全品作业本高中数学必修一答案-高中数学教研文章
2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一直线方程、两直线的位置关系
例1已知两直线
l
1
:mx?
8y?n?0
和
l
2
:2x?my?1?0
.试确定
m、
n
的值,使:
(1)
l
1
与
l
2
相交于点
P
?
m,?1
?
;
(2)
l
1
∥
l
2
;
(3)
l
1
⊥
l
2
,且
l
1
在
y
轴上的截距为-1.
【答案】(1)
m?1
,
n?7
.
(2)
m?4
,
n??2
时或
m??4
,
n?2<
br>时,
l
1
∥
l
2
.
(3)
m?0
,
n?8
?
m
2
?8?n?0
【解析】(1)由题意得
?
,解得
m?1
,
n
?7
.
?
2m?n?1?0
(2)当
m?0
时,显然l
1
不平行于
l
2
;
?
m?m?8?2?0
?
m?4
?
m??4
m8n
,得
?
或
?
.
???
?
?
2m?1
?
8?(?
1)?nm?0
?
n??2
?
n?2
即
m?4
,<
br>n??2
时或
m??4
,
n?2
时,
l
1<
br>∥
l
2
.
n
(3)当且仅当
2m?8m?0
,即
m?0
时,
l
1
⊥
l
2
.又
???1
,∴
n?8
.
8
即
m?0
,
n?8
时,
l
1
⊥
l
2
,且
l
1
在
y
轴上的截距为-1.
当
m?0
时,由
【易错点】忽略对
m?0
的情况的讨论 <
br>【思维点拨】遇到直线类题型,首先要注意特殊情况如斜率不存在时或
k?0
时,并且对
于直线平行和垂直
时与
A
1
A
2
和
B
1<
br>B
2
间的关系要熟练记忆。
例2如图,设一直线过点(-1,1),它被两平
行直线l
1
:x+2y-1=0,l
2
:x+2y-3=0所截的线段的中点
在
直线l
3
:x-y-1=0上,求其方程.
【答案】
2x?7y?5?0
.
【解析】与
l
1
、
l
2
平行且距离相等的直线方程为
x?2y?2?0
.
设所求直线方程为
?
x?2y?2
?
?
?
?
x?y
?1
?
?0
,即
?
1?
?
?
x?
?
2?
?
?
y?2?
?
?0
.又直线过
1
A
?
?1,1
?
,∴
?
1?
?
?
?
?1
?
?
?
2?
?
?
?1?2?
?
?0
.解
?
??
.∴所求直线方程为
2x?7y?5?
0
.
3
1
【易错点】求错与
l
1
、
l
2
平行且距离相等的直线方程
【思维点拨】本题的关键在
于求到
l
1
、
l
2
平行且距离相等的直线方程,再利用这条
直线求出和第三条支线的
交点,从而求解本题.
题型二
圆的方程(对称问题、圆的几何性质运用)
例1已知实数
x
、
y
满
足方程
x?y?4x?1?0
.
22
y
的最大值和最小值;
x
(2)求
y?x
的最大值和最小值.
y
【答案】(1)的最大值为
3
,最小值为
?3
.
x
(2)
y?x
的最大值为
?2?6
,最小值为
?2?6
.
(1)求
y
即
y?kx
,
?k
,x
2k?0
y
当直线
y?kx
与圆相切时,斜率
k取最大值和最小值,此时
?3
,解得
k??3
.故的最大值
x<
br>k
2
?1
为
3
,最小值为
?3
.
(2)设
y?x?b
,即
y?x?b
,当
y?x?b
与圆相
切时,纵截距
b
取得最大值和最小值,此时
2?0?b
?3
,即b??2?6
.故
y?x
的最大值为
?2?6
,最小值为
?2?6
.
2
【解析】(1)原方程化为
?
x?2
?<
br>?y
2
?3
,表示以点
?
2,0
?
为圆心,
以
3
为半径的圆.设
2
【易错点】理解错给定要求结果的含义
【思维点拨】正确理解给定结果的含义,在利用题中的条件解决问题。
例
2
已知点
P
?
10,0
?
,
Q
为圆
x?y?
16
上一动点,当点
Q
在圆上运动时,
PQ
的中点
M
的轨迹方程
22
是
.
【答案】
?
x?5
?
?y
2
?4
. 【解析】设点
M
?
x,y
?
