高三 直线与圆专题

直线与圆
高考定位 高考对本内容的考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有
关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，
一般以填空题的 形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或
方程知识.多为B级或C级要求.

真 题 感 悟
1.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系
xOy< br>中，以点(1，0)为圆心且与直线
mx
－
y
－2
m
－1＝0(
m
∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.
解析 直线
mx
－
y
－2
m
－1＝0恒过定点(2 ，－1)，由题意，得半径最大的圆的
半径
r
＝（1－2）
2
＋（0 ＋1）
2
＝2.
故所求圆的标准方程为(
x
－1)
2＋
y
2
＝2.
答案 (
x
－1)
2
＋
y
2
＝2
2.(201 7·江苏卷)在平面直角坐标系
xOy
中，
A
(－12，0)，
B< br>(0，6)，点
P
在圆
O
：
x
2
＋
y
2
＝50上.若
→
PA
·
→
PB
≤20 ，则点
P
的横坐标的取值范围是________.
解析 设点
P
(
x
，
y
)，且
A
(－12，0)，
B
( 0，6)，
→
＝(－12－
x
，－
y
)·(－
x
，6－
y
)＝
x
(12＋
x
)＋则
→PA
·
PB
y
(
y
－6)≤20，又
x
2
＋
y
2
＝50，
∴2
x
－
y
＋5≤0，则点
P
在直线2
x
－
y
＋5＝0上方的圆弧< br>上(含交点).
?
y
＝2
x
＋5，
联立
?
2
解得
x
＝－5或
x
＝1，
2
?
x
＋
y
＝50，
结合图形知，－52≤
x
≤1.
故点
P
横坐标的取值范围是[－52，1].
答案 [－52，1] 3.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知以
M
为圆心的圆
M
：
x
2
＋
y
2
－12
x
－14
y
＋60＝0及其上一点
A
(2，4).

(1)设圆
N
与
x
轴相切，与圆
M
外切，且圆心
N
在直线
x
＝6上，求圆
N
的标准
方程；
(2)设平行于
OA
的直线
l
与圆
M相交于
B
，
C
两点，且
BC
＝
OA
， 求直线
l
的方程；
→
＋
TP
→
＝
→(3)设点
T
(
t
，0)满足：存在圆
M
上的两点P
和
Q
，使得
TATQ
，求实数
t
的取值范围 .
解 (1)圆
M
的方程化为标准形式为(
x
－6)
2< br>＋(
y
－7)
2
＝25，
圆心
M
(6，7)，半径
r
＝5，
由题意，设圆
N
的方程为(
x
－6)
2
＋(
y
－
b)
2
＝
b
2
(
b
＞0).
且（6－ 6）
2
＋（
b
－7）
2
＝
b
＋5. 解得
b
＝1，∴圆
N
的标准方程为(
x
－6)
2
＋(
y
－1)
2
＝1.
(2)∵
k
O A
＝2，∴可设直线
l
的方程为
y
＝2
x
＋
m
，
即2
x
－
y
＋
m
＝0.
又
BC
＝
OA
＝2
2
＋4
2
＝25.
由题意，圆
M
的圆心
M
(6，7)到直线
l
的距离 为
d
＝
即
?
BC
?
2
5－
??
＝25－5＝25.
?
2
?
2
|2×6－7＋
m
|
＝25，
2
2
＋（－1）
2
解得
m
＝5或
m
＝－15.
∴直线
l
的方程为
y
＝2
x
＋5或
y
＝2
x
－15.
→
＋
→
(3)由TATP
＝
→
TQ
，则四边形
AQPT
为平行四边形，
又∵
P
，
Q
为圆
M
上的两点，∴
PQ≤2
r
＝10.
∴
TA
＝
PQ
≤10，即（
t
－2）
2
＋4
2
≤10，
解得2－221≤
t
≤2＋221.

