?k?1　　②
当k= 1时，不等式②为0<2恒成立，∴(*)
?
x>
2
。
k
2
?1
1?k
4
1?k
4
2
当0x?
，
x?
，∴(*)
?
k?1
?x?< br>。
1?k
2
1?k
2
1?k
2
2
k
2
?1
k
2
?1
当k>1时，由不等式②得
x?
，且
?0
，∴(*)
?
x?k
2
?1
< br>2
2
1?k
1?k
2
但垂足N必须在射线OB上，否则O、N 、P、M四点不能组成四边形，
所以还必须满足条件：
y?
2
1
1
x
，将它代入函数解析式，得
x
2
?k
2
?1?x

k
k
kk
4
?1
解得
k?1
? x?
(k>1).
k
2
?1
综上：当k=1时，定义域为{x|x>
2
}；
1?k
4
当0k?1
?x?
} ;
1?k
2
2
kk
4
?1
当k>1时，定义域为 {x|
k?1
?x?
}.
k
2
?1
2



文案