为所求轨迹上任意一点,
Q
?
x
0
,y
0
?
.
2
10?x
0
?
x?
,
?
?
x
0
?2x-1
0
,
?
2
因为
M
为
PQ
的中点
,所以
?
即
?
y?2y.
0?y
0
?
y?
,
?
0
?
2
?
又因为点
Q
在圆<
br>x?y?16
上,
所以
?
2x?10
?
?
?
2y
?
?16
,
2
22
22
?
x?5
?
故所求的轨
迹方程为
2
?y
2
?4
.
【易错点】中点的错误应用
【思维点拨】求出中点横纵坐标的方程及求出所求的直线
题型三
直线与圆、圆与圆的位置关系
22
例
1
在平面直角坐标系
xOy<
br>中,已知圆
C
:
x+(y-3)=2
,点
A
是
x
轴上的一个动点,
AP
,
AQ
分别切圆
C
于<
br>P
,
Q
两点,则线段
PQ
长的取值范围是
.
?
214
?
,
22
?
【答案】
PQ
∈
?
?
.
3
??
【解析】设∠
P
CA=θ
,所以
PQ=2
2
sin θ.
?
2
?
2
0
,
?
,
又
cos
θ=
,
AC
∈
[3
,
+∞)
,所以
cos
θ
∈
?
?
AC
?
3
?
?
2
??
7
?
22
0
,
1
?
,
<
br>所以
cos
θ
∈
?
,
sinθ=1-cosθ
∈
?
,
?
?
9
??
9
?
2?
7
??
214
?
,
1
?
22
?
所以
sin θ
∈
?
?
,所以
PQ
∈
?
3
,
?
.
3
????
【易错点】直接去求线段的长度
【思维点拨】转化思想,把要求的线段长度转化为角度的关系,从而解决问题.
例2已知圆
C:x?y?2x?4y?3?0.
(1)若圆
C
的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;
(2)
从圆
C
外一点
P(x
1
,y
1
)
向该圆引
一条切线,切点为
M,O
为坐标原点,且有
PM?PO,
求使得
PM
取
得最小值时点
P
的坐标.
【答案】(1)
x?y?1?0
,或
x?y-3?0
.
(
2)
?
-
22
?
33
?
,
?
<
br>?
105
?
【解析】(1)将圆
C
配方得
?
x?1
?
2
?(y?2)
2
?2
.
当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为
y?kx
,
由
k+2
k?1
2
=2
,解得
k?2?6
,得
y?(
2?6)x
.
当直线在两坐标轴上的截距不为零时,
3
设直线方程为
x?y?a?0
,由
-1+2-a
2
?2,得
a??1
,
a?3
.
∴直线方程为
x?y?1?0
,或
x?y-3?0
.
2222
(2)由
PO?PM
,得
x
1
?y1
?(x
1
?1)?(y
1
?2)?2
,
即点
P
在直线
l:2x?4y?3?0
上.
当
PM
取最小值时,即
OP
取得最小值,直线
OP?l
,
∴直线
OP
的方程为
2x?y?0
.
得点
P
的坐标为
?
-
【易错点】没有分类讨论
【思维点拨】考查用点斜式、斜截式求直线的方法,利用分类讨论思想来解决问题
题型四
定点定值轨迹问题
222
例
1
已知
t
∈
R
,圆
C
:
x+y-2tx-2ty+4t-4=0.
?
33
?
,
?
.
?
105
?<
br>(1)
若圆
C
的圆心在直线
x-y+2=0
上,求圆
C
的方程
.
(2)
圆
C
是否过定点
?
如
果过定点,求出定点的坐标;如果不过定点,请说明理由
.
【答案】(1)圆C的方程为x<
br>2
+y
2
+2x-2y-8=0或x
2
+y
2
-4x-8y+4=0.
(
2
)过定点,定点坐标为
?
2,0
?
222422
【解析】
(1)
由原方程配方得
(x-t)+(y-t)=t+
t-4t+4
,其圆心为
C(t
,
t).
2
依题意知
t-t+2=0
,所以
t=-1
或
2.
2222
即圆
C
的方程为
x+y+2x-2y-8=0
或<
br>x+y-4x-8y+4=0.
(2)
整理圆
C
的方程为
(
x
2
+y
2
-4)+(-2x+4)t+(-2y)·t
2
=0
,
?
x
2
?y
2
-4?0
,
?
x?2
,
?
