人教课标版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》教案-新版

4.2.1 直线与圆的位置关系

（一）核心素养
通过学习直线与圆的位置关系，掌握解决问题的方法——代数法、几何法.
（二）学习目标
1.清楚圆与直线的三种位置关系.
2.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.
3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法.
4.求过点的圆的切线方程.
（三）学习重点
1.直线与圆的位置关系的判断方法.
2.用直线和圆的方程解决问题.
（四）学习难点
1.用直线和圆的方程解决问题.
2.用坐标法判直线与圆的位置关系.
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
（1）读一读：阅读教材，填空：
直线与圆的三种位置关系的几何含义是：
直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
圆心到直线的距离d与半径r的关系
dd=r
d>r
图形



（2）记一记：直线与圆的位置关系的判断方法
方法一：代数方法
步骤：
1.将直线方程与圆的方程联立成方程组.
2.利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程.

3.求出其判别式Δ的值.
4.比较Δ与0的大小关系，若Δ＞0，则直线与 圆相交；若Δ=0，则直线与圆相
切；若Δ＜0，则直线与圆相离.反之也成立.
方法二：几何法
1. 利用点到直线距离公式计算圆心到直线的距离d.
2. 计算出圆的半径为r.
3. 比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系，若d＞r，则直线与圆 相离；
若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切. 反之也成立.
2.预习自测
（1）直线与圆有一个交点称为_____，有两个交点称为_____，没有交点称为____.
【知识点】直线与圆位置关系定义
【数学思想】分类与整合
【解题过程】根据定义填空
【思路点拨】看图理解定义
【答案】相切、相交、相离.
（2）直线与圆的方程联立方程组，若方程组无解，则直线与圆 ，若方程组
仅有一组解，则直线与圆 ，若方程组有两组不同的解，则直线与圆_____.
【知识点】直线与圆位置关系定义
【数学思想】分类与整合 、数形结合
【解题过程】根据定义填空
【思路点拨】理解方程的解的定义
【答案】相离、相切、相交.
（3）直线
x?2y?1?0
与圆
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?r
2
?
r?0
?
相交，求
r
的取值范围.
【知识点】直线与圆位置关系
【数学思想】 函数与方程
【解题过程
】圆心到直线的距离
d?
22
22

，因为相交，所以
r?d?
55
【思路点拨】圆心到直线的距离与半径的关系

【答案】
r?
25

5
（4）判定直线3x?4y?12?0
与圆
(x?3)
2
?(y?2)
2
?4
位置关系是 .
【知识点】直线与圆位置关系
【解题过程
】
圆心(3,2)到直线的距离
d?1
，
d?r
，所以相交

【思路点拨】圆心到直线的距离与半径的关系
【答案】相交.
(二)课堂设计
1.知识回顾
（1）直线与圆的方程
（2）直线与圆的位置关系和等价条件
（3）两点间的距离和点到直线的距离公式
2.问题探究
探究一 结合实例，认识圆与直线的平面位置关系★
●活动① 清楚圆与直线的位置关系
我们清楚 两个物体在空间位置关系有上下前后左右这几种，那么我们了解在名片
上两个图形同样也有上下左右的位 置关系.那么圆和直线这两种图形的位置关系
我们应该如何称呼呢？
首先我们设想自己正在海边观看日出：
当看到太阳从海岸线上升起的时候，太阳和地平线之间的位置关系叫什么呢？
当看到太阳与海岸线相切的时候呢？太阳完全升起来的时候呢？
根据课本知识和图像我们知道 直线与圆的位置关系根据两个图形的交点个数可
以分为相交、相切、相离三种.请完成下列空格：
直线与圆有一个交点称为_____，有两个交点称为_____，没有交点称为____.
【答案】相切、相交、相离
【设计意图】从实际问题中引入圆与直线位置关系，并运用课本中 知识来解答实
际问题，巩固预习成果，明确直线与圆的位置关系.
●活动② 辨析概念、学会根据图像判别直线与圆的位置关系
请看图判断直线与圆位置的关系.

