高中数学考试反思300字左右-学高中数学免费软件下载
直线与圆
高考定位 高考对本内容的考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有
关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题),此类问题难度属于中等,
一般以填空题的
形式出现,有时也会出现解答题,多考查其几何图形的性质或
方程知识.多为B级或C级要求.
真 题 感 悟
1.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系
xOy<
br>中,以点(1,0)为圆心且与直线
mx
-
y
-2
m
-1=0(
m
∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.
解析 直线
mx
-
y
-2
m
-1=0恒过定点(2
,-1),由题意,得半径最大的圆的
半径
r
=(1-2)
2
+(0
+1)
2
=2.
故所求圆的标准方程为(
x
-1)
2+
y
2
=2.
答案
(
x
-1)
2
+
y
2
=2
2.(201
7·江苏卷)在平面直角坐标系
xOy
中,
A
(-12,0),
B<
br>(0,6),点
P
在圆
O
:
x
2
+
y
2
=50上.若
→
PA
·
→
PB
≤20
,则点
P
的横坐标的取值范围是________.
解析 设点
P
(
x
,
y
),且
A
(-12,0),
B
(
0,6),
→
=(-12-
x
,-
y
)·(-
x
,6-
y
)=
x
(12+
x
)+则
→PA
·
PB
y
(
y
-6)≤20,又
x
2
+
y
2
=50,
∴2
x
-
y
+5≤0,则点
P
在直线2
x
-
y
+5=0上方的圆弧<
br>上(含交点).
?
y
=2
x
+5,
联立
?
2
解得
x
=-5或
x
=1,
2
?
x
+
y
=50,
结合图形知,-52≤
x
≤1.
故点
P
横坐标的取值范围是[-52,1].
答案 [-52,1] 3.(2016·江苏卷)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,已知以
M
为圆心的圆
M
:
x
2
+
y
2
-12
x
-14
y
+60=0及其上一点
A
(2,4).
(1)设圆
N
与
x
轴相切,与圆
M
外切,且圆心
N
在直线
x
=6上,求圆
N
的标准
方程;
(2)设平行于
OA
的直线
l
与圆
M相交于
B
,
C
两点,且
BC
=
OA
,
求直线
l
的方程;
→
+
TP
→
=
→(3)设点
T
(
t
,0)满足:存在圆
M
上的两点P
和
Q
,使得
TATQ
,求实数
t
的取值范围
.
解 (1)圆
M
的方程化为标准形式为(
x
-6)
2<
br>+(
y
-7)
2
=25,
圆心
M
(6,7),半径
r
=5,
由题意,设圆
N
的方程为(
x
-6)
2
+(
y
-
b)
2
=
b
2
(
b
>0).
且(6-
6)
2
+(
b
-7)
2
=
b
+5. 解得
b
=1,∴圆
N
的标准方程为(
x
-6)
2
+(
y
-1)
2
=1.
(2)∵
k
O
A
=2,∴可设直线
l
的方程为
y
=2
x
+
m
,
即2
x
-
y
+
m
=0.
又
BC
=
OA
=2
2
+4
2
=25.
由题意,圆
M
的圆心
M
(6,7)到直线
l
的距离
为
d
=
即
?
BC
?
2
5-
??
=25-5=25.
?
2
?
2
|2×6-7+
m
|
=25,
2
2
+(-1)
2
解得
m
=5或
m
=-15.
∴直线
l
的方程为
y
=2
x
+5或
y
=2
x
-15.
→
+
→
(3)由TATP
=
→
TQ
,则四边形
AQPT
为平行四边形,
又∵
P
,
Q
为圆
M
上的两点,∴
PQ≤2
r
=10.
∴
TA
=
PQ
≤10,即(
t
-2)
2
+4
2
≤10,
解得2-221≤
t
≤2+221.
故所求
t
的范围为[2-221,2+221].
考 点
整 合
1.两直线平行或垂直
(1)两条直线平行:对于两条不重合的直线
l1
,
l
2
,其斜率分别为
k
1
,
k<
br>2
,则有
l
1
∥
l
2
?
k
1
=
k
2
.特别地,当直线
l
1
,
l2
的斜率都不存在且
l
1
与
l
2
不重合时,<
br>l
1
∥
l
2
.