令
?
-2x?4?0<
br>,
?
?
?
y?0
,
?
-2y?0
?
所以圆
C
过定点
(2
,
0).
【易错点】漏解
【思维点拨】判定圆是否过定点,或是求圆所过定点坐标的问题,可以在方程形式上转化为关于某个参量
的方程,结合恒等式的关系,再构造关于
x
,
y
的方程组求该点的坐
标
.
若方程组有解,则说明圆过定点,否
则圆不过定点
.
4
22
例
2
如图,已知圆
C<
br>:
x+(y-3)=4
,一动直线
l
过点
A(-1
,
0)
与圆
C
相交于
P
,
Q
两点,
M
是
PQ
的中点,
l
与直线
m
:
x+3y
+6=0
相交于点
N.
(1)
求证:当
l
与
m<
br>垂直时,
l
必过圆心
C.
(2)
当
PQ=2
3
时,求直线
l
的方程
.
(3)
探索
AM·
AN
是否与直线
l
的倾斜角有关
?
若无关,请求出其
值;若有关,请说明理由
.
【答案】(1)见解析
(
2
)
x=-1
或
4x-3y+4=0.
(3
)
AM
·
AN
与直线
l
的倾斜角无关,且<
br>AM
·
AN
=-5.
【解析】
(1)
因为
l
与
m
垂直,且
k
m
=-
圆心
C. (2)
①当直线
l
与
x
轴垂直时,易知
x=-1
,符合题意
.
②当直线
l
与
x
轴不垂直时,
设直线
l
的方程为
y=k(x+1)
,即
kx-y+k=0
.
因为
PQ=2
1
,所以
k
l
=3.
又
k
AC
=3
,所以当
l
与
m
垂直时,<
br>l
的方程为
y=3(x+1)
,
l
必过
3
3
,所以
CM=
4-3
=1
,
则由
CM=
|k-3|
k
2
?1
=1
,得
k=
4,
3
所以直线
l
:
4x-3y+4=0
,
从而所求的直线
l
的方程为
x=-1
或
4x-3y+4=0.
(3)
因为
CM
⊥
MN
,所以
AM
·
AN
=(
AC
+
CM
)·
AN<
br>=
AC
·
AN
+
CM
·
AN
=AC
·
AN
.
①当
l
与
x
轴垂直时
,易得
N
?
?1,?
?
?
5
?
?
,
3
?
5
-
?
.
又<
br>AC
=(1
,
3)
,
则
AN
=<
br>?
0
,
所以
AM
·
AN
=
AC·
AN
=-5
;
②当
l
的斜率存在时,设直
线
l
的方程为
y=k(x+1)
,
则由
?
?
?
5
?
3
?
?
y?k(x?1)
,<
br>?
-3k-6-5k
?
,
得
N
??
,
1?3k1?3k
?
?
x?3y?6?0
,
?
-5k
??
-5
,
?
,
1?3k1?3k
??
-5-15k
+=-5.
1?3k1?3k
则
AN
=
?
所以
AM
·
AN
=<
br>AC
·
AN
=
综上,
AM
·
AN
与
直线
l
的倾斜角无关,且
AM
·
AN
=-5.
【易错点】忽略对斜率不存在情况的讨论
【思维点拨】一般地,涉及到圆的切线或考虑其弦长
问题时,若需要求直线的方程,则务必要全面考虑问
题,即要考虑直线的斜率存在与不存在两种情况.
【巩固训练】
题型一直线方程、两直线的位置关系
1.已知直线l
1
:ax+2y+6=0和直线l
2
:x+(a-1)y+a
2
-
1=0.
(1)试判断l
1
与l
2
是否平行;
(2)l
1
⊥l
2
时,求a的值.
【答案】(
1)当a=-1时,l
1
∥l
2
,否则l
1
与l
2
不平行
2
(2)a=
3
【解析】(1)由A
1
B
2
-A
2
B
1
=0,得a(a-1)-1×2=0,由A
1
C
2
-A
2
C
1
≠0,得a(a
2
-1)-1×6≠0,
∴l
1
∥l
2
?
?<
br>?
a(a?1)?1?2?0
?
a(a?1)?1?6?0?a??1
2
,
故当a=-1时,l
1
∥l
2
,否则l
1<
br>与l
2
不平行.
