河北省高中数学会考试题及答案-高中数学周集体备课记录
直线与圆锥曲线
课程目标
知识点
直线与圆锥曲线
考试要求
C
具体要求
了解圆锥曲线的初步应用,理解数
形结合的思想,掌握直线与圆锥曲
线的位置关系.
能求直线被曲线截得的弦长和有关
面积问题.
熟练掌握直线与圆锥曲线的位置关
系,理解数形结合的思想.
1.理解数形结合的思想;
2.理解圆锥曲线的简单应用.
1.理解数形结合的思想;
2.理解圆锥曲线的简单应用;
3.熟练掌握圆锥曲线的几何性质.
考察频率
必考
弦长与面积
直线与圆锥曲线的位置关
系
动态圆锥曲线问题的参数
求解
动态圆锥曲线问题的性质
证明
C
C
C
C
常考
常考
少考
少考
知识提要
直线与圆锥曲线 <
br>直线与圆锥曲线相结合的问题是平面几何中的重点问题,也是难点问题.包括直线与椭圆、双
曲线
、抛物线的位置关系,及直线与圆锥曲线位置关系的应用问题.
直线与圆锥曲线有相交、相切、相离三种位置关系.
把直线和圆锥曲线的方程进行联立后,
得到关于 或
的一元二次方程,通过分析这个方程,就可以得到直线与圆锥曲线的三种位置
关系.
弦长与面积
? 若直线与圆锥曲线相交时有两个交点,则以这两个交点为端点的线段叫作圆锥
曲线的弦,
线段的长就是弦长.直线
与圆锥曲线相交于点
,点
,
则直线被圆锥曲线所截得的弦长公式为
;其中
和
可由两根差公式
,
得到.
?
面积问题首先需要选择恰当的面积公式,常见的有:
1、直线 方程为
,与椭圆相交于点 、 , 垂直于弦 于点 ,则
,因此,
的面积
.
2、直线 方程为 ,与椭圆相交于点
、
,且过椭圆右焦点
,
则
的面积为
.
3、过椭圆上一动点 ,引直线 、 交椭圆于另外两点 、 ,且
,则
.
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切与相离三种,可以通过联
立直线与圆锥曲线的方程,
消元后利用判别式的符号得到位置关系.需要注意的是,直线与椭圆的位置关
系与它们的交点
个数有对应关系,即相交时有两个交点,相切时有一个交点,相离时没有交点;直线与双
曲线
的位置关系没有这样的对应关系,直线与双曲线的相交时也可能只有一个交点,此时直线与双
曲线的渐近线平行;直线与抛物线相交时也可能只有一个交点,此时直线与抛物线的轴平行.
动态圆锥曲线问题的参数求解
在圆锥曲线问题中有某些量不确定,需要设定某些参数,去求解这些参数的值或取值范围.
动态圆锥曲线问题的性质证明
通过代数的方法去探索与证明圆锥曲线的一些几何性质,比如满
足某种条件的直线过定点,某
些线段的长度比值确定,证明某些点在同一条直线上等等.
精选例题
直线与圆锥曲线
1. 已知实数 , 满足
,则 的最大值为
.
【答案】
,则
. 2. 已知点 , 是椭圆
上两点,且
【答案】
3. 已知直线 交抛物线
于 , 两点,若该抛物线上存在点 使得
为直
角,则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】 设
,
,
,
,
,
则
,得
,
由
由
,解得
,
即 .
4. 已知
,
分别是椭圆
的左、右焦点, 为过点
且斜率为 的弦,则
的值为 .
【答案】
5. 已知直线
经过抛物线
的焦点,
与 交于 , 两点.若
,则 的值为
.
【答案】
6.
在双曲线
离.
【解】 设与直线
平行的双曲线的切线方程为 .
得
由
由直线 与双曲线相切,得
,
解得 .
由本题题意,得 .
此时方程 化为
,
解得
,从而
.
上求一点.使它到直线
的距离最短.并求这个最短距
则切点坐标为
,这就是所求的点.
所以双曲线上的点到直线
的最短距离为 .
由于直线
与切线 的距离为 ,
7. 如图, ,
是焦点为 的抛物线
上的两动点,线段 的中点 在直线
上.
(1)当
时,求
的值;
【解】
的焦点坐标是
,准线方程是
设
,
,则
,
所以
因为线段 的中点 在定直线
上
所以
,
所以
;
因为 ,所以
.
(2)记
得最大值为
,求
.
【解】 设
,由
得
,
所以
,
故可设直线 的方程为
,
即
联立
.
,
,
所以
消去 得
,
,
因为
,所以
,
所以
8. 已知圆
,动圆 与圆 内切并且经过定点
,圆心 的轨
迹为曲线 .
(1)求曲线
的方程;
【解】 由已知得圆 的圆心为
,半径为 ;
设圆 的圆心为
,半径为 .
因为圆 经过定点 ,所以
,
又圆 与圆 内切,所以
,
所以
.
