视频高中数学吧-高中数学分数多少分
直线与圆的位置关系
一、点与圆的位置关系
设
P(x<
br>0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
；若<
br>P
到圆心之距为
d
；
222
①
P
在在圆<
br>C
外
?d?r?(x
0
?a)?(y
0
?b)?r<
br>；
222
②
P
在在圆
C
内
?d?r?(x
0
?a)?(y
0
?b)?r
；
222
③P
在在圆
C
上
?d?r?(x
0
?a)?(y
0
?b)?r
；
222
二、直线与圆的位置关系：
设直线
l:Ax?By?C?0
和圆
C:(x?a)?(y?b)?r
，
222
位置关系的判定：
判定方法1：联立方程组
(1)△>0
(2)△=0
(3)△<0
相交；
相切；
相离。
得到关于x(或y)的方程
判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d
(1)d
(3)d>r相离。
利用
?
判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。
三、两圆的位置关系：
（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二
次方程组；若方程组有两组不同的实数解，
则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若
无实数解，两圆
相离。
（2）几何法：设圆
O
1
的半径为
r
1
，圆
O
2
的半径为
r
2
①
两圆外离
?|O
1
O
2
|?r
1
?r
2<
br>；4条公切线
②两圆外
切
?|O
1
O
2
|?r
1
?r
2
；3条公切线
③两圆相交
?|r
2?r
1
|?|O
1
O
2
|?r
1
?r
2
；2条公切线
④两圆内切
?|O
1
O
2
|?|r
2
?r
1
|
；1条公切线
⑤两圆内含
?|O
1
O
2
|?|r
2
?r
1
|
；没有公切线
四、两圆公共弦所在直线方程
22
圆
C<
br>1
：
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
，
22<
br>圆
C
2
：
x?y?D
2
x?E
2
y
?F
2
?0
，
则
?
D
1
?D
2
?
x?
?
E
1
?E
2
?
y??
F
1
?F
2
?
?0
为两相交圆公共弦方程.
补充说明：
①
若
C
1
与
C
2
相切，则表示其中一条公切线方程；
②
若
C
1
与
C
2
相离，则表示连心线的中垂线方程.
五、圆系问题
2222
过两圆
C
1
：
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
和
C
2
：
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2?0
交点的圆系
方程为
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0（
?
??1
）
补充：
①
上述圆系不包括
C
2
；
②
2）当
?
??1
时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
③ 过直线Ax?By?C?0
与圆
x?y?Dx?Ey?F?0
交点的圆系方程为
22
??
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
?
?
Ax?By?C
?
?0
六、
过一点作圆的切线的方程：
(1) 过圆外一点的切线：
①k不存在，验证是否成立
②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离
=
半径，即
?
y<
br>1
?y
0
?k(x
1
?x
0
)
?<
br>b?y
1
?k(a?x
1
)
?
R?
?
R
2
?1
?
求解k，得到切线方程【一定两解】
例1. 经过点P(1，—2)点作圆(
x+
1)
+
(
y—
2)
=
4的切线，则切线方程为 。
(2) 过圆上一点的切线方程：圆(
x—a
)
+
(
y—b
)
=r
，圆上一点为(
x
0
，y
0
)，
222
22
2
则过此点的切线方程为(
x
0
—a
)(
x—a
)
+
(
y<
br>0
—b
)(
y—b
)
= r
特别地，过
圆
x
2
?y
2
?r
2
上一点
P(x
0
,y
0
)
的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
2
.
例2.经过点P(—4，—8)点作圆(
x+
7)
+
(
y+
8)
=
9的切线，则切线方程为
。
22
七、
切点弦、切线长
切点弦：过⊙
C
：
(x?a)?(y?b)?r
外一点
P(x
0
,y0
)
作⊙
C
的两条切线，切点分别为
222
A、B，则切点弦
AB
所在直线方程为：
(x
0
?a)(x?a)?(
y
0
?b)(y?b)?r
2
2
切线长：若
圆的方程为(
x
?
a
)(
y
?
b
)=r
，则过圆外一点
P
(
x
0
,
y
0<
br>)的切线长为
22
d
=
(x
0
?a)
2<
br>+(y
0
?b)
2
?r
2
．
类型一：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例1：(1)已知点P(x
0
，y
0
)是圆C：x
2
+y
2
=r
2
上一点，求过点P的圆C的切线方程；
(x
0
x+y
0
y=r
2
)
例2、求过下列各点的圆C：x
2
+y
2
-2
x+4y-4=0的切线方程：
(1) ； （2） B(4，5)
变式练习：已知圆O：x
2
+y
2
=16，求过点P(4
,6)的圆的切线PT的方程。
4
?
与圆
O
相切的切线． 例3.