(2)两条直线垂直:对于两条直线
l
1
,
l
2
,其斜率分别为
k
1
,
k
2
,则有
l
1
⊥
l
2
?k
1
·
k
2
=-1.特别地,当
l
1
,
l
2
中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的
斜率为零时,
l<
br>1
⊥
l
2
.
2.圆的方程
(1)圆的标准方程:
(
x
-
a
)
2
+(
y
-
b
)
2
=
r
2
(
r
>0),圆心为(
a<
br>,
b
),半径为
r
.
(2)圆的一般方程:
x2
+
y
2
+
Dx
+
Ey
+
F
=0(
D
2
+
E
2
-4
F
>0)
,圆心为
E
?
D
2
+
E
2
-4
F
?
D
?
-,-
?
,半径为
r
=;对于二元
二次方程
Ax
2
+
Bxy
+
Cy
2
+Dx
+
2
?
2
?
2
?
B
=0
,
Ey
+
F
=0表示圆的充要条件是
?
A
=
C
≠0,
?
D
+
E
-4
AF
>0.
22
3.直线方程的五种形式中只有一般式可以表示所有的直线.在利用直线方程的其他形式解题时,一定要注意它们表示直线的局限性.比如,根据“在两坐标
轴上的截距相等”这个
条件设方程时一定不要忽略过原点的特殊情况.而题中
给出直线方程的一般式,我们通常先把它转化为斜
截式再进行处理.
4.处理有关圆的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到,利用圆的一些特殊几何性质
解题,往往使问题简化
.
5.直线与圆中常见的最值问题
(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值.
(2)直线与圆相离,圆上任一点到直线的距离的最值.
(3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值.
(4)直线与圆相离,过直线上一点作圆的切线,切线长的最小值问题.
(5)两圆相离,两圆上点的距离的最值.
热点一
直线与圆的基本问题
[命题角度1] 求圆的方程
【例1-1】 (2016·天津卷)已
知圆
C
的圆心在
x
轴的正半轴上,点
M
(0,5)
在圆
C
上,且圆心到直线2
x
-
y
=0的距离为
4
5
,则圆
C
的方程为________.
5
解析 因为圆
C
的圆心在
x
轴的正半轴上,设
C
(
a
,0),且
a
>0,所以圆心到
直线2
x
-
y
=0的距离d
=
2
a
45
=,解得
a
=2,所以圆
C
的半径
r
=
CM
=4+5
5
5
=3,
所以圆
C
的方程为(
x
-2)
2
+
y
2<
br>=9.
答案
(
x
-2)
2
+
y
2
=9
探究提高 求
具备一定条件的圆的方程时,其关键是寻找确定圆的两个几何要
素,即圆心和半径,待定系数法也是经常
使用的方法,在一些问题中借助平面
几何中关于圆的知识可以简化计算,如已知一个圆经过两个点时,其
圆心一定
在这两点连线的垂直平分线上,解题时要注意平面几何知识的应用.
[命题角度2]
圆的切线问题
【例1-2】 (1)在平面直角坐标系中,
A
,
B
分别是
x
轴和
y
轴上的动点,若以
AB
为直径的圆
C
与直线2
x
+
y
-4=0相切,则圆
C
面积的最
小值为________.
(2)若⊙
O
:
x
2
+
y
2
=5与⊙
O
1
:(
x
-
m
)
2
+
y
2
=20(
m
∈R)相交于
A<
br>,
B
两点,且两圆
在点
A
处的切线互相垂直,则线段
AB
的长度是________.
解析 (1)由题意可知以线段
AB
为直
径的圆
C
过原点
O
,要使圆
C
的面积最小(
D为切点),只需圆
C
的半径或直径最小,又圆
C
与直线2
x+
y
-4=0相切,所以
由平面几何知识,当
OC
所在直线与<
br>l
垂直时,
OD
最小(
D
为切点),即圆
C
的直
径最小,则
OD
=
|2×0+0-4|42
=,所以圆的半径为
,圆
C
的面积的最小
555
4
值为
S
=π
r
2
=π.
5
(2)依题意得△
OO
1<
br>A
是直角三角形,
∴
OO
1
=5+20=5,
1
AB
1
S
△
OO
1
A
=··
OO
1
=·
OA
·
AO
1
,
222
因此
AB
=
2·
OA
·
AO
1
=
2×5×25
=4.
