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高中数学教案:直线与圆锥曲线

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 11:37
tags:高中数学直线与圆

河北省高中数学会考试题及答案-高中数学周集体备课记录

2020年10月6日发(作者:严震)


直线与圆锥曲线
课程目标
知识点
直线与圆锥曲线
考试要求
C
具体要求
了解圆锥曲线的初步应用,理解数
形结合的思想,掌握直线与圆锥曲
线的位置关系.
能求直线被曲线截得的弦长和有关
面积问题.
熟练掌握直线与圆锥曲线的位置关
系,理解数形结合的思想.
1.理解数形结合的思想;
2.理解圆锥曲线的简单应用.
1.理解数形结合的思想;
2.理解圆锥曲线的简单应用;
3.熟练掌握圆锥曲线的几何性质.
考察频率
必考
弦长与面积
直线与圆锥曲线的位置关

动态圆锥曲线问题的参数
求解
动态圆锥曲线问题的性质
证明
C
C
C
C
常考
常考
少考
少考
知识提要
直线与圆锥曲线 < br>直线与圆锥曲线相结合的问题是平面几何中的重点问题,也是难点问题.包括直线与椭圆、双
曲线 、抛物线的位置关系,及直线与圆锥曲线位置关系的应用问题.
直线与圆锥曲线有相交、相切、相离三种位置关系. 把直线和圆锥曲线的方程进行联立后,
得到关于 或 的一元二次方程,通过分析这个方程,就可以得到直线与圆锥曲线的三种位置
关系.

弦长与面积
? 若直线与圆锥曲线相交时有两个交点,则以这两个交点为端点的线段叫作圆锥 曲线的弦,
线段的长就是弦长.直线



与圆锥曲线相交于点






,点







则直线被圆锥曲线所截得的弦长公式为


































;其中







可由两根差公式

































得到.


? 面积问题首先需要选择恰当的面积公式,常见的有:
1、直线 方程为 ,与椭圆相交于点 、 , 垂直于弦 于点 ,则
,因此, 的面积








2、直线 方程为 ,与椭圆相交于点













,且过椭圆右焦点




的面积为

















3、过椭圆上一动点 ,引直线 、 交椭圆于另外两点 、 ,且 ,则












直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切与相离三种,可以通过联 立直线与圆锥曲线的方程,
消元后利用判别式的符号得到位置关系.需要注意的是,直线与椭圆的位置关 系与它们的交点
个数有对应关系,即相交时有两个交点,相切时有一个交点,相离时没有交点;直线与双 曲线
的位置关系没有这样的对应关系,直线与双曲线的相交时也可能只有一个交点,此时直线与双
曲线的渐近线平行;直线与抛物线相交时也可能只有一个交点,此时直线与抛物线的轴平行.
动态圆锥曲线问题的参数求解

在圆锥曲线问题中有某些量不确定,需要设定某些参数,去求解这些参数的值或取值范围.
动态圆锥曲线问题的性质证明
通过代数的方法去探索与证明圆锥曲线的一些几何性质,比如满 足某种条件的直线过定点,某
些线段的长度比值确定,证明某些点在同一条直线上等等.
精选例题
直线与圆锥曲线
1. 已知实数 , 满足








,则 的最大值为 .


【答案】


,则 . 2. 已知点 , 是椭圆









上两点,且



【答案】

3. 已知直线 交抛物线

于 , 两点,若该抛物线上存在点 使得 为直
角,则 的取值范围为 .

【答案】





【分析】 设

























,得












,解得


即 .

4. 已知



分别是椭圆



的左、右焦点, 为过点

且斜率为 的弦,则







的值为 .



【答案】


5. 已知直线 经过抛物线





的焦点, 与 交于 , 两点.若

,则 的值为 .


【答案】



6. 在双曲线


离.

【解】 设与直线 平行的双曲线的切线方程为 .



















由直线 与双曲线相切,得











解得 .
由本题题意,得 .
此时方程 化为



解得

,从而













上求一点.使它到直线 的距离最短.并求这个最短距


则切点坐标为





,这就是所求的点.
所以双曲线上的点到直线 的最短距离为 .





由于直线 与切线 的距离为 ,



7. 如图, , 是焦点为 的抛物线

上的两动点,线段 的中点 在直线




上.

(1)当 时,求



的值;

【解】

的焦点坐标是



,准线方程是














,则








所以











因为线段 的中点 在定直线




所以




所以




因为 ,所以




(2)记

得最大值为



,求











【解】 设



,由



























所以



故可设直线 的方程为






联立

































所以








消去 得

























因为

,所以


所以












8. 已知圆




,动圆 与圆 内切并且经过定点

,圆心 的轨
迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程;

【解】 由已知得圆 的圆心为

,半径为 ;
设圆 的圆心为



,半径为 .
因为圆 经过定点 ,所以


又圆 与圆 内切,所以


所以




由椭圆的定义可知,曲线 是以 , 为左、右焦点的椭圆,


,得 ,
椭圆方程为




(2)设过点



的直线 与曲线 相交于 , 两点,当 的面积最大时,求 的方
程.