由椭圆的定义可知,曲线 是以 , 为左、右焦点的椭圆,
,
,得 ,
椭圆方程为
.
(2)设过点
的直线
与曲线 相交于 , 两点,当 的面积最大时,求 的方
程.
【解】 当 轴时,不符合题意,则可设 .
得
.
由
由
,得
.
设
,
,解方程得
因为直线 与 轴交于点
,
.
所以
.
设
,则 ,
由均值不等式,得
.
.
当且仅当 ,即 时等号成立.
此时满足 ,且
的最大值为 .
所以当
的面积最大时, 的方程为
或
.
9. 如图所示,以原点
为圆心的两个同心圆的半径分别为 和 ,过原点 的射线交大圆于
.
且
点 ,交小圆于点 在 轴上的射影为 .动点 满足
(1)求点 的轨迹方程;
可知 三点共线且 .
且
【解】
由
过点 作 ,垂足为 ,设
,
因为 , ,由相似可知
.
因为 在圆
上,
,即
.
所以点
的轨迹方程为
.
(2)过点
作斜率分别为
,
的直线
,
与点 的轨迹分别交于 , 两点,
.求证:直线 过定点.
【解】
证明:设
,
,依题意,
,
由
解得 或
.
所以
,
,
所以
.
因为
,所以
.
用
替代 中的
,
同理可得
.
显然 ,
关于原点对称,所以直线 必过原点 .
10. 已知椭圆 :
的焦距为 ,且经过点
.
(1)求椭圆 的方程;
【解】 依题意,
,椭圆 的焦点为
,
,
,
所以
,椭圆 的方程为
( 为坐标原点).
(2) 、 的椭圆 上两点,线段 的垂直平分线
经过
,求 面积的最大值
【解】 根据椭圆的对称性,直线 与 轴不垂直,设直线 :
,
由
得,
.
设
,
,则
积
,
,
, 到直线 的距离
, 的面
,
依题意,
,
,
,
,
代入整理得,
,
若 ,则
,等号当且仅当
时成立,
若 ,则
,
,等号当且仅当 ,
时成立.
综上所述, 面积的最大值为
.
弦长与面积
1. 椭圆
的一个焦点为 ,过原点 的直线交椭圆 , 两点,则
的面积的最大值为
.
【答案】
2. 已知
,
是椭圆
的两个焦点,过点
的直线交椭圆于
, 两点,若
,则直线 的斜率为 .
【答案】
3. 直线 被椭圆
截得的线段的中点横坐标为
,则中点的纵坐标
为 .
【答案】
【分析】 设直线与椭圆交于
,
两点.将直线方程代入椭圆方程消去 得
,所以
.因为线段中点横坐标为
,所以
,得
.所以线段中点纵坐标为
.
4. 过抛物线
的焦点 作直线 交抛物线于 , 两点,若
则
.
【答案】
【分析】
设
,
,由焦半径公式,得
即
设直线 的方程为
,
,
与抛物线方程联立,得
则
解得
,所以方程变为
解得
于是
5.
正方形 的边 在直线 上, 两点在抛物线
上,则正方形
的面积为
.
【答案】 或
【分析】 设
、 所在直线方程为 ,代入
,利用弦长公式可求出
的长,利用 的长等于两平行直线 与
间的距离, 求出
的值 , 再代入可求出 的长,则面积可求.
6. 已知大西北某荒漠上 , 两点相距
千米,现准备在荒漠上围垦出一片以
为一条对角
线的平行四边形区域建成农艺园.按照规划,围墙总长为 千米:
(1)试建立适当的平面直角坐标系,求四边形另两个顶点的轨迹方程;
【解】
设四边形另两个顶点为 , ,则
.
即 .
则顶点
的轨迹是以 , 为焦点,长轴长为 的椭圆(长轴顶点除外).
以 的中点为原点,以 所在直线为 轴,建立坐标系.
设椭圆方程为
,
则 , ,从而
.
所以椭圆方程为
.
(2)该荒漠上有一条直线形小溪 刚好通过点 ,且 与 成
角.现要对整条小溪进行
改造,但考虑到小溪可能被农艺园围进的部分今后将重新
设计改造,因此对该部分暂不改
造.问暂不改造的部分有多长?
【解】
即求 : 被椭圆
截得的线段长.
设 与椭圆交于
,
两点.
得
,
由
则
,
所以
.
7. 已知椭圆
,以点
为中点的弦为 ,求弦 的长度.
【解】 设
,
.
由 中点的坐标为
,得
由
得
,
则
,
所以直线 的方程为
,
即
,代入椭圆方程整理,得
,
从而
则
8. 已知双曲线
,它的弦
的长是实轴长的 倍,如果弦 所在的直线 过点
,求直线 的方程.
【解】 设 的方程为
,有
消去 并整理,得
.
设
,
,则
因为 ,
所以
.
即
,
.
,
.
解得
当
时, 中
.
,符合题意,所以
或
.
;
当 不存在时,
,符合题意.