5
OO
1
4
答案 (1)π
(2)4
5
探究提高 (1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直,圆心到切线<
br>的距离等于半径”建立切线斜率的等式,所以求切线方程时主要选择点斜式.
(2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离,利用勾股定理处理.
[命题角度3]
与圆有关的弦长问题
【例1-3】 (2015·全国Ⅰ卷改编)过三点
A
(1,3
),
B
(4,2),
C
(1,-7)的圆
交
y
轴于
M
,
N
两点,则
MN
=________.
解析
由已知,得
→
AB
=(3,-1),
→
BC
=(-3,-9
),
→
=3×(-3)+(-1)×(-9)=0, 则
→
AB
·
BC
所以
→
AB
⊥
→
BC
,即
A
B
⊥
BC
,
故过三点
A
,
B
,
C
的圆以
AC
为直径,
得其方程为(
x
-1)
2
+(
y
+2)
2
=25,
令
x
=0得(
y
+2)
2
=24,
解得
y
1
=-2-26,
y
2
=-2+26, <
br>所以
MN
=|
y
1
-
y
2
|=46
.
答案 46
探究提高 涉及直线被圆截得的弦长问题,一般有两种求解方法:一是利用半
?
l
?
2
径
r
,弦心距
d
,弦长
l
的一半构成直角三角形,结合勾股定理
d
+
??
=
r
2
求
?
2
?
2
解;二是若斜率为
k<
br>的直线
l
与圆
C
交于
A
(
x
1,
y
1
),
B
(
x
2
,
y<
br>2
)两点,则
AB
=
1+
k
|
x
1
-
x
2
|.
【训练1】 (2016·全国Ⅰ卷)
设直线
y
=
x
+2
a
与圆
C
:
x
2
+
y
2
-2
ay
-2=0相交
于
A
,
B
两点,若
AB
=23,则圆
C
的面积为_
_______.
解析 圆
C
:
x
2
+
y
2
-2
ay
-2=0,即
C
:
x
2
+(
y
-
a
)
2
=
a
2
+2,圆心为
C
(0,
a
),
|0-
a
+2
a
||
a
|
半径
r
=
a
+2,
C
到
直线
y
=
x
+2
a
的距离为
d
==.又由
AB
=
22
2
2
?
23
?
2?
|
a
|
?
2
?
+
??
=<
br>a
2
+2,解得
a
2
=2,所以圆的面积为π(
a<
br>2
+2)=23,得
?
?
2
??
2
?
4π.
答案 4π
热点二 直线与圆、圆与圆的位置关系
【例2】 已知过原
点的动直线
l
与圆
C
1
:
x
2
+
y
2
-6
x
+5=0相交于不同的两点
A
,
B
.
(1)求圆
C
1
的圆心坐标;
(2)求线段
AB
的中点
M
的轨迹
C
的方程; <
br>(3)是否存在实数
k
,使得直线
L
:
y
=
k
(
x
-4)与曲线
C
只有一个交点?若存
在,求出
k
的取值范围;若不存在,说明理由.
解 (1)由
x
2
+y
2
-6
x
+5=0,得(
x
-3)
2
+
y
2
=4,
所以圆
C
1
的圆心坐标为(3,0).
(2)设线段
AB
的中点
M
的坐标为(
x
,
y
),
①当线
段
AB
不在
x
轴上时,有
C
1
M
⊥
AB
,
则
k
C
1
M
·
k
AB
=-1,即
y
x
-3
x
y
·=-1,
3
?
2
9
?
整理得
?
x
-
?
+
y
2
=,
2
?
4
?
5
又当
直线
l
与圆
C
1
相切时,易求得切点的横坐标为.
3
所以此时
M
的轨迹
C
的方程为
3
?
2
9
?
5
??
2
x
-
??
+
y
=
?
<
x
<3
?
.
2
?
4
?
3
??
3
?
2
9
?
②当线段
AB
在
x
轴上时,点
M
的坐
标为(3,0),也满足式子
?
x
-
?
+
y
2=.
2
?
4
?
综上,线段
AB
的中点
M
的轨迹
C
的方程为
3
?
2
9
?5
??
?
x
-
?
+
y
2
=<
br>?
<
x
≤3
?
.
2
?
4
?
3
??
3
?
3
?
,0
?