故所求
t
的范围为[2－221，2＋221].
考 点 整 合
1.两直线平行或垂直
(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线
l1
，
l
2
，其斜率分别为
k
1
，
k< br>2
，则有
l
1
∥
l
2
?
k
1
＝
k
2
.特别地，当直线
l
1
，
l2
的斜率都不存在且
l
1
与
l
2
不重合时，< br>l
1
∥
l
2
.
(2)两条直线垂直：对于两条直线
l
1
，
l
2
，其斜率分别为
k
1
，
k
2
，则有
l
1
⊥
l
2
?k
1
·
k
2
＝－1.特别地，当
l
1
，
l
2
中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的
斜率为零时，
l< br>1
⊥
l
2
.
2.圆的方程
(1)圆的标准方程： (
x
－
a
)
2
＋(
y
－
b
)
2
＝
r
2
(
r
＞0)，圆心为(
a< br>，
b
)，半径为
r
.
(2)圆的一般方程：
x2
＋
y
2
＋
Dx
＋
Ey
＋
F
＝0(
D
2
＋
E
2
－4
F
＞0) ，圆心为
E
?
D
2
＋
E
2
－4
F
?
D
?
－，－
?
，半径为
r
＝；对于二元 二次方程
Ax
2
＋
Bxy
＋
Cy
2
＋Dx
＋
2
?
2
?
2
?
B
＝0 ，
Ey
＋
F
＝0表示圆的充要条件是
?
A
＝
C
≠0，

?
D
＋
E
－4
AF
＞0.
22
3.直线方程的五种形式中只有一般式可以表示所有的直线.在利用直线方程的其他形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限性.比如，根据“在两坐标
轴上的截距相等”这个 条件设方程时一定不要忽略过原点的特殊情况.而题中
给出直线方程的一般式，我们通常先把它转化为斜 截式再进行处理.
4.处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质
解题，往往使问题简化 .
5.直线与圆中常见的最值问题
(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值.
(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值.
(3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值.
(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题.

(5)两圆相离，两圆上点的距离的最值.


热点一 直线与圆的基本问题
[命题角度1] 求圆的方程
【例1－1】 (2016·天津卷)已 知圆
C
的圆心在
x
轴的正半轴上，点
M
(0，5)
在圆
C
上，且圆心到直线2
x
－
y
＝0的距离为
4 5
，则圆
C
的方程为________.
5
解析 因为圆
C
的圆心在
x
轴的正半轴上，设
C
(
a
，0)，且
a
＞0，所以圆心到
直线2
x
－
y
＝0的距离d
＝
2
a
45
＝，解得
a
＝2，所以圆
C
的半径
r
＝
CM
＝4＋5
5
5
＝3， 所以圆
C
的方程为(
x
－2)
2
＋
y
2< br>＝9.
答案 (
x
－2)
2
＋
y
2
＝9
探究提高 求 具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要
素，即圆心和半径，待定系数法也是经常 使用的方法，在一些问题中借助平面
几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其 圆心一定
在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用.
[命题角度2] 圆的切线问题
【例1－2】 (1)在平面直角坐标系中，
A
，
B
分别是
x
轴和
y
轴上的动点，若以
AB
为直径的圆
C
与直线2
x
＋
y
－4＝0相切，则圆
C
面积的最 小值为________.
(2)若⊙
O
：
x
2
＋
y
2
＝5与⊙
O
1
：(
x
－
m
)
2
＋
y
2
＝20(
m
∈R)相交于
A< br>，
B
两点，且两圆
在点
A
处的切线互相垂直，则线段
AB
的长度是________.
解析 (1)由题意可知以线段
AB
为直 径的圆
C
过原点
O
，要使圆
C
的面积最小(
D为切点)，只需圆
C
的半径或直径最小，又圆
C
与直线2
x＋
y
－4＝0相切，所以
由平面几何知识，当
OC
所在直线与< br>l
垂直时，
OD
最小(
D
为切点)，即圆
C
的直
径最小，则
OD
＝
|2×0＋0－4|42
＝，所以圆的半径为 ，圆
C
的面积的最小
555
4
值为
S
＝π
r
2
＝π.
5