故 的方程为
9. 双曲线
点.
(1)若 的倾斜角为
,
是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
【答案】
【分析】 本小问考察双曲线的对称性.
得
,进而双曲线的渐近线方程为
.
的左、右焦点分别为
,直线 过
且与双曲线交于 两
【解】 根据题意,通径
与焦距
的比为
,即
,从而解
(2)设
,若 的斜率存在,且
,求 的斜率.
【答案】
【分析】 本小问是一个典型的焦点弦长问题,用“焦半径公式”即可轻松解决.
【解】 当
时,双曲线的方程为
,其焦距
.设 为双曲线右
支上一点,则
,在
中应用余弦定理有
代入数据整理得
类似地,当
为双曲线左支上一点时,有
(推导中用到:[a])
因此设直线
的倾斜角为 ,则
整理得
,因此直线 的斜率为
.
10. 设椭圆
的离心率与双曲线
的离心率互为倒数,且椭
圆与 轴的一个交点坐标为
.
(1)求椭圆 的方程;
【解】
由双曲线的离心率为
,得椭圆的离心率为
又由椭圆与 轴的一个交点坐标为
,得
.
解得
由
,
所以椭圆 的方程为
(2)若直线
大值.
.
交椭圆与 , 两点,椭圆上一点
,求 面积的最
得
.
【解】 由
由
,得
.
设
,
,则
,
.
又 到 的距离为
,则
当且仅当
,即
时等号成立.
因此
.
直线与圆锥曲线的位置关系
1. 直线
与双曲线
有且仅有一个公共点,则
.
【答案】 或
【分析】 由
得
.
当
,即 时,方程有唯一解,满足题意.
当
时,
,即
,此时方程有唯一解,满足题意.
2. 过点
引抛物线
的一条弦,且被
点平分,则此弦所在的直线方程
为 .
【答案】
3. 直线 截椭圆
程为 .
【答案】
所得弦的中点
与椭圆中心连线 所在的直线方
4. 直线 与抛物线
仅有一个公共点,则 .
【答案】
5. 如果 是椭圆
的任意一条与 轴不垂直的弦, 为椭圆的中心, 为椭圆的离
心率, 为
的中点,那么
的值为
.
【答案】
6.
在直角坐标系 中,曲线 上的点 到两定点
,
的距离之和等于 ,直
,求 的值. 线 与 交于 两点,若
【解】 由椭圆定义可知,曲线 是以
,
为焦点,长半轴为 的椭圆,它
的短半轴
,故曲线 的方程为
.
设
,其坐标满足
消去 并整理得
,由题意符合
,
故
.
,即
,而
若
于是
化简得
,所以
.
,
7. 设动直线 与抛物线
相切于点 ,与直线 相交于点 , 为抛
的值.
物线的焦点,求
【解】
直线 的方程为 ,显然 .
由 得
.
因为直线 与抛物线相切,所以 ,所以
.
所以直线 的方程为 .
令 ,得
,所以
.
设切点坐标为
,则
,
解得
.
由题意得
,则
.
8. 已知两点
,
,曲线
上的动点 满足
(1)求曲线
的方程;
【解】 依题意
,
,且
,
所以曲线
是以
,
为焦点,长轴长为
的椭圆.
设椭圆
的方程为
因为
, ,
,
.
(2)设曲线
的方程为
,当
和
有四个不同的交点时,求实数
所以曲线
的方程为
的取值范围.
【解】 因为曲线
的方程为
,
所以当 , 时,曲线
的方程可化为
;
所以当 , 时,曲线
的方程可化为
;
所以当 , 时,曲线
的方程可化为
;
所以当
, 时,曲线
的方程可化为
.
所以曲线
是以
,
,
,
四个点为顶点的正方形.
因为曲线
和
有四个不同的交点,且曲线
,
均是关于 轴, 轴对称的曲线,
所以曲线
与
有且仅有一个交点.
有且仅有一组解.
所以方程组
即关于 的方程
在区间
内有且仅有一个实数根
.
设
.
情形①
解得
.
情形②
解得
.
所以实数 的取值范围是
或
.
9.
在平面直角坐标系 中,曲线 上的点 到两定点
,
的距离之和等于 ,
,求 的值. 直线
与 交于 , 两点,若
,其半焦距长为
.
【解】
由椭圆定义可知,曲线 是以
,
为焦点,长半轴长为 的椭圆,
它的短半轴
,故曲线 的方程为
.
设
,
,其坐标满足:
消去 并整理得
,
由题意符合 ,
故
,
.
,即
.
若
而
,
于是
,
化简得
,所以
.
10.
已知中心在坐标原点 的椭圆 经过点
,且点
为其右焦点.
(1)求椭圆 的方程;
【解】 依题意,可设椭圆 的方程为
从而有
解得
又
,所以
故椭圆 的方程为
,且可知左焦点为
,
.