2
(2) 由A
1
A
2<
br>+B
1
B
2
=0得a+2(a-1)=0?a=.
3
2.已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,在坐标平面内求一点P,使PA=
PB,且点P到直线
l的距离为2.
6
【答
案】P的坐标为
?
1,?4
?
或
?
?
278
?
,?
?
77
??
【解析】设点P的坐标为(a,b),∵A(4,-3),B(2,-1),
∴线段AB的中点M的坐标为(3,-2),
∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0.
∵点P(a,b)在上述直线上,∴a-b-5=0.①
|4a+3b-2|
又P(
a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2,∴=2,即4a+3b-2=±10,②
527
a=
?
7
?
a=1
?
278
?<
br>?
,?
?
. 联立①②可得或.∴所求点P的坐标为
?
1,?
4
?
或
?
8
?
b=-4
?
77
?
?
b=-
7
?
?
?
3.如图,已知A
(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB
反射后又回到P点,则光线所经过的路程是________.
【答案】CD=210
【解析】由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y
轴的对称点为C(-2,0),则光线所经过的路
程PMN的长为CD=210.
题型二 圆的方程(对称问题、圆的几何性质运用)
1.根据下列条件,求圆的方程:
(1)经过P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6;
(2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2).
【
答案】(1)x
2
+y
2
-2x-4y-8=0,或x
2
+
y
2
-6x-8y=0
(2)(x-1)
2
+(y+4)
2
=8
【解析】(1)设圆的方程为x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0,
?
?
2D-4E-F=20,
将P、Q点的坐标分别代入得
?
?
3D-E+F=-10.
?
①
②
7
又令y=0,得x
2
+Dx+F=0.③
设x
1
,x
2
是方程③的两根,由|x
1
-x
2
|=6有D
2
-4F=36,④
由①、②、④解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0.
故所求
圆的方程为x
2
+y
2
-2x-4y-8=0,或x
2
+y
2
-6x-8y=0.
4x
0
-2
(2)
如图,设圆心(x
0
,-4x
0
),依题意得=1,
3-x
0
∴x
0
=1,即圆心坐标为(1,-4),半径r=22,
故圆的方程为(x-1)
2
+(y+4)
2
=8.
2.<
br>在平面直角坐标系
xOy
中,二次函数
f(x)=x
2
+2x
+b(x
∈
R
)
与两坐标轴有三个交点
.
记过三个交点的圆为圆
C.
(1)
求圆
C
的方程;
(2)
圆
C
是否经过定点
(
与
b
的取值无关<
br>)?
证明你的结论
.
【答案】(
1
)
x<
br>2
+y
2
+2x-(b+1)y+b=0.
(2)
圆C必过定点(0,1),(-2,1)
【解析】
(1)<
br>设所求圆的一般方程为
x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0,令
y=0
,得
x
2
+Dx+F=0
,这与
x
2
+2x+b=0
是同一个方程,故
D=2
,
F=b
;令
x=0
,得
y
2
+Ey+b=0
,此方程有一个根为
b
,代入得
E=-b-1
,
所以圆
C
的方程为x
2
+y
2
+2x-(b+1)y+b=0.
(2)
圆
C
必过定点
(0
,
1)
,
(-2
,
1).
?
x
2
?y
2
?2x-y?
0
,
?
x?0
,
?
x?
-2,
.
证明如下:原方程转化为
(x+y+2x-y)+b(1-y)=0
,即
?
解得
?
或
?
y?1y?1.
1-y?0
,
???
22
3.点P(4,-2)与圆x
2
+y
2
=4上任
一点连线的中点轨迹方程是___________.
【答案】(x-2)
2
+(y+1)
2
=1
2
【
解析】设圆上任一点坐标为(x
0
,y
0
),x
2
0
+y
0
=4,连线中点坐标为(x,y),
??
?
2x=x0
+4
?
x
0
=2x-4
222
?
则
?
?
,代入x
0
+y
2
0
=4中得(x-
2)+(y+1)=1.
?
2y=y
0
-2
?
y
0
=2y+2
??
题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.
若过点
P(1
,
1)
的直线将圆形区域
{(x
,<
br>y)|x
2
+y
2
≤4}
分为两部分,且使得这两部分的面积
之差最大,则该直
线的方程为
.