(2)依题意得△
OO
1< br>A
是直角三角形，
∴
OO
1
＝5＋20＝5，
1
AB
1
S
△
OO
1
A
＝··
OO
1
＝·
OA
·
AO
1
，
222
因此
AB
＝
2·
OA
·
AO
1
＝
2×5×25
＝4.
5
OO
1
4
答案 (1)π (2)4
5
探究提高 (1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线< br>的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.
(2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理.
[命题角度3] 与圆有关的弦长问题
【例1－3】 (2015·全国Ⅰ卷改编)过三点
A
(1，3 )，
B
(4，2)，
C
(1，－7)的圆
交
y
轴于
M
，
N
两点，则
MN
＝________.
解析 由已知，得
→
AB
＝(3，－1)，
→
BC
＝(－3，－9 )，
→
＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0， 则
→
AB
·
BC
所以
→
AB
⊥
→
BC
，即
A B
⊥
BC
，
故过三点
A
，
B
，
C
的圆以
AC
为直径，
得其方程为(
x
－1)
2
＋(
y
＋2)
2
＝25，
令
x
＝0得(
y
＋2)
2
＝24，
解得
y
1
＝－2－26，
y
2
＝－2＋26， < br>所以
MN
＝|
y
1
－
y
2
|＝46 .
答案 46
探究提高 涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半
?
l
?
2
径
r
，弦心距
d
，弦长
l
的一半构成直角三角形，结合勾股定理
d
＋
??
＝
r
2
求
?
2
?
2
解；二是若斜率为
k< br>的直线
l
与圆
C
交于
A
(
x
1，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y< br>2
)两点，则
AB
＝

1＋
k
|
x
1
－
x
2
|.
【训练1】 (2016·全国Ⅰ卷) 设直线
y
＝
x
＋2
a
与圆
C
：
x
2
＋
y
2
－2
ay
－2＝0相交
于
A
，
B
两点，若
AB
＝23，则圆
C
的面积为_ _______.
解析 圆
C
：
x
2
＋
y
2
－2
ay
－2＝0，即
C
：
x
2
＋(
y
－
a
)
2
＝
a
2
＋2，圆心为
C
(0，
a
)，
|0－
a
＋2
a
||
a
|
半径
r
＝
a
＋2，
C
到 直线
y
＝
x
＋2
a
的距离为
d
＝＝.又由
AB
＝
22
2
2
?
23
?
2?
|
a
|
?
2
?
＋
??
＝< br>a
2
＋2，解得
a
2
＝2，所以圆的面积为π(
a< br>2
＋2)＝23，得
?
?
2
??
2
?
4π.
答案 4π
热点二 直线与圆、圆与圆的位置关系
【例2】 已知过原 点的动直线
l
与圆
C
1
：
x
2
＋
y
2
－6
x
＋5＝0相交于不同的两点
A
，
B
.
(1)求圆
C
1
的圆心坐标；
(2)求线段
AB
的中点
M
的轨迹
C
的方程； < br>(3)是否存在实数
k
，使得直线
L
：
y
＝
k
(
x
－4)与曲线
C
只有一个交点？若存
在，求出
k
的取值范围；若不存在，说明理由.
解 (1)由
x
2
＋y
2
－6
x
＋5＝0，得(
x
－3)
2
＋
y
2
＝4，
所以圆
C
1
的圆心坐标为(3，0).
(2)设线段
AB
的中点
M
的坐标为(
x
，
y
)，
①当线 段
AB
不在
x
轴上时，有
C
1
M
⊥
AB
，
则
k
C
1
M
·
k
AB
＝－1，即
y
x
－3
x
y
·＝－1，
3
?
2
9
?
整理得
?
x
－
?
＋
y
2
＝，
2
?
4
?
5
又当 直线
l
与圆
C
1
相切时，易求得切点的横坐标为.
3
所以此时
M
的轨迹
C
的方程为

3
?
2
9
?
5
??
2
x
－
??
＋
y
＝
?
＜
x
＜3
?
.
2
?
4
?
3
??
3
?
2
9
?
②当线段
AB
在
x
轴上时，点
M
的坐 标为(3，0)，也满足式子
?
x
－
?
＋
y
2＝.
2
?
4
?
综上，线段
AB
的中点
M
的轨迹
C
的方程为
3
?
2
9
?5
??
?
x
－
?
＋
y
2
＝< br>?
＜
x
≤3
?
.
2
?
4
?
3
??
3
?
3
?
，0
?
为圆心 ，
r
＝为半径的部分圆弧
EF
(如图所(3)由(2)知点
M
的轨迹是以
C
?
2
?
2
?
示，不包括两端点)，

