高考数学专题直线和圆练习题

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专题七：直线与圆

例1：不等式
3x?ay?6?0

(a?0)
表示的平面区域是在直线
3x?ay?6?0
（ ）
的点的集合。
（A）左上方 （B）右上方 （C）左下方 （D）右下方
[思路分析] 作出直线
3x?ay?6?0
，又因为
3? 0?a?0?6?0
，所以原点在区域内侧
表示直线的左下方，故选取C。
[简要评述] 用特殊值法解选择题是常用的方法。

例2：若直线
y? x?k
与曲线
x?1?y
2
恰有一个公共点，则
k
的取值范 围是 ( )
（A）
k??2
（B）
?
2,?????,?2
（C）
?2,2
（D）
k??2
或(-1,1]
??
?
??
[思路分析] 数形结合的思想，
y?x?k

表示一组斜率为1的平行直线，
x?1?y
2

表示y轴的右半圆。如图可知，选（D）
[简要评述] 数形结合思想的灵活运用，此题
可以进一步拓展，
x??1?y
，
y??1?x
2
等。

2
例3：如果实数x、y满足
?
x?2
?
?y? 3
，那么
2
y
的最大值是 。
x
[思路分析] 解法一：设直线l：
y?kx
，则
y
表 示直线
l
的斜率，直线
l
与圆
x
y
?
x?2
?
?y
2
?3
相切时，斜率为最大或最小，所以只要求圆心到 直线
距离为半径即可。
?
?
x?2?3cos
?
解法二 ：设圆的参数方程：
?

?
?
y?3sin
?
则
M
O
C
x
y3sin
?
据三角知识求解。
?
x
2?3cos
?
解法三：设
y(x?2)
2
?y
2
?3
只要解方程组，利用
??0
可得解。 =t ，则
?
?
x
?
y?tx

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解法四：如图，联结圆心C与切点M，则由OM⊥CM，又Rt△OMC中，OC=2，CM =
3

所以，OM=1，得
y
?
MC
?3

xOM
[简要评述] 小题小做，选方法四最为简单，数形结合的数学思想的灵活运用。

例4： 已知两点
A(m,2)
，
B(3,1)
，求直线
AB
的斜率 与倾斜角。
[思路分析] 注意斜率存在的条件。当
m?3
时，
k
不存在。
?
=
k?tan
?
?
?
，当
m ?3
时，
2
2?11
；当
m?3
时,
1
，当
m?3
时,
?
?
?arctan
m?3m?3
m?3
?
?
?
?arctan
1

m?3
[简要评述] 此题涉及到分类讨论的数学思想方法，分类讨论在历年的高考中，特别 是综合
性题目中常常出现，是重点考查的数学思想方法之一。

例5：过点
M(2,4)
作两条互相垂直的直线，分别交
x
、若四边形
OAMB
y
的正半轴于
A
、
B
，
的面积被直线
AB
平分，求直线
AB
方程。
[思路分析] 命题有两种设方程的方案：①设
MA
、
MB
的点斜式方程，然后求出
k
；②设
AB
的截距式方程，经过估算，应选第②方案更好。设方程为
x
?
y
?1
（a>0,b>0）
ab
∴
A(a,0)
、
B(0,b)
。 ∵
MA
⊥
MB
∴
(a?2)?(?2)?(?4)?(b?4)?0?a?10?2b

∵a>0 0AB
方程的一般式为
bx?ay?ab?0

∴
M
到
AB
的距离
d?
|2b?4a?ab|
a
2
?b
2
∴
?MAB
的面积
S< br>1
?
1
2
d|AB|?
1
2
|2b?4a? ab|?|b
2
?8b?20|?b
2
?8b?20

2< br>而
?OAB
的面积
S
2
?
1
2
ab ?5b?b
，
5
?
b?4
b?
?
?
∵直 线
AB
平分四边形
OAMB
的面积，∴
S
1
?S< br>2
， 可得
?
或
?
2

?a?2
?
a?5
?
故所求
AB
方程为
x?2y ?5?0
和
2x?y?4?0
。
[简要评述] 若命题中的直线与两坐标轴均有交点，应首先考虑选用截距式方程是否有利。

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例6：已知
x?y?1
，定点A(1,0)，B、C是圆上两个动点，保持A、B、C在圆上逆时针
排列， 且
?BOC?
22
?
3
(O为坐标原点)，求△ABC重心G的轨迹 方程。
?
[思路分析] 设
B(Cos
?
,Sin
?< br>)
，则
C(Cos(
?
?
?
3
),Sin(
?
?
3
))
；设G（x，y）
?
?
?
则
x?
1
?
1?Cos
?
?Cos
?
?
?
?
?
?
①
?
3
?
?
3
?
?
y?
1
?
?
?
?
②
?
Sin
?
?Sin
?
?
??
3
?
3
?
?
?
??
22
①+②
得

?3x?1
?
?
?
3y
?
?2?2Cos
22< br>2
?
3
?3

?

