【高中数学】新人教版必修二高中数学直线与圆的位置关系教案

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不 可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自 晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

【高中数学】新人教版必修二高中数学直线与圆的位置关系
教案



新人教版A版必修2
课程

标准 1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系。

2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

3、在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几
何问题的思想。

学习

目标


重点

难点 重点：1、判断直线与圆的位置关系；

2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

难点：直线与圆的方程的应用。

知

识

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰： 孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰 ：欲书可耳!”原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不 可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自 晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

树

学习过程

学习内容（任务）及问题
【模块一】直线与圆的位置关系的判定

问题1、初中学过的平面几何中，直线与圆的 位置关系有几类？
我们是怎样判断直线与圆的位置关系的？

问题2、通过学习教科 书的例1第1问，你能总结一下判断直线
与圆的位置关系的步骤吗？

22
C:x?y?2x?0

l:3x?4y?2?0
练习1、判断直线与圆的位置关系。
学习活动及行为

练习2、已知直线和圆，当实数取何值时，直线与圆相交、相切、
22
C:x+y=4
b

l:y=x+b
相离？
评价：学生能正确利用几何方法判断直线 与圆的位置关系。

【模块二】直线被圆截得的弦长问题

问题1、阅读教材 例1第2问和例2，你能找到求弦长的方法吗？
分别从几何和代数两个角度阐述求弦长的方法。

问题2、总结用几何法求圆内弦长的步骤。

22
x+y?2y?1=0

2x?y?1=0
练习1. 求直线被圆所截得的弦的长度。
练习2. 已知过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程。
22
M（-3,-3）
l
x+y?4y?21=0
45
l

拓展变式：已知过点的直线被圆所截得的弦长为8，求直线的方
22
x+y?4y?2 1=0
l

M（-3,-3）
l
程。
22
x?y?8

P(?1,2)
练习3. 已知为圆内一定点，
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰 ：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感 ，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳!”原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字， 不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟， 则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

求（1）过点且被圆所截得的弦最短的直线方程；
P

（2）过点且被圆所截得的弦最长的直线方程。
P

拓展练习：过点作圆的弦，其中弦长为整数的直线共有
22
x+y?2x?4y?164=0

A(11,2)
条。
练习4. 自圆上的点引圆的弦，求弦的中点的轨迹方程。
x
2
?y
2
?4
A(2,0)
ABAB

练习5. 直线与圆相交于两点，弦的中点为，求直线的方程。
22
l
x+y ?2x?4y?a=0(a?3)
A,B
AB
(0,1)
l

拓展练习. 已知圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦。
x
2
?y
2
?8
P
0
(?1,2)
AB
P
0
?

（1）当时，求的长；
?
?135
AB

（2）当弦被点平分时，求出直线的方程。
AB
P
0
AB

评价：学生能用几何法正确解决弦长问题。

【模块三】直线与圆相切问题

问题1、分别由点与圆的三种位置关系分析，自一点引圆的切线，
有几条？

已知圆和定点，若过点的圆的切线有两条，则的取值范围
22
x+y?2x?2y?7=0P(?1,a)
P
a

是 。
问题2、如何用几何法求圆的切线方程。

问题3、（1）自点作圆的切线，求切线 的方程。
A（-1,4）
(x?2)
2
?(y?3)
2
?1 0
ll

（2）自点作圆的切线，求切线的方程。
邴原少孤，数岁时，过书舍 而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学 ，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳!”原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字 ，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自 见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