【解】 当 轴时,不符合题意,则可设 .

























,得























,解方程得


因为直线 与 轴交于点













所以





























,则 ,


由均值不等式,得















当且仅当 ,即 时等号成立.

此时满足 ,且

的最大值为 .
所以当 的面积最大时, 的方程为











9. 如图所示,以原点 为圆心的两个同心圆的半径分别为 和 ,过原点 的射线交大圆于








点 ,交小圆于点 在 轴上的射影为 .动点 满足



(1)求点 的轨迹方程;


可知 三点共线且 .






【解】 由
过点 作 ,垂足为 ,设




因为 , ,由相似可知




因为 在圆



上,






,即








所以点 的轨迹方程为




(2)过点



作斜率分别为



的直线



与点 的轨迹分别交于 , 两点,




.求证:直线 过定点.

【解】 证明:设













,依题意,






















解得 或





所以





























所以


















因为



,所以






替代 中的













同理可得







显然 , 关于原点对称,所以直线 必过原点 .

10. 已知椭圆 :













的焦距为 ,且经过点


(1)求椭圆 的方程;

【解】 依题意, ,椭圆 的焦点为








































所以
,椭圆 的方程为


( 为坐标原点).







(2) 、 的椭圆 上两点,线段 的垂直平分线 经过



,求 面积的最大值

【解】 根据椭圆的对称性,直线 与 轴不垂直,设直线 : ,




得,

























,则
































































, 到直线 的距离 , 的面

依题意,





























































































代入整理得,






若 ,则







,等号当且仅当

时成立,
若 ,则








,等号当且仅当 ,



时成立.

综上所述, 面积的最大值为



弦长与面积
1. 椭圆









的一个焦点为 ,过原点 的直线交椭圆 , 两点,则
的面积的最大值为 .

【答案】





2. 已知



是椭圆














的两个焦点,过点

的直线交椭圆于 , 两点,若
,则直线 的斜率为 .

【答案】

3. 直线 被椭圆



截得的线段的中点横坐标为
,则中点的纵坐标


为 .


【答案】



【分析】 设直线与椭圆交于













两点.将直线方程代入椭圆方程消去 得





,所以





.因为线段中点横坐标为

,所以



,得


.所以线段中点纵坐标为

































4. 过抛物线

的焦点 作直线 交抛物线于 , 两点,若
则 .


【答案】



【分析】 设













,由焦半径公式,得











设直线 的方程为



, ,



与抛物线方程联立,得














解得

,所以方程变为
解得



























于是


5. 正方形 的边 在直线 上, 两点在抛物线

上,则正方形
的面积为 .

【答案】 或

【分析】 设 、 所在直线方程为 ,代入

,利用弦长公式可求出
的长,利用 的长等于两平行直线 与 间的距离, 求出
的值 , 再代入可求出 的长,则面积可求.


6. 已知大西北某荒漠上 , 两点相距 千米,现准备在荒漠上围垦出一片以 为一条对角
线的平行四边形区域建成农艺园.按照规划,围墙总长为 千米:
(1)试建立适当的平面直角坐标系,求四边形另两个顶点的轨迹方程;

【解】 设四边形另两个顶点为 , ,则




即 .
则顶点



的轨迹是以 , 为焦点,长轴长为 的椭圆(长轴顶点除外).
以 的中点为原点,以 所在直线为 轴,建立坐标系.
设椭圆方程为










则 , ,从而


所以椭圆方程为
















(2)该荒漠上有一条直线形小溪 刚好通过点 ,且 与 成

角.现要对整条小溪进行
改造,但考虑到小溪可能被农艺园围进的部分今后将重新 设计改造,因此对该部分暂不改
造.问暂不改造的部分有多长?

【解】 即求 : 被椭圆



截得的线段长.
设 与椭圆交于













两点.


























所以
























7. 已知椭圆



,以点



为中点的弦为 ,求弦 的长度.

【解】 设

















由 中点的坐标为



,得


























































所以直线 的方程为






,代入椭圆方程整理,得








从而











































8. 已知双曲线



,它的弦 的长是实轴长的 倍,如果弦 所在的直线 过点


,求直线 的方程.






【解】 设 的方程为

,有



消去 并整理,得



























,则




因为 ,
所以




































































解得



时, 中





,符合题意,所以












当 不存在时,

,符合题意.
故 的方程为

9. 双曲线

点.
(1)若 的倾斜角为



是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;

【答案】



【分析】 本小问考察双曲线的对称性.



