贵州省高中数学全国联赛试题-高中数学理科选修4-3
9.直线和圆的方程较难题及难题组)
1.(2012年江苏高考12)在平面直角坐
标系
xOy
中,圆
C
的方程为
x
2
?y
2
?8x?15?0
,若直
线
y?kx?2
上至少存在一点,使得以该
点为圆心,1为半径的圆与圆
C
有公共点,则
k
的最大值是 ▲ .
2、(2011江苏高考14)设集合
A?{(x,y)|
m<
br>?(x?2)
2
?y
2
?m
2
,x,y?R}
,
2
B?{(x,y)|2m?x?y?2m?1,x,y?R}
,
若
A?B?
?
,
则实数m的取值范围是______________
3.(连云港市2012
-2013学年度第一学期高三期末考试13)如图,点A,B分别在x轴与
y轴的正半轴上移动,且A
B=2,若点A从(3,0)移动到(2,
0),则AB中点D经过的路程为 ▲ .
4.(南通市2013届高三第一次调研测试13)已知直线y=ax+3与圆
x
2
?y
2
?2x?8?0
相交于A,B两点,点<
br>P(x
0
,y
0
)
在直线
y=2x上,且PA=PB
,则
x
0
的取值范围为 ▲ .
. <
br>5.(苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试13)在平面直角坐标系
xOy<
br>中,已
知直线
3x?y?6?0
与圆
(x?3)
2
?
(y?1)
2
?2
交于
A
,
B
两点,则直线
OA
与直线
B
O
y
B?
D?
D
A?
A
x
(第3题图)
OB
的倾斜角之和为
.
6. (镇江市2012-2013学年度第一学期高三期末考试12)从直
线
3x?4y?8?0
上一点
P
向圆
C:x
2
?y
2
?2x?2y?1?0
引切线
PA,PB
,
A,B
为切点,则四边形
PACB
的周长最小
值为 .
7.(无锡市2013届高三上学期期末考试13)定义一个对应
法则f:P(rn,n)→
p
?
(m,
2|n|).现有直角坐标平面内的点
A(-2,6)与点B(6,-2),点M是线段AB上的动
点,按定义的对应法则f:M→M'.当点
M在线段AB上从点A开始运动到点B时,
点M的对应点M'经过的路线的长度为 。
8. (2012~20
13年苏锡常镇四市高三年级第二次模拟考试12)若对于给定的正实数k,函
k
数f(x)=
的图象上总存在点C,使得以C为圆心、1为半径的圆上有两个不同的点到原点O
x
的距离为2
,则k的取值范围是________.
9. (江苏省宿迁市2013届高三一模统测试题18)
x
2
y
2
636
已知椭圆
C
:
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率
e?
,一条准线方程为
x?
.
32
ab
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)设
G,H
为椭圆上的两个动点,
O
为坐标原点,且
OG?OH
. ①当直线
OG
的倾斜角为
60?
时,求
?GOH
的面积
;
②是否存在以原点
O
为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线
GH
相切?若存在,请
求出该定圆方程;若不存在,请说明理由.
10.
(南通市2013届高三第二次模拟考试19)
在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x
2
+y
2
=r
2
和直线l:x=a(其中r和a均为常数,
且
0<r<a),M为l上一动点,A
1
,A
2
为圆C与x轴的两个交点,直线
MA
1
,MA
2
与圆C
的另一个交点分别为P、Q.
(1) 若r=2,M点的坐标为(4,2),求直线PQ的方程;
(2)
求证:直线PQ过定点,并求定点的坐标.
【解析】考查圆与圆的位置关系,点到直线的距离。
∵圆C的方程可化为:<
br>?
x?4
?
?y
2
?1
,∴圆C的圆心为
(
4,0)
,半径为1。
∵由题意,直线
y?kx?2
上至少存在一点
A(x
0
,kx
0
?2)
,以该点为圆心,1为半径
的圆
与圆
C
有公共点;
∴存在
x
0
?R
,使得
AC?1?1
成立,即
AC
min
?2
。
∵
A
C
min
即为点
C
到直线
y?kx?2
的距离
2<
br>4k?2
k?1
2
,∴
4k?2
k?1
2
?