(2)是否存在平行于 的直线 ,使得直线 与椭圆 有公共点,且直线
与 的距离等
于 ?若存在,求出直线 的方程;若不存在,请说明理由.
【解】 假设存在符合题意的直线 ,其方程为
,由
得
因为直线 与椭圆有公共点,所以有
解得
另一方面,由直线 与 的距离
可得
解得
由于
所以符合题意的直线 不存在.
动态圆锥曲线问题的参数求解
1. 已知抛物线
与过点
的直线交于
,
两点.若
,则实数 的值为
.
【答案】
2. 椭圆
的内接正方形的周长为 .
【答案】
3. 直线 交抛物线
于 , 两点, 为抛物线的顶点,若 ,则
.
【答案】
4. 已知椭圆
【答案】
【分析】 设椭圆上两点
、
关于直线 对称, 的中点为
,则
,
.两式相减得:
即
.
所以
所以
,代入直线 得
因为
在椭圆内部,所以
,解得:
,若此椭圆上存在不同的两点 , 关于直线 对称,则实
数 的取值范围是
.
.
5. 已知点
在抛物线
的准线上,点 在抛物线 上,且位于
,则点 到动直线 的最大距离为
. 轴的两侧, 是坐标原点,若
【答案】
【分析】 由已知可求得 ,设
,由(overrightarrow {OM} cdot
overrightarrow {ON} = 3)可得
又因为
解得
,设动直线 方程为 把 方程与抛物线方程联立解得
,
故 过定点
,从而 到动直线
的最大距离为 到定点
的距离
6. 如图,椭圆
.
,代入 式
和圆
,已知圆
将椭圆
的长轴
三等分,且圆
的面积为 .椭圆
的下顶点为 ,过坐标原点 且与坐标轴不重合的任意
直线 与圆
相交于点 , ,直线 , 与椭圆
的另一个交点分别是点 , .
(1)求椭圆
的方程;
【解】
由题意得: ,则 ,
所以椭圆方程为:
.
(2)求 面积最大时直线
的方程.
【解】 由题意得:直线 , 的斜率存在且不为 ,
,
不妨设直线 的斜率为
,则
.
得: 由:
或
所以:
.
同理得:
,
.
由
得:
,
所以:
.
所以:
设
,则
.
.
当且仅当
时取等号,
所以
.
则直线
,
所以所求直线
方程为:
.
7. 已知
,
是椭圆
的两个焦点, 为坐标原点, 是以
为直径的圆,
直线
与
相切,并与椭圆交于不同的两点 , .
(1)求 和 的关系式
【解】 由
与直线
相切,得
即
.
,且
时,求直线 的倾斜角 的取值范围.
(2)当
,
【解】 由
得
.
由 ,得
.
设
,
,则
所以
,
.
由
,得
,
解得
,即 ,
故直线 倾斜角
的取值范围为
.
8. 一条斜率为 的直线
与离心率为 的椭圆
交于 , 两点,直
,
,求直线 和椭圆 的方程.
线 与 轴交于点 ,且
【解】 由
则椭圆方程变为
.
设 的方程为 .
,得
,即
,
由
消去 并整理,得
.
由 与椭圆交于两点,得
,
即
.
设
,
,则
.
.
,得
.
由
而
,
所以
.
将
代入上式,得
,
化简,得
.
,得
,
由
及
从而
.
由
,得
.
联立
,解得
,
,适合( ).
因此,直线 方程为 或 ;
椭圆 的方程为
.
9. 已知中心在原点的椭圆 :
的一个焦点为
,
为椭圆
上
一点,
的面积为
.
(1)求椭圆 的方程;
【解】 因为椭圆 的焦点为
,
所以
,则椭圆 的方程为
.
所以
,
所以 ,
所以
.
因为
椭圆 上一点,
的面积为
.
代入椭圆 的方程
,可得
.
所以
,
所以
,
所以椭圆 的方程为
.
(2)是否存在平行于 的直线
,使得直线 与椭圆 相交于 , 两点,且以线段
为
直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由.
【解】 假设存在符合题意的直线 存在,设直线方程为
,代入椭圆方程,消去
,可得
.
设
,
,则
,
,
因为以线段 为直径的圆恰好经过原点,所以
所以
.
所以
.
所以
.
所以
此时
所以直线方程为
.
,
10. 设
,
是抛物线
上相异两点,并且
交 轴于点 :
(1)若点 ,
到 轴距离之积为 ,求 的值;
得
.
【解】 设
,
,由
又
,
,代入上式得
,即
,
所以 .
(2)若 为常数,在
轴上是否存在异于点 的点 , 交抛物线另一个交点为 , 交
?若存在,求出 点坐标;若不存在,请说明理由.
轴于 ,使
【解】 假设存在点 满足条件,设
,
,
,
, 直线方程
为 ,
与
联立得
,
因此
.
记
,同上面做法可得
.
故
.
有
,
记
,由
可得
.
所以
.
由(1)知
得
,所以 , .
从而存在点
满足条件.