,进而双曲线的渐近线方程为


















的左、右焦点分别为



,直线 过

且与双曲线交于 两
【解】 根据题意,通径

与焦距



的比为

,即







,从而解


(2)设

,若 的斜率存在,且 ,求 的斜率.

【答案】



【分析】 本小问是一个典型的焦点弦长问题,用“焦半径公式”即可轻松解决.

【解】 当

时,双曲线的方程为







,其焦距



.设 为双曲线右
支上一点,则



,在



中应用余弦定理有

























代入数据整理得












类似地,当 为双曲线左支上一点时,有












(推导中用到:[a])




因此设直线 的倾斜角为 ,则











整理得 ,因此直线 的斜率为








10. 设椭圆









的离心率与双曲线



的离心率互为倒数,且椭
圆与 轴的一个交点坐标为


(1)求椭圆 的方程;

【解】 由双曲线的离心率为

,得椭圆的离心率为


又由椭圆与 轴的一个交点坐标为

,得






解得




























所以椭圆 的方程为


(2)若直线
大值.














交椭圆与 , 两点,椭圆上一点

,求 面积的最










【解】 由












,得


















,则






























































又 到 的距离为













,则








当且仅当

,即



时等号成立.
因此






























直线与圆锥曲线的位置关系
1. 直线 与双曲线



有且仅有一个公共点,则 .

【答案】 或




【分析】 由













,即 时,方程有唯一解,满足题意.


时,






,即

,此时方程有唯一解,满足题意.

2. 过点



引抛物线

的一条弦,且被 点平分,则此弦所在的直线方程
为 .

【答案】


3. 直线 截椭圆


程为 .

【答案】






所得弦的中点 与椭圆中心连线 所在的直线方
4. 直线 与抛物线

仅有一个公共点,则 .

【答案】

5. 如果 是椭圆





的任意一条与 轴不垂直的弦, 为椭圆的中心, 为椭圆的离
心率, 为 的中点,那么



的值为 .

【答案】



6. 在直角坐标系 中,曲线 上的点 到两定点



的距离之和等于 ,直



,求 的值. 线 与 交于 两点,若

【解】 由椭圆定义可知,曲线 是以



为焦点,长半轴为 的椭圆,它
的短半轴





,故曲线 的方程为































,其坐标满足



消去 并整理得




,由题意符合 ,



















,即







,而





















于是









化简得

,所以




















7. 设动直线 与抛物线

相切于点 ,与直线 相交于点 , 为抛

的值.



物线的焦点,求


【解】 直线 的方程为 ,显然 .



由 得




因为直线 与抛物线相切,所以 ,所以


所以直线 的方程为 .
令 ,得

,所以






设切点坐标为






,则











解得









由题意得



,则











































8. 已知两点









,曲线

上的动点 满足












(1)求曲线

的方程;

【解】 依题意


















,且









所以曲线

是以









为焦点,长轴长为

的椭圆.
设椭圆

的方程为


因为

, ,







(2)设曲线

的方程为









,当



有四个不同的交点时,求实数
所以曲线

的方程为
的取值范围.

【解】 因为曲线

的方程为










所以当 , 时,曲线

的方程可化为




所以当 , 时,曲线

的方程可化为




所以当 , 时,曲线

的方程可化为




所以当 , 时,曲线

的方程可化为




所以曲线

是以















四个点为顶点的正方形.
因为曲线



有四个不同的交点,且曲线



均是关于 轴, 轴对称的曲线,
所以曲线





有且仅有一个交点.





有且仅有一组解. 所以方程组







即关于 的方程



在区间



内有且仅有一个实数根




















情形①



解得



情形②











解得


所以实数 的取值范围是





9. 在平面直角坐标系 中,曲线 上的点 到两定点



的距离之和等于 ,

,求 的值. 直线 与 交于 , 两点,若


















,其半焦距长为







【解】 由椭圆定义可知,曲线 是以



为焦点,长半轴长为 的椭圆,
它的短半轴





,故曲线 的方程为


























,其坐标满足:



消去 并整理得





由题意符合 ,



















,即








































于是




















化简得

,所以








10. 已知中心在坐标原点 的椭圆 经过点



,且点



为其右焦点.
(1)求椭圆 的方程;

【解】 依题意,可设椭圆 的方程为
从而有
解得






,所以
故椭圆 的方程为
















,且可知左焦点为



















(2)是否存在平行于 的直线 ,使得直线 与椭圆 有公共点,且直线 与 的距离等
于 ?若存在,求出直线 的方程;若不存在,请说明理由.