?
525
??
525
?
?
，
F
?
，－
?
. 且
E
?
，
3
?3
??
3
?
3
又直线
L
：
y
＝
k
(
x
－4)过定点
D
(4，0)，当直线
L< br>与圆
C
相切时，
??
3
??
?
k
?
－4
?
－0
?
3
??
2
??
3
由
2
＝，得
k
＝±，
4
k
＋（－1）< br>2
2
?
25
?
?
0－
?
－
3
25
??
又
k
DE
＝－
k
DF
＝－＝－，
57
4－
3
结合如图可知当
只有一个交点.
探究提高 此类题易失分点有两处：一是不会适时分类讨论，遇到直线问题，
想用其斜率，定要 注意斜率是否存在；二是数形结合求参数的取值范围时，定
要注意“草图不草”，如本题，画成轨迹C
时，若把端点
E
，
F
画出实心点，借
?
?< br>33
?
?
?
2525
?
?
?
时，直 线
k
∈
－，
?
∪
?
－，
?
44< br>?
?
?
77
?
?
L
：
y
＝
k
(
x
－4)与曲线
C

形解题时求出的斜率 就会出错.
【训练2】 (1)(2016·山东卷改编)已知圆
M
：
x< br>2
＋
y
2
－2
ay
＝0(
a
＞0) 截直线
x
＋
y
＝0所得线段的长度是22，则圆
M
与圆N
：(
x
－1)
2
＋(
y
－1)
2< br>＝1的位置关
系是________.
(2)(2017·南京、盐城模拟)在平面直 角坐标系
xOy
中，已知点
P
为函数
y
＝2ln
x
的图象与圆
M
：(
x
－3)
2
＋
y2
＝
r
2
的公共点，且它们在点
P
处有公切线，若二次
函数
y
＝
f
(
x
)的图象经过点
O，
P
，
M
，则
y
＝
f
(
x
)的最大值为________.
解析 (1)圆
M
：
x
2
＋
y
2
－2
ay
＝0(
a
>0)可化为
x
2
＋(
y
－
a
)
2
＝
a
2
，由题意，
d
＝
a
，所以有a
2
＝＋2，解得
a
＝2.所以圆
M
：
x2
＋(
y
－2)
2
＝2
2
，圆心距为2，2
2
a
2
半径和为3，半径差为1，所以两圆相交.
2
(2)设
P
(
x
0
，2ln
x
0
)，
x
0
>0，则函数
y
＝2ln
x
在点
P
处的切线斜率为，则
x
0
2ln
x
0
·＝－1，即为4ln
x
0
＝－
x
0
(
x
0
－3) ①.由二次函数
y
＝
f
(
x
)的图象经
x
0
x
0
－3
2
过点
O
和
M
可设
f
(
x
)＝
ax
(
x
－3)，代入点< br>P
(
x
0
，2ln
x
0
)，
x
0
>0，得2ln
x
0
＝
ax
0
(
x
0
－3) ②.由①②比较可得
a
＝－，则
f
(
x
)＝－
x
(
x
－3)，则
f
(
x
)
max
＝
?
3
?
?
2< br>?
1
2
3
2
?
3
?
?
2< br>?
9
8
1
2
1
2
f
??
＝－××
?
－
?
＝.
9
答案 (1)相交 (2)
8
热点三 直线、圆与其他知识的交汇问题
【例3】 如图， 在平面直角坐标系
xOy
中，已知点
A
为椭圆
x
2
9
2
y
2
＋＝1的右顶点，点
D
(1，0)，点
P
，
B
在椭圆上，
→
BP
＝
→
DA
.
9
(1)求直线
BD
的方程；
(2)求直线
BD被过
P
，
A
，
B
三点的圆
C
截得的弦 长；