为圆心
,
r
=为半径的部分圆弧
EF
(如图所(3)由(2)知点
M
的轨迹是以
C
?
2
?
2
?
示,不包括两端点),
?
525
??
525
?
?
,
F
?
,-
?
. 且
E
?
,
3
?3
??
3
?
3
又直线
L
:
y
=
k
(
x
-4)过定点
D
(4,0),当直线
L<
br>与圆
C
相切时,
??
3
??
?
k
?
-4
?
-0
?
3
??
2
??
3
由
2
=,得
k
=±,
4
k
+(-1)<
br>2
2
?
25
?
?
0-
?
-
3
25
??
又
k
DE
=-
k
DF
=-=-,
57
4-
3
结合如图可知当
只有一个交点.
探究提高 此类题易失分点有两处:一是不会适时分类讨论,遇到直线问题,
想用其斜率,定要
注意斜率是否存在;二是数形结合求参数的取值范围时,定
要注意“草图不草”,如本题,画成轨迹C
时,若把端点
E
,
F
画出实心点,借
?
?<
br>33
?
?
?
2525
?
?
?
时,直
线
k
∈
-,
?
∪
?
-,
?
44<
br>?
?
?
77
?
?
L
:
y
=
k
(
x
-4)与曲线
C
形解题时求出的斜率
就会出错.
【训练2】 (1)(2016·山东卷改编)已知圆
M
:
x<
br>2
+
y
2
-2
ay
=0(
a
>0)
截直线
x
+
y
=0所得线段的长度是22,则圆
M
与圆N
:(
x
-1)
2
+(
y
-1)
2<
br>=1的位置关
系是________.
(2)(2017·南京、盐城模拟)在平面直
角坐标系
xOy
中,已知点
P
为函数
y
=2ln
x
的图象与圆
M
:(
x
-3)
2
+
y2
=
r
2
的公共点,且它们在点
P
处有公切线,若二次
函数
y
=
f
(
x
)的图象经过点
O,
P
,
M
,则
y
=
f
(
x
)的最大值为________.
解析 (1)圆
M
:
x
2
+
y
2
-2
ay
=0(
a
>0)可化为
x
2
+(
y
-
a
)
2
=
a
2
,由题意,
d
=
a
,所以有a
2
=+2,解得
a
=2.所以圆
M
:
x2
+(
y
-2)
2
=2
2
,圆心距为2,2
2
a
2
半径和为3,半径差为1,所以两圆相交.
2
(2)设
P
(
x
0
,2ln
x
0
),
x
0
>0,则函数
y
=2ln
x
在点
P
处的切线斜率为,则
x
0
2ln
x
0
·=-1,即为4ln
x
0
=-
x
0
(
x
0
-3)
①.由二次函数
y
=
f
(
x
)的图象经
x
0
x
0
-3
2
过点
O
和
M
可设
f
(
x
)=
ax
(
x
-3),代入点<
br>P
(
x
0
,2ln
x
0
),
x
0
>0,得2ln
x
0
=
ax
0
(
x
0
-3)
②.由①②比较可得
a
=-,则
f
(
x
)=-
x
(
x
-3),则
f
(
x
)
max
=
?
3
?
?
2<
br>?
1
2
3
2
?
3
?
?
2<
br>?
9
8
1
2
1
2
f
??
=-××
?
-
?
=.
9
答案
(1)相交 (2)
8
热点三 直线、圆与其他知识的交汇问题
【例3】 如图,
在平面直角坐标系
xOy
中,已知点
A
为椭圆
x
2
9
2
y
2
+=1的右顶点,点
D
(1,0),点
P
,
B
在椭圆上,
→
BP
=
→
DA
.
9
(1)求直线
BD
的方程;
(2)求直线
BD被过
P
,
A
,
B
三点的圆
C
截得的弦
长;
(3)是否存在分别以
PB
,
PA
为弦的两个
相外切的等圆?若存在,求出这两个圆
的方程;若不存在,请说明理由.
解 (1)因为→
BP
=
→
DA
且
A
(3,0),所以
BP
=
DA
=2,而
B
,
P
关于
y轴对称,所以
点
P
的横坐标为1,
从而得
P
(1,2),
B
(-1,2),
所以直线
BD
的方程为
x
+
y
-1=0.