【答案】相离、相切、相交.
【设计意图】通过图片显示直线与圆 的位置关系并让同学们加以辨析，明确概念
理解与专业名词的运用，加深记忆同时检验预习成果.
探究二 探究判断圆与直线位置关系的方法
●活动① 回顾直线与圆的方程
大家能够说出直线解析式的通式吗？（抢答）
(1)点斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)

(2)斜截式：
y?kx?b

(3)两点式：
(4)截距式：y?y
1
x?x
1
?(y
2
?y
1
, x
2
?x
1
)

y
2
?y
1x
2
?x
1
xy
??1(a?0,b?0)

ab
(5
)
一般式：
Ax?By?C?0
(A，B不同时为0).
大家能够说出圆的三种方程吗？（抢答）
222
(
1)圆的标准方程：
(x?a)?(y?b)?r

(2)圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
(D
2
＋E
2
－4F＞0).
(3)圆的直径式方程：
( x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
(圆的直径的两端点是
A(x
1
,y
1
) ,B(x
2
,y
2
)

.
【设计意图】通过回顾
直线和圆方程的知识
，
为后面学习使用代数方法求直线与
圆位置关系打 下基础.
●活动② 做例题初步认识代数和几何方法的解题思路
已知直线
l:3 x?y?6?0
圆心为C的圆
x
2
?y
2
?2y?4?0< br>,判断直线
l
与圆的位

置关系.如果相交,求出它们的交点坐标 . （书本例题）
【设计意图】从课本的例子出发，让同学们初步建立代数方法和几何方法解决此类问题的解题方法和思路.
●活动③ 直线与圆位置关系中的参数取值问题
例1 已 知圆的方程是
x
2
?y
2
?2
,直线
y?x?b< br>,当
b
为何值时,（1）圆与直线有两
个公共点；（2）只有一个公共点；（3 ）没有公共点.
【知识点】直线与圆的位置关系、不等式
【数学思想】分类讨论
【解题过程】联立方程求判别式或者计算距离
【思路点拨】判别式法或者圆心到直线的距离与半径比较
【答案】（
1
）< br>b?2或b??2
（
2
）
b?2或b??2
（
3）
?2?b?2

同类训练 设
m
,
n?R
,若直线
(m?1)x+(n?1)y?2=0
与圆
(x?1)
2
+ (y?1)
2
=1
相切,
则的取
m+n
值范围（ ）
A.
[1?3,1+3]

C.
[2?22,2+22]

B.
(??,1?3][1+3,+?)

D.
(??,2?22][2+22,+?)

【知识点】直线与圆的位置关系、不等式
【数学思想】方程不等式
【解题过程】利用相切求出
m,n
关系，再用重要不等式求出范围
【思路点拨】利用相切找条件
【答案】D
探究三 直线被圆截
得
的弦长的常用方法★
●活动① 直接求弦长的方法
例2 在平面直角坐标系
xoy
中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)
2
＋(y ＋1)
2
＝4截得
的弦长为
255
.
5
【知识点】垂径定理、弦长公式
【数学思想】数形结合

【解题过程】 解法一：因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离
d?
|2?2?3|3
9255
?,
所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦 长为
24??.

5
55
5
解法二：利用韦达定理得到直线 与圆的两个交点
?
x
1
,y
1
?
和
?x
2
,y
2
?
有
x
1
?x
2
??
b26c25
??;x
1
?x
2
???5，利用弦长公式
1?k
2
x
1
?x
2
求出弦长 .
a5a5
【思路点拨】垂径定理、韦达定理
【答案】
255

5
同类训练 求直线
x?3y?23?0
被圆
x
2
?y
2
?4
截得的弦长.
【知识点】垂径定理、弦长公式
【数学思想】数形结合
【解题过程】法一：求出圆心到直线距离，利用垂径定理；
法二：韦达定理，弦长公式
【思路点拨】垂径定理、韦达定理
【答案】2
●活动② 已知弦长，转化为圆心到直线的距离来求参数
例3 已知圆
x
2
?y
2
?2x?2y?a?0
截直线
x?y?2?0
所得弦的长度为4，则
实数
a
的值是( )
A.
?2