【解】 假设存在符合题意的直线 ,其方程为

,由
















因为直线 与椭圆有公共点,所以有












解得

另一方面,由直线 与 的距离 可得






解得

由于

所以符合题意的直线 不存在.

动态圆锥曲线问题的参数求解
1. 已知抛物线

与过点





的直线交于













两点.若



,则实数 的值为 .

【答案】

2. 椭圆



的内接正方形的周长为 .


【答案】



3. 直线 交抛物线



于 , 两点, 为抛物线的顶点,若 ,则


【答案】

4. 已知椭圆



【答案】






【分析】 设椭圆上两点













关于直线 对称, 的中点为








,则







.两式相减得:











































所以












所以



,代入直线 得




因为






在椭圆内部,所以






,解得:

















,若此椭圆上存在不同的两点 , 关于直线 对称,则实
数 的取值范围是 .











5. 已知点





在抛物线





的准线上,点 在抛物线 上,且位于



,则点 到动直线 的最大距离为 . 轴的两侧, 是坐标原点,若


【答案】



【分析】 由已知可求得 ,设













,由(overrightarrow {OM} cdot
overrightarrow {ON} = 3)可得







又因为








解得



,设动直线 方程为 把 方程与抛物线方程联立解得 ,
故 过定点



,从而 到动直线 的最大距离为 到定点



的距离

6. 如图,椭圆



















,代入 式









和圆







,已知圆

将椭圆

的长轴
三等分,且圆

的面积为 .椭圆

的下顶点为 ,过坐标原点 且与坐标轴不重合的任意
直线 与圆

相交于点 , ,直线 , 与椭圆

的另一个交点分别是点 , .

(1)求椭圆

的方程;

【解】 由题意得: ,则 ,
所以椭圆方程为:






(2)求 面积最大时直线 的方程.

【解】 由题意得:直线 , 的斜率存在且不为 , ,
不妨设直线 的斜率为



,则 .







得: 由:












所以:
















同理得:
















得:











所以:










所以:








设 ,则


































当且仅当

时取等号,
所以





则直线













所以所求直线 方程为:







7. 已知



是椭圆



的两个焦点, 为坐标原点, 是以



为直径的圆,
直线



与 相切,并与椭圆交于不同的两点 , .
(1)求 和 的关系式

【解】 由



与直线 相切,得













,且



时,求直线 的倾斜角 的取值范围.
(2)当







【解】 由














由 ,得






























,则




所以





























































































,得








解得

,即 ,
故直线 倾斜角 的取值范围为






























8. 一条斜率为 的直线 与离心率为 的椭圆






交于 , 两点,直






,求直线 和椭圆 的方程.


线 与 轴交于点 ,且


【解】 由
则椭圆方程变为






设 的方程为 .



,得








,即











消去 并整理,得







由 与椭圆交于两点,得

































,则























,得






































所以




















代入上式,得














化简,得









,得
























从而
















,得








联立





,解得

, ,适合( ).
因此,直线 方程为 或 ;
椭圆 的方程为





















9. 已知中心在原点的椭圆 :





的一个焦点为










为椭圆 上
一点,

的面积为


(1)求椭圆 的方程;

【解】 因为椭圆 的焦点为








所以



,则椭圆 的方程为







所以




所以 ,
所以












因为





椭圆 上一点,

的面积为



代入椭圆 的方程






,可得







所以




所以


所以椭圆 的方程为







(2)是否存在平行于 的直线 ,使得直线 与椭圆 相交于 , 两点,且以线段 为
直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由.

【解】 假设存在符合题意的直线 存在,设直线方程为 ,代入椭圆方程,消去
,可得


















,则












因为以线段 为直径的圆恰好经过原点,所以





所以











所以

















所以










所以


此时








所以直线方程为







10. 设













是抛物线





上相异两点,并且
交 轴于点 :

(1)若点 , 到 轴距离之积为 ,求 的值;













【解】 设













,由









,代入上式得





,即









所以 .
(2)若 为常数,在 轴上是否存在异于点 的点 , 交抛物线另一个交点为 , 交



?若存在,求出 点坐标;若不存在,请说明理由.
轴于 ,使

【解】 假设存在点 满足条件,设





















, 直线方程
为 ,


联立得


因此











,同上面做法可得































,由


可得




所以 .
由(1)知







,所以 , .
从而存在点



满足条件.




动态圆锥曲线问题的性质证明
1. 已知抛物线





的准线为 ,过



且斜率为

的直线与 相交于 ,
与 的一个交点为 ,若





,则 .

【答案】

【分析】 直线



,代入

,得





,又





,所以

,解得

,即 , (舍去).