动态圆锥曲线问题的性质证明
1. 已知抛物线
的准线为 ,过
且斜率为
的直线与 相交于 ,
与
的一个交点为 ,若
,则 .
【答案】
【分析】 直线
,代入
,得
,又
,所以
,解得
,即
, (舍去).
2. 已知直线 过点
,且与抛物线
交于
、
两点,则
.
【答案】
【解】 由题可设直线 的方程为 ,与抛物线联立,得
,得
,
.
3. 已知抛物线
,过定点
作一弦 ,则
【答案】
【分析】 直线 的斜率不存在时, 的方程为
,代入
,解得
、
从而
直线 的斜率存在时,设 的方程为
,代入
中,消去 得
设
,
,则
则有
从而
.
综上,
.
4. 设
,
分别是椭圆
的左、右焦点, 是椭圆 上的动点,过原点的直线
与椭圆相交于
两点,且直线 的斜率都存在,并记为
,试证明
为
定值.
【解】 因为直线 与椭圆的两个交点 , 关于坐标原点对称,
所以设
,
,
,于是有
两式相减得
,
,即
.
又
,
,
所以
.
故
的值为一定值.
5. 如图, , ,
是长轴长为 的椭圆上的三点, 是长轴一个端点, 过椭圆中心,且
, .
(1)求这个椭圆方程;
【解】 以 中点 为原点,
直线为 轴建立直角坐标系,则
,
,
又因为 ,
从而 为等腰直角三角形,
点坐标为
.
设椭圆方程为
,代入
得
,
所以椭圆方程为
.
.
(2)若 , 是椭圆上两点, 的平分线垂直 ,求证:存在 ,使得
【解】 因为
,由
,
,设
,
所以直线 方程为
.
与椭圆联立,消 ,有
,
从而
,
.
同理直线 方程为
,且有
所以
.
又因为
,
,
.
因此 ,
. 故 ,使
6. 如图,过椭圆
外的一点
作直线 交椭圆于 ,
两点,设
关于 轴的对称点为
,且
交
轴于点 :
,求证:
(1)若
;
【解】 设
,
,则
,
.
有
,
由
所以
,
又因为
,
因此由上式即可得到
.
(2)若 , ,求 点坐标.
【解】
由(1)知
,且
.
所以
,即
.
因此
因为
,
,
消去
,
得
.
因此得
,由
可得
.
从而 点坐标为
.
.
,
7. 如图所示,曲线
是以原点 为中心、
,
为焦点的椭圆的一部分,曲线
是以 为
顶点、
为焦点的抛物线的一部分, 是曲线
和
的一个交点,且
为钝角.若
,
.
(1)求曲线
和
的所在的椭圆和抛物线的方程;
【解】 设椭圆的方程为
,由椭圆的定义得 .
设
,
,
,
相减得
. 则
由抛物线的定义得
,从而可得 , 或 , (舍),
则所求椭圆方程为
,抛物线方程为
.
(2)过
作一条与
轴不垂直的直线,分别与曲线
和
依次交于 , , ,
(从上到
下)四点,若 为 的中点、 为 的中点,问
值;若不是,请说明理由.
【解】 设
,
,
,
,直线
,
代入椭圆
是否为定值?若是,求出此定
所以
,
.
,得
,
同理可代入抛物线
,得
,
所以
,
.
所以
为定值.
8. 如图,设
为抛物线
上的动点.过点 做圆
的两条切
线,交直线 于 , 两点.
(1)求
的圆心 到抛物线
准线的距离.
【解】 由题意可知,抛物线
的准线方程为:
所以圆心 到抛物线
准线的距离为
(2)是否存在点
,使线段 被抛物线
在点 处得切线平分,若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【解】
设点 的坐标为
,抛物线
在点 处的切线交直线 于点 .
再设
, , 的横坐标分别为
,
,
.
过点
的抛物线
的切线方程为:
当
时,过点
与圆
的切线 为:
可得
因为
,所以
设切线 , 的斜率为
,
,则
将 分别代入①,②,③,得
从而
又
,即
同理
所以
是方程
的两个不相等的根,从而
因为
,所以
即
.从而
进而得
,
.
综上所述,存在点 满足题意,点 的坐标为
课后练习
1. 过椭圆
的一个焦点,倾斜角为
的弦 的长为 .
2. 抛物线
的弦 长为 ,则 中点的横坐标的最小值为
.
3. 斜率为 的直线与椭圆交于
,
两点,若弦长 | |=
,则 |
| .
4. 椭圆
的左焦点为 ,上顶点为
,过点 作直线 的垂线分别交椭圆, 轴于
,则实数 的值为 .
, 两点.若
5. 在平面直角坐标系 中,
,
分别为椭圆
的左右焦点,顶点
的坐标为
,连接
并延长交椭圆于点 ,过点 作
轴的垂线交椭圆于另一点 ,连
接
,若
,则椭圆的离心率 .
6. 倾斜角为
的直线 过抛物线
的焦点,并且交抛物线于
两点,则弦 的长
为 .