B
.
?4

C
.
?6

D
.
?8

【知识点】垂径定理
【
数
学思想】数形结合
【解题过程】圆的标 准方程为
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?2? a
，圆心C(－1，1)，半径r
22
满足
r
2
?2?a< br>，则圆心C到直线
x?y?2?0
的距离
d?
2＝2－
a.
a??4

【思路点拨】垂径定理
【答案】B
2
?2,
所以
r
2
＝4＋
1?1
同类训练 已知过点
M(?3,?3)
的直线
l
被圆
x
2
?y
2
?4y?21?0
所截得的弦长为
4
5
,求直线
l
的方程.

【知识点】直线的点斜式、弦长公式
【数学思想】分类讨论、转化思想
【解题过程】
圆心(0,?2),r?5,
设直线为
y?3?k(x?3),即kx?y?3k?3?0
，
弦长l?2r?d ?45,可得d?5,又d?
22
3k?1
k
2
?1

,解得
k?2或k??
1
，
2
所以直线方程为
x ?2y?9?0
，
2x?y?3?0
【思路点拨】再利用垂径定理解决问题
【答案】
x?2y?9?0
，
2x?y?3?0

●活动③ 过圆内一点的最长弦和最短弦方程问题
0
?
的最长弦和最短弦所在直例4 已知圆
?
x?4
?
?
?
y?1
?
?5
，
求过圆内一点
P
?
3，
22
线方程
【知识点】直线方程、圆的几何性质
【数学思想】数形结合
【解题过程】圆心A(4,1)
，最长弦一定为直径，即直线
AP
，则最长弦的方程为
最长 弦即直径所在直线的斜率是1，所以最短弦
x?y?3?0
.最短弦和直径垂直，
斜率 是-1，过因为过点P，则最短弦的方程为
x?y?3?0
.
【思路点拨】利用几何关系得出结论
【答案】
x?y?3?0
，
x?y?3?0

同类训练 设
A
为圆
(x?2)
2
?(y?2)
2
?1
上一动点，则
A
到直线
x?y?5?0
的最大
距离为______ .
【知识点】圆的几何性质
【数学思想】数形结合
【解题过程】求出圆心到直线 的距离
d
1
?
52
?1

2
5
,
再加上半径，则最大距离
2
d?
【思路点拨】利用几何关系得出结论

【答案】
d?
52
?1

2
●活动② 互动交流、初步实践
组织课堂讨论：我们能否根据不同的点与圆的位置关系求出切线方程？
.
我们都知道 有这样的结论.过圆
x
2
?y
2
?r
2
上一点A
?
x
0
,y
0
?
的切线方程为
xx
0
?yy
0
?r
2
在运用这个结论的时候要注意些什么呢？ 我们可以来看一道例题：
例5 求过点
A
?
2,1
?
向 圆
x
2
?y
2
?4
所引的切线方程.
【知识点】圆的切线
【数学思想】分类讨论
B
?
x
0< br>,y
0
?
，则过
B
点的切线方程为
x
0x
0
?y
0
y
0
?4
，又点
A
?
2,1
?
?
2x
0
?y
0
?4

?
2
联立可以解得切点
2
x?y?4
0
?0
68
B(2,0)
，
B(,)
则最终解得切线方程
x ?2
，
3x?4y?10?0
.
55
1）当斜率不存在的时候，
x?2
满足；
（2）当斜率存在的 时候，设切线方程
y?1?k
?
x?2
?
，即
kx?2k? y?1?0
,
∵圆心（0,0）到切线的距离是2，∴
?2k?1
3
?2
解得
k??