2. 已知直线 过点



,且与抛物线

交于













两点,则










【答案】



【解】 由题可设直线 的方程为 ,与抛物线联立,得

,得










3. 已知抛物线





,过定点



作一弦 ,则


【答案】




【分析】 直线 的斜率不存在时, 的方程为 ,代入

,解得



从而















直线 的斜率存在时,设 的方程为



,代入

中,消去 得





























,则















则有





























从而

















































综上,

























































































4. 设



分别是椭圆
的左、右焦点, 是椭圆 上的动点,过原点的直线
与椭圆相交于 两点,且直线 的斜率都存在,并记为



,试证明




定值.

【解】 因为直线 与椭圆的两个交点 , 关于坐标原点对称,
所以设

















,于是有













两式相减得




















,即






































所以



















的值为一定值.

5. 如图, , , 是长轴长为 的椭圆上的三点, 是长轴一个端点, 过椭圆中心,且



, .

(1)求这个椭圆方程;

【解】 以 中点 为原点, 直线为 轴建立直角坐标系,则








又因为 ,
从而 为等腰直角三角形, 点坐标为




设椭圆方程为




,代入








所以椭圆方程为

















. (2)若 , 是椭圆上两点, 的平分线垂直 ,求证:存在 ,使得


【解】 因为



,由






,设



所以直线 方程为




与椭圆联立,消 ,有













从而





















同理直线 方程为



,且有


所以







又因为






































因此 ,



. 故 ,使

6. 如图,过椭圆









外的一点



作直线 交椭圆于 , 两点,设
关于 轴的对称点为

,且

交 轴于点 :











,求证:



(1)若



【解】 设













,则








































所以




















又因为















因此由上式即可得到



(2)若 , ,求 点坐标.





【解】 由(1)知



,且


所以










,即








因此


因为
















消去












因此得



,由

可得


从而 点坐标为































7. 如图所示,曲线

是以原点 为中心、



为焦点的椭圆的一部分,曲线

是以 为
顶点、

为焦点的抛物线的一部分, 是曲线



的一个交点,且



为钝角.若
















(1)求曲线



的所在的椭圆和抛物线的方程;

【解】 设椭圆的方程为





,由椭圆的定义得 .




















相减得

. 则























由抛物线的定义得





,从而可得 , 或 , (舍),
则所求椭圆方程为











,抛物线方程为






(2)过

作一条与 轴不垂直的直线,分别与曲线



依次交于 , , , (从上到
下)四点,若 为 的中点、 为 的中点,问


值;若不是,请说明理由.

【解】 设



























,直线




代入椭圆






是否为定值?若是,求出此定



所以
















,得











同理可代入抛物线

,得



所以










所以






































为定值.



















































8. 如图,设 为抛物线



上的动点.过点 做圆





的两条切
线,交直线 于 , 两点.

(1)求

的圆心 到抛物线

准线的距离.

【解】 由题意可知,抛物线

的准线方程为:



所以圆心 到抛物线

准线的距离为













(2)是否存在点 ,使线段 被抛物线

在点 处得切线平分,若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.



【解】 设点 的坐标为





,抛物线

在点 处的切线交直线 于点 .
再设 , , 的横坐标分别为








过点





的抛物线

的切线方程为:












时,过点



与圆

的切线 为:



可得



因为





,所以
















设切线 , 的斜率为



,则





















将 分别代入①,②,③,得












































从而































,即


























同理



























所以



是方程






















的两个不相等的根,从而



































因为





,所以


























.从而


进而得








综上所述,存在点 满足题意,点 的坐标为

























课后练习
1. 过椭圆







的一个焦点,倾斜角为

的弦 的长为 .
2. 抛物线

的弦 长为 ,则 中点的横坐标的最小值为 .


3. 斜率为 的直线与椭圆交于













两点,若弦长 | |=

,则 |




| .
4. 椭圆







的左焦点为 ,上顶点为 ,过点 作直线 的垂线分别交椭圆, 轴于



,则实数 的值为 .
, 两点.若
5. 在平面直角坐标系 中,



分别为椭圆













的左右焦点,顶点
的坐标为



,连接

并延长交椭圆于点 ,过点 作 轴的垂线交椭圆于另一点 ,连


,若

,则椭圆的离心率 .
6. 倾斜角为

的直线 过抛物线

的焦点,并且交抛物线于 两点,则弦 的长
为 .
7. 若直线 被曲线



截得的线段长为 ,则实数 的值
是 .
8. 与椭圆






截得的弦长为 .
9. 以



为中点的抛物线

的弦所在直线方程为 .
10. 椭圆



长轴上一个顶点为 ,以 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三
角形,该三角形的面积是 .
11. 如图,过抛物线

焦点的直线依次交抛物线与圆






于点 , , ,



的值是 .
,则


12. 过点



与双曲线



只有一个公共点的直线共有 条.
13. 已知椭圆






,过点



作斜率为 的直线交椭圆于 , 两点,若 为线段
的中点,则 .
14. 设 是椭圆



长轴上的一个动点,过 作斜率为

的直线交椭圆于 , 两点,






的值为 .