(x?2)
2
?(y?3)
2
?1
ll

A（-1,4）
练习：若直线过点，且与圆相切，求直线的方程。
22
l
P( 2,3)
(x?1)+(y+2)=1
l

问题4、求以N（1,3）为圆心，并且与直线相切的圆的方程。
3x?4y?7?0

拓展：由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值
22
(x?3)+y=1

y?x?1
为 。
评价：学生能自主完成自主训练部分的练习题，并能将结果进行
展示。

【模块四】直线和圆相离时的最值问题

问题. 圆上的点到直线的最大距离与最小距 离的差
22
x?y?4x?4y?10?0
x?y?14?0

是 。
练习：求圆上的点到直线的最小距离和最大距离。
(x?1)
2
?(y?2 )
2
?4
x?y?7?0

【拓展训练】

22< br>1、已知圆被直线
C:(x?a)?(y?2)?4(a?0)
l:x?y

?3?0
截得的弦长为，则等于（ ）
23
a

A. B. C. D.
2
2?22?12?1

22
x+y=4
4x+3y?12=0

2、在圆上到直线的距离最小的点是（ ）
68868668
(,)(,)(?,)(?,?)
5555

A. B. C. D.
5555
3、若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）
y=x+b
y=3?4x?x
2
b

邴原少孤，数岁时， 过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡 其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳!”原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可 少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍， 其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

A. B.
[-1,1+22][1-22,1+22]

C. D.
[1-22,3][1-2,3]

4、点是 直线上的动点，直线分别与圆相切于两点，则四边形（为
坐标原点）的面积的最小值等于（ ）< br>22
P
2x?y?10?0PA,PB
x?y?4
A,B
PA OB
O

A．24 B．16 C．8 D．4

5、在直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为
22
x?y ?4
12x?5y?c?0
c

1，则实数的取值范围
是 。

22
(x?1)?(y?2)?25
l:(2m?1)x
6、已知圆C：，直线
（1）证明：不论取何值，直线与圆恒交于两点；
m
l
（2）分别求出直线被圆截得的弦长最小和最大时的方程。
C
l

课后反思
课题名称
课程标准

课型 问题解决课
§4.2.2 圆与圆的位置关系
第1~2课时
§4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系；
2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
学习目标

1、学生能通过实例，弄清圆与圆有哪些位置关系；
2、学生能利用代数和几何两种方法判断圆与圆的位置关系；
3、学生会求两圆相交的公共弦所在的直线方程；
4、学生建立适当的坐标系，利用直线和圆的方程解决实际问题。
重点：用坐标法判断圆与圆的位置关系。
难点：1、用坐标法判断圆与圆的位置关系；
2、在实际问题中建立适当的坐标系解题。

学习活动及行为
重点
难点

学习过程
学习内容（任务）及问题
【模块一】圆与圆的位置关系的判定
问题1、圆与圆的位置关系有几类？我们是怎样判断直线与圆
的位置关系的？
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一 则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳!”原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒 相教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮 ，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。 古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到 。




问题2、通过学习教科书的例3，你能总结一下判断圆与圆的
位置关系的步骤吗？



练习1、完成教材p130练习；
练习2、已知圆
圆
C
1
：x
2
?y
2
?2mx?4y?m
2
?5?0
。
，
C
2
:x
2
?y
2?2x?2my?m
2
?3?0
（1）当
m
为何值时，圆
（2）当圆
C
1
与圆
C
2
外切？
C
1
与圆
C
2
内含时，求
m
的取值范围。




评价：学生能正确利用几何方法判断圆与圆的位置关系
【模块二】两圆的公共弦
问题1、在例3中通过两个圆的方程联立相减，得到一个关于


















x
、
y
的二元一次方程
x+2y?1=0
，该方程表示的直线与圆
C
1



和圆
C
2
有什么关系？
练习、已知圆

C1
:x
2
+y
2
+2x?6y+1=0
,
，
C
2
:x
2
?y
2
?4x?2y?11?0
求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长。





评价：会求两圆相交时的公共弦所在直线方程。
【模块三】圆系方程（选讲）
邴原 少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿 其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳!”原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教 不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮，不 可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人 云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。< br>
问题1、当
?
变化时，方程
x
2
?y
2< br>?4x?2y?4?
?
(3x?4y?12)?0
表示的图形是什
么？ 图形有何特点？