4
k
2
?1
∴所求切 线方程为
3x?4y?10?0
.综上所述：切线方程
x?2
，
3x ?4y?10?0
.
【思路点拨】利用结论、求切线的通法
【答案】
x?2
，
3x?4y?10?0
.
同类训练 从 点
P(x,3),x?R
向圆
(x?2)
2
?(y?2)
2
?1
作切线，求切线段长度最小
的切线方程
【知识点】圆的切线
【数学思想】数形结合
【解题过程】分析可知切线段最小，则点到圆心距离最小的点为所求， 即
P(?2,3)
,

求得直线为
y?3??26(x?2)

【思路点拨】找出切线段最小的那个点
P
.
【答案】
y?3??26(x?2)
.
3.课堂总结
知识梳理
（1）直线与圆的位置关系根据两个图形的交点个数可以分为相交、相切、相离
三种.
（2）解决直线与圆位置关系的方法：几何法，代数法.
（3）与圆相交的直线被圆所截得的弦长的计算.
（4）过点求圆的切线方程的方法.
重难点归纳
（1）解决直线与圆位置关系题目的方法有代数法和几何法
（2）使用直线和圆的方程来计算所截弦长、以及圆的切线方程.
（三）课后作业
基础型 自主突破
1.对任意的实数
k
,直线
y?kx?1
与圆
x
2
?y
2
?2
的位置关系一定是（ ）
A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
【知识点】直线与圆位置判别
【数学思想】数形结合
【解题过程】直线
y?kx?1
必过点
(0,1)

【思路点拨】根据该点与圆心的距离和圆半径大小的比较进行判断.
【答案】C
2 .圆
x
2
?y
2
?2x?2y?1?0
上的点到直线
x?y?2
的距离最大值是（ ）
A
.
2
B.
1?2
C.
1?
2
D.
1?22

2
【知识点】点到直线距离公式
【数学思想】数形结合

【解题过程】
(x?1)
2
?(y?1)
2
?1,圆心(1,1),r?1
,
圆心到直线距离公式求出圆 心到
直线的距离
d
1
?2
，再加上半径1，则
d?2?1< br>
【思路点拨】加上半径是关键.
【答案】
B.
3
.直线
y?kx?3
与圆
(x?2)
2
?(y?3)
2< br>?4
相交于
M,N
两点，若
|MN|?
23
，
则
k
的取值范围是( )
3
.
[?,0]

A
4
B.
[?
33
,]

33
C.

[?3,3]

2
D.
[?,0]

3
【知识点】已知关系求参数的取值范围
【数学思想】转化思想
【解题过程】
圆心(2,3),r?2,
直线为
kx?y?3?0
，
弦长MN?2r
2
?d
2
?23,可得d?1,又d?
2k
k
2
?1
,解得-
33
?k?

33
【思路点拨】找到正确的方法对
k
进行求
【答案】B
4.直线
y?2x?3
被圆
x
2
?y
2
?6x? 8y?0
所截得的弦长等于_______.
【知识点】弦长公式
【数学思想】方程思想
【解题过程】
(x?3)
2
?(y?4)< br>2
?25,圆心（3,4），

r?5,d?5,l?2r
2
?d
2
?45
则求得弦长为
45

【思路点拨】圆中的弦长公式
【答案】
45
.
5.过点
A
(2,1)
的直线中被圆
x
2
?y
2
?2x?4 y?0
截得的弦长最大的直线方程
是( )
A.
3x?y?5?0

B
.
3x?y?7?0

C.
x?3y?5?0

D.
x?3y?5?0

【知识点】最值问题

【数学思想】数形结合
【解题过程】
(x?1)
2
?(y?2)
2
?5,圆心（1,-2），
圆心
B
(1,?2)
，
则直线为
3x?y?5?0

【思路点拨】该弦所在直线过圆心
【答案】
A

6.圆
x
2
?y
2
?r
2
上有某点
P（x
0
,y
0
）
，求过此点的切线方程.
【知识点】圆的切线
【数学思想】数形结合
【解题过程】与圆心直线斜率乘积
圆心（0,0），半径r< br>,切线斜率与点
P（x
0
,y
0
）
为
?1< br> ，
k
1
?
y
0
xx
,k??
0< br>，
l:y?y
0
??
0
(x?x
0
),化简 得
x
0
x?y
0
y?r
2