15. 直线 与抛物线

和圆






从左到右的交点依次为 ,
, , ,则

的值为 .(提示:由抛物线的定义,知




,即







16. 已知抛物线

的焦点为 ,过点



的直线交抛物线于 , 两点,直线 ,
分别与抛物线交于点 , ,设直线 , 的斜率分别为



,则
17. 已知曲线












且 与直线 相交于 , 两点,且



( 为原点),则



的值为 .


18. 抛物线

上两点













关于直线 对称,且




,则


等于 .
19. 已知斜率为 的直线 与抛物线





交于位于 轴上方的不同两点 , ,记


直线 , 的斜率分别为



,则



的取值范围是 .


20. 已知过点



的动直线与抛物线

交于 两点, 为原点,点 满足

,则线段 长度的最小值为 .
21. 已知斜率为 的直线 与抛物线

相交于 , 两点,如果线段 的长等于 ,求
直线 的方程.
22. 已知双曲线









的离心率





,过







的直线到原点的距离是 .

(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线



交双曲线于不同的点 , ,且 , 都在以 为圆心的圆
上,求 的值.
23. 如图,已知抛物线 :

经过点



,过 作倾斜角互补的两条不同直线





(1)求抛物线 的方程及准线方程;


(2)设直线



分别交抛物线 于 , 两点(均不与 重合),若以线段 为直径的
圆与抛物线的准线相切,求直线 的方程.
24. 求直线

与曲线



的交点.
25. 双曲线



的左、右焦点分别为



, 为坐标原点,以



为直径的圆为
,直线 与 相切,并与双曲线交于 , 两点.
(1)求出 与 的关系;





(2)向量

在 ,当


时,求直线 的方程.



方向上的投影为




26. 已知直线 交抛物线

于 , 两点,且 的中点的横坐标为 ,求弦
的长.
27. 如图,设椭圆















的左、右焦点分别为



,点 在椭圆上,

















的面积为

,求该椭圆的标准方程.



28. 已知







两点在以



为右焦点的椭圆









上,斜
率为 的直线 与椭圆 交于点 ( 在直线 的两侧).
(1)求椭圆 的方程;
(2)求四边形 面积的最大值.
29. 过抛物线





的焦点的直线与抛物线交于 , 两点,

,且 的中
点的纵坐标为

,求 的值.
30. 已知椭圆









的离心率为

,右焦点为

,斜率为 的直线
与椭圆 交于 两点,以 为底边作等腰三角形,顶点为




(1)求椭圆 的方程;
(2)求 的面积.











31. 过点



的直线交双曲线
的方程.







于 , 两点,若 为弦 的中点,求直线
32. 过点



的直线 与双曲线



相交于 , 两点,如果 ,其中 为
坐标原点,求直线 的方程.
33. 已知抛物线





的准线方程是

,直线 与抛物线相交于
, 两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)设 为坐标原点,证明: .
34. 在直角坐标系 中,直线



交 轴于点 ,交抛物线






于点 , 关于点 的对称点为 ,连接 并延长交 于点 .
(1)求




(2)除 以外,直线 与 是否有其它公共点?说明理由.
35. 过点



的椭圆













的离心率为
,椭圆与 轴交于两点











,过点 的直线 与椭圆交于另一点 ,并与 轴交于点 ,直线 与直线 交
于点 .

(1)当直线 过椭圆右焦点时,求线段 的长;



为定值. (2)当点 异于点 时,求证:
36. 已知椭圆







的左、右焦点分别为



,以椭圆上的点 为圆心,

为半
径作圆 ,当圆 与直线 有公共点时,求



面积的最大值.
37. 直线 与双曲线



相交于 , 两点,当 为何值时,以 为直径
的圆经过坐标原点?
38. 已知中心在坐标原点,焦点在 轴上的椭圆过点

,且它的离心率





(1)求椭圆的标准方程;
(2)与圆






相切的直线 : 交椭圆于 , 两点,若椭圆上一点





,求实数 的取值范围. 满足
39. 如图,动点 与两定点







构成 ,且直线 的斜率之积为
.设动点 的轨迹为 .