7. 若直线
被曲线
截得的线段长为 ,则实数
的值
是 .
8. 与椭圆
截得的弦长为
.
9. 以
为中点的抛物线
的弦所在直线方程为 .
10.
椭圆
长轴上一个顶点为 ,以
为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三
角形,该三角形的面积是
.
11. 如图,过抛物线
焦点的直线依次交抛物线与圆
于点 , ,
,
的值是
.
,则
12. 过点
与双曲线
只有一个公共点的直线共有
条.
13. 已知椭圆
,过点
作斜率为 的直线交椭圆于 , 两点,若
为线段
的中点,则 .
14. 设
是椭圆
长轴上的一个动点,过 作斜率为
的直线交椭圆于 , 两点,
则
的值为 .
15. 直线 与抛物线
和圆
从左到右的交点依次为
,
, , ,则
的值为
.(提示:由抛物线的定义,知
,即
)
16.
已知抛物线
的焦点为 ,过点
的直线交抛物线于 , 两点,直线 ,
分别与抛物线交于点 ,
,设直线 , 的斜率分别为
,
,则
17.
已知曲线
.
且
与直线 相交于 , 两点,且
( 为原点),则
的值为
.
18. 抛物线
上两点
关于直线 对称,且
,则
等于
.
19. 已知斜率为 的直线 与抛物线
交于位于 轴上方的不同两点 , ,记
直线 , 的斜率分别为
,
,则
的取值范围是 .
20. 已知过点
的动直线与抛物线
交于 两点, 为原点,点 满足
,则线段 长度的最小值为 .
21.
已知斜率为 的直线 与抛物线
相交于 , 两点,如果线段
的长等于 ,求
直线 的方程.
22. 已知双曲线
的离心率
,过
,
的直线到原点的距离是 .
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线
交双曲线于不同的点 , ,且 , 都在以 为圆心的圆
上,求 的值.
23. 如图,已知抛物线 :
经过点
,过 作倾斜角互补的两条不同直线
,
.
(1)求抛物线 的方程及准线方程;
(2)设直线
,
分别交抛物线 于 , 两点(均不与
重合),若以线段 为直径的
圆与抛物线的准线相切,求直线 的方程.
24.
求直线
与曲线
的交点.
25. 双曲线
的左、右焦点分别为
,
, 为坐标原点,以
为直径的圆为
,直线 与 相切,并与双曲线交于 ,
两点.
(1)求出 与 的关系;
(2)向量
在
,当
时,求直线 的方程.
方向上的投影为
26. 已知直线 交抛物线
于 , 两点,且
的中点的横坐标为 ,求弦
的长.
27. 如图,设椭圆
的左、右焦点分别为
,
,点 在椭圆上,
,
,
的面积为
,求该椭圆的标准方程.
28. 已知
、
两点在以
为右焦点的椭圆
上,斜
率为
的直线 与椭圆 交于点 ( 在直线 的两侧).
(1)求椭圆 的方程;
(2)求四边形 面积的最大值.
29.
过抛物线
的焦点的直线与抛物线交于 , 两点,
,且
的中
点的纵坐标为
,求 的值.
30. 已知椭圆
的离心率为
,右焦点为
,斜率为 的直线
与椭圆 交于 两点,以 为底边作等腰三角形,顶点为
.
(1)求椭圆 的方程;
(2)求
的面积.
31. 过点
的直线交双曲线
的方程.
于 , 两点,若 为弦 的中点,求直线
32.
过点
的直线 与双曲线
相交于 , 两点,如果 ,其中 为
坐标原点,求直线
的方程.
33. 已知抛物线
的准线方程是
,直线 与抛物线相交于
,
两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)设 为坐标原点,证明:
.
34. 在直角坐标系 中,直线
交 轴于点 ,交抛物线
于点 , 关于点 的对称点为 ,连接 并延长交 于点
.
(1)求
;
(2)除 以外,直线 与 是否有其它公共点?说明理由.
35. 过点
的椭圆
的离心率为
,椭圆与 轴交于两点
,
,过点 的直线
与椭圆交于另一点 ,并与 轴交于点 ,直线 与直线 交
于点 .
(1)当直线 过椭圆右焦点时,求线段 的长;
为定值. (2)当点 异于点
时,求证:
36. 已知椭圆
的左、右焦点分别为
,
,以椭圆上的点 为圆心,
为半
径作圆 ,当圆 与直线
有公共点时,求
面积的最大值.
37. 直线
与双曲线
相交于 , 两点,当
为何值时,以 为直径
的圆经过坐标原点?
38. 已知中心在坐标原点,焦点在
轴上的椭圆过点
,且它的离心率
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)与圆
相切的直线 : 交椭圆于 , 两点,若椭圆上一点
,求实数
的取值范围. 满足
39. 如图,动点 与两定点
构成 ,且直线
的斜率之积为
.设动点 的轨迹为 .