x
0
y
0
y
0
【思路点拨】点斜式求直线
【答案】
x
0
x?y
0
y?r
2

能力型 师生共研
7.圆
x
2
?y
2
?4x?0
在点
P(1,3)
处的切线方程为（ ）
A.
x?3y?2?0

B
.
x?3y?4?0

C.
x?3y?4?0

D.
x?3y?2?0

【知识点】圆的切线
【数学思想】数形结合
【解题过程】
(x?2)2
?y
2
?4,圆心（2,0）
，
点
P
在圆上 ，圆心与
P
的直线斜率
k
1
??3,?k?
3
，所 以直线为
x?3y?2?0

3
【思路点拨】抓住点在圆上，该点处的切线的斜率特点.
【答案】
D

8.直线
3x?y?23?0
截圆
x
2
?y
2
?4
得的劣弧的圆心角为__________.
【知识点】弦长、圆心角
【数学思想】数形结合
【解题过程】直线与圆交于
AB
，
可求得
AB?2
.又
OA?OB?2
，所以
?AOB
是

等边三角形，
?AOB
＝
?
3
.
【思路点拨】求出
AB
，
解
?AOB

?

3
探究型 多维突破
【答案】
9.已知圆C：
x
2
?y
2
?2x?4y?3?0
.若圆C的切线在x轴和y轴上 的截距的绝对
值相等，求此切线的方程.
【知识点】求切线方程
【数学思想】分类讨论
【解题过程】∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，∴切线的斜率是 ±1或过
原点,故所求切线方程为：x＋y－3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝
0.
y?(2?6)x

【思路点拨】利用截距绝对值相等
【答案 】x＋y－3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋
5
＝0，x－y＋1＝0.
y?(2? 6)x

10.已知圆C：x
2
＋y
2
＋2x－4y＋3＝ 0.从圆C外一点P(x
1
，y
1
)向圆引一条切线，切
点为M，O 为原点，且有PM＝PO，求使PM最小的点P的坐标.
【知识点】圆的切线
【数学思想】方程思想
【解题过程】∵切线PM与CM垂直，∴
PM
2?PC
2
?CM
2
,
又∵PM＝PO，
P(x,y)< br>，
坐标代入化简得
2x?4y?3?0
.PM最小时即PO最小，而PO最小， 即
过O点作直线
2x?4y?3?0
的垂线与之交点即为
P
，
从而解方程组
?
2x?4y?3?0
33
得满足条件的点P坐标为
P(?,)

?
y??2x
105
.
?
【思路点 拨】找出P满足的条件，找到最小值得位置
【答案】
P(?
自助餐
1.直 线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)
2
＋y
2
＝1引切线，则切线长的最小 值为（ ）
33
,)

105
.

A.
1

B.
22

C.
7

D.
3
【知识点】圆的切线
【数学思想】转化思想
【解题过程】
切线段的长度l ?d
2
?r
2
,d
为圆心（3,0）到直线上的点的距离，
所以切线段最短，则当
d
最短时取得，
d
min
?22
，< br>l
min
?8?1?7

【思路点拨】利用切线长的公式.
【答案】C.
2.直线
x
＋
3
y－2＝0与圆x
2
＋y
2
＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于
__________ .
【知识点】弦长
【解题过程】根据圆的方程知，圆的圆心坐标为(0，0)，半径R＝2 ，弦心距
d?
|?2|
?1,
，所以弦长
AB?22
2?1?23.