2222
x?y?4x?2y?1?
?
(x?y
?
问题2、当变化时，方程
?2x?2y?2)?0
表示的图形是什么？图形有何特点？



22
x?y?x?6y?m?0
与直线练习1、已知圆：
Q
两点，
x?2y?3?0
相交于P、且
;OP?OQ
（
O
为原点），
求
m
的值。



练习2、求圆心在 直线
x?y?4?0
上，并且经过圆
x
2
?y
2
? 6x?4?0
与圆
x
2
?y
2
?6x?28?0
的 交点的圆
的方程。




【模块四】利用直线和圆的方程解决实际问题
问题1、阅读教材例4，将实际问题化成数学问题来求解的关
键是什么？




问题2、利用坐标法解决问题的程序是什么？




邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。 夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳!”原曰： 无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书 ......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多 诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读 书有三到，谓心到，眼到，口到。

练习1、某圆拱桥的跨度是20m，拱高4m。现有一船， 宽10m，
水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？



< br>练习2、等边
?ABC
中，点D，E分别在边BC，AC上，且
11
| BD|?|BC||CE|?|CA|
33
，，AD，BE相交于点P。求证：
AP? CP
。




【拓展训练】：
22222
x?y?2ax?2ay?2a?1?0x?y?2bx
1、两圆与
?2by?2b
2
?2?0
的公共弦长的最大值是（ ）
A．
22
B．
2
C．
2
D．
1

2、已知两圆交于
A(1,3 ),B(m,?1)
，且两圆心均在直线
x?y?c?0
上，则
m?c
等于（ ）
A．
?1
B．
2
C．
3
D．
0

222
(x?a)?(y ?b)?b?1
始终平分圆3、若圆
(x?1)
2
?(y?1)
2< br>?4
的周长，则实数
a,b
一定满足等式
（ ）
A．
a?2a?2b?3?0

B．
a+2a+2b+5?0

C.
a?2b?2a?2b?1?0

D．
3a?2b?2a?2b?1?0

22
22
2
2
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者 ，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳!”原曰：无钱资。师曰：童 子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书......须要 读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口 ，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到 ，眼到，口到。

4、与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2< br>?4(a
2
?b
2
)
和圆
(x?a)
2?(y?b)
2
?

4(a
2
?b
2
)
都相切，且半径为
a
2
?b
2
的圆有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
22(x?5)?(y+7)?16
相切，则5、已知半径为1的动圆与圆
动圆圆心的轨迹方程 是（ ）
22
(x?5)?(y+7)?25
A．
2222
(x?5)?(y+7)?17(x?5)?(y+7)?15
B．或
22
(x?5)?(y+7)?9
C．
2222
(x?5)?(y+7)?25(x?5)?(y+7)?9
D． 或
22
x?y?8x?4y?11?0
上，点
Q
在圆
P6、已知点在圆
x
2
?y
2
?4x?2y?1?0
上， 则
|PQ|
的最小值
是 。
22
x?y ?2x?4y?0
，
x,y
7、已知满足求
x?2y
的最大值。



8、
AB
为圆的定直径，
CD
为动 直径，自点
D
作
AB
的垂线
DE
，延长
ED
到点
P
，使
|PD|?|AB|
。求证：直线
CP
必过一定点。




9、某公园的
A,B
两 个景点位于一条小路的同侧，分别距小路
2km,
22km
，且
A,B
两景点间相距
2km
。现要在小路上
设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳 观赏、拍摄
效果（注：观景点为过
A,B
的圆与小路的切点时有此效果）
< br>邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲 也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳!”原曰：无钱资。师曰：童子苟有 志吾徒相教不求资也。
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凡读书......须要读得字字响亮，不 可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人 云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。< br>
则观景点应设于何处？


评价：学生能正确解答拓展训练的练习题。

课后反思
仅此学习交流之用
谢谢


邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰： 童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感， 故泣耳。师恻然曰：欲书可耳!”原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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