(3)是否存在分别以
PB
，
PA
为弦的两个 相外切的等圆？若存在，求出这两个圆
的方程；若不存在，请说明理由.
解 (1)因为→
BP
＝
→
DA
且
A
(3，0)，所以
BP
＝
DA
＝2，而
B
，
P
关于
y轴对称，所以
点
P
的横坐标为1，
从而得
P
(1，2)，
B
(－1，2)，
所以直线
BD
的方程为
x
＋
y
－1＝0.
(2)线段
BP
的垂直平分线方程为
x
＝0，线段
AP
的 垂直平分线方程为
y
＝
x
－1，
所以圆
C
的圆心为 (0，－1)，且圆
C
的半径为
r
＝10，又圆心(0，－1)到直线
BD
的距离为
d
＝2，所以直线
BD
被圆
C
截得 的弦长为2
r
2
－
d
2
＝42.
(3)假设存在 这样的两个圆
M
与圆
N
，其中
PB
是圆
M
的弦，
PA
是圆
N
的弦，则
点
M
一定在
y
轴上，点
N
一定在线段
PA
的垂直平分线
y
＝x
－1上，当圆
M
和圆
N
是两个相外切的等圆时，一定有
P
，
M
，
N
在一条直线上，且
PM
＝
P N
.
设
M
(0，
b
)，则
N
(2，4－
b
)，
根据
N
(2，4－
b
)在直线
y
＝
x
－1上，
解得
b
＝3.所以
M
(0 ，3)，
N
(2，1)，
PM
＝
PN
＝2，故存在这样的两 个圆，且方
程分别为
x
2
＋(
y
－3)
2
＝2，(
x
－2)
2
＋(
y
－1)
2
＝2 .
探究提高 求圆中弦长问题，多用垂径定理，先计算圆心到直线的距离，再利
用弦长公式< br>AB
＝2
r
2
－
d
2
；求圆的方程问题常见 于找出圆心和半径，对于两圆
的位置关系则多借助于几何关系进行判定.
x
2
y
2
【训练3】 已知椭圆
E
：
2< br>＋
2
＝1(
a
＞
b
＞0)的半焦距为
c，
ab
1
原点
O
到经过两点(
c
，0)，(0 ，
b
)的直线的距离为
c
.
2
(1)求椭圆
E
的离心率；
5
(2)如图，
A B
是圆
M
：(
x
＋2)
2
＋(
y
－1)
2
＝的一条直径，若椭圆
E
经过
A
，
B两
2
点，求椭圆
E
的方程.
解 (1)过点(
c，0)，(0，
b
)的直线方程为
bx
＋
cy
－
bc
＝0，

bcbc
则原点
O
到该直线的距离< br>d
＝
2
＝，
b
＋
c
2
a
1
c
3
由
d
＝
c
，得
a
＝2b
＝2
a
2
－
c
2
，解得离心率＝.
2
a
2
(2)由(1)知，椭圆
E
的方程为
x
2
＋4
y
2
＝4
b
2
，①
依题意，点A
，
B
关于圆心
M
(－2，1)对称，且
AB
＝10，设
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
22222
y
2
)，则
x
2
1
＋4
y
1
＝4
b
，
x< br>2
＋4
y
2
＝4
b
，两式相减并结合
x1
＋
x
2
＝－4，
y
1
＋
y
2
＝2，
得－4(
x
1
－
x
2
)＋8(
y
1
－
y
2
)＝0，
易知
AB
与
x
轴不垂直，则
x
1
≠
x
2
，
所以
AB
的斜率
k
AB
＝
y
1
－
y
2
1
＝，
x
1
－
x
2
2< br>1
因此直线
AB
的方程为
y
＝(
x
＋2)＋ 1，
2
代入①得
x
2
＋4
x
＋8－2
b
2
＝0，
解方程后易得：
x
1，2
＝－2±2
b
2
－4，
于是
AB
＝
?
1
?
2
1＋
??
|
x
1
－
x
2
|
?
2
?
＝10（
b
2
－2）.
由
AB
＝10，得10（
b
2
－2）＝10，解得
b
2＝3，
故椭圆
E
的方程为


1.由于直线方程有多 种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线
方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所 限，可能会产生遗漏的情况，
尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况.
2.确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：
(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三 角形(半弦长、弦心距、圆半
x
2
12
＋＝1.
3
y
2

径)；
(2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(3)圆心在任一弦的中垂线上；
(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对
称.
3.直线与圆中常见的最值问题
圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的 距离问题；圆上
的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上
的 点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.
4.两圆相交，将两圆方程联 立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公
共弦所在的直线方程.