3?1
【思路点拨】弦长公式.
【答案】
23

3.圆C：(x－1)
2
＋(y－2)2
＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R).
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点；
(2)求⊙C与直线l相交弦长的最小值.
【知识点】直线与圆位置关系、弦长最值问题
【数学思想】数形结合，转化思想
【解题过程】(1)将方程(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，变形为
(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0.
直线l恒过两直线2x＋y－7＝0和x＋y－4＝0的交点，交点M(3,1).
又∵(3 －1)
2
＋(1－2)
2
＝5<25，∴点M(3,1)在圆C内，∴直线l 与圆C恒两个交
点.
(2)由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短.
又
|CM|?(3?1)
2
?(1?2)
2
?5,

∴弦长为
l?2r
2
?|CM|
2
?225?5?45.< br>

【思路点拨】.找到几何关系
【答案】45
4.已知过点
M
?
?3,?3
?
的直线
l
与圆
x
2
?y
2
?4y?21?0
相交于
A,B
两点，
（1）若弦
AB
的长为
215
，求直线
l
的方程；
（2）设弦
AB
的中点为
P
，求动点
P
的轨迹方程 .
【知识点】弦长、直线方程、轨迹问题
【数学思想】方程思想
【解题过程】（ 1）若直线
l
的斜率不存在，则
l
的方程为
x??3
，此时 有
y
2
?4y?12?0
，弦
|AB|?|y
A
? y
B
|?2?
?
?6
?
?8
，所以不合题意. < br>故设直线
l
的方程为
y?3?k
?
x?3
?
，即
kx?y?3k?3?0
.
将圆的方程写成标准式得
x
2?
?
y?2
?
?25
，所以圆心
?
0,?2< br>?
，半径
r?5
.
2
圆心
?
0,?2?
到直线
l
的距离
d?
|3k?1|
k?1
2
2
，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直
角三角形，所以
?
15< br>?
2
?
3k?1
?
?
k
2
?1?25
，即
?
k?3
?
?0
，所以
k??3< br>.
2
所求直线
l
的方程为
3x?y?12?0
.
（2）设
P
?
x,y
?
，圆心
O
1
?
0,?2
?
，连接
O
1
P
，则
O1
P?
AB
.当
x?0
且
x??3
时，
k
O
1
P
?k
AB
??1
，又
k
AB
?k
MP
?
y?(?3)
，
x?(?3)
22
y?
?
?2
?
y?
?
?3
?
3
??
5
?
5
?
则有
???1
，化简得< br>?
x?
?
?
?
y?
?
?
..... .（1）
x?0x?
?
?3
?
2
??
2
?
2
?
当
x?0
或
x??3
时，
P
点的坐标为
?
0,?2
?
,
?
0,?3
?
,
?
?3,?2
?
,
?
?3,?3
?
都 是方程（1）
3
??
5
?
5
?
的解，所以弦
AB
中点
P
的轨迹方程为
?
x?
?
?
?
y?
?
?
.
2
??
2
?
2?
22
【思路点拨】.解析法求轨迹
3
??
5
?5
?
【答案】
3x?y?12?0

?
x?
?
?
?
y?
?
?
. 2
??
2
?
2
?
22

5.过直 线x＋y－
22
＝0上点P作圆x
2
＋y
2
＝1的两条切线 ，若两条切线夹角是
60°，则点P的坐标是__________.

【知识点】圆的切线
【数学思想】转化思想
【解题过程】如图所示，过点P作圆x
2
＋y
2
＝1的两条切线，切点分别为A，B，
连接OA，OB，O P.由已知得，∠APO＝30°，所以PO＝2.设P坐标为
(x,y)
，则
??
x?y?22?0
所求坐标为(
2
，
2
).
?
22
?
?
x?y?4
，
【思路点拨】角度转化为长度
【答案】(
2
，
2
).
6.已知点M(a，b)在圆O： x
2
＋y
2
＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是
( )
A.
相离
B.
相切
C.
相交
D.
不确定
【知识点】点与圆、直线与圆位置判别
【解题过程】M(a， b)在圆O：x
2
＋y
2
＝1外，则
a
2
?b2
?1
，
【思路点拨】直接转化条件
【答案】
C