?
?
1
?
15
?
?
2
即
?
?
x?
?
?y?
?
0?
?
?
3
?
33
??
[简要评述] 适当运用圆的参数方程，设B、C两点坐标，有利于寻求函数关系。

例7：过点P（-8，0），引圆C：
x
中点的轨迹方程。
[思路分析] 方法一，
?
x?1
?
?
?
y?5
?
?22

P
22
2
?y
2
?2x?10y?4?0
的割线，求被此圆截得的弦的
y
∵CM⊥PM，∴弦AB的中点M的轨迹是以
P（-8，0）、C（1，-5）中点为圆心，|PC|
长为直径的圆。
A
M
C
x
B
7
??
5
?
53
?
（圆C的内部）
x??y??
????
2
??
2
?
2
?
方法二，设M（x，y）为
AB
中点，过点P（-8，0）的直线
22
y? k
?
x?8
?
，又设A（
x
1
，y
1），B（x
2
，y
2
），
由方程组
x
2
?y
2
?2x?10y?4?0


y?k
?
x?8
?

可以得到
1?k
?
2
?
x?
?
16k22
?10k?2x?64k
2
?80k?4?0

?
据韦达定理可以得解。

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方法三，
M
?
x, y
?
, CM?
?
x?1, y?5
?
, PM?
?
x?8, y
?
?
CM?PM , ?CM?PM?0 ?
?
x -1
??
x?8
?
?y
?
y?5
?
?0< br>化简得
x?7x?y?5y?8?0
（圆C的内部）
[简要评述] 方法一是据圆的定义得解的较为简单；方法二容易想到，但计算量太大；方法
三是利用 平面两向量垂直的性质与平面两向量的数量积，使解题过程简单化。

例8：已知气象台A处 向西300km处，有个台风中心，已知台风以每小时40km的速度向东北
方向移动，距台风中心25 0km以内的地方都处在台风圈内，问：从现在起，大约多长时间后，
气象台A处进入台风圈？气象台A 处在台风圈内的时间大约多长？
[思路分析] 如图建立直角坐标系，B为台风中心，
处在台风圈内的界线为以B为圆心，半径为250的
圈内，若t小时后，台风中心到达B
1
点，则
B
1
(-3 00+40tCOS45,40tsin45)，则以B
1
为圆心，
250为半径的圆的方程为
00

22
y
B
1

B
O(A)
x
?
x?300 ?202t
?
?
?
y?202t
?
?250

那么台风圈内的点就应满足
?
x?300?202t
?
?
?
y?202t
?
22
2
22
?250
2
。若气象台A处进
入台风圈，那么A点的坐标就应满足上述关系式，把A点的坐标(0，0)代入上面不 等式，得
?
300?202t
?
?
?
202t
?< br>22
?250
2
，解得
152?57152?57
?t?，即为
44
1.99?t?8.61
；所以气象台A处约在2小时后进入台风圈， 处在台风圈内的时间大约6小
时37分。
[简要评述] 学生怕做应用题，帮助学生分析题意尤其重要。关键是寻求有效信息，建立函
数关系式，运算到位。


【热身冲刺】
一、选择题：
1． △ABC中，三个顶点坐标A（2，4）、B（-1，2）、C（1，0），点P（x，y）在内部及

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其边界运动，则z=x-y的最大值及最小值是 （ ）
（A）3，1 （B）-1，-3 （C）1，-3 （D）3，-1
2．已知点A（3，1）和B（-4，6）在直线< br>3x?2y?a?0
的两侧，则a的取值范围（ ）
（A）-7＜a＜24 （B）-24＜a＜7 （C）a＜7或a＞24 （D）a=7或a=24
3．如果直线
l
1
, l
2
的斜率分别是方程
x?4x?1?0
的两根，则
l
1
, l
2
的夹角是 （ ）
（A）π3 （B）π4 （C）π6 （D）π8
4． 平行直线
5x?12y?3?0
与
10x?24y?5?0
的距离是 （ ）
（A）213 （B）113 （C）126 （D）526
5．等腰三角形ABC，若一腰的两个端点坐标分 别是A（4，2）、B（-2，0），A为顶点，则
点C的轨迹方程是 （ ）
（A）
x?y?8x?4y?0

（B）
x ?y?8x?4y?20?0
?
x??2,y?10
?

22
22
2
（C）
x?y?8x?8y?20?0
?
x??2,y?10
?
< br>22
（D）
x?y?8x?4y?20?0
?
x??2,y?10?

22
6．圆
x?y?2x?4y?3?0
到直线
x ?y?1?0
的距离等于
2
的点有 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
7．曲线
f(x,y)?0关于直线x?y?2?0对称的
曲线方程式是 （ ）
（A）
f(y?2,x)?0
（B）
f(y?2,x)?0
（C）
f(y?2,x?2)?0
（D）
f(y?2,x?2)?0

8．已知A（3，1），B（-1，2）若∠ACB的平分线方程为
y?x?1
，则A C所在的直线方
程为 （ ）
（A）
y?2x?4
（B）
y?
22
1
x?3
（C）
x?2y?1?0
（D）
3x?y?1?0