2
,解得
0?k?
4
。
3
∴
k
的最大值是
4
。
3
【答案】
4
。
3
【解析】考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离,线性规划。
当
m?
0
时,集合A是以(2,0)为圆心,以
m
为半径的圆,集合B是在两条平行线之间,
?
2?2m?12
?m?(1?2)m??0
,因为
A?B??
,
此时无解;当
m?0
时,集合A
2
2
m<
br>和
m
为半径的圆环,集合B是在两条平行线之间,必有
2
是以(2,
0)为圆心,以
2?2m?1
?
m1
2?1
?
2
?
m
??m?2?1
.又因为
?m
2
,??m?2?1
?2?2m
?m
22
2
?
?
2
1
【答案】
?m?2?1
2
3【解析】考查求点的轨迹方程,弧长公式。
设AB中点 D(x,y)
∵
?AOB?90
∴OD=1
∴
x?y?1
当点A从(3,0)移动到(2,0)时,x从
∴
圆心角变化
22
?
23
变到
22
?
12
?
∴
D经过的路程为
12
?
答案:
12
4【解析】考查直线与圆的位置关系。 ?
直线y?ax?3与圆x
2
?y
2
?2x?8?0相交
2
?
圆方程为(x?1)?y
2
?9
a?1
?8a
2
?6a?0
3
?a??或a?0
4
?
PA?PB
?d?
3?a
2
?3
1
?P在AB的中垂线y=-(x+1)上<
br>a
?
P在y?2x上
1
?-(x
0
+1)=2x0
a
?13
?x
0
?(a??或a?0)
2a?14<
br>?x
0
?(?1,0)
?
(0,2)
【答案】(?1,0)?(0,2)
5【解析】考查直线与圆的位置关系和直线的倾斜角和斜率。
?
?
3x?y?6?0
(x?3)?(y?1)
2
?2
2<
br>33?13?333?13?3
,),B(,)
2222
3?3103?12<
br>?k
OA
??
26
33?1
3?3103?12<
br>k
OB
??
26
33?1
?A(
?tan(
?
?
?
)?3
?
?
?
?
?
?3
【答案】60°
6【解析】考查直线与圆的位置关系
∵四边形
PACB
的周长=2PA+2r=2PA+2
∴
当PA最小时四边形
PACB
的周长最小
?
PA?PC2
?1
?
PC
最小值为
?d?
?PA最小值为22∴四边形
PACB
的周长最小值为
42?2
【答案】
42?2
7【解析】考查直线的方程和轨迹方程的应用。
15
?3
5
设M(x,y)?M
'
(x
'
,y
'
),
?x?x
'
,y
'
?2y<
br>?
y??x?4(?2?x?6)
当?2?x?4时,y?0
1
?y<
br>'
??x
'
?4
2
M
'
从(?2,12)?
(4,0)
2
?M
'
所经过的路程为(4?2)?12
2
?
65
当4?x?6时,y?0
1
??y
'
??x
'
?4(4?x
'
?6)
2
M
'
从(4,0)?(6,4)<
br>2
?M
'
所经过的路程为(4?6)?4
2
?25
'
?M所经过的路程共为85
'
【答案】85
8解析】考查圆与圆的位置关系和存在性命题成立的条件。
k
设C(
a,),
a
k
?
?
C:(x?a)
2
?(y?)<
br>2
a
??
O:x
2
?y
2
?4
??
C上总有两个点到原点的距离为2
?
?
C与
?
O相交
k
2
?存在a使12
?3
a
?存在a使?a
4
?a
2
?k
2
??a
4
?9a
22
81
4
9
?0?k?
2
9
0,
?
【答案】
?
?
2
?
c6a
2
36
222<
br>9解:(1)因为
?
,,
a?b?c
,……………………………2分
?
a3c2
?0?k
2
?