(1)求轨迹 的方程;
(2)设直线
与 轴相交于点 ,与轨迹 相交于点 ,且
,求
的取值范围.
40.
已知直线 与椭圆
交于 , 两点,以 为直径的圆过椭
圆的左焦点,求实数
的值.
41. 如图,曲线
是以原点 为中心,
,
为焦点的椭圆的一部分.曲线
是以原点
为
顶点,
为焦点的抛物线的一部分, , 是曲线
和
的交点且
为钝角,若
,
.
(1)求曲线
和
的方程;
(2)设点 , 是曲线
所在抛物线上的两点(如图).设直线 的斜率为
,直线
的斜率为
,且
,证明:直线 过定点,并求该定点的坐标.
42. 已知椭圆
过点
,离心率为
.过椭圆右顶点 的两条斜
率乘积为 的直线分别交椭圆 于 , 两点.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)直线 是否过定点 ?若过定点 ,求出点
的坐标,若不过点 ,请说明理由.
43. 已知椭圆 :
,
,
分别为左,右焦点,离心率为
,点 在椭圆 上且满
足:
,
,过右焦点
与坐标轴不垂直的直线
交椭圆于 ,
两点.
(1)求椭圆 的方程;
(2)在线段
上是否存在点
使得以线段 , 为邻边的四边形是菱形?若存在,
求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
44. 已知点
为双曲线
( 为正常数)上任一点,
为双曲线的右焦点,
过
作右准线的垂线,垂足为 ,连接
并延长交 轴于
.
(1)求线段
的中点 的轨迹 的方程;
(2)设轨迹 与 轴交于 、
两点,在 上任取一点
,直线 , 分
别交 轴于
两点.求证:以 为直径的圆过两定点.
45. 已知椭圆 :
离心率
,短轴长为
.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)如图,椭圆左顶点为 ,过原点 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 交于 ,
两点,
直线 , 分别与 轴交于 , 两点.试问以
为直径的圆是否经过定点(与直线
的斜率无关)?请证明你的结论.
直线与圆锥曲线-出门考
姓名
成绩
1.
过点
可以作
条直线与双曲线
有且只有一个公共点.
2. 过抛物线
的焦点,斜率为
的直线交抛物线于 , 两点,则弦 的长
为 .
3. 已知椭圆 的焦点分别为
和
,长轴长为 ,直线 交椭圆
于 , 两点,则线段 的中点坐标为 .
4.
已知抛物线
的准线为 ,过焦点 且斜率为
的直线与 相交于点 ,与 的
,则 . 一个交点为 ,若
5. 直线
与焦点在 轴上的椭圆
总有公共点,则
的取值范围
是 .
6. 若直线
与抛物线
交于 , 两点,且线段 的中点的横坐标是 ,则
.
7. 过点
作倾斜角为 的直线,与抛物线
交于
、 两点,则
.
8. 给定圆
及抛物线
,过圆心 作直线
,此直线与上述两曲线的四
个交点,自上而下顺次为 、 、 、 .如果线段
、 、 的长度按此顺序构成一
个等差数列,则直线 的方程为
.
9. 过抛物线
焦点的直线 的倾斜角为
,且 与抛物线相交于 、 两点, 为原点,
那么 的面积为
.
10. 过椭圆
,则直线 的方程为
.
内一点
作弦 ,若
11. 在平面直角坐标系 中,椭圆
的左、右顶点分别为 , ,右准线为 ,
为椭圆上不同于 , 的一点,直线 与直线 交于点 ,连接 并延长交椭圆
于点 ,
若直线 垂直 轴,则点 的坐标是 .
12. 设圆 位于抛物线
与直线
所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆 的半
径能取到的最大值为
.
13. 抛物线
的焦点坐标为
,则抛物线 的方程为 ,若点 在抛物
的最小值等于 . 线 上运动,点 在直线
上运动,则
14. 已知椭圆
,过椭圆 上一点
作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交
于点 ,
,则直线 的斜率为 .
15. 双曲线
的离心率为
,若直线 与双曲线 的
交点在以原点为中心、边长为
且各边分别平行于两坐标轴的正方形内,则实数 的取值范
围是
.
16. 已知椭圆
与过点
,
的直线 有且只有一个公共点
,
且椭圆的离心率为
.求椭圆的方程.
17. 直线
与椭圆
交于 , 两点, 的中点为 ,
斜率为
,求椭圆离心率 .
18. 过点
作直线
与椭圆
相交于 , 两点,
为坐标原点,求
面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值.
19. 在平面直角坐标系 中,椭圆 的中心为坐标原点,左焦点为
, 为椭圆 的
上顶点,且
.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)已知直线
与椭圆 交于 ,
两点,直线
与
椭圆 交于 , 两点,且
,如图所示,证明:
.
20. 过椭圆
内一点
引一条弦,使弦被 点平分,求这条弦所在直线的方程.
21. 在平面直角坐标系 中,椭圆
椭圆 截得的线段长为
的离心率为
,直线 被
,求椭圆 的方程.