(2)线段
BP
的垂直平分线方程为
x
=0,线段
AP
的
垂直平分线方程为
y
=
x
-1,
所以圆
C
的圆心为
(0,-1),且圆
C
的半径为
r
=10,又圆心(0,-1)到直线
BD
的距离为
d
=2,所以直线
BD
被圆
C
截得
的弦长为2
r
2
-
d
2
=42.
(3)假设存在
这样的两个圆
M
与圆
N
,其中
PB
是圆
M
的弦,
PA
是圆
N
的弦,则
点
M
一定在
y
轴上,点
N
一定在线段
PA
的垂直平分线
y
=x
-1上,当圆
M
和圆
N
是两个相外切的等圆时,一定有
P
,
M
,
N
在一条直线上,且
PM
=
P
N
.
设
M
(0,
b
),则
N
(2,4-
b
),
根据
N
(2,4-
b
)在直线
y
=
x
-1上,
解得
b
=3.所以
M
(0
,3),
N
(2,1),
PM
=
PN
=2,故存在这样的两
个圆,且方
程分别为
x
2
+(
y
-3)
2
=2,(
x
-2)
2
+(
y
-1)
2
=2
.
探究提高 求圆中弦长问题,多用垂径定理,先计算圆心到直线的距离,再利
用弦长公式<
br>AB
=2
r
2
-
d
2
;求圆的方程问题常见
于找出圆心和半径,对于两圆
的位置关系则多借助于几何关系进行判定.
x
2
y
2
【训练3】 已知椭圆
E
:
2<
br>+
2
=1(
a
>
b
>0)的半焦距为
c,
ab
1
原点
O
到经过两点(
c
,0),(0
,
b
)的直线的距离为
c
.
2
(1)求椭圆
E
的离心率;
5
(2)如图,
A
B
是圆
M
:(
x
+2)
2
+(
y
-1)
2
=的一条直径,若椭圆
E
经过
A
,
B两
2
点,求椭圆
E
的方程.
解 (1)过点(
c,0),(0,
b
)的直线方程为
bx
+
cy
-
bc
=0,
bcbc
则原点
O
到该直线的距离<
br>d
=
2
=,
b
+
c
2
a
1
c
3
由
d
=
c
,得
a
=2b
=2
a
2
-
c
2
,解得离心率=.
2
a
2
(2)由(1)知,椭圆
E
的方程为
x
2
+4
y
2
=4
b
2
,①
依题意,点A
,
B
关于圆心
M
(-2,1)对称,且
AB
=10,设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
22222
y
2
),则
x
2
1
+4
y
1
=4
b
,
x<
br>2
+4
y
2
=4
b
,两式相减并结合
x1
+
x
2
=-4,
y
1
+
y
2
=2,
得-4(
x
1
-
x
2
)+8(
y
1
-
y
2
)=0,
易知
AB
与
x
轴不垂直,则
x
1
≠
x
2
,
所以
AB
的斜率
k
AB
=
y
1
-
y
2
1
=,
x
1
-
x
2
2<
br>1
因此直线
AB
的方程为
y
=(
x
+2)+
1,
2
代入①得
x
2
+4
x
+8-2
b
2
=0,
解方程后易得:
x
1,2
=-2±2
b
2
-4,
于是
AB
=
?
1
?
2
1+
??
|
x
1
-
x
2
|
?
2
?
=10(
b
2
-2).
由
AB
=10,得10(
b
2
-2)=10,解得
b
2=3,
故椭圆
E
的方程为
1.由于直线方程有多
种形式,各种形式适用的条件、范围不同,在具体求直线
方程时,由所给的条件和采用的直线方程形式所
限,可能会产生遗漏的情况,
尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况.
2.确定圆的方程时,常用到圆的几个性质:
(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三
角形(半弦长、弦心距、圆半
x
2
12
+=1.
3
y
2
径);
(2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
(3)圆心在任一弦的中垂线上;
(4)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线;
(5)圆的对称性:圆关于圆心成中心对称,关于任意一条过圆心的直线成轴对
称.
3.直线与圆中常见的最值问题
圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以转化为圆心到点的
距离问题;圆上
的点与直线上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到直线的距离问题;圆上
的
点与另一圆上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到圆心的距离问题.
4.两圆相交,将两圆方程联
立消去二次项,得到一个二元一次方程即为两圆公
共弦所在的直线方程.
一、填空题
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________.