【答案】x+y-2=0 <
br>【解析】当圆心与点
P
的连线和过点
P
的直线垂直时,符合条件
.
圆心
O
与点
P
连线的斜率
k=1
,所以所求直
线
的斜率为
-1
,故所求直线方程为
x+y-2=0.
8
(x?3)
2
?(y?3)
2
?4
相交于
M,N
两点,若
MN?23
,则
k
的
取值范围是2. 直线
y?kx?3
与圆
________.
【答案】
-
3
?k?0.
4
【解析】
设圆心为
C
,弦
MN
的中点为
A
,当
MN?23<
br>时,
AC?MC
2
-MA
2
?4?3?1
.∴当<
br>MN?23
时,圆心
C
到直线
y?kx?3
的距离
d
?1
.
∴
3k-2?3
k
2
?1
2
?1<
br>.∴
?
3k?1
?
?k
2
?1
,∴
-
3
?k?0.
4
3.
若圆
O
:
x
2
+y
2
=5
与圆
O
1
:
(
x-m)
2
+y
2
=20(m
∈
R
)
相交
于
A
,
B
两点,且两圆在点
A
处的切线互相垂直,则线段<
br>AB
的长是
.
【答案】
AB?4
【解析】依题意得
OO
1
=
5?20
=5
,且△
OO
1
A
是直角三角形,
S
OO
1
A
=<
br>1AB1
··OO
1
=·OA·AO
1
,因此
AB=
222
2?OA?AO
1
2?5?25
==4.
OO
1
5
题型四 定点定值轨迹问题
1.
如
图,
(x+1)
2
+y
2
=1
,
(x-3)
2
+(y-4)
2
=1.
设动圆
C
同时平分圆
C
1
、在平面直角坐标系
xOy
中,已知圆
C
1
:圆
C
2
:
圆
C
2
的周长
.
(1)
求证:动圆圆心
C
在一条定直线上运动
.
(2)<
br>动圆
C
是否经过定点
?
若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理
由
.
【答案】(1)动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动
9
(
2
)动圆
C
过定点,定点的坐标为<
br>?
?
1-
?
3232
??
3232
?
,
2-1+
,
2+
和
??
?
?
??.
2222
????
【解析】
(1)
设圆心
C(x<
br>,
y)
,由题意,得
CC
1
=CC
2
,
即
(x?1)
2
?y
2
=
(x-3)
2
?(y-4)
2
,
化简得
x+y-3=0
,
即动圆圆心
C
在定直线
x+y-3=0
上运动
.
(2)
圆
C
过定点
.
设
C(m
,
3-m)
,则动圆
C
的半径为
1?CC
1
2
=
1?(m?1)
2
?(3-m)<
br>2
.
2222
于是动圆
C
的方程为
(x-m)+(
y-3+m)=1+(m+1)+(3-m)
,
22
整理,得
x+y-6y-2-2m(x-y+1)=0
,
?
x-y?1?0
,
联立方程组
?
22
x?y-6y-2?0
,
?
??
3232
x?1?
,
x?1-
,
??
??
22
解得
?
或<
br>?
?
y?2?
32
?
y?2-
32
,
??
22
??
所以动圆
C
过定点,定点的坐标为
?
?
1-
?
3232
??
3232
?
,
2
-1+
,
2+
.
和
???
???
22
??
22
??
2.
已知圆
C
:
(x-3)
2
+(y-4)
2
=4
,直线
l
1
过定点
A(1
,
0).
(1)
若
l
1
与圆相切,求直线
l
1
的方程
.
(2)
若
l
1
与圆相交于
P
,
Q<
br>两点,线段
PQ
的中点为
M
,又
l
1
与l
2
:
x+2y+2=0
的交点为
N
,判断
A
M·AN
是否
为定值
?
若是,则求出定值;若不是,请说明理由
.
【答案】(
1
)
x=1
或
3x-4y-3=0.
(2)AM·AN是定值且为6.
【解析】
(1)
①若直线
l1
的斜率不存在,即直线为
x=1
,符合题意
.
②若直线l
1
斜率存在,设直线
l
1
的方程为
y=k(x-1)
,即
kx-y-k=0.
由题意知,圆心
(3
,
4)到已知直线
l
1
的距离等于半径
2
,即
|3k-4-k
|
k
2
?1
=2
,解得
k=
3
,
4
10
所以所求直线方程为
x=1
或
3x-4y-3=0.
