直线与圆的位置关系(教案)人教版高中数学A版

直线与圆的位置关系（教案）


一、教学课题：人民教育出版社出版 的普通高中课程标准实验教科书A版数学②第四章第二
节“直线与圆的位置关系”第一课时。
二、设计要点：学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，在前面几节课学习
了直线与圆的 方程，因此，本节课主要以问题为载体，通过教师几个环节的设问，让学生利
用已有的知识，自己去探究 用坐标法研究直线与圆的位置关系的方法。用过学生的参与和一
个个问题的解决，让学生体验有关的数学 思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的
能力，培养学生“用数学”及合作学习的意识。
三、教学目标：
1．知识目标：能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，并解决相关的问题；
2．能力目标：通过理论联系实际培养学生建模能力，培养学生数形结合思想与方程的思想；
3．情感目标：通过学生的自主探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。
四、教学重点、难点、关键：
（1）重点：用坐标法判断直线与圆的位置关系
（2）难点：学生对用方程组的解来判断直线与圆的位置关系方法的理解
（3）关键：展现数与形的关系，启发学生思考、探索。
五、教学方法与手段：
1．教学方法：探究式教学法
2。教学手段：多媒体、实物投影仪
六、教学过程：
1．创设情境，提出问题
教师利用多媒体展示如下问题：
问题：一艘轮船在沿直线 返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西
50km处，受到影响的范围是半径长 为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km
处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否 会受到台风的影响？
教师提出：利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下。
设计 意图：让学生从数学角度看日常生活中的问题，体验数学与生活的密切联系，激发学生
的探索热情。
2．切入主题，提出课题
（1）由学生将问题数学建模，展示平面几何解决方法，得出结论。 教师带领学生一起回顾
初中所学直线与圆的三种位置关系及判断方法。
（2）教师提出：能否用所学的坐标法来解决这个问题，提出本节课要研究的课题。
设计意图 ：让学生利用初中所学平面几何知识先来解决这一问题，一方面，让学生体会数学
知识在实际中应用，另 一方面为后面坐标法的研究做了铺垫。
3．探索研究，解决问题
（1）寻找切口：
师：利用坐标法，需要建立直角坐标系，为使直线与圆的方程应用起来简便，在这个实际问
题中如何建 立直角坐标系？
生：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度。
则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为：
x?y?9

轮船航线所在直线 l 的方程为：
x?y?5?0

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设计意图：统一建立的直角坐标系，将后面学生的自主探究放在一个统一的平台 上，对学生
之间的交流提供了方便。
（2）自主探究：
师：请同学们运用已有的知识，从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系。
设计意图：通 过学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系。这里教师的任务是：
对学生知识上进行适当的补 遗，思维上进行恰当的启迪，方法上进行恰当的点拨，鼓励学生
积极、主动的探究，以较高的热情完成整 个探究过程。
（3）交流方法，探究新知
经过生生、师生间的探讨、合作，总结出以下两种证明方法：
方法一：代数法
?< br>x
2
?y
2
?9
由直线与圆的方程，得：
?
消去y，得
x
2
?5x?8?0,

?
x?y?5?0因为
△?(-5)
2
?4?1?8??7＜0

所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。
方法二：几何法
圆心（0，0）到直线
x?y?5?0
的距离
d?
1?0?1?0 ?5
1
2
?1
2
?
5
2
?
52< br>
2
?r?3 ?d＞r

所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。
设计意图：通过展示学生解决问题的方法，揭示知识之间的内在联系，培养学生的语言表达
能力 和沟通能力，增强学生思维的严谨性，教师的任务是：提出问题，为学生创设一种环境
的氛围，让学生在 交往中学习数学。
（4）总结方法
直线与圆的位置关系的判定:
①代数法： < br>?
Ax?By?C?0
222
由方程组
?
，得，
mx ?nx?p?0(m?0)
?
?n?4mp

222
?
(x?a)?(y?b)?r
?
?0

?
?0

?
?0

方程组有两解
方程组有一解
方程组无解
相交
相切
相离
②几何法：
d?r
直线与圆相交
d?r
直线与圆相切
d?r
直线与圆相离
4．新知应用，深化理解
课堂练习：
22
（1）．判断直线
x?y?1?0
与圆
x?y?16
的位置关系 。
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变式练习1：若直线
x?y?1?0
与 圆
x
2
?y
2
?a(a?0)
相切，求a的值。
变式练习2：若k为实数，直线
kx?y?1?0
与圆
x
2
?y2
?16
能否相离？
设计意图：要求学生会利用两种方法判断直线与圆的位置关 系。变式练习是为增加思维的梯
度，对于含有参数的方程，既能从基本方法上解决，又能从参数的几何意 义上运用变化的观
点看问题，讲解后，教师可以通过多媒体演示直线不动圆动、圆不动直线动的动画，让 学生
能用变化的眼光看问题。
（2）．已知直线l：
3x?y?6?0
和 圆心为C的圆
x
2
?y
2
?2y?4?0
, 判断直线l与
圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。
思考：能否求出直线被圆截得的弦AB的长度。
设计意图：这是课本例题，要求学生能从方程 的角度求交点，题后的思考是解决弦长问题，
代数法的应用为以后圆锥曲线的学习打好基础。
5．总结反思，共同提高
引导学生从知识、思想、方法上总结
（1）

位置关系
相交
相切
相离
几何特征
有两个公共点
有且只有一公共
点
没有公共点
方程特征
方程组有两个不同实根
方程组有且只有一实根
方程组无实根
几何法
dd=r
d>r
代数法
△>0
△=0
△<0
（2）研究直线与圆的位置关系主要方法有：
代数法，几何法
（3）研究直线与圆的位置关系：
注意数形结合思想、方程思想、运动变化观点的综合运用。
6。研究性问题：
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圆x+y=4上有___个点,到直线3x+4y-10=0 的距离为1.
7．作业：
（1）P136 练习3、4
（2）P140 A组1、5、6
（3）思考题：练习册P86第14题。
设计意图：研究性问题是为让学生学会用方程解决几 何问题的一个例子，让学生通过又一次
的探究，体会几何法与代数法在解析几何中的应用。作业分层落实 ，思考题供学有余力的学
生自主探索，提高他们的探索能力。
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