一、填空题
1.圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是________.
解析 因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径
r
＝1
2
＋ 1
2
＝2，则该圆
的方程为(
x
－1)
2
＋(y
－1)
2
＝2.
答案 (
x
－1)
2
＋(
y
－1)
2
＝2 2.(2014·江苏卷)在平面直角坐标系
xOy
中，直线
x
＋2y
－3＝0被圆(
x
－2)
2
＋
(
y
＋1)
2
＝4截得的弦长为________.
解析 圆心为(2，－1)，半径
r
＝2.
圆心到直线的距离
d
＝
|2＋2×（－1）－3|35
＝，
5
1＋4
?
35
?
2
255
?
＝2－< br>?
.
5
5
??
2
所以弦长为2
r
－
d
＝2
255

5
22
答案

< br>3.(2017·南京、盐城模拟)过点
P
(－4，0)的直线
l
与圆
C
：(
x
－1)
2
＋
y
2
＝5相
交于
A
，
B
两点，若点
A
恰好是线段
PB
的中点，则直线
l
的方程为________.
解析 设
AB的中点为点
D
，则
CD
⊥
AB
，设
CD
＝
d
，
AD
＝
x
，则
PA
＝
A B
＝2
x
，在
直角三角形
ACD
中，由勾股定理得
d
2
＋
x
2
＝
r
2
＝5.在直角三角形< br>PDC
中，由勾股
5
定理得
d
2
＋9
x2
＝
CP
2
＝25，解得
d
2
＝.易知直线< br>l
的斜率一定存在，设为
k
，则
2
|5
k
| 10
l
：
y
＝
k
(
x
＋4)，圆心
C
(1，0)到直线
l
的距离为
d
＝
2
＝，解得
k
2
＝
2
k
＋1
111
，
k＝±，所以直线
l
的方程为
y
＝±(
x
＋4)，即为< br>x
±3
y
＋4＝0.
933
答案
x
±3
y
＋4＝0
4.(2017·宿迁模拟)已知
A< br>，
B
是圆
C
1
：
x
2
＋
y
2
＝1上的动点，
AB
＝3，
P
是圆
C
2
：(
x
－3)
2
＋(
y
－4)
2
＝1上的动点，则|
→
PA
＋
→
PB
|的取值范围为___ _____.
解析 设
AB
的中点为
C
，由垂径定理可得
CC
1
⊥
AB
，则
CC
1
＝
?
3
?
2
1
1－
??
＝，
2
?
2?
1113
22
即点
C
的轨迹方程是
x
＋y
＝，
C
1
C
2
＝3＋4＝5，则
PC
max
＝5＋1＋＝，
PC
min
422
22
17
→
＋
→
＝5－1－＝，所以|
PAPB
|＝|2
→
PC
|∈[7，13].
22
答案 [7，13]
5.已知圆
C
1
：(
x
－2)
2
＋(
y
－3)
2
＝1，圆
C
2
：(
x
－3)
2
＋(< br>y
－4)
2
＝9，
M
，
N
分别是
圆
C
1
，
C
2
上的动点，
P
为
x< br>轴上的动点，则
PM
＋
PN
的最小值为________.
解析 由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求
PC
1
＋
PC< br>2
的最小值，作点
C
1
关于
x
轴的对称点
C
1
′(2，－3)，则(
PC
1
＋
PC
2
)
min
＝
C
1
′
C
2
＝52.
所以(
PM
＋
PN
)
min
＝52－4.
答案 52－4
6.(2016·全国Ⅲ卷)已知直线
l
：
mx< br>＋
y
＋3
m
－3＝0与圆
x
2
＋
y
2
＝12交于
A
，
B

两点，过
A< br>，
B
分别做
l
的垂线与
x
轴交于
C
，
D
两点，若
AB
＝23，则
CD
＝
______ __.
解析 设
AB
的中点为
M
，由题意知，圆的半径
R
＝23，
AB
＝23，所以
OM
＝
?
x
－ 3
y
＋6＝0，
3
3，解得
m
＝－，由
?
2
解得
A
(－3, 3)，
B
(0，23)，则
AC
2
3
?
x
＋
y
＝12
的直线方程为
y< br>－3＝－3(
x
＋3)，
BD
的直线方程为
y
－23 ＝－3
x
，令
y
＝
0，解得
C
(－2，0)，D
(2，0)，所以
CD
＝4.
答案 4
x
2y
2
7.(2017·江西七校第二次联考)过双曲线
2
－
2< br>＝1(
a
＞0，
b
＞0)的左焦点
F
作
ab
1
2
1
→→
圆
x
＋
y
＝
a
的切线，切点为
E
，直线
EF
交双曲线右支于点
P
，若
OE
＝(
OF
＋
42
22
→
OP< br>)，则双曲线的离心率是________.
1
→→
解析 如图，∵
→
OE
＝(
OF
＋
OP
)，∴
E
为
FP
的中点，
2
又
O
为
FF
′的中点，∴OE
为△
PFF
′的中位线，
1
∴
OE
∥< br>PF
′，
OE
＝
PF
′，
2
1
∵
OE
＝
a
，∴
PF
′＝
a
，
2
∵
PF
切圆
O
于
E
，∴
OE
⊥< br>PF
，∴
PF
′⊥
PF
，
∵
FF
′＝2
c
，
PF
－
PF
′＝2
a
，
∴
PF
＝2
a
＋
a
＝3
a
， < br>∴由勾股定理得
a
2
＋9
a
2
＝4
c
2
，
∴10
a
2
＝4
c
2
，∴
e
＝＝
10

