高考数学复习直线与圆的位置关系

高考数学复习直线与圆的位置关系
7.6 直线与圆的位置关系
●知识梳理
直线和圆
1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的 方程和直线的方程联立成方
程组，利用判别式
Δ
来讨论位置关系.
①
Δ
＞0，直线和圆相交.
②
Δ
=0，直线和圆相切.
③
Δ
＜0，直线和圆相离.
方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.
①d＜R，直线和圆相交.
②d=R，直线和圆相切.
③d＞R，直线和圆相离.
2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k
或 已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.
3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.
●点击双基
1.设 m>0，则直线
2
（x+y）+1+m=0与圆x
2
+y
2
=m的位置关系为
A.相切 B.相交
C.相切或相离 D.相交或相切
1?m
，圆半径为
m
.
2
1?m11
∵d－r= －
m
=（m－2
m
+1）=（
m
－1）
2
≥0，
222
∴直线与圆的位置关系是相切或相离.
答案：C
2.圆x
2
＋y
2
－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于
解析：圆心到直线的距离为d=
A.
6
B.
52
C.1 D.5
2
2
2
2
)
=
6
. ，半径为
2
，弦长为2
(2)
2
?(
2
2
解析：圆心到直线的 距离为
答案：A
3.圆x
2
+y
2
－4x=0在点P（1 ，
3
）处的切线方程为
A.x+
3
y－2=0 B.x+
3
y－4=0
C.x－
3
y+4=0 D.x－
3
y+2=0
解法一：
x
2
+y
2
－4x=0
y=kx－k+
3

1 7

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?
x
2
－4x+ （kx－k+
3
）
2
=0.
该二次方程应有两相等实根，即
Δ
=0，解得k=
∴y－
3
=
3
.
3
3
（x－1），即x－
3
y+2=0.
3
解法 二：∵点（1，
3
）在圆x
2
+y
2
－4x=0上，
∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直.
又∵圆心为（2，0），∴
解得k=
0?3
·k=－1.
2?1
3
，∴切线方程为x－
3
y+2=0.
3
答案：D
4.圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4 ）、B（0，－2），则圆C
的方程为____________.
解析：∵圆C与y轴交于A（0，－4），B（0，－2），
∴由垂径定理得圆心在y=－3这条直线上.
又已知圆心在直线2x－y－7=0上，
y=－3，
∴联立
解得x=2，
2x－y－7=0.
∴圆心为（2，－3），
半径r=|AC|=
2
2
?[?3?(? 4)]
2
=
5
.
∴所求圆C的方程为（x－2）
2
+（y+3）
2
=5.
答案：（x－2）
2
+（y+3）
2
=5
5.若直线y= x+k与曲线x=
1?y
2
恰有一个公共点，则k的取值范围是__________ _.
解析：利用数形结合.
答案：－1＜k≤1或k=－
2

●典例剖析
【例1】 已知圆x
2
+y
2
+x－6y+m =0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O
为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半 径.
剖析：由于OP⊥OQ，所以k
OP
·k
OQ
=－1，问题可解.
解：将x=3－2y代入方程x
2
+y
2
+x－6y+m=0，得5 y
2
－20y+12+m=0.
设P（x
1
，y
1
）、Q（x
2
，y
2
），则y
1
、y
2
满足条件
12?m
.
5
∵OP⊥OQ，∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0.
而x
1
=3－2 y
1
，x
2
=3－2y
2
，
∴x
1x
2
=9－6（y
1
+y
2
）+4y
1
y
2
.
y
1
+y
2
=4，y
1
y
2
=
∴m=3，此时
Δ
＞0，圆心坐标为（－
15，3），半径r=.
22
2 7