解析 因为圆心为(1,1)且过原点,所以该圆的半径
r
=1
2
+
1
2
=2,则该圆
的方程为(
x
-1)
2
+(y
-1)
2
=2.
答案
(
x
-1)
2
+(
y
-1)
2
=2 2.(2014·江苏卷)在平面直角坐标系
xOy
中,直线
x
+2y
-3=0被圆(
x
-2)
2
+
(
y
+1)
2
=4截得的弦长为________.
解析
圆心为(2,-1),半径
r
=2.
圆心到直线的距离
d
=
|2+2×(-1)-3|35
=,
5
1+4
?
35
?
2
255
?
=2-<
br>?
.
5
5
??
2
所以弦长为2
r
-
d
=2
255
5
22
答案
<
br>3.(2017·南京、盐城模拟)过点
P
(-4,0)的直线
l
与圆
C
:(
x
-1)
2
+
y
2
=5相
交于
A
,
B
两点,若点
A
恰好是线段
PB
的中点,则直线
l
的方程为________.
解析 设
AB的中点为点
D
,则
CD
⊥
AB
,设
CD
=
d
,
AD
=
x
,则
PA
=
A
B
=2
x
,在
直角三角形
ACD
中,由勾股定理得
d
2
+
x
2
=
r
2
=5.在直角三角形<
br>PDC
中,由勾股
5
定理得
d
2
+9
x2
=
CP
2
=25,解得
d
2
=.易知直线<
br>l
的斜率一定存在,设为
k
,则
2
|5
k
|
10
l
:
y
=
k
(
x
+4),圆心
C
(1,0)到直线
l
的距离为
d
=
2
=,解得
k
2
=
2
k
+1
111
,
k=±,所以直线
l
的方程为
y
=±(
x
+4),即为<
br>x
±3
y
+4=0.
933
答案
x
±3
y
+4=0
4.(2017·宿迁模拟)已知
A<
br>,
B
是圆
C
1
:
x
2
+
y
2
=1上的动点,
AB
=3,
P
是圆
C
2
:(
x
-3)
2
+(
y
-4)
2
=1上的动点,则|
→
PA
+
→
PB
|的取值范围为___
_____.
解析 设
AB
的中点为
C
,由垂径定理可得
CC
1
⊥
AB
,则
CC
1
=
?
3
?
2
1
1-
??
=,
2
?
2?
1113
22
即点
C
的轨迹方程是
x
+y
=,
C
1
C
2
=3+4=5,则
PC
max
=5+1+=,
PC
min
422
22
17
→
+
→
=5-1-=,所以|
PAPB
|=|2
→
PC
|∈[7,13].
22
答案 [7,13]
5.已知圆
C
1
:(
x
-2)
2
+(
y
-3)
2
=1,圆
C
2
:(
x
-3)
2
+(<
br>y
-4)
2
=9,
M
,
N
分别是
圆
C
1
,
C
2
上的动点,
P
为
x<
br>轴上的动点,则
PM
+
PN
的最小值为________.
解析 由条件可知,两圆的圆心均在第一象限,先求
PC
1
+
PC<
br>2
的最小值,作点
C
1
关于
x
轴的对称点
C
1
′(2,-3),则(
PC
1
+
PC
2
)
min
=
C
1
′
C
2
=52.
所以(
PM
+
PN
)
min
=52-4.
答案 52-4
6.(2016·全国Ⅲ卷)已知直线
l
:
mx<
br>+
y
+3
m
-3=0与圆
x
2
+
y
2
=12交于
A
,
B
两点,过
A<
br>,
B
分别做
l
的垂线与
x
轴交于
C
,
D
两点,若
AB
=23,则
CD
=
______
__.
解析 设
AB
的中点为
M
,由题意知,圆的半径
R
=23,
AB
=23,所以
OM
=
?
x
-
3
y
+6=0,
3
3,解得
m
=-,由
?
2
解得
A
(-3, 3),
B
(0,23),则
AC
2
3
?
x
+
y
=12
的直线方程为
y<
br>-3=-3(
x
+3),
BD
的直线方程为
y
-23
=-3
x
,令
y
=
0,解得
C
(-2,0),D
(2,0),所以
CD
=4.
