高考数学专题复习直线与圆强化训练题

直线与圆
【赛题精讲】
例1．直线
xcos
?
? y?b?0(
?
?R,b?R)
的倾斜角
?
的取值范围是（ ）
A．
[0,
?
]
B．
[
解：D
此直 线的斜率为
k??cos
?
，
?
?
?R
，
?k?[?1,1]
，从而
?
?[0,
例2．若
ab?0,ac?0
，则直线
ax?by?c?0
不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：A
直线
ax?by ?c?0
在
x
轴、
y
轴上的截距分别为
?
?
3
?
,
???
3
?
?
3
?
]< br> C．
[,)?(,]
D．
[0,]?[,
?
)

44422444
?
4
3
?
,
?
)
。
4
]?[
cc
与
?
。
ab
cc

?ab?0,ac?0
，
?ab?ac?0
得
bc?0
?? ?0
，
??0
。故直线不过第一象限。
ab
例3．已知直线
l
1
:y?ax?3a?2
与
l
2
:y??3x?3
的交点在第一象限，则实数
a
的取值范
围是（ ）
A．
(?
11111
,)
B．
(??,)
C．
(?3,)
D．
(?,??)

23332
1?3a6?12a
,)
， 因为点
P
在第一象限，所以
3?aa?3
解：A
易得直线
l
1
与
l
2
的交点坐标为
P(
?
1?3 a
?
3?a
?0
11

?
，解得
??a?
。
6?12a
23
?
?0
?
a?3
例4．将一张图纸折叠一次，使得点
(0,2)
对应于 点
(4,0)
，设点
(7,3)
对应于点
(m,n)
，则< br>m?n
的值是（ ）
A．
6.7
B．
6.8
C．
6.9
D．
7

解：B

1

易得折痕所在直线方程为
y?1?2 (x?2)
，由于点
(7,3)
对应于点
(m,n)
，则有
7?m
?
n?3
?1?2(?2)
?
2
331
2
，解之得
(m,n)?(,)
，
?m?n?6.8
。
?< br>n?31
55
?
??
2
?
m?7
例5．如图 ，定圆半径为
a
，圆心为
(b,c)
，则直线
ax?by?c?0< br>
与直线
x?y?1?0
的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解：C
由图可知，
b ?0
，
c?0
，
c?a?|b|
，即
0?c?a??b。
a?c?b?ca?c?b?c
,)
，
??0,?0
，故两 直线的交点
a?ba?ba?ba?b
y

位于第三象限。
F


H
例6．台风中心从
A
地以每小时20千米的速度向东北方向移动，
30km
E

30km
离台风中心30千米的地区为危险区，城市
B
在
A
的正东40千米
O

B

x

处，
B
城市处于危险区内的时间为（ ）
易得两直线的交点坐标为
(
A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时
解：B
以
A
为坐标原点建立如图的直角坐标系，则台风中心在射
线
l:y ?x(x?0)
上，
B(40,0)
。
B
到
l
的距 离为
BH?202
，
设
l
上两点
E,F
，满足< br>|BE|?|BF|?30
，则
|EH|?|HF|?10
，
?B
城市位于危险区内的时间为
20
?1
（小时）。
20
22
2
例7．设
a,b
是方程
x?cot
?
?x?csc
?
?0
的两个不等实根，那么过点
A(a,a)
和< br>B(b,b)
22
的直线与圆
x?y?1
的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．随
?
的值而变化

2

解：B
k
AB
a
2
?b2
??a?b??cot
?
，直线
AB
的方程为
y?a
2
??cot
?
(x?a)
，即
a?b
cot< br>?
?x?y?a
2
?acot
?
?csc
?
。因为圆心
O(0,0)
到直线
AB
的距离为
d?
|cs c
?
|
1?cot
2
?
?
|csc
?|
?1
，故直线
AB
与圆相切。
|csc
?
|
例8．平面上整点（横、纵坐标都是整数的点）到直线
y?
54

x?
的距离的最小值为（ ）
35
A．
3434
1
1
B． C． D．
17085
20
30
解：B
设整点为
(x
0
,y
0
)
，则它到直线
25x?15y?12?0
的距离 为
d?
|25x
0
?15y
0
?12|
25?(? 15)
22
。
由于
x
0
,y
0
?Z
，故
25x
0
?15y
0
是5的倍数，于是有
|25x< br>0
?15y
0
?12|?2
，当
x
0
??1
，
y
0
??1
时
|25x
0
?15y0
?12|?2
。故最小值为
22
34
。
85
例9．设
P
0
(x
0
,y
0
)
为圆x?(y?1)?1
上任意一点，欲使不等式
x
0
?y
0
?c?0
恒成立，
则
c
的取值范围是（ ）
A．
[0,??)
B．
[2?1,??)
C．
(??,2?1]
D．
[1?
解：B
圆
x?(y?1)?1
应在直线
x?y?c?0
的上方，即
直线
x?y?c?0
应在圆的下方与圆相切或相离，如图知

22
2,??)

y

(0,1)

O

x

A(0,1?2)
，故
c?2?1
。
例10．点
A(1, 0)
到直线
l
的距离为2，点
B(?4,0)
到
l
的距离为3，则
l
的条数最多是（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条