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评述：在解答中，我们采用了对直线与圆的 交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意
这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.
【例2】 求经过两圆（x+3）
2
+y
2
=13和x
2< br>+（y+3）
2
=37的交点，且圆心在直线x－y－
4=0上的圆的方程.
剖析：根据已知，可通过解方程组
（x+3）
2
+y
2
=13，
得圆上两点，
x
2
+（y+3）
2
=37
由圆心在直线x－y－4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；
也可根据已知 ，设所求圆的方程为（x+3）
2
+y
2
－13+
λ
［x< br>2
+（y+3）
2
－37］=0，再由圆
心在直线x－y－4=0上， 定出参数
λ
，得圆方程.
解：因为所求的圆经过两圆（x+3）
2
+y
2
=13和x
2
+（y+3）
2
=37的交点， 所以设所求圆的方程为（x+3）
2
+y
2
－13+
λ
［x
2
+（y+3）
2
－37］=0.
4?28
?
9(1?
?
2
)
33
?
22
展开、配方、整理， 得（x+）+（y+）=+.
1?
?
1?
?
1?
?
(1?
?
)
2
33
?
，－），代入方程x－y－4=0， 得
λ
=－7.
1?
?
1?
?
1789
故 所求圆的方程为（x+）
2
+（y+）
2
= .
222
评 述：圆C
1
：x
2
+y
2
+D
1
x+E< br>1
y+F
1
=0，圆C
2
：x
2
+y
2
+D
2
x+E
2
y+F
2
=0，若圆C
1
、C
2
相交，
那么过两圆公共点的圆系方程为（x
2
+ y
2
+D
1
x+E
1
y+F
1
）+
λ
（x
2
+y
2
+D
2
x+E
2
y+F
2
）=0（
λ
∈R
且
λ
≠－1）.它表示 除圆C
2
以外的所有经过两圆C
1
、C
2
公共点的圆.
特别提示

圆心为（－
在过两圆公共点的图象方程中，若
λ
=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程.
【例3】 已知圆C：（x－1）
2＋（y－2）
2
＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0
（m∈R）.
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.
（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
2x+y－7=0， x=3，
∵m∈R，∴
x+y－4=0，
得


y=1，
即l恒过定点A（3，1）.
∵圆心C（1，2），｜AC｜＝
5
＜5（半径），
∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.
（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由k
AC
＝－
1
，
2
∴l的方程为2x－y－5=0.
评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？
思考讨论

求直线过定点，你还有别的办法吗？
●闯关训练
夯实基础
3 7

高考数学复习直线与圆的位置关系
1.若圆（x－3）
2
＋ （y+5）
2
＝r
2
上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1， 则半
径r的范围是
A.（4，6） B.［4，6） C.（4，6］ D.［4，6］
解析：数形结合法解.
答案：A < br>2.已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x
2
+y
2
=1 相切，则三条边长分别为｜a｜、｜b｜、｜
c｜的三角形
A.是锐角三角形 B.是直角三角形
C.是钝角三角形 D.不存在
解析：由题意得
角形为直角三角形.
答案：B
3.若圆x
2
+y
2
+mx－
____________.
|a?0?b?0?c|
a
2
?b
2
=1，即c
2
=a
2
+b
2
，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜构成的三
1< br>=0与直线y=－1相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为
4
m
22
m
2
?1
m
解析：圆方程配方得（x+）+y=，圆心为（－，0）.
4
22
m
由条件知－<0，即m>0.
2
m
2< br>?1
又圆与直线y=－1相切，则0－（－1）=，即m
2
=3，∴m=
3
.
4
答案：
3

4.直线x+2y=0被曲线x2
+y
2
－6x－2y－15=0所截得的弦长等于____________.
解析：由x
2
+y
2
－6x－2y－15=0，得（x－3）
2
+（y－1）
2
=25.
知圆心为（3，1），r=5.
由 点（3，1）到直线x+2y=0的距离d=
|3?2|
5
=
5
.
可得
1
弦长为2
5
，弦长为4
5
.
2
答案：4
5

5.自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上， 被x轴反射，其反射光线所在的直线与
圆x
2
＋y
2
－4x－4y＋ 7＝0相切，求光线l所在直线的方程.
解：圆（x－2）
2
＋（y－2）
2
＝1关于x轴的对称方程是（x－2）
2
＋（y＋2）
2
＝1.
设l方程为y－3＝k（x＋3），由于对称圆心（2，－2）到l距离为圆的半径1，从而可
34
，k
2
＝－．故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0. < br>43
6.已知M（x
0
，y
0
）是圆x
2
+ y
2
=r
2
（r>0）内异于圆心的一点，则直线x
0
x+ y
0
y=r
2
与此圆
有何种位置关系?
得k
1
＝－
4 7