(2)
方法一:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为
0
,可设直线方程为
kx-
y-k=0.
由
?
?
x?2y?2?0
,
得
N<
br>?
?
kx-y-k?0
,
?
2k-2
?
2k
?1
,
-
3k
?
2k?1
?
?
.
又因为直线
CM
与
l
1
垂直,
?
y?kx-k
,
由
?
?
?
1
得
M
?
?
k
2
?4k?3
,
4k
2
?2k<
br>?
?
?
y-4?-
k
(x-3)
,
?
1?k
2
1?k
2
,
?
22
所以AM·AN=
?
?
k
2
?4k?3
?
1?k<
br>2
-1
?
?
?
?
?
?
4k
2
?2k
?
?
1?k
2
?
·
?
?
?
2k-2
?
2k?1
-1
?
2
??
3k
?
2
k?1|
2
?
?
?
?
-
2k?1
?
?
=
2|2
1?k
2<
br>1?k
2
·
31?k
|2k?1|
=6
为定值
.
故
AM·AN
是定值且为
6.
方法二:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为
0
,可设直线方程为
kx-
y-k=0.
由
?
?
x?2y?2?0
,
?
2k
-23k
,
得
N
?
kx-y-k?0
?
?
2k?1
,
-
?
2k?1
?
?
.
再由<
br>?
?
y?kx-k
,
?
(x-3)
2
?(y
-4)
2
?4
,
得
(1+k
2
)x2
-(2k
2
+8k+6)x+k
2
+8k+21=0
,
所以
x=
?
k
2
1
+x
2<
br>2k
2
?8k?6
?4k?3
1?k
2
,得
M
?
,
4k
2
?2k
?
?
1?k
2
1?k
2
?
?
.
以下同方法一
.
方法三:
(
几何法
)
(
变式
)
连接
CA
并延长交
l
2
于点
B
,由题知
k
1
AC
=2
,
kl
2
=-
2
,
11
所以
CB
⊥
l
2
.
如图,△
AMC
∽△
ABN
,
所以
AMAC
=
,
ABAN
AN=AC·AB=
2
5
·
可得
AM·
3
=6
,是定值
.
5
3.
如图,在平面直角坐标系
xOy
中,点
A(0
,
3)
,直线
l
:
y=2x-4
,设圆C
的半径为
1
,圆心在直线
l
上
.
(1)<
br>若圆心
C
也在直线
y=x-1
上,过点
A
作圆
C
的切线,求切线的方程;
(2)
若圆
C
上存在点M
,使
MA=2MO
,求圆心
C
的横坐标
a
的
取值范围
.
【答案】(1)y=3或3x+4y-12=0.
(2)
a?
?
0,
?
12
?
?
?
5
?
?
y?2x-4
,
【解析】
(1)
由
?
得圆心
C
为
(3
,
2)
,<
br>
y?x-1
,
?
因为圆
C
的半径为
1,
22
所以圆
C
的方程为
(x-3)+(y-2)=1.
由题知切线的斜率一定存在,
设所求圆
C
的切线方程为
y
=kx+3
,即
kx-y+3=0
,
所以
|3k-2?3
|
k?1
2
=1
,所以
|3k+1|=
k
2
?1
,
所以
2k(4k+3)=0
,所以
k=0
或
k=-
3
.
4
3
x+3
,
4
所以所求圆
C
的切线方程为
y=3
或
y=-
即
y=3
或
3x+4y-12=0.
(2)
因为圆
C
的圆心在直线
l
:
y=2x-4
上,
所以设圆心
C
为
(a
,
2a-4)
,
22
则圆
C
的方程为
(x-a)+[y-(2a-4)]=1.
12
又因为
MA=2MO
,所以设点
M
(x
,
y)
,
则
x
2
?(y-3)2
=2
x
2
?y
2
,整理得
x
2
+(y+1)
2
=4
,设为圆
D.
所以点
M
应该既在圆
C
上又在圆
D
上,即圆
C和圆
D
有交点,所以
|2-1|≤
a
2
?[(2a-4
)-(-1)]
2
≤|2+1|
,
由
5a
2-12a+8≥0
得
a
∈
R
;
由
5
a
2
-12a≤0
,得
0≤a≤
12
5
.
终上所述,实数
a
的取值范围为
?
?
0,
12
?
?
5
?
?
13