2
c
a
10
.
2
答案

8.直线2
ax
＋
by
＝ 1与圆
x
＋
y
＝1相交于
A
，
B
两点(其 中
a
，
b
是实数)，且
△
AOB
是直角三角形(< br>O
是坐标原点)，则点
P
(
a
，
b
)与点( 0，1)之间距离的最小
值为________.
解析 根据题意画出图形，如图所示，过点
O
作
OC
⊥
AB
于
C
，因为△
A OB
为等腰直角三角形，所以
C
为
弦
AB
的中点，又
OA
＝
OB
＝1，根据勾股定理得
AB
＝
2，
12
∴
OC
＝
AB
＝.
22
∴圆心到直线的距离为
12
＝，
2
a
2＋
b
2
2
22
1
即2
a
2
＋
b
2
＝2，即
a
2
＝－
b
2
＋1 ≥0.
2
∴－2≤
b
≤2.则点
P
(
a
，
b
)与点(0，1)之间距离
d
＝（
a
－0）
2
＋（
b
－1）
2
＝
a
2
＋
b2
－2
b
＋1＝
1
2
b
－2
b
＋2.
2
11
设
f
(
b
)＝
b2
－2
b
＋2＝(
b
－2)
2
，此函数为对称 轴为
b
＝2的开口向上的抛物
22
线，∴当－2≤
b
≤2< 2时，函数为减函数.
∵
f
(2)＝3－22，∴
d
的最小值为 3－22＝（2－1）
2
＝2－1.
答案 2－1
二、解答题
9.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点
A
(0，1)且斜率为
k
的直线
l
与圆
C
：(
x
－2)
2
＋(
y
－3)
2
＝1交于
M
，
N
两点.
(1)求
k
的取值范围；
→
·
→
(2)若
OMON
＝12，其中
O
为坐标原点，求
MN
.
解 (1)由题设，可知直线
l
的方程为
y
＝
kx
＋1，

因为
l
与
C
交于两点，
|2
k
－3＋1|
所以<1.
2
1＋
k
解得
4－74＋7
<
k
<.
33
?
4－74＋7
?
?
. 所以
k
的取 值范围为
?
，
33
??
(2)设
M
(
x< br>1
，
y
1
)，
N
(
x
2
，
y
2
).
将
y
＝
kx
＋1代入方程(< br>x
－2)
2
＋(
y
－3)
2
＝1，整理得
(1＋
k
2
)
x
2
－4(1＋
k
)
x
＋7＝0.
解方程易得：
x
1
＋
x
2
＝
→
OM
·
→
ON
＝
xx
＋< br>yy

1212
4（1＋
k
）7
，
x
1
x
2
＝.
2
1＋
k
1＋
k
2
＝(1＋
k
2
)
x
1
x
2
＋< br>k
(
x
1
＋
x
2
)＋1＝
4
k
（1＋
k
）
＋8.
1＋
k
2
4k
（1＋
k
）
由题设可得＋8＝12，解得
k
＝1，
1＋
k
2
所以
l
的方程为
y
＝
x
＋1.
故圆心
C
在
l
上，所以
MN
＝2.
10 .(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系
xOy
中，点
A
(0，3)，直线
l
：
y
＝2
x
－4.设圆
C
的半径为1，圆心在
l
上.
(1)若圆心
C
也在直线
y
＝
x
－1上，过点
A
作圆
C
的切线，求切线
的方程；
(2)若圆
C
上存在点
M
，使
MA
＝ 2
MO
，求圆心
C
的横坐标
a
的取值范围.
解 (1)由题设，圆心
C
是直线
y
＝2
x
－4和
y< br>＝
x
－1的交点，解得点
C
(3，2)，
于是切线的斜率必存 在.
设过
A
(0，3)的圆
C
的切线方程为
y
＝
kx
＋3，
|3
k
＋1|3
由题意，得＝1，解得
k
＝0或－， 4
k
2
＋1