答案 4
x
2y
2
7.(2017·江西七校第二次联考)过双曲线
2
-
2<
br>=1(
a
>0,
b
>0)的左焦点
F
作
ab
1
2
1
→→
圆
x
+
y
=
a
的切线,切点为
E
,直线
EF
交双曲线右支于点
P
,若
OE
=(
OF
+
42
22
→
OP<
br>),则双曲线的离心率是________.
1
→→
解析 如图,∵
→
OE
=(
OF
+
OP
),∴
E
为
FP
的中点,
2
又
O
为
FF
′的中点,∴OE
为△
PFF
′的中位线,
1
∴
OE
∥<
br>PF
′,
OE
=
PF
′,
2
1
∵
OE
=
a
,∴
PF
′=
a
,
2
∵
PF
切圆
O
于
E
,∴
OE
⊥<
br>PF
,∴
PF
′⊥
PF
,
∵
FF
′=2
c
,
PF
-
PF
′=2
a
,
∴
PF
=2
a
+
a
=3
a
, <
br>∴由勾股定理得
a
2
+9
a
2
=4
c
2
,
∴10
a
2
=4
c
2
,∴
e
==
10
2
c
a
10
.
2
答案
8.直线2
ax
+
by
=
1与圆
x
+
y
=1相交于
A
,
B
两点(其
中
a
,
b
是实数),且
△
AOB
是直角三角形(<
br>O
是坐标原点),则点
P
(
a
,
b
)与点(
0,1)之间距离的最小
值为________.
解析 根据题意画出图形,如图所示,过点
O
作
OC
⊥
AB
于
C
,因为△
A
OB
为等腰直角三角形,所以
C
为
弦
AB
的中点,又
OA
=
OB
=1,根据勾股定理得
AB
=
2,
12
∴
OC
=
AB
=.
22
∴圆心到直线的距离为
12
=,
2
a
2+
b
2
2
22
1
即2
a
2
+
b
2
=2,即
a
2
=-
b
2
+1
≥0.
2
∴-2≤
b
≤2.则点
P
(
a
,
b
)与点(0,1)之间距离
d
=(
a
-0)
2
+(
b
-1)
2
=
a
2
+
b2
-2
b
+1=
1
2
b
-2
b
+2.
2
11
设
f
(
b
)=
b2
-2
b
+2=(
b
-2)
2
,此函数为对称
轴为
b
=2的开口向上的抛物
22
线,∴当-2≤
b
≤2<
2时,函数为减函数.
∵
f
(2)=3-22,∴
d
的最小值为
3-22=(2-1)
2
=2-1.
答案 2-1
二、解答题
9.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点
A
(0,1)且斜率为
k
的直线
l
与圆
C
:(
x
-2)
2
+(
y
-3)
2
=1交于
M
,
N
两点.
(1)求
k
的取值范围;
→
·
→
(2)若
OMON
=12,其中
O
为坐标原点,求
MN
.
解
(1)由题设,可知直线
l
的方程为
y
=
kx
+1,
因为
l
与
C
交于两点,
|2
k
-3+1|
所以<1.
2
1+
k
解得
4-74+7
<
k
<.
33
?
4-74+7
?
?
. 所以
k
的取
值范围为
?
,
33
??
(2)设
M
(
x<
br>1
,
y
1
),
N
(
x
2
,
y
2
).
将
y
=
kx
+1代入方程(<
br>x
-2)
2
+(
y
-3)
2
=1,整理得
(1+
k
2
)
x
2
-4(1+
k
)
x
+7=0.
解方程易得:
x
1
+
x
2
=
→
OM
·
→
ON
=
xx
+<
br>yy
1212
4(1+
k
)7
,
x
1
x
2
=.
2
1+
k
1+
k
2
=(1+
k
2
)
x
1
x
2
+<
br>k
(
x
1
+
x
2
)+1=
4
k
(1+
k
)
+8.
1+
k
2
4k
(1+
k
)
由题设可得+8=12,解得
k
=1,
1+
k
2
所以
l
的方程为
y
=
x
+1.
故圆心
C
在
l
上,所以
MN
=2.
10
.(2013·江苏卷)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,点
A
(0,3),直线
l
:
y
=2
x
-4.设圆
C
的半径为1,圆心在
l
上.
(1)若圆心
C
也在直线
y
=
x
-1上,过点
A
作圆
C
的切线,求切线
的方程;
(2)若圆
C
上存在点
M
,使
MA
=
2
MO
,求圆心
C
的横坐标
a
的取值范围.