22. 椭圆
的离心率为
,椭圆与直线
相交于点 , ,
,求椭圆的方程. 且
23. 如图,椭圆
的离心率为
,其左焦点到点
的距离为
,不过原点 的直线 与 相交于
两点,且线段 被直线 平分.
(1)求椭圆
的方程;
(2)求 面积取最大值时直线 的方程.
24. 已知一列椭圆
若椭圆
上有一点
,使
到
右准线
的距离
是
与
的等差中项,其中
、
分别是
的左、
右焦点.
(1)试证:
(2)取
.
25. 已知 , 是椭圆
的左,右顶点,
,过椭圆 的右焦点
的直线交于其于点 , ,交直线 于点 ,且直线 , ,
的斜率成等差数列.
;
且
,并用
表示
的面积,试证:
(1)求椭圆
的方程;
(2)若记 , 的面积分别为
,
,求
的取值范围.
26. 已知抛物线
的内接三角形
的一个顶点 在原点,三边上的高都过焦点,求
三角形 外接圆的方程.
27.
已 知 双 曲 线
的 离心率为
,虚轴长为
.
(1)求双曲线 的方程;
(2)已知直线
与双曲线 交于不同的两点 , ,且线段 的中点在圆
上,求 的值.
28. 以向量
为方向向量的直线 过点
,抛物线
的顶点关于
直线
的对称点在抛物线的准线上,求抛物线 的方程.
29. 已知椭圆
> > 的离心率为
,直线
与其交于 , 两点,
且 ,求这个椭圆方程.
30. 已知曲线
.
(1)若曲线 是焦点在 轴上的椭圆,求 的取值范围;
(2)设
,曲线 与 轴的交点为 (点 位于点 的上方),直线
与曲
线 交于不同的两点 ,直线 与直线 交于点 .求证:
三点共线.
31. 已知椭圆 的中心在原点,一个焦点为
,且长轴长与短轴长的比是
.
(1)求椭圆
的方程;
最小时,点 恰好落
(2)设点
在椭圆 的长轴上, 是椭圆上任意一点,当
在椭圆的右顶点处,求实数 的取值范围.
32. 已知椭圆
的长轴长为 ,焦距为
.
(1)求椭圆 的方程;
(2)过动点
的直线交 轴于点 ,交 于点 (
在第一象限),且 是
线段 的中点.过点 作 轴的垂线交 于另一点
,延长 交 于点 .
①设直线 的斜率分别为 ,证明
为定值;
②求直线 的斜率的最小值.
33.
已知椭圆
的离心率
积为 .
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线 与椭圆相交于不同的两点 ,已知点 的坐标为
,点
,求
的值. 在线段 的垂直平分线上,且
,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面
34. 已知椭圆
的一个焦点为
,且离心率为
.
(1)求椭圆方程;
(2)斜率为 的直线 过点
,且与椭圆交于 , 两点, 为直线 上的一点,若
为等边三角形,求直线 的方程.
35. 椭圆 的中心为坐标原点 ,焦点在
轴上,离心率
,椭圆上的点到焦点的最短距
. 离为 ,直线 与 轴交于 点
,与椭圆 交于相异两点 , ,且
(1)求椭圆 的方程;
,求 的取值范围.
(2)若
36. 如图,在平面直角坐标系
中,已知椭圆
其中 ,
,
.
的左、右顶点为 、 ,右
焦点为 ,设过点
的直线 、 与椭圆分别交于点
,
,
(1)设动点 满足
,求点 的轨迹;
(2)设
,
,求点 的坐标;
(3)设 ,求证:直线 必过 轴上的一定点(其坐标与
无关).
37. 已知椭圆 :
的右顶点为
,且点
在椭圆 上,直线
( 为坐标原点)交椭圆 于点 .
(1)求椭圆 的方程;
?若存在,有几个(不必求出 点的
(2)在椭圆 上是否存在点
,使得
坐标),若不存在,请说明理由;
(3)过椭圆
上异于其顶点的任一点 ,作 :
的两条切线,切点分别为 、
,若直线 在 轴、 轴上的截距分别为 、
,证明:
为定值.
38. 如图,已知四边形 是椭圆
的内接平行四边形,且 , 分别经过
椭圆的焦点
,
.
(1)若直线 的方程为
,求 的长;
(2)求平行四边形 面积的最大值.
39.
己知斜率为 的直线 与双曲线 :
相交于 、
两点,
且 的中点为
.
(1)求 的离心率;
(2)设 的右顶点为 ,右焦点为 ,
,证明:过 、 、 三点
的圆与 轴相切.
40. 在平面直角坐标系 中,已知双曲线
.
(1)过
的左顶点引
的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及
轴围成的三
角形的面积;
(2)设斜率为 的直线 交
于 , 两点.若 与圆
相切.求证: ;
(3)设椭圆
.若 , 分别是
,
上的动点,且
,求证: 到
直线 的距离是定值.