高中数学-直线与圆锥曲线

直线与圆锥曲线的位置关系

1.直线与圆锥曲线C的位置关系 < br>将直线
l
的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程
ax
2
?bx?c?0
进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数 形结合的办法.
（1）交点个数
①当 a=0或a≠0，⊿=0时，曲线和直线只有一个交点；
②当 a≠0，⊿>0时，曲线和直线有两个交点；
③ 当⊿<0 时，曲线和直线没有交点；
（2） 弦长公式：
斜率为k的直线被曲线截得弦AB，若A、B两点的坐标分别是A（x< br>1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），
则
AB?1?k
2
?|x
2
?x
1
| ?1?k
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
?x
2


一定要注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用.
2.求动点轨迹方程
①轨迹类型已确定的，一般用待定系数法
②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法
③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法
【考点一：中点弦问题】
x
2
y
2
【例1】已知直线
y??x?1
与椭圆
2< br>?
2
?1(a?b?0)
相交于A、B两点，且线段AB
ab
的中点在直线
l:x?2y?0
上，求此椭圆的离心率.





【考点二：中点问题】
【例2】已知点A、B的坐标分别是
?
1,0
??
，-1,0
?
.直线
AM,BM
相交于 点
M
，且它们的斜率
之积为－2.
（Ⅰ）求动点
M
的轨迹方程；
（Ⅱ）若过点
N
?
,1
?
的直线
l
交动点M的轨迹于C、D两点， 且N为线段CD的中点，
求直线
l
的方程.





?
1
?
?
2
?

【考点三：弦长问题】
x
2
?y
2
?1
.过点（ m，0）作圆
x
2
?y
2
?1
的切线l交椭圆G于A，B【 例3】已知椭圆
G:
4
两点.
（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将
AB
表示为m的函数，并求
AB
的最大值.






【考点四：对称问题】

曲线 上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出
斜率）②曲线上两 点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称
直线上
x
2
y
2
【例4】已知椭圆C的方程试确定m的取值范围，使得对于直线
y?，
??1
，
4x?m
43
椭圆C上有不同两点关于直线对称.







【考点五：垂直问题】
?
OA?OB?0
?
?
?x
1
y
1
?x
2
y
2
?0

?
OA?OB
?以AB为直径的圆过原点
?
?
重心坐标公式：
?
?
x< br>1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
?
,
?

33
??
m
2
x
2
?0
，椭圆
C:
2
?y
2
? 1
，
F
1,
F
2
分别为椭圆
C
的【例5】 已知m＞1，直线
l:x?my?
2m
左、右焦点.
（Ⅰ）当直线
l
过右焦点
F
2
时，求直线
l
的方程；

（Ⅱ）设直线
l
与椭圆
C
交于
A ,B
两点，
VAF
1
F
2
，
VBF
1F
2
的重心分别为
G,H
.若原点
O
在以线段
GH
为直径的圆内，求实数
m
的取值范围.






【考点六：面积问题】
S
?AOB
?
1
?弦长?点到直线的距离

26
x
2
y
2
【例6】已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离
ab
3为
3
，
直线
l:y?kx?m
交椭圆于不同的两点
A< br>，
B

（Ⅰ）求椭圆的方程 （Ⅱ）若坐标原点
O
到直线
l
的距离为
值








【考点七：比例问题】
3
，求
?AOB
面积的最大
2
x
2
y
2【例7】设
F
1
，
F
2
分别为椭圆
C:
2
?
2
?1
(a?b?0)
的左、右焦点，过
F
2
的直线
l
与
ab
椭圆
C
相交于
A，
B
两点，直线
l
的倾斜角为
60
，
F
1
到直线
l
的距离为
23
.
?
??????????
C
（Ⅰ）求椭圆的焦距； （Ⅱ）如果
A F
2
?2F
2
B
，求椭圆
C
的方程.

【考点八：范围、最值问题】
几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，利用几何性质解决问题
代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值.
x
2
y
2
【例8】已知椭圆
C
1
:
2
?
2
?1(a?b? 0)
与直线
x?y?1?0
相交于两点
A,B
.当椭圆
ab
的离心率
e
满足
范围.

????????
32
，且
OA?OB?0
（O为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值
?e?
32