(1)求轨迹 的方程;
(2)设直线



与 轴相交于点 ,与轨迹 相交于点 ,且
,求

的取值范围.
40. 已知直线 与椭圆







交于 , 两点,以 为直径的圆过椭
圆的左焦点,求实数 的值.
41. 如图,曲线

是以原点 为中心,



为焦点的椭圆的一部分.曲线

是以原点 为
顶点,

为焦点的抛物线的一部分, , 是曲线



的交点且



为钝角,若





















(1)求曲线



的方程;
(2)设点 , 是曲线

所在抛物线上的两点(如图).设直线 的斜率为

,直线
的斜率为

,且





,证明:直线 过定点,并求该定点的坐标.
42. 已知椭圆















过点





,离心率为
.过椭圆右顶点 的两条斜


率乘积为 的直线分别交椭圆 于 , 两点.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)直线 是否过定点 ?若过定点 ,求出点 的坐标,若不过点 ,请说明理由.
43. 已知椭圆 :









分别为左,右焦点,离心率为

,点 在椭圆 上且满








足:


















,过右焦点

与坐标轴不垂直的直线 交椭圆于 ,
两点.
(1)求椭圆 的方程;
(2)在线段

上是否存在点



使得以线段 , 为邻边的四边形是菱形?若存在,
求出 的取值范围;若不存在,说明理由.
44. 已知点







为双曲线





( 为正常数)上任一点,

为双曲线的右焦点,


作右准线的垂线,垂足为 ,连接

并延长交 轴于












(1)求线段



的中点 的轨迹 的方程;
(2)设轨迹 与 轴交于 、 两点,在 上任取一点










,直线 , 分
别交 轴于 两点.求证:以 为直径的圆过两定点.
45. 已知椭圆 :









离心率






,短轴长为




(1)求椭圆 的标准方程;
(2)如图,椭圆左顶点为 ,过原点 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 交于 , 两点,
直线 , 分别与 轴交于 , 两点.试问以 为直径的圆是否经过定点(与直线
的斜率无关)?请证明你的结论.


直线与圆锥曲线-出门考
姓名 成绩

1. 过点



可以作 条直线与双曲线





有且只有一个公共点.
2. 过抛物线

的焦点,斜率为 的直线交抛物线于 , 两点,则弦 的长
为 .
3. 已知椭圆 的焦点分别为







,长轴长为 ,直线 交椭圆
于 , 两点,则线段 的中点坐标为 .
4. 已知抛物线

的准线为 ,过焦点 且斜率为

的直线与 相交于点 ,与 的



,则 . 一个交点为 ,若
5. 直线 与焦点在 轴上的椭圆



总有公共点,则 的取值范围
是 .
6. 若直线 与抛物线

交于 , 两点,且线段 的中点的横坐标是 ,则


7. 过点



作倾斜角为 的直线,与抛物线

交于 、 两点,则








8. 给定圆



及抛物线

,过圆心 作直线 ,此直线与上述两曲线的四
个交点,自上而下顺次为 、 、 、 .如果线段 、 、 的长度按此顺序构成一
个等差数列,则直线 的方程为 .
9. 过抛物线

焦点的直线 的倾斜角为

,且 与抛物线相交于 、 两点, 为原点,
那么 的面积为 .
10. 过椭圆











,则直线 的方程为 .
内一点



作弦 ,若



11. 在平面直角坐标系 中,椭圆




的左、右顶点分别为 , ,右准线为 ,
为椭圆上不同于 , 的一点,直线 与直线 交于点 ,连接 并延长交椭圆 于点 ,
若直线 垂直 轴,则点 的坐标是 .
12. 设圆 位于抛物线

与直线 所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆 的半
径能取到的最大值为 .
13. 抛物线

的焦点坐标为


,则抛物线 的方程为 ,若点 在抛物

的最小值等于 . 线 上运动,点 在直线 上运动,则



14. 已知椭圆







,过椭圆 上一点



作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交
于点 , ,则直线 的斜率为 .
15. 双曲线







的离心率为 ,若直线 与双曲线 的
交点在以原点为中心、边长为 且各边分别平行于两坐标轴的正方形内,则实数 的取值范
围是 .
16. 已知椭圆









与过点







的直线 有且只有一个公共点 ,
且椭圆的离心率为

.求椭圆的方程.
17. 直线 与椭圆





















交于 , 两点, 的中点为 ,
斜率为
,求椭圆离心率 .
18. 过点

作直线 与椭圆



相交于 , 两点, 为坐标原点,求
面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值.


19. 在平面直角坐标系 中,椭圆 的中心为坐标原点,左焦点为




, 为椭圆 的
上顶点,且




(1)求椭圆 的标准方程;
(2)已知直线



与椭圆 交于 , 两点,直线










椭圆 交于 , 两点,且 ,如图所示,证明:







20. 过椭圆







内一点



引一条弦,使弦被 点平分,求这条弦所在直线的方程.





21. 在平面直角坐标系 中,椭圆
椭圆 截得的线段长为












的离心率为
,直线 被






,求椭圆 的方程.



22. 椭圆









的离心率为

,椭圆与直线 相交于点 , ,



,求椭圆的方程. 且


23. 如图,椭圆













的离心率为
,其左焦点到点



的距离为



,不过原点 的直线 与 相交于 两点,且线段 被直线 平分.