3

解：B
以点
A
为圆心，半径为2的圆
A
的方程为
(x?1)?y?4
， 以点< br>B
为圆心，半径为3
的圆
B
的方程为
(x?4)?y?9。
?|AB|?5?r
A
?r
B
，
?
两圆A,B
外切。因为两圆
A,B
有两条外公切线及一条内公切线，故满足条件的直线
l
（即公切线）最多有3条。
例11．方程
x1?y
2
? y1?x
2
?1
的对应的曲线图形是（ ）
y

y

y





解：D 由已知得
(x?1?y
2
)
2
?(y?1?x
2
)
2
?2?2(x1?y
2
?y1?x
2
)?2?2?0
，
故
x?1?y2?0,y?1?x
2
?0
，即
x?y?1(x?0,y?0)
。
例12．在平面直角坐标系中，方程
的图形是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．非正方形的长方形 D．非正方形的菱形
解：D
直线
x?y?0
与直线
x?y?0
将平面分成4个区域：
22
22
22
y

O

1

x

?1

O

1

B
x

O

1

x

O

1

x

?1

A
?1

C
?1

D
|x?y||x?y|
??1
（< br>a,b
是不相等的两个正数）所表示
2a2b
⑴
?
?
x?y?0
?
x?y?0
?
x?y?0
?
x?y?0
； ⑵
?
； ⑶
?
； ⑷
?
。
?
x?y?0
?
x?y?0
?
x?y?0
?
x?y?0将方程在四个区域内分别讨论，可得四条线段，可得围成四边形是菱形（非正方形）。
例13．若 有向线段
PQ
的起点和终点的坐标分别为
(?1,1)
和
(2,2)
。若直线
l:x?my?m?0
与
PQ
的延长线相交，则
m
的取范围是_________________。
解：
?3?m??
2

3

4

< br>易得直线
l
过定点
M(0,?1)
，过
M
作直线l
1
PQ
，显然
l
1
的斜率为
k
1< br>?
2?11
?
。过
2?13
3
，与
PQ的延长线相交的直线
l
应夹在
l
1
与
l
2之间，
2
1132
k
1
?k?k
2
（
k
为
l
的斜率）。于是
???
，即
?3?m??
。
3m23
M,Q
作直线
l
2
，则
l
2的斜率为
k
2
?
例14．若三条直线
l
1
:4 x?y?4,l
2
:mx?y?0,l
3
:2x?3my?4
不能构 成三角形，则
m
的
取值集合为__________________。
解：
{?1,?
12
,,4}

63
4?4m,)
，代
4?m4?m
若三条直线交于一点
A
，由直线
l
1
,l
2
的方程联立解得交点
A
的坐标
(
入直线
l
3
的方程，可解得
m?
2
或
m??1< br>；
3
若
l
1
l
2
（或重合），可得
m?4
；
若
l
1
l
3
（或重合），可得
m??
若
l
2
l
3
（或重合），无解。
综上所述
m?{?1,?,,4}
。
例15．已知直线经过点
P( 2,3)
，且和两条直线
l
1
:3x?4y?8?0
和
l< br>2
:3x?4y?7?0
相交
于
A,B
两点，而且
| AB|?32
，则直线
l
的方程为_________________。
解：
x?7y?19?0
或
7x?y?17?0

两平行直 线
l
1
与
l
2
间的距离为
d?
1
；
6
12
63
|?8?7|
3?4
22
?3，由已知
|AB|?32
，设直线
AB
与已
知直线
l< br>1
（或
l
2
）所夹锐角为
?
，则
sin?
?
d2
，于是有
tan
?
?1
。设所求直线 的
?
|AB|2
k?
3
3
4
?1
，斜率为
k
，直线
l
1
（或
l
2
）的斜率为
k
0
??
，由两条直线的夹角公式得
tan
?
?
3
4
1?k
4

5

解之得
k?< br>1
或
k??7
，故所求直线方程为
x?7y?19?0
或7x?y?17?0
。
7
例16．直线
l
过点
P(1 ,3)
且和两坐标轴围成的三角形的面积为
6
，则满足条件的直线有___条。
解：3
设直线
l
的方程为
y?3?k(x?1)
，则l
在横、纵轴上的截距分别为
1?
得
3
,3?k
，由已 知
k
13
|1?|?|3?k|?6
，易得此方程有三解。则满足条件的直线 有3条。
2k
例17．在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴，且 两直角边上的
中线所在直线方程分别是
y?3x?1
和
y?mx?2
，则实数
m
的值为________________。
解：
m?
3
或
m?12

4
1b
??
bm?
??
1
2
m?
a
??
??a
2
。 设直角三角形平行于
x
轴、
y
轴的边的长分别 为
a,b
，则
?
，或
?
b
1
?
3 ?
?
b
1
2
??
3?
a
??
a< br>2
??
3
解得
m?
或
m?12
。
4
例18．给定一点
P(3,1)
及两条直线
l
1
:x?2 y?3?0,l
2
:x?2y?7?0
，则过点
P
且与
l< br>1
,l
2
都相切的圆方程为_______________________ 。
22
解：
(x?4)?(y?1)?5
或
(x?)?(y?)? 5

22
4
5
3
5
?l
1
l2
，故圆心在直线
l
3
:x?2y?2?0
，直径为
l
1
,l
2
间的距离
d?
所以半径
R?
|? 7?3|
1?2
22
?25
，
5
。设所求圆方程为
(x?a)
2
?(y?b)
2
?5
，则有
4
?< br>a?
?
?
a?2b?2?0
?
a?4
5
。 ，解之得或
?
?
?
22
?
(3?a)?(1?b)?5?
b??1
?
b??
3
5
?
4
23
2
22
故所求的圆方程为
(x?4)?(y?1)?5
或(x?)?(y?)?5
。
55
例19．已知曲线
y?1?4?x2
与直线
y?kx?4?2k
有两

6
y

l
1

l
2

－2
1
（2，4）
O

2
x