高考数学复习直线与圆的位置关系
分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.
解：圆心O（0，0）到直线x
0< br>x+y
0
y=r
2
的距离为d=
r
2
2x
0
?
2
y
0
.
22
∵P（x0
，y
0
）在圆内，∴
x
0
?y
0
则有d>r，故直线和圆相离.
培养能力
7.方程ax< br>2
+ay
2
－4（a－1）x+4y=0表示圆，求a的取值范围，并求出其中 半径最小的圆
的方程.
2(a?1)
2
2
2
4(a
2
?2a?2)
解：（1）∵a≠0时，方程为［x－］+（y+）=，
2
a
a
a
由于a
2
－2a+2＞0恒成立，
∴a≠0且a∈R时方程表示圆.
（2）r
2
=4·
a
2
?2a?2
11
2
1
=4［2(－)+］，
a22
a
2
∴a=2时，r
min
2
=2.
此时圆的方程为（x－1）
2
+（y－1）
2
=2.
8. （文）求经过点A（－2，－4），且与直线l：x+3y－26=0相切于（8，6）的圆的方程.
解：设圆为x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0，依题意有方程组
3D－E=－36，
2D+4E－F=20，
8D+6E+F=－100.
D=－11，
∴
E=3，
F=－30.
∴圆的方程为x
2
+y
2
－11x+3y－30=0.
（理）已知点P是圆x
2
+y
2
=4上一动点，定点Q（4，0）.
（1）求线段PQ中点的轨迹方程；
（2）设∠POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程.
解：（1）设PQ中点M（x， y），则P（2x－4，2y），代入圆的方程得（x－2）
2
+y
2
=1.
（2）设R（x，y），由
设P（m，n），则有
m=
|PR||OP|
1
==，
|RQ||OQ|
2
3x?4
，
2
3y
n=，
2
代入x
2
+y
2
=4中，得
416
（x－）
2
+y
2
=（y≠0）.
39
5 7

高考数学复习直线与圆的位置关系
探究创新
9.已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为
2
，点N到直线P M的距
离为1，求直线PN的方程.
解：设点P的坐标为（x，y），
|PM|
由题设有=
2
，
|PN|
即
(x?1)
2
?y
2
=
2
·
(x?1)
2
? y
2
，
整理得x
2
+y
2
－6x+1=0.
①
因为点N到PM的距离为1，|MN|=2，
所以∠PMN=30°，直线PM的斜率为±
直线PM的方程为y=±
②
将②代入①整理得x
2
－4x+1=0.
解得x
1
=2+
3
，x
2
=2－
3
.
代入②得点P的坐标为（2 +
3
，1+
3
）或（2－
3
，－1+
3
） ；（2+
3
，－1－
3
）
或（2－
3
，1－
3
）.
直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1.
●思悟小结
1 .直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比
较圆心到直线的 距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解
的个数.
2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化.
●教师下载中心
教学点睛
1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.
2.当直线 和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般
要用切线、半径及圆外点与 圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦
心距、半径及弦长的一半构成的直角三角 形.
3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.
4.在确定点与圆、直线 与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的
距离公式、点到直线的距离公式等应熟练 掌握，灵活运用.
拓展题例
【例1】 已知圆的方程为x
2
+y
2
+ax+2y+a
2
=0，一定点为A（1，2），要使过定点A（1，
2 ）作圆的切线有两条，求a的取值范围.

3
.
3

3
（x+1）.
3
4?3a
2
a
2
a
2
解：将圆的方程配方得（x+）+（y+1）= ，圆心C的坐标为（－，－1），
4
22
6 7

高考数学复习直线与圆的位置关系
4?3a
2
半径r=，
4
条件是4－3a
2
＞0，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必 在圆外，即
4?3a
2
a
22
.
(1?)?(2?1)
＞
4
2
化简得a
2
+a+9＞0.
4－3a
2
＞0，
由
2
a+a+9＞0，
2323
－＜a＜，
33
解之得
a∈R.
∴－
2323
＜a＜.
33
2323
，）.
33
【例2】 已知⊙O方程为x
2
+y
2
=4，定点A（ 4，0），求过点A且和⊙O相切的动圆圆
心的轨迹.
剖析：两圆外切，连心线长等于两圆半 径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，
由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然 后将这个几何条件坐标化，即得到它
的轨迹方程.
解法一：设动圆圆心为P（x，y），因为动圆过定点A，所以|PA|即动圆半径.
当动圆P与⊙O外切时，|PO|=|PA|+2；
当动圆P与⊙O内切时，|PO|=|PA|－2.
综合这两种情况，得||PO|－|PA||=2.
将此关系式坐标化，得
故a的 取值范围是（－
|
x
2
?y
2
－
(x?4)
2
?y
2
|=2.
y
2
=1.
3
解法二：由解法一可得动点P满足几何关系
||OP|－|PA||=2， 即
P
点到两定点
O
、
A
的距离差的绝对值为定值2，所 以
P
点轨迹是以
O
、
A
为焦点，2
为实轴长的双曲 线，中心在
OA
中点（2，0），实半轴长
a
=1，半焦距
c
=2，虚半轴长
化简可得（x－2）
2
－
y
2
b
=
c?a
=
3
，所以轨迹方程为（
x
－2）－=1.
3
22
2
7 7