2
9．一条光线从点M（5，3）射出，与
x
轴正向成α角，遇
x
轴后反射，若tanα=3，则反射
光线所在直线方 程为 （ ）
（A）
y?3x?12
（B）
y??3x?12
（C）
y?3x?12
（D）
y??3x?12

10．将直线
l
沿
x
轴 正方向平移两个单位，再沿
y
轴负方向平移3个单位，又回到了原来的
位置，则
l
的斜率为 （ ）

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322
3
??
（A） （B） （C） （D）
233
2
二、填空题：
?
x?0
?
11．不等式组
?
y?0
表示的平面区域内的整点坐标是 。
?
x?y?3?0
?
12．直线
?
m?1
?< br>x?y?2m?1?0
恒过定点，则定点的坐标是 。
13．若实数
x
，
y
满足关系：
x?y?25< br>，则
x
+
y
的最大值是 。
22
14．若圆
x?y?Dx?Ey?F?0
，（
D?E?4F?0
）关于
x
-
y
=0对称，则系数
22
22
D、E、F满足关系 。
三、解答题：
15．直线
l
1
：
5x?4y?2m?1和l
2
2x?3y?0
相交于第四象限，求m的取值范围。
22
?
?
x ?y?0
16．设实数a，考虑方程组
?
（1）若此方程组有实数解，求a的范围；
2
2
?
?
?
x?a
?
?y?1
（ 2）此方程组有几组不同的实数解？
17．有一种大型的商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地 居民从两地之一购得商品后
运回来每公里的运费A地是B地两倍。若A、B两地相距10公里，顾客选择 A地或B
地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，那么，不同地点的居民应如
何选择购买此商品的地点？
18．已知点A（-1，-4），试在y轴和直线y=x上各取一点B、C，使△ABC的周长最小。
19．已知圆x
2
+y
2
-6mx-2（m-1）y+10m
2
-2m-24=0。（1）求证：不论m取何值，圆心在同一
直线
l
1< br>上；（2）与
l
1
平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：不 论m取
何值，任何一条平行于
l
1
且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等。
20．已知△ABC的三边长分别为3、4、5，点P是它的内切圆上一点，求分别以PA、PB、PC为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。


【热身冲刺】参考答案
1— CCCDB，11．（1，1），12．（-2，3），13．5
2
，14． D=E，15．m＞-12

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1 6．因为ｘ
2
－ｙ
2
＝0表示过原点的两条互相垂直的直线：y=x，y=- x，（x-a）+y=1表示
圆心为C（a，0），半径为1的动圆，本题讨论方程组有实数解的问题即 讨论圆与直线有公共
22
点的问题。（1）-
2
≤a≤
2
； （2）当-
2
＜a＜-1或-1＜a＜1或1＜a＜
2
时有四组实
数 解，当a=±1时，有三组实数解，当a=±
2
时，有两组实数解，当a＜-
2
或a＞
2
时
无实数解。
17．以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线 为y轴建立直角坐标系。设A（-5，0），
则B（5，0），在平面内任取一点P（x，y），设从A 运货物到P的运费为2a元km，则从B
运到P的费用是a元km，若P地居民选择在A地购买此商品， 则
25
???
20
?
2a
?
x?5
?< br>?y
2
?a
?
x?5
?
?y
2
化简 得
?
x?
?
?y
2
?
??
即P点在圆C
3
???
3
?
22
22
25
???
20
?
2
?
x?
?
?y?
??
的内部. 换言之,圆C内部的居民应在A地购买,同理可推得圆C
3
???
3
?
外部的应在B地购物，圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物。
y
18．尝试使用对称法，如图作A点关于y轴
的对称点A
1
，再作A点关于y=x的对称点A
2
，
在y轴和y=x上公别取点B、 C，则|BA|=|BA
1
|，
x
O
|AC|=|A
2
C|，于是△ABC的周长
C
A
2

|AB|+|BC|+|CA|=|A
1
B|+|B C|+|CA
2
|，
B
从而将问题转化为在y轴，y=x上各取一点，使
A
1

折线A
1
BCA
2
的长度最小。B （0，-175）和C（-178，-178）
A
19．（1）配方得圆心，将心坐标消去m可得直线a：x-3y-3=0
（2）设与直线a平行的直线c：x-3y+b=0（b≠-3），则圆心到直线a的距离为
22d?
|3m?3
?
m?1
?
?b|
10
?|3?b|
10
，∵圆的半径r=5，∴当d＜r时，直线与圆相交，当
d=r时 ，直线与圆相切，当d＞r时直线与圆相离。（3）对于任一条平行于a且与圆相交的直
线的直线c，由 于圆心到直线c的距离都与m无关，所以弦长与m无关。
20．△ABC为直角三角形，如国图建立直角坐标系，
则A（0，0）、B（4，0）、C（0，3），设内切圆半径
为r，则r=12（|OC|+|OB|-|BC|）=1，故内切圆方程为
22
（x-1）+（y-1）=1，可设P点坐标（1+Cosα，1+Sinα）
则以PA、PB、PC为直径的三个圆面积之和S=
当Cosα=-1时，Smax=5.5π,
当Cosα=1时, Smin=4.5π.

?
（10-Cｏｓα）
2