(1)求椭圆 的方程;
(2)求 面积取最大值时直线 的方程.
24. 已知一列椭圆








若椭圆

上有一点

,使





右准线

的距离















的等差中项,其中



分别是

的左、
右焦点.



(1)试证:


(2)取






25. 已知 , 是椭圆









的左,右顶点,



,过椭圆 的右焦点
的直线交于其于点 , ,交直线 于点 ,且直线 , , 的斜率成等差数列.






















,并用

表示





的面积,试证:



(1)求椭圆 的方程;
(2)若记 , 的面积分别为



,求


的取值范围.


26. 已知抛物线

的内接三角形 的一个顶点 在原点,三边上的高都过焦点,求
三角形 外接圆的方程.
27. 已 知 双 曲 线









的 离心率为

,虚轴长为


(1)求双曲线 的方程;
(2)已知直线 与双曲线 交于不同的两点 , ,且线段 的中点在圆




上,求 的值.
28. 以向量


为方向向量的直线 过点

,抛物线





的顶点关于

直线 的对称点在抛物线的准线上,求抛物线 的方程.
29. 已知椭圆





> > 的离心率为

,直线 与其交于 , 两点,
且 ,求这个椭圆方程.
30. 已知曲线
















(1)若曲线 是焦点在 轴上的椭圆,求 的取值范围;
(2)设 ,曲线 与 轴的交点为 (点 位于点 的上方),直线 与曲
线 交于不同的两点 ,直线 与直线 交于点 .求证: 三点共线.
31. 已知椭圆 的中心在原点,一个焦点为



,且长轴长与短轴长的比是


(1)求椭圆 的方程;

最小时,点 恰好落
(2)设点



在椭圆 的长轴上, 是椭圆上任意一点,当
在椭圆的右顶点处,求实数 的取值范围.
32. 已知椭圆
























的长轴长为 ,焦距为


(1)求椭圆 的方程;
(2)过动点





的直线交 轴于点 ,交 于点 ( 在第一象限),且 是
线段 的中点.过点 作 轴的垂线交 于另一点 ,延长 交 于点 .
①设直线 的斜率分别为 ,证明 为定值;


②求直线 的斜率的最小值.
33. 已知椭圆









的离心率
积为 .
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线 与椭圆相交于不同的两点 ,已知点 的坐标为



,点








,求

的值. 在线段 的垂直平分线上,且






,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面


34. 已知椭圆





的一个焦点为



,且离心率为


(1)求椭圆方程;
(2)斜率为 的直线 过点 ,且与椭圆交于 , 两点, 为直线 上的一点,若
为等边三角形,求直线 的方程.
35. 椭圆 的中心为坐标原点 ,焦点在 轴上,离心率


,椭圆上的点到焦点的最短距










. 离为 ,直线 与 轴交于 点



,与椭圆 交于相异两点 , ,且
(1)求椭圆 的方程;



,求 的取值范围. (2)若



36. 如图,在平面直角坐标系 中,已知椭圆


其中 ,









的左、右顶点为 、 ,右
焦点为 ,设过点



的直线 、 与椭圆分别交于点















(1)设动点 满足



,求点 的轨迹;
(2)设





,求点 的坐标;
(3)设 ,求证:直线 必过 轴上的一定点(其坐标与 无关).
37. 已知椭圆 :














的右顶点为



,且点



在椭圆 上,直线
( 为坐标原点)交椭圆 于点 .
(1)求椭圆 的方程;







?若存在,有几个(不必求出 点的
(2)在椭圆 上是否存在点 ,使得


坐标),若不存在,请说明理由;
(3)过椭圆 上异于其顶点的任一点 ,作 :





的两条切线,切点分别为 、
,若直线 在 轴、 轴上的截距分别为 、 ,证明:








为定值.
38. 如图,已知四边形 是椭圆



的内接平行四边形,且 , 分别经过
椭圆的焦点





(1)若直线 的方程为 ,求 的长;
(2)求平行四边形 面积的最大值.
39. 己知斜率为 的直线 与双曲线 :









相交于 、 两点,
且 的中点为









(1)求 的离心率;
(2)设 的右顶点为 ,右焦点为 ,



,证明:过 、 、 三点
的圆与 轴相切.
40. 在平面直角坐标系 中,已知双曲线






(1)过

的左顶点引

的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 轴围成的三
角形的面积;
(2)设斜率为 的直线 交

于 , 两点.若 与圆



相切.求证: ;
(3)设椭圆





.若 , 分别是



上的动点,且 ,求证: 到
直线 的距离是定值.

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本文更新与2020-10-06 11:37,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/410817.html

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