故所求切线方程为
y
＝3或 3
x
＋4
y
－12＝0.
(2)因为圆心在直线
y
＝2
x
－4上，
所以圆
C
的方程为(
x
－
a
)
2
＋[
y
－2(
a
－2)]
2
＝1.
设点
M
(
x
，
y
)，因为
MA
＝2
MO
，
所以
x
2
＋（
y
－3）
2
＝2
x
2
＋
y
2
，
化简得
x
2＋
y
2
＋2
y
－3＝0，即
x
2
＋(
y
＋1)
2
＝4，
所以点
M
在以
D
(0，－1)为圆心，2为半径的圆上.
由题意，点
M
(
x
，
y
)在圆
C
上，所以 圆
C
与圆
D
有公共点，则|2－1|≤
CD
≤2＋
1，
即1≤
a
2
＋（2
a
－3）
2
≤3.
整理得－8≤5
a
2
－12
a
≤0.
由5
a
2
－12
a
＋8≥0，得
a
∈R；
由5
a
2
－12
a
≤0，得0≤
a
≤12
.
5
12
??
所以点
C
的横坐标
a
的取值范围是
?
0，
?
.
5
??
11.已知双曲线
x
－＝1.
3
(1)若 一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点
P
(2，3)，求椭
圆方程.
(2) 设(1)中椭圆的左、右顶点分别为
A
，
B
，右焦点为
F
， 直线
l
为椭圆的右准
线，
N
为
l
上的一动点，且在
x
轴上方，直线
AN
与椭圆交于点
M
.若
AM＝
MN
，求
∠
AMB
的余弦值；
(3)设过
A
，
F
，
N
三点的圆与
y
轴交于
P
，
Q
两点，当线段
PQ
的中点为(0，9)
时，求这个圆的方程.
解 (1)∵双曲线焦点为(±2，0)，
2
y
2
x
2< br>y
2
设椭圆方程为
2
＋
2
＝1(
a
＞
b
＞0).
ab

?
则
?
49< br>?
a
＋
b
＝1.
22
a
2
－
b
2
＝4，
∴
a
2
＝16，
b
2
＝12.
故椭圆方程为
x
2
16
＋＝1.
12
y
2
(2)由已知，
A
(－4，0)，
B
(4，0)，< br>F
(2，0)，直线
l
的方程为
x
＝8.设
N
(8，
t
??
t
)(
t
＞0).∵
AM
＝
MN
，∴
M

?
2，
?
.
?
2
?
由点
M
在椭圆上，得
t
＝6.
故所求的点
M
的坐标为
M
(2，3).
所以
→< br>MA
＝(－6，－3)，
→
MB
＝(2，－3)，
→
MA
·
→
MB
＝－12＋9＝－3.
－365
cos∠
AMB
＝＝＝－.
→→65
36＋9· 4＋9
|
MA
|·|
MB
|
(3)设圆的方程为
x
2
＋
y
2
＋
Dx
＋
Ey
＋
F
＝0(
D
2
＋
E
2
－4
F
＞ 0)，将
A
，
F
，
N
三点坐标
代入，得
→
MA
·
→
MB
D
＝2，
?
?
?
72
4＋2
D
＋
F
＝0，
得
?
E
＝－
t
－，

?
t
?
64＋
t< br>＋8
D
＋
Et
＋
F
＝0，
?
?F
＝－8.
16－4
D
＋
F
＝0，
2
72
?
72
???
圆的方程为
x
2
＋
y< br>2
＋2
x
－
?
t
＋
?
y
－ 8＝0，令
x
＝0，得
y
2
－
?
t
＋?
y
－8＝0.
t
?
t
???
设
P
(0，
y
1
)，
Q
(0，
y
2
) ，则
y
1，2
＝
t
＋±
t
72
?
72
?
2
?
t
＋
?
＋32
t
? ?
.
2
72
＝18， 由线段
PQ
的中点为(0，9)， 得
y
1
＋
y
2
＝18，
t
＋
t< br>此时，所求圆的方程为
x
2
＋
y
2
＋2
x< br>－18
y
－8＝0.