已知圆
O：x?y?4
，求过点
P
?
2，
22
例4. 两圆
C
1
：x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与
C
2
：x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
相交于
2222
A
、
B
两点，求它们的公共
弦
AB
所在直线的方程．
22
例5、过圆
x?y?1
外一点
M(2,3)
，作这个圆的两条切线
MA
、
MB
，切点分别是
A
、
B
，求直线
AB
的方程。
类型二：弦长、弧问题
例1、求直线
l
:3x?y?6?0
被圆
C:x?y?2x?4y?0
截得的弦
AB
的长.
22
例2、直线
3x?y?23
?0
截圆
x?y?4
得的劣弧所对的圆心角为
22
例3、求两圆
x?y?x?y?2?0
和
x?y?5
的公共弦长
2222
类型三：直线与圆的位置关系
22
例1、已知直线
3x?y?23?0
和圆
x?y?4
，判断此直线与已知圆
的位置关系.
例2、若直线
y?x?m
与曲线
y?4?x
2
有且只有一个公共点，求实数
m
的取值范围.
例3 圆
(x?3)?(y?3)?9
上到直线
3x?4y?11?0
的距离为1的点有几个？
2
2
练习：若直线
y?kx?2
与圆
(x?2)?(y?3)?1
有两
个不同的交点，则
k
的取值范围
22
是 .
例4、 圆
x?y?2x?4y?3?0
上到直线
x?y?1?0
的距离为
2
的点共有（ ）．
22
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?4
有
?4
?
作直线
l
，当斜率为何值时，直线
l
与
圆
C：
例5、
过点
P
?
?3，
22
公共点，如图所示．
y
O
x
E
P
22
类型四：圆与圆的位置关系
22
例1、判断圆
C
1
:x?y?2x?6y?26?0
与圆
C
2
:x?y?4x?2y?4?0
的位置关
系，
2222
例2：圆
x?y?2x?0
和圆
x?y?4y?
0
的公切线共有 条。
22
变式练习：求与圆
x?y?5
外切于点
P(?1,2)
，且半径为
25
的圆的方程.
类型五：圆中的对称问题
例1、圆
x?y?2x?
6y?9?0
关于直线
2x?y?5?0
对称的圆的方程是
22
3
?
发出的光线
l
射到
x
轴上，被
x
轴反射，反射光线所例2. 自点A
?
?3，
在的直线与圆
C：x?y?4x?4y?7?0
相切
（1）求光线
l
和反射光线所在的直线方程．
（2）光线自
A
到切点所经过的路程．
A
22
y
M
C
N
G
O
B
x
A’
图
类型六：圆中的最值问题
例1：圆
x?y?
4x?4y?10?0
上的点到直线
x?y?14?0
的最大距离与最小距离的
差是
22
(x?3)?(y?4)?1
，
P
(x,y)
为圆
O
上的动点，求
d?x?y
的最例2
(1)已知圆
O
1
：
大、最小值．
2222
(x?2)?
y?1
，
P(x,y)
为圆上任一点．求(2)已知圆
O
2
：
22
y?2
的最大、最小值，求
x?1
x?2y
的最大、
最小值．
22
例3：已知
A(?2,0)
，
B(2,0)
，点
P
在圆
(x?3)?(y?4)?4
上
运动，则
PA?PB
22
的最小值是 .
练习：
22
1：已知点
P(x,y)
在圆<
br>x?(y?1)?1
上运动.
（1）求
y?1
的最大值与最小值；（2）求
2x?y
的最大值与最小值.
x?2
类型七：轨迹问题
例1、已知点
M
与两个定点<
br>O(0,0)
，
A(3,0)
的距离的比为
1
，求点
M
的轨迹方程.
2
22
例2、已知线段
AB
的
端点
B
的坐标是（4，3），端点
A
在圆
(x?1)?y?4
上运动，求
线段
AB
的中点
M
的轨迹方程.
例3 如图所示，已知圆
O：x?y?4
与
y
轴的正方向交于
A
点，点
B
在直线
y?2
上运<
br>动，过
B
做圆
O
的切线，切点为
C
，求
?A
BC
垂心
H
的轨迹．
22
例4 已知圆的方程为
x?y?r
，圆内有定点
P(a,b)，圆周上有两个动点
A
、
B
，使
222
PA?PB，求矩形
APBQ
的顶点
Q
的轨迹方程．
22
变式练习、由动点
P
向圆
x?y?1
引两条
切线
PA
、
PB
，切点分别为
A
、
B
，<
br>?APB
=60
0
，则动点
P
的轨迹方程是
.
22
变式练习、已知定点
B(3,0
)
，点
A
在圆
x?y?1
上运动，
M
是线段
AB
上的一点，且
1
AM?MB
，问点
M
的轨迹
3