解得
a?3,b?3,
x
2
y
2
??1
.
………………………………………………………4分 所以椭圆方程为
93
?
2
9
?
y?3x
x?
?
?
2
?
10
2
(2)①由
?
x
,解得 ,…………………………………………6分 <
br>?
y
?1
?
?
?
y
2
?
2
7
3
?
9
?
10
?
?
3
?
2
9
x?
y??x
?
?
?
?
2
3
由
?
得
?
,
……………………………………………………8分
22
?
y
2
?<
br>3
?
x
?
y
?1
?
?
2
?
3
?
9
所以
OG?
310315
.…………………
…………10分
,OH?6
,所以
S
?GOH
?
55111
??
,
222
OGOHR
②假设存在满足条件的定圆,
设圆的半径为
R
,则
OG?OH?R?GH
222
因为<
br>OG?OH?GH
,故
当
OG
与
OH
的斜率均存在时
,不妨设直线
OG
方程为:
y?kx
,
10解: (1)
当r=2,M(4,2),则A
1
(-2,0),A
2
(2,0).
?
x
2
+y
2
=4,
?
86
?
,
.(2分) 直线MA
1
的方程:x-3y+2=0,解
?
得P<
br>?
55
??
?
x-3y+2=0,
?
22
?
?
x+y=4,
直线MA
2
的方程:x-y-2=0,解
?
得Q(0,-2).(4分)
?
x-y-2=0,
?
由两点式,得
直线PQ方程为:2x-y-2=0.(6分)
(2)
证法一:由题设得A
1
(-r,0),A
2
(r,0).设M(a,t),
11
直线MA
1
的方程是:y=(x+r),直线MA
1
的
方程是:y=(x-r).(8分)
a+ra-r
x
2
+y
2=r
2
,
?
?
r(a+r)
2
-rt
2
2tr(a+r)
??
,
解
?
得P
?
.
(10分)
t
(a+r)
2
+t
2
(a+r)
2
+t
2
?
??
y=(x+r),
?
?
a+
r
x
2
+y
2
=r
2
,
?
?rt
2
-r(a-r)
2
2rt(a-r)
??
解?
得Q
??
.(12分)
t
22
,-
(a-
r)+t(a-r)
2
+t
2
??
y=(x-r),
??
a-r
2at
于是直线PQ的斜率k
PQ
=
222<
br>,
a-t-r
22
2tr(a+r)
2at
?
r(
a+r)-rt
?
直线PQ的方程为y-=
?
x-
(a+r)
2
+t
2
?
.(14分)
(a+r)
2
+t<
br>2
a
2
-t
2
-r
2
??
2
r
2
?
r
?
上式中令y=0,得x=,是一个与t无关的常数,故
直线PQ过定点
?
a
,0
?
(16分)
a
证法二
:由题设得A
1
(-r,0),A
2
(r,0).设M(a,t),
t
直线MA
1
的方程是:y=(x+r),与圆C的交点P设为P(x
1<
br>,y
1
).
a+r
t
直线MA
2
的方程是
:y=(x-r);与圆C的交点Q设为Q(x
2
,y
2
).
a-
r
则点P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)在曲线[(a+r)y-t(x+r)][(a-r)y-t(x-r)]=0上,(10分) <
br>化简得(a
2
-r
2
)y
2
-2ty(ax-r2
)+t
2
(x
2
-r
2
)=0.①
又有P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)在圆C上,圆C:x
2
+y
2
-r
2
=0.②
① r-t
2
×②得(a
2
-r
2
)y
2
-2ty(ax-r
2
)-t
2
(x
2-r
2
)-r
2
(x
2
+y
2
-r<
br>2
)=0,
化简得:(a-r
2
)y-2t(ax-r
2<
br>)-t
2
y=0.
所以直线PQ的方程为(a
2
-r
2
)y-2t(ax-r
2
)-t
2
y=0. ③(14分) <
br>2
r
r
2
?
在③中令y=0得x=,故直线PQ过定点
?
?
a
,0
?
.(16分)
a