解
(1)由题设,圆心
C
是直线
y
=2
x
-4和
y<
br>=
x
-1的交点,解得点
C
(3,2),
于是切线的斜率必存
在.
设过
A
(0,3)的圆
C
的切线方程为
y
=
kx
+3,
|3
k
+1|3
由题意,得=1,解得
k
=0或-, 4
k
2
+1
故所求切线方程为
y
=3或
3
x
+4
y
-12=0.
(2)因为圆心在直线
y
=2
x
-4上,
所以圆
C
的方程为(
x
-
a
)
2
+[
y
-2(
a
-2)]
2
=1.
设点
M
(
x
,
y
),因为
MA
=2
MO
,
所以
x
2
+(
y
-3)
2
=2
x
2
+
y
2
,
化简得
x
2+
y
2
+2
y
-3=0,即
x
2
+(
y
+1)
2
=4,
所以点
M
在以
D
(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.
由题意,点
M
(
x
,
y
)在圆
C
上,所以
圆
C
与圆
D
有公共点,则|2-1|≤
CD
≤2+
1,
即1≤
a
2
+(2
a
-3)
2
≤3.
整理得-8≤5
a
2
-12
a
≤0.
由5
a
2
-12
a
+8≥0,得
a
∈R;
由5
a
2
-12
a
≤0,得0≤
a
≤12
.
5
12
??
所以点
C
的横坐标
a
的取值范围是
?
0,
?
.
5
??
11.已知双曲线
x
-=1.
3
(1)若
一椭圆与该双曲线共焦点,且有一交点
P
(2,3),求椭
圆方程.
(2)
设(1)中椭圆的左、右顶点分别为
A
,
B
,右焦点为
F
,
直线
l
为椭圆的右准
线,
N
为
l
上的一动点,且在
x
轴上方,直线
AN
与椭圆交于点
M
.若
AM=
MN
,求
∠
AMB
的余弦值;
(3)设过
A
,
F
,
N
三点的圆与
y
轴交于
P
,
Q
两点,当线段
PQ
的中点为(0,9)
时,求这个圆的方程.
解 (1)∵双曲线焦点为(±2,0),
2
y
2
x
2<
br>y
2
设椭圆方程为
2
+
2
=1(
a
>
b
>0).
ab
?
则
?
49<
br>?
a
+
b
=1.
22
a
2
-
b
2
=4,
∴
a
2
=16,
b
2
=12.
故椭圆方程为
x
2
16
+=1.
12
y
2
(2)由已知,
A
(-4,0),
B
(4,0),<
br>F
(2,0),直线
l
的方程为
x
=8.设
N
(8,
t
??
t
)(
t
>0).∵
AM
=
MN
,∴
M
?
2,
?
.
?
2
?
由点
M
在椭圆上,得
t
=6.
故所求的点
M
的坐标为
M
(2,3).
所以
→<
br>MA
=(-6,-3),
→
MB
=(2,-3),
→
MA
·
→
MB
=-12+9=-3.
-365
cos∠
AMB
===-.
→→65
36+9·
4+9
|
MA
|·|
MB
|
(3)设圆的方程为
x
2
+
y
2
+
Dx
+
Ey
+
F
=0(
D
2
+
E
2
-4
F
>
0),将
A
,
F
,
N
三点坐标
代入,得
→
MA
·
→
MB
D
=2,
?
?
?
72
4+2
D
+
F
=0,
得
?
E
=-
t
-,
?
t
?
64+
t<
br>+8
D
+
Et
+
F
=0,
?
?F
=-8.
16-4
D
+
F
=0,
2
72
?
72
???
圆的方程为
x
2
+
y<
br>2
+2
x
-
?
t
+
?
y
-
8=0,令
x
=0,得
y
2
-
?
t
+?
y
-8=0.
t
?
t
???
设
P
(0,
y
1
),
Q
(0,
y
2
)
,则
y
1,2
=
t
+±
t
72
?
72
?
2
?
t
+
?
+32
t
?
?
.
2
72
=18, 由线段
PQ
的中点为(0,9),
得
y
1
+
y
2
=18,
t
+
t<
br>此时,所求圆的方程为
x
2
+
y
2
+2
x<
br>-18
y
-8=0.
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